para el curso de didactica

1. Cuaderno de didáctica de la
matemática Nº 3
Relación enseñanza-aprendizaje.
Dialéctica instrumento-objeto,
juego de marcos
Régine Douady
Régine Douady

2. RELACIÓN ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DIALÉCTICA INSTRUMENTO-
OBJETO, JUEGO DE MARCOS
PRINCIPIOS
Introducción
Nuestro proyecto es el siguiente:
“Elaborar y testear hipótesis sobre la forma en que pueden adquirirse los conocimientos matemáticos
en situación de clase durante todo el curso primario”.
Sin embargo, estas hipótesis que plantearemos sólo tienen sentido en su realización efectiva a través
de proyectos reales de enseñanza. En consecuencia, no podremos testearlos sino indirectamente por medio de
una enseñanza efectiva.
Precisemos nuestro proyecto:
“Construir y realizar una enseñanza que ponga en marcha particularmente las hipótesis elaboradas y
testear su impacto en la masa de alumnos, a través del desarrollo efectivo del proceso. La eficacia del
aprendizaje provocado1, determinado en relación a las expectativas standard ciertas, pero sobre todo de
acuerdo con nuestras previsiones, representa para nosotros el índice de un hecho didáctico. Pensamos que
hemos extraído parámetros pertinentes de la formación escolar de conocimientos sobre la que ejercimos una
acción2. Su evidencia constituye para nosotros una validación del conjunto de nuestra gestión”.
1. A propósito de la formación de los conocimientos
Precisemos el marco de nuestro trabajo.
Como hipótesis sobre la adquisición de conocimientos, adoptamos la idea central de Piaget con
respecto a la formación de conocimientos, idea que por otra parte formula independientemente de la enseñanza
y del contexto social, según la cual “los conocimientos no proceden ni de la sola experiencia de los objetos
ni de una programación innata preformada del sujeto, sino de construcciones sucesivas con elaboraciones
constantes de estructuras nuevas”. Para Piaget, “el equilibrio es el factor fundamental del desarrollo
cognoscitivo”. En efecto, dice, “durante los períodos iniciales existe una razón sistemática de desequilibrio,
que es la asimetría de las afirmaciones y negaciones. De esto resulta que la equilibración progresiva es un
proceso indispensable para el desarrollo, cuyas manifestaciones se modifican... en el sentido de un mejor
equilibrio en su estructura cualitativa como en su campo de aplicación”.
En otros términos, el proceso general de formación de los conocimientos sería el siguiente: “En cada
caso comenzaría por el ejercicio de un esquema inicial de asimilación cuya activación estaría tarde o temprano
trabada por perturbaciones: las compensaciones obtenidas se traducirían en una nueva construcción cuyas
regulaciones, que caracterizan sus fases, serían a la vez, compensadoras, teniendo en cuenta la perturbación
(implicando así la formación al menos virtual de la negación) y formadoras en relación a la construcción, y
esto hasta la constitución de una nueva estructura equilibrada y el desarrollo posterior de procesos análogos”.
A nivel de aprendizaje, en la medida en que determinados errores aparecen como un factor de
equilibrio (contradicción por ejemplo), comprendemos que puedan tener un rol productivo. Esto se produce
sobre todo en una situación colectiva donde tenemos necesidad de validación. En efecto, para explicar y
desechar errores, debemos construir argumentos para convencer (reequilibración). De este modo,
consideramos que la enseñanza debe examinar los primeros desequilibrios naturales del niño.
La enseñanza tiene la obligación de organizar tan eficazmente como sea posible, un juego de
desequilibrios-reequilibrios al nivel de concepciones de los alumnos. Este juego puede evolucionar según los
momentos, de manera individual o colectiva.
Agreguemos a esto que entre los sucesores de Piaget, los seguidores de la escuela de Ginebra de
Psicología Social, han demostrado que la apropiación colectiva de conocimientos puede preceder a la
apropiación individual. Intentaron explicar el fenómeno en el marco de la teoría constructivista de Piaget.
Explican, por ejemplo, la eficacia del conflicto socio-cognoscitivo mediante la integración de centraciones
opuestas en un nuevo esquema.
1
En un sentido que precisaremos, y que no se reduce a las performances.
2
(Variables de control de Guy Brousseau)

3. Utilizaremos también estas ideas, previendo en particular fases colectivas en determinados momentos
de nuestra enseñanza. Dado esto, Piaget y sus sucesores se sitúan siempre fuera del contexto de enseñanza. En
particular, no dan condiciones sobre las situaciones de enseñanza que permitan crear desequilibrios y
comprometer el juego de las regulaciones. Una lectura literal de sus conclusiones dio lugar a una explotación
extensa, pero ineficaz, de los caracteres positivos y negativos de los objetos (cuadrado - no cuadrado; rojo-no
rojo)...
Así, todo el aporte de Piaget, por más importante que sea, es insuficiente para que podamos construir
directamente un aprendizaje en clase, cuyos resultados sean previsibles, por lo menos con una gran
probabilidad y cuyas condiciones sean reproducibles. Piaget no toca el problema de la relación entre la
enseñanza y el aprendizaje, relación que es uno de los temas de estudio de la didáctica de la disciplina
enseñada y en el caso de las matemáticas, el de su didáctica.
Frente a ese problema y para responder, al menos en parte, G. Brousseau elaboró una teoría de las
situaciones didácticas. Para él, en efecto, las concepciones de los alumnos, son el resultado de un intercambio
permanente con las situaciones de problemas en las que son involucrados y en el curso de las cuales los
conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados. Da una
clasificación de las situaciones de clase pero no da condiciones sobre los problemas susceptibles de servir
eficazmente como contenidos en estas situaciones. Dicho de otro modo, no estudia particularmente las
relaciones entre contenidos y situaciones.
Frente al mismo problema de la formación de los conocimientos, G. Vergnaud declara, luego de Piaget
en una fórmula esquemática: “la acción es fuente y criterio del saber”. Aquí acción puede querer decir
resolución de problemas. Problema tomado en el sentido amplio de situación problemática ubicada en un
campo conceptual apropiado. La consideración de tal campo contribuye a dar sentido al problema y a los
distintos conceptos en juego. Permite explicar en parte, las conductas de resolución. Además, insistimos, como
G. Vergnaud y otros, sobre el rol del tiempo en la construcción de los conocimientos. A menudo son necesarios
varios años para construir un concepto. Finalmente todo otro orden de explicación abordado en los trabajos de
Y. Chevallard toma en cuenta las convenciones y hábitos en la construcción de los conocimientos.
En cuanto a nosotros, somos proclives, para lograr nuestro objetivo, a proponer realizaciones de
aprendizaje en clase. Lo haremos, por una parte apoyándonos sobre la teoría de las situaciones (Br.1), y por
otra, formulando sobre el aprendizaje, hipótesis complementarias a las de Piaget, Vergnaud y otros.
En contraposición vamos a precisar y sistematizar un juego de regulaciones cuyo objetivo es el
aprendizaje de las matemáticas del CP al CM2. Como se trata de situaciones de clase privilegiaremos lo que
puede tener una realización efectivamente colectiva.
2. A propósito de la enseñanza
Las características a considerar para delimitar la enseñanza en tanto que objeto de estudio son de
varios órdenes y no obstante imbricadas. Señalaremos tres.
Algunas están implicadas en toda forma de enseñanza. Son, por ejemplo, las relativas a la actitud a
priori de los niños frente a la escuela, a la existencia de un mínimo de disciplina, de atención, a la
disponibilidad de una masa de conocimientos y hábitos en el momento de enfrentar un asunto nuevo, a una
cierta administración del tiempo escolar. Sin embargo, la determinación de esos factores y la realización más o
menos satisfactoria de las condiciones planteadas, depende, entre otras cosas, de la forma de enseñanza. Otro
orden de características trata del aspecto social del aprendizaje, de las relaciones maestro-alumnos, alumnos-
alumnos. Otras, que nos servirán para formular nuestras hipótesis, toman sentido en el seno de la enseñanza
que describimos. Previamente, precisemos el contexto en el que trabajamos. Hacemos constar lo siguiente: el
niño llega a la escuela con un cierto conocimiento, con medios, hábitos gracias a los cuales va a tratar la
información que recibirá y tomar decisiones cuando tenga que elegir. Dispone de sistemas de representaciones
y esquemas de acción. Todo ese bagaje que ciertamente difiere mucho en cada individuo, del que el docente
puede intentar hacer abstracción si lo desea, existe, sin embargo, y constituye una parte de la personalidad del
niño. Los aportes exteriores a la escuela (T.V., amigos, familia, ...), continúan produciéndose a todo lo largo
de la escolaridad . Por otra parte, el objetivo del maestro es un objetivo de aprendizaje. Tiene la
responsabilidad de conducir al conjunto de alumnos de su clase a disponer de modo eficaz de algunos
conocimientos y habilidades. Desde este punto de vista, es responsable ante la Institución, los alumnos, los
padres. El objeto de la enseñanza es determinado por la Institución, no por el maestro. Este sólo tiene la
responsabilidad de los medios que utilizará para lograr su objetivo. Algunos de esos medios están controlados
por los consejos e instrucciones que recibe por vía jerárquica. Otros serán conciliados en clase con los
alumnos. Es en este contexto, que el alumno de escuela primaria debe construir los conceptos matemáticos.
3. A propósito de las matemáticas

4. a) Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter
“objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite
resolver. Un concepto toma sentido por su carácter “instrumento”. No obstante, ese carácter pone en juego las
relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema. Es decir, desde una óptica
instrumental, no se puede hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente
alrededor de un concepto principal (cf. campo conceptual G. Vergnaud 1). También el aprendizaje deberá
considerar tal conjunto.
Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema justificando el
uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento puede ser adaptado a varios tipos
de problema. Recíprocamente, varios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No
obstante,cada uno tiene un cierto ámbito de validez.
Los instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos: físico, geométrico, numérico, gráfico y
otros; teniendo cada marco sus objetivos, relaciones y formulaciones.
Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tiene su lugar
en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido
socialmente.
La actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigación
profesional (cf. apéndice), consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede
declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación propio de
las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de instrumentos para resolver problemas.
Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir nuevamente.
Se convierte así, en objeto de saber.
b) En relación con el alumno
Para el alumno, el carácter instrumental puede ser implícito o explícito. Describamos al situación más
precisamente. Un alumno es enfrentado a un problema que debe resolver. Esto forma parte de su pacto con el
maestro. Sus propias concepciones le permiten poner en juego un procedimiento gracias a nociones y técnicas
que sabe utilizar, sobre las cuales puede hacer manifestaciones pero de las que no necesariamente conoce las
condiciones de uso y sus límites.
Admitamos que resuelva así, al menos parcialmente, su problema.
El observador exterior puede reconocer que las hipótesis matemáticas que justifican las decisiones del
alumno son satisfechas, sin que el alumno esté en condiciones de formularlas. Esas nociones que el observador
exterior reconoce, diremos que el alumno las hace funcionar implícitamente, o que pone en marcha
instrumentos conceptuales implícitos o, simplemente, instrumentos implícitos.
Por el contrario, si el alumno puede formularlas y justificar su empleo diremos que usa instrumentos
explícitos. Por otra parte, el dominio de validez de los instrumentos de que dispone el alumno evoluciona en el
transcurso de la escolaridad.
Por fin, llamaremos “práctica” a todo uso adaptado, por los alumnos, de instrumentos explícitos o
implícitos, sea que esos instrumentos hayan sido objeto de institucionalización o no.
4. A propósito de las relaciones entre matemáticas, enseñanza y aprendizaje
Recordemos que, para nosotros, tener conocimientos en matemáticas es ser capaz de provocar el
funcionamiento como instrumentos explícitos adaptados en problemas que les dan el sentido - con o sin énfasis
en la formulación del problema. Estos conocimientos intervienen para resolver problemas o para plantear
interrogantes respecto de ellos. Esto se produce en particular si las condiciones habituales de uso no son
exactamente satisfechas en el problema planteado. En este caso, tener conocimientos, es también poder
adaptarlos, hacer de todo para intentar responder igual al problema (cf. Cap. IV B 6 R4 1). Dicho de otro
modo, adoptamos un punto de vista dinámico frente al conocimiento en matemática. En estas condiciones, una
enseñanza es eficaz en la medida en que da lugar, en el alumno, a adquisiciones, en el sentido precedente, de
conocimientos matemáticos.
a) Objetos de saber - objetos de enseñanza
Y. Chevallard introdujo, el concepto de transposición didáctica (Ch.1) para informar sobre la
transformación necesaria operada sobre los conocimientos elegidos para ser enseñados antes de que estos
saberes puedan ser efectivamente enseñados. Los matemáticos aseguran la creación matemática según una
génesis que depende esencial (pero no solamente) de los problemas a resolver. La escuela desarrolla una
génesis artificial diferente, habida cuenta de las coacciones a las que está sometida: por ejemplo, la presión del

5. tiempo, la complejidad del campo científico y los problemas con el origen de la noción descontextualizada
elegida para ser enseñada y la recontextualización artificial a la que se la conduce antes del despojo
recuperado. Las convenciones sociales, los textos oficiales -programas, instrucciones, comentarios- los libros
escolares ejercen una presión determinante sobre esta transformación. Ahora bien, esos textos “ampliamente
marcados por una concepción deductivista en el andar de la matemática” son poco propicios a una
construcción de conocimientos eficaz para resolver los problemas (Bal. 1).
Para nosotros, un objeto de enseñanza debe ser “fiel” al objeto de saber al cual corresponde. Para ello,
debe tener las siguientes características:
-el concepto subyacente es un instrumento adaptado a los problemas elegidos para los alumnos.
(Dicho de otro modo, las propiedades esenciales que los científicos utilizan son mantenidas en los problemas
del alumno).
-La diversidad de los aspectos que entran en juego en la significación del concepto está
convenientemente representada en el conjunto de los problemas retenidos.
b) Objetos reales - objetos de enseñanza - Representaciones.
El comienzo de la enseñanza de las matemáticas corresponde a una modelización de lo real: el espacio
ambiente y los objetos reales desplazables. El niño puede actuar sobre el mundo real y modificarlo. Puede no
ser capaz de tener una visión global instantánea.
Un rol de las representaciones es el de dar cuenta de esta globalidad, reteniendo sólo una parte bien
elegida de la información, de modo de tener una disponibilidad permanente. Haciendo esto, se liga a los
significados primitivos (objetos reales), los significantes (representaciones, relaciones ...). A las huellas
escritas de esos significantes se unen nuevos significados de un nuevo espacio, el de las representaciones. No
se consideran aquí las razones de la elección de los significados contenidos en la enseñanza.
c) Pedagogía corriente
Esta pedagogía utiliza esencialmente y en orden invariable el método “aprendo, aplico”. Se podría
hablar de una mecánica “objeto-instrumento” y/o “significante-significado”. Se trata en efecto de una
representación de nociones matemáticas que el alumno debe aprender, seguida de problemas o ejercicios de
aplicación fabricados para que el alumno pueda utilizar lo que aprendió sin transformación. Además, debe
hacerlo según reglas de juego que no siempre son explicitadas pero que sirven de referencia para evaluar su
trabajo. A menudo el maestro “muestra” y el alumno sólo tiene que “hacer lo mismo”. Se sabe que para la
mayoría de los alumnos, esta pedagogía no conduce a una construcción de conocimientos. Destaquemos que
no hay búsqueda de juego de desequilibrios-reequilibraciones. Además, los problemas raramente ponen en
juego los caracteres esenciales de la nociones 3, es decir aquellos que justifican científicamente su uso. En
particular, los alumnos raramente son comprometidos en una dialéctica de prueba correspondiente a un
planteo abierto para ellos. Los partidarios del método “aprendo, aplico” esperan, yendo de lo general a lo
particular, dar a los alumnos elementos para varios usos y así conducirlos a un aprendizaje eficaz. Pero este
método corre el riesgo, llegado el caso, de ocultar la correspondencia significado-significante mencionada en
b). En fin, los conceptos son generalmente presentados en un cierto marco y las aplicaciones requeridas no
salen de allí.
Esto hace difíciles, por una parte, las interacciones de los diferentes marcos de intervención del
concepto y, por otra, la articulación con otros conceptos.
d) Otra organización de la enseñanza de las matemáticas.
Para construir una enseñanza diferente, restituyendo su sentido a los instrumentos que los alumnos
utilizan, asegurando a los objetos correspondientes una presentación institucional, debemos caracterizar otra
organización de la enseñanza.
En esta organización, el enseñante tiene en cuenta oficialmente la construcción del saber de los
alumnos por los alumnos mismos. Esta organización está fundada desde el punto de vista cognoscitivo, sobre
tres puntos: la dialéctica instrumento-objeto; la dialéctica viejo-nuevo; el juego de marcos. Desde el punto
de vista de los intercambios del alumno con el medio en el seno del cual evoluciona, la organización se apoya
en las tres formas de dialéctica (acción, formulación, validación) (G. Br. 1) y también sobre las
intervenciones del enseñante en momentos bien elegidos por él. Finalmente, desde el punto de vista del
3
Es verdaderamente incompatible con este tipo de enseñanza. En efecto, una enseñanza sólo es admisible para el
maestro si le garantiza un porcentaje de éxito en su clase. Esto lo conduce, en el método “aprendo-aplico”, a no
ejecutar grandes problemas o a seccionarlos en pequeñas cuestiones.

6. contrato didáctico, la organización necesita una institucionalización de conocimientos y un medio para que
el alumno controle por sí su aprendizaje. Más adelante describimos este funcionamiento, remarcando las dos
palancas sobre las cuales decidimos actuar: el sentido (dialéctica instrumento-objeto) y el juego de
desequilibrios-reequilibraciones (juego de marcos), y describiendo para eso un cierto rol del enseñante.
5. Dialéctica instrumento-objeto
El funcionamiento de la dialéctica instrumento-objeto (D.I.O.)4 está caracterizada por la organización
esquemática siguiente:
Dado un problema inicial:
Fase a) “antiguo”:
La primera etapa consiste en la puesta en marcha de un objeto conocido como instrumento explícito
para iniciar un procedimiento de resolución del problema o por lo menos de una parte del problema. Es decir,
se moviliza lo “antiguo” para resolver parcialmente el problema.
Fase b) búsqueda:
En la 2da. etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su problema; ya sea
porque su estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en riesgo de errores, en incertidumbre sobre
el resultado ...) o porque esta estrategia no funciona más. Se orienta al alumno para que busque otros medios
mejor adaptados a su situación. Reconocemos allí el comienzo de una fase de acción. El alumno puede
entonces poner en macha implícitamente instrumentos nuevos, por la extensión del campo de validez, o por su
naturaleza misma. Esquemáticamente hablaremos en esta etapa de “nuevo implícito”. Desde la óptica de los
alumnos, las concepciones en juego (si es posible colectivamente) en ese momento, entrarán en conflicto o en
resonancia con las antiguas. Los errores o contradicciones pueden convertirse en las posturas de procesos
dialécticos de formulación y validación para resolver los conflictos y asegurar las integraciones necesarias.
Pero puede ser también que convicciones contradictorias queden sin respuesta siendo fecundas (cf. II la
búsqueda de un cuadrado de área dada).
Fase c) explicitación:
En la etapa anterior algunos elementos tuvieron un rol importante, casi decisivo y son susceptibles de
ser apropiados para ese momento del aprendizaje. Están formulados en términos de objetos o en términos de
prácticas; con su condición de empleo circunstancial. Se trata de “nuevo explícito” susceptible de reempleo y
familiarización.
Intervención del maestro
Puede suceder que durante el transcurso de las fases b) o c), el maestro se de cuenta de que la
situación peligra con bloquearse si no interviene o que lo descubra demasiado tarde y tenga que desbloquearla.
Según su análisis de la situación didáctica, debe tomar la decisión de intervenir o no, y si es necesario, tendrá
que elegir el momento y la forma de la intervención respetando la libertad de acción de los alumnos
(incertidumbre).
Fase d) institucionalización:
El maestro pasa, desde ese momento, a una etapa de institucionalización de lo que es nuevo y retiene
con las convenciones en curso, eventualmente definiciones, teoremas y demostraciones. Esto nuevo que se
retiene está destinado a funcionar, posteriormente como antiguo.
Fase e) Familiarización – reinversión
A continuación damos a los alumnos diversos problemas destinados a provocar el funcionamiento
como instrumentos explícitos de lo que ha sido institucionalizado, a desarrollar hábitos y destrezas, a integrar
el saber social con el saber del alumno. Esos problemas simples o complejos sólo ponen en juego lo conocido.
Fase f = a) complejidad de la tarea o nuevo problema:
Quedan por utilizar los nuevos conocimientos dentro de una situación compleja que implica otros
conceptos conocidos o buscados por el aprendizaje.
El nuevo objeto es susceptible de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica
instrumento-objeto.
4
En francés D.O.O.

7. Observaciones
1) Esta descripción del funcionamiento de la dialéctica instrumento-objeto no implica que cada ciclo
llegue necesariamente a una extensión del saber del alumno, socialmente reconocido. Para un mismo alumno y
para un mismo objeto, pueden ser necesarios varios ciclos.
2) Es posible que hábitos y prácticas familiares esperen muchos años antes de que aparezcan objetos
de saber (II variables - funciones). El proceso que acabamos de describir comprende varias fases basadas en
un problema a resolver que comprende a todos los alumnos.
Sin embargo, si la colectividad “clase” resuelve el problema, todos no reaccionarán individualmente de
la misma manera, frente al saber contenido en el problema, frente a conocimientos-instrumentos movilizados.
En las situaciones de comunicación, el saber se difunde diversamente según los alumnos. Oficializar algunos
conocimientos que sólo han sido útiles, darles categoría de objeto matemático es una condición de
homogeneización de la clase y para cada uno una manera de jalonar su saber y por ende, de asegurar su
progresión. Esta es la función principal de las situaciones de institucionalización. Otra función es la de
integrar el saber social, los hábitos y las convenciones con el saber del alumno.
Además, la estructuración personal del saber es de vital importancia en matemática para que exista
efectivamente saber. Esta estructuración ha estado muy comprometida en el proceso desarrollado. No
obstante, para perfeccionarla, el alumno tiene necesidad de poner a prueba eventualmente en renovados
ensayos, solo, los conocimientos que cree haber adquirido y determinar lo que sabe. Ésta es la función de los
ejercicios.5
En esa estructura que podemos llamar “actividades - institucionalización - ejercicios”, hemos
demostrado toda la importancia del primer término. Sin los otros dos términos, su incidencia en la
apropiación de conocimientos correría el peligro de ser insuficiente para el alumno.
Destaquemos que no es necesario que todas las nociones deseadas por el aprendizaje sean introducidas
en una dialéctica instrumento-objeto. Algunas pueden estar dadas directamente por el enseñante o por la
lectura de un manual. El docente debe definir una estrategia para la distribución entre problemas y aporte
directo para la organización de la materia que se va a enseñar y definir una estrategia de adaptación a las
reacciones de la clase, para una determinada organización.
6. Juego de marcos
El juego de marcos traduce la intención de explotar el hecho de que la mayoría de los conceptos puede
intervenir en distintos dominios, diversos marcos físico, geométrico, numérico, gráfico u otros. Para cada
uno de ellos se traduce un concepto en términos de objetos y relaciones que podemos llamar los significados
del concepto en el marco. Los significantes que tiene asociados pueden eventualmente simbolizar otros
conceptos en el marco de los significados. Es el caso de representaciones gráficas de funciones y de
representaciones en el plano, de conjuntos de elementos materiales; algebraicos u otros, cuyas propiedades
geométricas, topológicas o combinatorias podemos estudiar. Esto se obtiene de las correspondencias entre
significados de un mismo concepto en marcos diferentes, por un lado, y entre significados de conceptos
diferentes representados en el mismo marco por los mismos significantes, por otro. Pero, para los alumnos en
tren de aprendizaje, los conceptos funcionan de manera parcial y diferente según los marcos. Por consiguiente,
las correspondencias están incompletas.
Además, ese estado heterogéneo de los conocimientos varía según el alumno. Para introducir y
suscitar el funcionamiento de los conocimientos, elegimos problemas donde aquellos intervienen en dos marcos
como mínimo. Privilegiamos los marcos en los que la imperfección de correspondencias creará desequilibrios
que se trata de compensar. Es el caso, por ejemplo, si se verifican las dos condiciones siguientes:
-las significantes de un marco representan significados de conceptos distintos, teniendo cada uno sus
propiedades. El estudio autónomo de uno de los sistemas de significados puede entonces conducir a resultados
cuya traducción en otro sistema, provee enunciados no previsibles o no evidentes. Es así como la
intradisciplina puede accionar eficazmente.
-las adquisiciones de los alumnos son diferentes en cada uno de los marcos, para cada uno de los
significados. Lo esfuerzos desplegados para la búsqueda de un equilibrio podrán traducirse en una superación
del objetivo fijado provocando un nuevo desequilibrio y así sucesivamente hasta la construcción de un modelo
estable para todas las operaciones que quieran hacerse.
5
Cualquiera sea el tipo, y sabemos que hay toda una panoplia.

8. Intervención del enseñante
La gestión hecha por el maestro, en el momento de balances locales y ejercicios que se apoyan en las
producciones de los alumnos durante sus búsquedas, los diferentes cambios de marcos realizados por los
alumnos, los recuerdos y balances globales que el maestro organiza y anima son otros tantos medios de
difusión de los conocimientos dentro de la clase. Esos momentos se sitúan en el transcurso de la fase b), para
prever o superar un bloqueo eventualmente local, o en el curso de las fases c) o e) (III juego del blanco,
crónica).
7. Condiciones sobre los problemas susceptibles de comprometer una D.I.O. (Dialéctica
Instrumento-Objeto)
Quedan por expresar algunas condiciones sobre los problemas para que ciertas relaciones del
alumno con el problema estén aseguradas, y que la dialéctica instrumento-objeto y el juego de marcos sean
posibles.
Enunciamos las condiciones que hemos conservado 6
a) El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno.
b) El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es
independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o una validación de una proposición
de respuesta.
c) Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede emprender un procedimiento. Pero la
respuesta no es evidente. Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar
una argumentación que lo conduzca a preguntas que no sabe responder inmediatamente.
d) El problema es rico 7. Lo que significa que la red de los conceptos implicados es bastante
importante, pero no demasiado para que el alumno pueda administrar su complejidad, si no solo, por lo menos
en equipo o dentro de la colectividad clase.
e) El problema está abierto8 por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la
variedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al
alumno.
Las condiciones c), d), e), eliminan un recorte del problema en preguntas demasiado pequeñas.
f) El problema puede formularse en dos marcos diferentes, teniendo cada uno su lenguaje y su
sintaxis y cuyos significados constituyentes forman parte, parcialmente, del campo de conocimientos del
alumno.
g) El conocimiento buscado por el aprendizaje es el medio científico de responder eficazmente al
problema. Es un instrumento adaptado.
8. Nuestras hipótesis
La organización que proponemos, por su carácter interactivo (instrumento-objeto, cambios de marcos
...), obliga al alumno a tratar una información a menudo abundante, que emana de varias fuentes y que se
expresa indistintamente, con correspondencias (voluntariamente) parciales entre los diversos modos de
expresión.
La situación es por construcción, motivo de desequilibrio. La búsqueda para mejorar las
correspondencias y la argumentación desarrollada con este fin, son medios de reequilibración.
Esto nos conduce a plantear las siguientes hipótesis:
a) Podemos construir efectivamente conocimientos haciendo jugar la dialéctica instrumento-objeto en
dos marcos, por lo menos, respetando sin embargo los umbrales de dos tipos:
-Existe una masa crítica heterogénea de conocimientos antiguos y de hábitos, culturales y técnicos (los
pre requeridos) bajo forma de instrumentos explícitos en un campo conceptual dado que permita al alumno
adentrarse en la resolución de un problema relevante de ese campo y por consiguiente, comprometer la
dialéctica instrumento-objeto.
-Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se conecta (condiciones 1),
2) y 3). Relaciones alumno-problema).
6
Para categorías de problemas (Gl. 1).
7
Complejidad y apertura son nociones relativas al alumno. Un problema es rico y abierto para una clase si lo es para
una cantidad considerable de alumnos de la clase. Por ejemplo el 80%.
8
Aclarado en 7.

9. b) La realización de las condiciones descriptas en a) supone otra hipótesis: para un determinado
número de objetos matemáticos podemos encontrar problemas que solicitan dos o tres marcos entre los cuales
una dinámica es posible y susceptible de crear la dialéctica instrumento-objeto. Tal vez esto sirva para
relacionar la eficacia a la hipótesis a).
c) Hay una masa crítica de conocimientos a adquirir por el proceso descrito en a).
-gracias a lo cual es posible integrarlos con otros conocimientos adquiridos de otro modo, por
ejemplo, por medio de la mecánica objeto-instrumento y que funcionarán eficazmente, debajo de lo cual el
“aprendo-aplico” es ineficaz par la mayoría de los alumnos.
d) Para realizar una enseñanza que tome en cuenta las hipótesis anteriores, falta precisar la
articulación entre la dialéctica instrumento-objeto y su gestión en el marco de la clase. Al maestro le cabe toda
la responsabilidad. De allí la necesidad de plantear otra hipótesis:
-Podemos formar maestros capaces de poner en marcha la dialéctica instrumento-objeto.
De hecho, hay otras dificultades en lo que respecta al maestro y en la relación ternaria maestro-
alumno-saber.
9. Punto de vista del enseñante – incertidumbre del enseñante y del alumno.
Casi todas las experiencias que se apoyan en las hipótesis formuladas precedentemente revelaron, en
cuanto a los enseñantes, un atractivo y un malestar para poner en marcha el tipo de enseñanza que
ambicionan. La inclinación se explica por el hecho de que el maestro está convencido de la importancia de la
actividad del alumno en la adquisición de sus conocimientos.
Por otra parte, el maestro tiene un contrato con la institución escolar, con los padres, con los alumnos.
Este contrato lo compromete a asegurar y aún a garantizar la progresión del saber de los alumnos y por lo
mismo le impone presiones. Más precisamente, el enseñante tiene la tarea de guiar a los alumnos de su clase,
en su conjunto (y no a un reducido número de ellos), de un estado supuesto de conocimientos, caracterizado
por un grupo de conceptos y relaciones (entre conceptos), a otro estado de conocimientos caracterizado por
otro grupo. El trabajo cognoscitivo del alumno consiste entonces en crear el nuevo grupo con la ayuda del
maestro y también de sus propias adquisiciones (las que no son únicamente producciones de la escuela) y,
circunstancialmente contra sus concepciones primitivas. La progresión del saber a mediano y largo plazo está
establecida por la institución (programas) y el maestro en su totalidad debe respetarla. Para eso debe prever y
organizar la progresión a corto término entre dos marcos impuestos. Se tranquiliza si su progresión
efectivamente realizada a corto plazo, respeta sus previsiones.
Pero el maestro ¿puede garantizar que los alumnos, en su conjunto lo haya seguido en su
progresión y haya alcanzado el objetivo propuesto?. Para que los alumnos puedan alcanzar su tarea de
aprendizaje, el docente debe transmitirles el deseo de aprender y convencerlos de que, con su ayuda, ellos
podrán lograrlo. No podemos olvidar que la percepción que los alumnos tienen del maestro es para éste un
elemento importante en sus elecciones didácticas. Establece un equilibrio entre las distintas presiones (de toda
naturaleza) en las que está inmerso. Nuestras hipótesis conducen a un cambio de esta percepción. Un
desequilibrio y un malestar se desencadenan mientras llega el establecimiento de un nuevo equilibrio.
Admitimos que el docente prevé, en su progresión, una fase de acción. Para que la acción sea real, es necesario
que el alumno tome iniciativas, haga elecciones entre posibilidades diversas, que pueda plantear preguntas
anexas y relacionar jalones intermediarios pertinentes para su problema. Recordemos oportunamente que la
acción es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos; esto le permite modificar las
condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados. Para que el juego de la acción pueda
desarrollarse de manera satisfactoria, la situación debe dejar un margen de libertad al alumno, que le permita
especialmente explotar lo contingente y hacer jugar sus comportamientos cognoscitivos propios. Es decir, la
situación debe implicar una parte de incertidumbre. De esta manera, se hace cargo de las diferencias posibles
entre los alumnos. Admitimos que el docente tenga en cuenta los comportamientos y producciones de los
alumnos en la organización y el contenido de sus secuencias de enseñanza. En cuanto a la trayectoria
cognoscitiva de cada alumno, el maestro, inevitablemente, asistirá a una incertidumbre que tiene
consecuencias:
-Primeramente es una duda sobre los contenidos que podrá institucionalizar y sobre el momento de su
institucionalización. En efecto, hay que prever otro ordenamiento del tiempo escolar, por ejemplo para una
cuestión dada, una prolongación del tiempo de trabajo del alumno a corto plazo. A largo plazo, podemos
pensar que no es lo mismo. Más aún, podemos apostar a un conocimiento mejor construido, mejor
estructurado y en consecuencia más eficaz, más ágil y más adaptable a los imprevistos. A mediano plazo (que
preocupa al maestro) la trayectoria real global de la clase peligra con desviarse notablemente de la trayectoria
prevista. El maestro puede aceptar una desviación demasiado pronunciada, incompatible con sus dificultades.

10. -Es también una incertidumbre con respecto a la evaluación de los alumnos, es decir, sobre el control
de su aprendizaje. Es su responsabilidad de enseñante la que está en juego.
Por todas estas razones, el malestar evidenciado no nos sorprende. Señalemos, sin embargo, que
hemos encontrado enseñantes completamente cómodos en lo que hace al control de esas situaciones de
aprendizaje.
En resumen, para que el conjunto de alumnos de una clase alcance un objeto cognoscitivo fijado por el
maestro, éste debe resolver una contradicción:
-si a priori establece una manera de alcanzarlo, no tiene ninguna garantía de que los alumnos lo sigan;
-si sigue a los alumnos, corre el riesgo de perder el control del objetivo apuntado.
Esta contradicción por parte del enseñante están en dualidad con la contradicción del alumno. Este
debe enfrentar lo desconocido con los medios conocidos que posee. Debe responder al pedido del maestro:
aprender sus lecciones y resolver sus problemas. Pero tiene una duda: no está seguro de saber desempeñarse,
aún si aprendió bien sus lecciones. La construcción del conocimiento para el alumno, corresponde a la
resolución de una contradicción; cómo relacionar lo nuevo con lo desconocido, cuando la mayoría de los
medios de acción no muestran lo conocido, y si lo hacen, cómo controlar lo nuevo que se ha producido.
Generalmente pensamos que la enseñanza debe resolver una contradicción entre la necesidad de
ubicarse en la continuidad de lo que saben los alumnos y la necesidad de hacer progresar el conocimiento
(“Hacer avanzar el tiempo del saber”, dice Yves Chavallard) y por consiguiente introducir lo nuevo que puede
estar en oposición con lo antiguo. Los dos polos de esta contradicción son, por una parte, la acción propia del
alumno (tanto en un contexto familiar donde puede movilizar lo conocido, como en un contexto nuevo donde la
acción es a priori imposible y donde no tiene habilidad) y por otra, el aporte exterior: el maestro es actor
cuando hace su “curso”, corriendo el riesgo de que el alumno no pueda internalizarlo y no pueda revertirlo en
un contexto donde desplegar su inteligencia. Desde el punto de vista mencionado, toda enseñanza viene a
privilegiar en el tiempo (lo que no quiere decir “reducir a”) uno de los polos (o los dos alternativamente), en
detrimento del otro: por ejemplo, la pedagogía corriente privilegia al curso, la pedagogía activa a la acción; lo
que proponemos es un sistema alternativo e interactivo.
Dicho esto, cualquiera sea el sistema elegido de enseñanza, el enseñante en posición de control de uno
de los polos, pierde el control del otro. Surge entonces una duda cuya magnitud depende de la elección:
-Para el maestro ¿Qué curso debe hacer? ¿Qué conocimientos han adquirido los alumnos? ¿Qué
situaciones controlan los alumnos con los conocimientos adquiridos?
-Para el alumno: “¿Sabré resolver los problemas que se me plantearán?”
Observemos que no hay más vacilaciones si el alumno se encuentra en la fase de acción donde no está
obligado a dar una respuesta final. Si bien es cierto que la progresión del saber del alumno no puede hacerse
en forma continuada, el enseñante está obligado a variar entre lo que el alumno conoce y desconoce. Esto nos
conduce a formular una suerte de “principio de duda”.
Formulamos la hipótesis de que todo sistema de enseñanza comporta una duda: para los alumnos si el
polo “curso” está favorecido, para el maestro: si lo está el polo “acción”. Nuestras proposiciones de enseñanza
vienen a distribuir en el tiempo la duda entre el maestro y el alumno. En relación a la pedagogía “curso-
ejercicio”, provocan así un desplazamiento de la duda y por consiguiente del malestar del alumno (en cuanto a
sus adquisiciones) hacia el maestro (en cuanto al desarrollo del tiempo del saber).
Este desplazamiento de la inseguridad es, desde nuestro ángulo, beneficioso para el alumno pero con
algunas condiciones.
Para el alumno como para el maestro, la duda sólo es aceptable si puede ser controlada. El maestro la
controla gracias a las fases de institucionalización en cuyo transcurso fija el saber que todos deben tener en
común, en la clase. Controla los conocimientos y medios de acción de los alumnos por medio de ejercicios y
problemas que les hace hacer. Además la dialéctica instrumento-objeto y los juegos de marcos, por la
superabundancia de información y la necesidad de coherencia que provocan, dan al alumno medios de control
y de modificación de la situación. Pero para insertarse la dialéctica instrumento-objeto necesita que los
alumnos dispongan de cierta libertad de acción, lo que autoriza el sistema. Los problemas y ejercicios
representan para el alumno, la ocasión de familiarizarse con el saber institucionalizado, de controlar sus
adquisiciones y así determinar su estructuración personal. También el alumno domina su inseguridad.
Este hecho de la inseguridad, tanto para el maestro como para el alumno, es un elemento importante
en las relaciones enseñanza-aprendizaje. Por eso la formación de los maestros debería comprender también el
estudio de esa gestión, especialmente de los medios para recuperar el control de la situación didáctica
respetando la duda.
Resumiendo, todas nuestras iniciativas apuntan a crear desequilibrios, pero de modo tal que los
alumnos puedan participar activamente en su propio reequilibrio dentro del plano cognoscitivo. Con tal
motivo, actuamos sobre los contenidos (dialéctica instrumento-objeto; juego de marcos), o sobre las relaciones
sociales (situaciones de comunicación, conflictos socio-cognoscitivos ...).

11. Debemos destacar que existen, sin duda, condiciones extra-cognoscitivas necesarias para que la
reequilibración sea posible para y por el alumno. Citemos, a título de ejemplo, las condiciones relativas a las
relaciones de fuerza entre los alumnos dentro de un grupo de trabajo (ya se trate de un pequeño equipo o de
toda la clase), a las relaciones afectivas entre el maestro y los alumnos, al interés que manifiestan los padres
por el trabajo de sus hijos, etc..