El documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales: la variación de parámetros y el método de los coeficientes indeterminados. La variación de parámetros involucra proponer una solución particular basada en las soluciones de la ecuación homogénea asociada. El método de los coeficientes indeterminados supone que la solución puede expresarse como una serie de potencias y determina los coeficientes igualando los términos de la serie con la ecuación diferencial original. Se provee un ejemplo simple del método de coeficientes indeterminados

1. Variación de parámetros Una manera de buscar la solución particular y p es a partir de las soluciones de la EDO homogénea y 1 , y 2 ; proponiendo la solución particular como

2. 1.- se encentran las derivadas de y

3. Si imponemos la restricción

4. En realidad se puede hacer esta restricción porque tenemos más libertad de la necesaria para encontrar las soluciones. Como cuando se tiene un sistema de dos ecuaciones con tres incógnita y la segunda derivada es:

5. Sustituyendo en la ecuación nos queda

6. Como y1 y y2 son solución de la EDO homogénea simplemente nos queda

7. Con la restricción y la simplificación final nos queda el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

8. Método de los coeficientes indeterminados Vamos a limitar nuestro estudio al enunciado y manejo del método, sin entrar en los detalles teóricos del mismo. Recuerde que una serie de potencias representa a una función en un intervalo de convergencia y que podemos derivarla sucesivamente, para obtener series para , , , etc.

9. Por ejemplo

10. Los siguientes ejemplos muestran como aplicar el método de las series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. Iniciamos con un ejemplo muy simple, pero que nos hará entender la mecánica del método.

11. Ejemplo Ejemplo Usando series de potencias halle la solución de la ecuación .

12. Solucion Supongamos que la solución se puede expresar como :

13. Entonces, esta dada por :

14. Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos que :

15. Ahora debemos ajustar los índices de las sumas de forma que aparezca en cada serie.

16. Igualando los coeficientes correspondientes

17. para Esta fórmula genera los siguientes coeficientes

18. De donde obtenemos que la solución esta dada por

19. Aquí hemos usado la expansión en series de potencias para la función exponencial