1. Ecuaciones Diferenciales Exactas (E.D.Ex)<br />Sea la expresión M(x, y)+N(x, y)=0 Esta es la forma ordinaria de las E.D.Ex <br />Si cumple con esta expresión se procede a verificar que sea exacta de la siguiente manera: <br /> ∂M∂y=∂N∂x (Derivada parcial de M con respecto a x es igual a la derivada parcial de N con respecto a y)<br /> Si cumple con esto se dice que si es exacta. Se procede a los procesos algebraicos para resolver la ecuación, que se resumen mediante la siguiente expresión matemática:<br />fx, y=M(x, y)dx+[Nx, y-∂∂yMx, ydx]dy<br />Ejemplo: 2xydx+x2-1dy=0<br />Verificar que sea exacta <br /> ∂M∂y2xy=2x ∂M∂y=∂N∂x<br /> ∂N∂xx2-1=2x <br />Si son exactas porque las derivadas parciales de ambas son iguales. <br />Entonces se procede a utilizar la expresión matemática; sustituyendo los valores en ella:<br />fx, y=2xydx+[(x2-1)-∂∂y2xydx]dy<br />Ya sustituía la expresión se procede a resolverse<br />fx, y=x2y+[x2-1-∂∂y(x2y)]dy<br />fx, y=x2y+[x2-1-x2]dy<br />fx, y=x2y-dy =x2y-y+c “Este es el resultado”<br />Ecuaciones Diferenciales Exactas por Factor Integrante<br />Sea la expresión M(x, y)+N(x, y)=0 <br />Si ∂M∂y≠∂N∂x (Derivada parcial de M con respecto a x es diferente a la derivada parcial de N con respecto a y) Se dice que no es exacta y se tiene que proceder a usar un factor integrante.<br />Donde u(x, y) sea el factor, que le permita a la ecuación ser exacta. Cuando hayamos el factor integrante la ecuación inicial la tenemos que multiplicar por este y volver a checar, si es exacta o no<br />u=ep(x)dx Ó u=ep(y)dy<br />Formas o Métodos de soluciones <br />Pregunta: ¿Cómo saber cuál es la que se debe de usar?<br />px=My-NxN Se usa si el resultado queda en términos de x<br /> py=Ny-MxM Se usa si el resultado queda en términos de y<br />Ejemplo: 3x2ydx+ydy=0<br />Verificar que sea o no sea exacta <br />∂M∂y3x2y=3x2 ∂M∂y≠∂N∂x<br /> ∂N∂xy=0<br />Como esta ecuación no fue exacta tenemos que proceder a buscar el factor integrante<br />px=3x2-0y=3x2y No se usa porque en resultado no salió en puros términos “x”<br />py=0-3x23x2y=-3x23x2y=-1y Esta es la que vamos a usar porque el resultado salió en puros términos de “y”<br />Entonces usamos u=ep(y)dy sustituyendo el resultado que salió en p(y):<br />u=e-dyy=e-lny=elny-1=1y <br />Luego se multiplica el factor integrante por la ecuación principal y se vuelve a checar si es exacta<br />1y3x2ydx+ydy=0=3x2dx+dy=0<br />∂M∂y(3x2)=0 ∂N∂x1=0<br />Son exactas así que se procede a resolver con la expresión matemática<br />fx, y=3x2dx+[1-∂∂y3x2dx]dy<br />x3+[1-∂∂y(x3)]dy <br /> x3+dy=x3+y+c “Este sería el resultado”<br />