1. CETI
Plantel Colomos
Nombre del alumno: Santiago Morales Ruiz
Núm. De Registro: 13110201
ING. Industrial
Salón: B-210
Nombre del Maestro: Ing. Cesar Octavio Martínez Padilla

2. CONCEPTOS GENERALES DE LAS
ECUACIONES DIFERNCIALES DE
PRIMER GRADO
A. -) VARIABLES SEPARABLES
Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED con las ecuaciones más sencillas de
resolver. Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos
integraciones.
Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
Y´ = F(x, y)
Se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:
F(x, y) = f(x) · g(y)
Una EDO de variables separables puede Resolverse usando la siguiente estrategia:
- Procedimiento: Variables Separables
- Entrada: Una EDO en la forma y´= F(x, y)
- Salida: La solución de la ED.
Paso I: Factorizar el segundo miembro Factorizar F(x, y) = f(x) · g(y),
Si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y
el procedimiento no continua.
Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes.
Paso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x
Ejemplo:
Operamos de ambos lados

3. Operamos ambos lados con
Solución general
A 1.-) REDUCCIÓN A VARIABLES SEPARABLES
B.-) HOMIGENEAS
Definición 6 Una función f(x; y) se dice homogénea de grado n si f(tx; ty) = t^n f(x; y) . La
ecuación Diferencial M(x; y) dx+N(x; y) dy = 0 es homogénea si M(x; y) y N(x; y) son
homogéneas del mismo grado.

4. Ejemplo:
C.-) ECUACIONES EXACTAS

5. Para abordar el concepto de soluciones exactas, tomemos una función z=f(x,y) en
derivadas parciales de primer orden continua en la vecindad R de xy tal que la diferencial
total dada es
Si tomamos una familia de curvas constantes f(x,y)=c la ecuación diferencial se reduce
a ,
Estas consideración nos conduce a la siguiente conclusión: dada una familia de
curvas f(x,y)=c es posible generar una ecuación diferencial de primer orden para calcular
la diferencial total.
Definición de ecuación diferencial exacta
Se dice que una expresión diferencial
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total
de alguna función f(x,y) una ecuación
Se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.
Veamos los siguientes ejemplos:
es una ecuación diferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como
la expresión
es una ecuación diferencial exacta ya que

6. Sin embargo, para obtener la solución no siempre es fácil obtener la expresión que se
pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el
teorema que a continuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan
complicado.
C.1.-) ECUACIONES CON FACTOR INTEGRANTE
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna
manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferencial,
balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente
ecuación diferencial
Es exacta, pues

7. E.-) ECUACIONES LINEALES
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la
forma , es
decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o
cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable
independiente.
Una EDO es lineal si mediante operaciones algebraicas puede expresarse de la forma:
Escrita de la forma estándar tenemos:
La solución de una EDO Lineal se forma con la suma de las dos soluciones:
1) La solución Homogénea Yh
2) La solución Particular Yp
Para la solución Yh vamos a hacer f(x) = 0
Es separable.
Pasamos a dividir "y".
Integramos de ambos lados.
Ambos lados por e.

8. E.-) BERNOULLI
Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden
Transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación
diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otra situación semejante se presenta para
la ecuación de Bernoulli.
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
donde y son funciones reales y continuas en un
intervalo y es una constante real diferente de y se conoce
como ecuación de Bernoulli
Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación
separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
Libros en línea:
http://valle.fciencias.unam.mx/librosautor/EDO-1_00.pdf
http://mmc.geofisica.unam.mx/Bibliografia/Matematicas/EDP/libroED.pdf
http://mmc.geofisica.unam.mx/Bibliografia/Matematicas/ODE/Apuntes%20de%20Ecuacion
es%20diferenciales.pdf
Sitios de Internet:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/soluciones_exactas.htm
Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables (Ecuaciones Diferenciales
Separables), por WikiMatematica.org