Tipos de Ecuaciones diferenciales

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Sede Barcelona
Tipos de Ecuaciones Diferenciales
Profesor:
Pedro Beltrán
Alumnos:
María Aponte C.I 26081720
Yorgelis Méndez C.I 30304880
Jesús Caraballo C.I 27948450

2. 
Introducción
-Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona las variables con sus derivadas.
Estas se pueden dividir en varios tipos como las ordinarias, lineales/no lineales, parciales, Etc. Esta
Lista es demasiado grande ya que hay muchas subclases que pueden ser muy útiles en contextos
específicos.
-Aquí nos centraremos en las soluciones de las ecuaciones diferenciales por medio de los siguientes
métodos:
-Separación de variables
-Homogénea
-Exacta

3. 
Desarrollo
Ecuación diferencial de variables separables
-Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es de variables
separables si es posible factorizar F(x , y) en la forma de:
F(x , y)= f(x) . G(y)

4. 
Separación de Variables
-El método de separación de variables se refiere al procedimiento para encontrar una solución
completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones diferenciales con derivadas
parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las variables
separadas. Es uno de los métodos mas productivos de la física matemática para solucionar
problemas físicos mediante ecuaciones diferenciales.
-El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias
de cierto tipo que permiten resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables
separables.

5. 
Denotación de una ecuación diferencial de
variables separables
-Una ecuación diferencial de variables separables se puede denotar de las siguientes maneras:
1-) Y´= f(x).g(y)
2-) Y´= f(x)/g(y)
3-) Y´= g(y)/f(x)
-Cabe recordar que Y´ también se puede denotar como Dy/Dx
Ejemplo:
A-) Y´= 3X^2 . 5Y-3
B-) Dy/Dx = X+3 / 3Y+2

6. 
Solución de ecuaciones diferenciales de
variables separables
-Para resolver una ecuación diferencial por este método se deben de seguir los siguientes pasos
para hallar la solución general.
1-)Se verifica si es una ecuación diferencial de variables separables.
2-)Integrar cada uno de los términos de la ecuación diferencial.
3-)Se incluye un constante arbitraria a un solo miembro de la ecuación.
-En algunos casos habrá que factorizar algún termino de la ecuación para poder hallar la
solución.

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales de
variables separables

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales de
variables separables

9. 
Ecuaciones diferenciales homogéneas
-Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los
coeficientes de los términos diferenciales en el caso de primer orden son funciones
homogéneas de las variables o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen
los términos constantes.
-Con el fin de identificar una ecuación diferencial no homogénea primero se tiene que
saber que es una ecuación diferencial homogénea. También a menudo se necesita para
resolver una antes de poder resolver otra.

10. 
Ecuaciones diferenciales homogéneas de
primer orden
-Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x , y)dx + N(x , y) dy=0 es
del tipo homogénea si las funciones M(x , y) y N(x , y) son funciones homogéneas
del mismo grado n.
-Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro se halla:

11. 
Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas
-Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal
actuando sobre Y(x) donde x es usualmente la variable independiente y Y es la
variable dependiente.
-Entonces la forma de una ecuación lineal homogénea es L(y)=0, donde L es un
operador diferencial, una suma de derivadas (definiendo como derivada 0 a la
función original no derivada)

12. 
Clasificación de las ecuaciones
diferenciales homogéneas
-Homogéneas: Son las que implican derivadas de Y y términos relacionados a Y y que
están ajustados a 0.
-No Homogéneas: Son las mismas ecuaciones diferenciales homogéneas, excepto que
pueden tener términos que involucran a X en el lado derecho.
-Homogéneas con coeficientes de orden mayor: Son de especial relevancia este tipo de
ecuaciones, en cuya versión mas simplificada son de la forma ay´´+by´+cy=0, donde los
coeficientes son constantes con a diferente de 0.

13. 
Soluciones de ecuaciones diferenciales
homogéneas
-Homogéneas con coeficientes de orden mayor
-La solución de este tipo de ecuación diferencial es la combinación lineal de exponenciales
cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la
función y la constante real, imaginaria o compleja ´´r´´ que soluciona el polinomio
característico de la ecuación
-Homogéneas de primer orden
-Se simplifica la ecuación y se transforma la ecuación diferencial homogénea en una de
variable separables y se integra cada termino de la ecuación

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
homogéneas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
homogéneas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
homogéneas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
homogéneas

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Ecuaciones diferenciales exactas
-Una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
que presenta la forma M(x , y) dx + N(x ,y) dy = 0, donde las derivadas de las funciones
M y N son iguales.
-Dado que F(x , y) es una función diferenciable, entonces por el teorema de Clairaut sus
derivadas cruzadas deben ser iguales.

19. 
Solución de ecuaciones diferenciales
exactas
-Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
1-)Comprobar la exactitud de la ecuación
2-)Se integra M o N a conveniencia
3-)Para despejar la función G se deriva respecto a su variable dependiente
4-)Se iguala a la derivada parcial recién calculada con M o N
5-)Se reemplaza el G encontrado en la solución general

20. 
Factor integral
-Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una
función especial llamada factor integrante dejando que esta sea exacta.
-Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero
solo para algunas formas de ecuación diferencial es posible encontrarlo fácilmente.
1-) Factor integrante solo en función de X
-Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x entonces se puede
encontrar mediante la siguiente formula:

21. 
Factor integral
2-)Factor integrante solo en función de Y
-Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a U(y) entonces se puede
encontrar por medio de la siguiente formula

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Factor integral
3-)Factor integrante solo en función de X+Y
-Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto X+Y ( es decir U(x + y) ),
entonces se puede encontrar por medio de la siguiente formula

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Factor integral
4-)Factor integrante solo en función de X.Y
-Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto X.Y ( es decir U(xy) ),
entonces se puede encontrar por medio de la siguiente formula
-Cabe mencionar que:

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
exactas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
exactas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
exactas

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Ejemplo de ecuaciones diferenciales
exactas

28. 
Ejemplo de ecuaciones diferenciales
exactas

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Conclusión
-El estudio de las ecuaciones diferenciales ha influenciado el desarrollo en el área
de las matemáticas, debido a su utilidad y mientras que mas fiable sea el modelo,
mas compleja será su formulación matemática. Lo cual requiere un análisis
cualitativo debido a que un análisis cuantitativo es prácticamente imposible por la
complejidad de las ecuaciones diferenciales involucradas en el modelo estudiado.
-A partir del estudio de las ecuaciones diferenciales es posible predecir o tener
información acerca del fenómeno en cuestión.

30. 
Bibliografía
-Spiegel, M; Abellanas, L (1988) [24. Ecuaciones diferenciales básicas y sus
soluciones]. Formulas y tablas de matemática aplicada. Madrid: McGraw-Hill. pp .91-
3. ISBN 84-7615-197-7
-Marcellan, F ; Casasús, L; Zarzo, A. (1990) [15. Ecuaciones en derivadas parciales de
segundo orden]. Ecuaciones diferenciales: Problemas lineales y aplicaciones. Madrid:
McGraw-Hill. pp. 399-404. ISBN 84-7615-511-5
-Polyanin, Andrei D. (28 de noviembre de 2001). Handbook of linear differential
equations for engineers and scientist. Boca Raton, FL: Chapman y Hall/CRC. ISBN 1-
58488-299-9

31. 
Bibliografía
-Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Sistems, Graduate
studies in Mathematics, provinence, RI: American Mathematican Society. ISBN 978-0-
8218-8328-0.
-Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Linear Partial Differential Equations for
Scientist and Engineers, Boston, MA;Birkhauser Bostom. ISBN 978-0-8176-4393-5