Guía de matemáticas para ingenierías y ciencias

Presentaciń
o
El grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas de la Universidad
a
Tecnol´gica de Pereira que durante aõs han venido orientando el primer curso
o n
de matem´ticas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida en
a
la educaciń superior en los programas de: Ingenier´
o ıas, Tecnolog´ıas, Quimica
Industrial, Administraciń del medio Ambiente, y Licenciatura en Matem´ticas
o a
y F´ısica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboraciń de este
o
material con el objetivo de facilitar la comprensiń y desarrollo de todos los temas
o
que se exponen en ´l.
e

Aqu´ encontrarń gran cantidad de talleres con sus respuestas sistem´ticamente
ı a a
presentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenido
de la asignatura; permitiendo que el alumno avance hacia la consecuciń de las
o
habilidades y competencias necesarias que le darń la solidez matem´tica para
a a
afrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas bases
matem´ticas.
a

Es de recalcar que los talleres aqu´ planteados requieren fundamentalmente tan
ı
solo de los elementos te´ricos que el docente entregar´ en cada clase, siendo esto
o a
ventajoso dado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un texto
gu´ıa.

Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en gran
medida a los t´picos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con soltura
o
para poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemas
propuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matem´ticas I
a

Profesores Matem´ticas I
a

Departamento de Matem´ticas - UTP - Talleres de Matem´ticas I
a a

1 Preliminares
1.1 El sistema de los n´meros reales
u
1.2 El orden y la recta num´rica
e
1.3 Valor absoluto
1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros
1.5 Exponentes racionales
1.6 Expresiones algebr´icas
a
1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable
1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita
1.9 Secciones c´nicas
o

1.1. El sistema de los n´ meros reales
u
Empezaremos con algunos de los conjuntos b´sicos de n´meros con los que ya
a u
est´ familiarizado:
a

Los n´ meros naturales
u N = {1, 2, 3, 4, ...}

Los n´ meros enteros
u Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

p
Los n´ meros racionales
u Q= | p, q ∈ Z, q = 0
q
El n´mero asociado con la recta num´rica se llama coordenada del punto.
u e
Los n´meros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:
u

1. Elige un punto cualquiera de la recta. As´
ıgnele el valor 0.

2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y as´
ıgnele el valor 1.

La distancia entre ambos puntos ser´ la unidad de medida de longitud. Si marcas
a
esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo
mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y as´ sucesivamente representas todos los
ı
n´ meros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....
u

1

a a

Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los n´meros negativos
u
-1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina n´ meros enteros
u

Figura 1: N´meros enteros
u

Los n´ meros racionales se asocian con puntos sobre la recta num´rica. Para
u e
representar el n´mero 2,5 que es un n´mero comprendido entre 2 y 3, dividimos el
u u
segmento entre los n´meros 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes
u
contando a la derecha desde el 2.

Despu´s de asociar cada n´mero racional con un punto de la recta num´rica,
e u e
nos encontramos que todav´ faltan puntos por asociar. Estos n´meros que no
ıa u
corresponden a ningń n´mero racional se llaman n´ meros irracionales I.
u u u
1
Los decimales finitos como por ejemplo = 0.25 y los decimales peri´dicos como
o
4
1
= 0.3333¯ representan n´meros racionales.
3 u
3
Es un hecho que los decimales que no son finitos ni peri´dicos no son n´meros
o u
racionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar como
el cociente de dos enteros.

Este conjunto de decimales que no son finitos ni peri´dicos recibe el nombre de
√ o
n´ meros irracionales I. Por ejemplo, π, 2 son n´meros irracionales.
u u

Lo importante para nosotros es reconocer que los n´meros irracionales tambiń
u e
representan puntos sobre la recta num´rica. Si tomamos todos los n´meros racionales
e u
junto con todos los n´meros irracionales (tanto positivos como negativos), obtenemos
u
todos los puntos de la recta num´rica. Este conjunto se llama el conjunto de los
e
n´ meros reales y, por lo general, se designa con la letra R.
u
Los n´meros reales R corresponden a un punto sobre la recta numerica. La siguiente
u
figura ilustra la relaciń que existe entre los conjuntos antes expuestos
o

2

a a

Figura 2: N´meros Reales
u

1.1.1 Propiedades de los n´ meros reales
u

Terminolog´ ıa Caso general
La adiciń es conmutativa
o a+b=b+a
La adiciń es asociativa
o a + (b + c) = (a + b) + c
0 es el neutro aditivo a+0=a
−a es el inverso aditivo a + (−a) = 0
La multiplicaciń es
o ab = ba
o a(bc) = (ab)c
1 es el neutro multiplicativo a1 = a
1 1
Si a = 0, es el inverso a =1
a a
o a(b + c) = ab + ac
distributiva en la adiciń
o (a + b)c = ac + bc

1.1.2 Propiedades de la igualdad

A continuaciń se enuncian las propiedades b´sicas de la igualdad
o a

Si a = b y c es cualquier n´mero real, entonces
u
1. a + c = b + c
2. ac = bc

3

a a

1.1.3 Productos en los que interviene el cero

1. a0 = 0 para todo n´mero real a
u
2. Si ab = 0, entonces a = 0, o bien b = 0

1.1.4 Propiedad de los n´ meros negativos
u

Propiedad Ejemplo
−(−a) = a −(−3) = 3
(−a)b = −(ab) = a(−b) (−2)3 = −(2 · 3) = 2(−3)
(−a)(−b) = ab (−2)(−3) = 2 · 3
(−1)a = −a (−1)3 = −3

1.1.5 Notaciń para los n´ meros rec´
o u ıprocos
1
El rec´
ıproco de un n´mero a distinto de cero, se representa con frecuencia,
u
a
con a−1 , como se ve en la siguiente tabla

Definiciń
o Ejemplo
1 1
Si a = 0, entonces a−1 = • 2−1 =
a 2
3 −1 1 4
• = 3 =
4 4
3

1.1.6 Sustraciń y divisiń
o o
Las operaciones sustraciń (−),
o y de divisiń
o (÷), se definen como sigue:

Definicińo Ejemplo
a − b = a + (−b) 3 − 7 = 3 + (−7)
1 1
a÷b=a . = ab−1 ; b = 0 3÷7=3 = 3 × 7−1
b 7

1.1.7 Propiedades de los cocientes
Las siguientes propiedades de los cocientes son v´lidas, siempre que los
a
denominadores sean n´meros reales distintos de cero.
u

4

a a

Propiedad Ejemplo
a c 2 6
1. = si ad = bc = porque 2 × 15 = 5 × 6
b d 5 15
ad a 2×3 2
2. = =
bd b 5×3 5
a −a a 2 −2 2
3. = =− = =−
−b b b −5 5 5
a c a+c 2 9 2+9 11
4. + = + = =
b b b 5 5 5 5
a c ad + bc 2 4 (2 × 3) + (5 × 4) 26
5. + = + = =
b d bd 5 3 (5 × 3) 15

a c ac 2 7 2×7 14
6. × = × = =
b d bd 5 3 5×3 15

a c a d ad 2 7 2 3 6
7. ÷ = × = ÷ = × =
b d b c bc 5 3 5 7 35

a
Nota: Si a es un n´mero distinto de cero, entonces: esta indefinido, mientras que
u
0
0 0
= 0 y es indeterminado.
a 0
Taller 1

1. Evalé las expresiones num´ricas
u e

a. 3 + (−6) − (+4) − (−8) b. (−6)(−2)(−3) c. −2 − 3,552
d. −4 + 7,29 e. −2[3 − (2 − 5)] f. 2 − (−3)2
3 2 1
g. 6 − [4 − (5 − 8)2 ] h. 9 − 3 − [6 − 2(9 − 4)2 ] i. − +
4 3 2
2. Escriba cada expresiń como una
o fracciń simple reducida a su m´
o ınima
expresiń
o
3 2 2 1 3 1
3+ 4− − −
a. 5 b. 3 c. 3 2 d. 5 2
1 2 1 2 7
5− −6 + −2
8 5 8 5 10

5

a a

3. Reemplace el simbolo con = o bien con = para que el enumerado se
cumpla con todos los n´meros reales a, b, c, d; siempre que las expresiones
u
esten deﬁnidas

ab + ac ab + ac
a. b + ac b. b+c
a a
b+c b c a+c a c
c. + d. +
a a a b+d b d
a−b
e. −1 f. −(a + b) −a+b
b−a

6

a a

1.2 El orden y la recta num´rica
e
Sean a y b n´meros reales:
u

Si a − b es positivo, a es mayor que b. Se nota a > b (> Mayor que)
Si a − b es negativo, a es menor que b. Se nota a < b (< Menor que)
Si a − b es cero, a es igual a b. Se nota a = b (= Igual a)

a>b si y solo si a − b ∈ R+
a<b si y solo si a − b ∈ R−
a=b si y solo si a−b=0

El conjunto de los n´meros reales es un Campo ordenado.
u

Teorema 1. Axioma de tricotom´ Para todo a y b reales, una y s´lo una de las
ıa o
proposiciones siguientes es v´lida:
a
a > b, a = b ´ a < b
o

ımbolo ≤ significa ”menor o igual que”: 5 ≤ 6,
1. El s´ 6 ≤ 6.

ımbolo ≥ significa ”mayor o igual que”: 6 ≥ 5,
2. El s´ 6≥6

3. La doble desigualdad a < x < b, es una combinaciń de dos desigualdades:
o
a < x, y x < b que deben satisfacerse simultńeamente: −2 < x < 5: x
a
est´ entre −2 y 5.
a

En el campo de los reales:
1. Si a, b, c son n´meros reales tales que a > b y b > c, entonces a > c. Propiedad
u
Transitiva.

2. Si a, b son reales y a > b entonces a + c > b + c, para todo c que pertenezca a
los reales.

3. Si a, b son reales y a > b entonces ac > bc, para todo c que pertenece a R+

4. Si a, b son reales y a > b entonces ac < bc, para todo c que pertenece a R−

5. Si a, b pertenecen a R y si ab > 0 entonces (a > 0 y b > 0) ´ (a < 0 y b < 0
o
)

6. Para todo real a, a2 ≥ 0

7

a a

7. Si a > b siendo a y b positivos entonces a2 > b2
1
8. Si a > 0, >0
a
9. Si a > b y c > d, a + c > b + d
1 1
10. Si a, b, c y d son positivos y a > b, >
b a
Ejemplo Determine la veracidad o no de los siguientes enunciados:
a) 6 > −2 (V) e) 18 > 24 (F) i) −15 < −12 (V)

12 12
b) 4 < 12 (V) f) < (V) j) 9 > −1 (V)
7 5

c) −4.50 < 2.26 (V) g) −2 = 2 (F) k) −9 > −11 (V)

3 1
d) π < −2e (F) h) < −0.35 (F) l) > −2 (V)
5 16
ımbolo 2 con <, > ´ =
Ejemplo Reemplace el s´ o
28
−7 2 −
4
−7 × 4 2 − 28 × 1
−28 2 − 28
−28 = −28

Taller 2

ımbolo 2 con <, > ´ =
1. Reemplace el s´ o
1 8 45 9 12 13
a.− 2 − b. − 2 − c. − 2 −
3 23 10 2 7 8
3 3
d. 2
25 22

2. En cada caso ordene de menor a mayor y represente en una recta num´rica:
e
3 5 5 −2 3 7 6 4 1 −5 1 4 −5
a. − , , , b. − , , , c. − , , , ,
8 −11 7 −3 2 9 8 −5 3 2 3 7 −3

3. Por que no tiene sentido escribir:
a) −2 < x < −4
b) 2 > x > 5

8

a a

1.2.1 La notaciń de intervalos
o
Otra manera de expresar conjuntos de n´meros descritos por desigualdades es
u
utilizando la notaciń de intervalos. Esta notaciń es una manera conveniente
o o
y compacta de representar intervalos en la recta num´rica. Empezaremos con
e
intervalos acotados, es decir, intervalos que tienen dos extremos.

Utilizaremos parńtesis para indicar que un extremo no est´ incluido, y corchetes
e a
para indicar que se incluye el extremo.

Intervalos acotados
{x|a ≤ x ≤ b} [a, b]
{x|a < x < b} (a, b)
{x|a ≤ x < b} [a, b)
{x|a < x ≤ b} (a, b]

Intervalos no acotados
{x|x ≥ a} [a, ∞)
{x|x > a} (a, ∞)
{x|x ≤ a} (−∞, a]
{x|x < a} (−∞, a)

ımbolos −∞ y ∞ no representan n´meros; son simplemente s´
Los s´ u ımbolos que
nos recuerdan que el intervalo continá por siempre, o aumenta (o disminuye) sin
u
ımbolo ∞.
fin. Por lo tanto, siempre escribimos un parńtesis junto al s´
e

Recordemos que siempre que utilizamos la notaciń de intervalos, estamos
o
trabajando dentro del marco del sistema de los n´meros reales. La l´
u ınea gruesa de
la gr´fica seãla que se incluyen todos los puntos de la l´
a n ınea.

Ejemplo

1. Graficar las siguientes desigualdades en la recta num´rica y expresar el
e
conjunto utilizando la notaciń de intervalos.
o

a) {x|x > −3}
b) {s|s ≤ 4}
c) {t| − 2 < t ≤ 6}

9

a a

Figura 3: Conjunto soluciń
o

Taller 3
1. Exprese el enunciado en forma de desigualdad:
a. x es negativo.
b. y es no negativo.
c. q es menor que o igual a π.
d. d est´ entre 2 y 4.
a
e. t no es menor que 5.
f. El inverso aditivo de z no es mayor que 3.
g. El cociente de p y q es, cuando mucho 7.
h. El rec´ıproco de w es, cuando menos 9.

2. Grafique cada conjunto sobre la recta num´rica real:
e

a.{x|x < 4} b.{x|x > 5} c.{x| − 3 < x ≤ 2}
d.{x| − 8 < x < −2} e.{x| − 2 ≤ x < 4}

3. Grafique el conjunto sobre la recta num´rica y expreselo mediante la notaciń
e o
de intervalos.

a.{x|x < 4} b.{x|x ≤ 1} c.{x|x ≥ 5}

d. {x| − 3 < x} e. {x| − 8 ≤ x < 5} f. {x|0 < x ≤ 6}

g. {x| − 2 ≥ x} h.{x| − 3 < x < 4} i.{x| − 9 < x ≤ −2}

j. {x|0 ≤ x ≤ 6}

10

a a

1.3 Valor absoluto

De manera geom´trica, el valor absoluto de un n´mero es su distancia al cero sobre
e u
la recta num´rica.
e

El valor absoluto de x se simboliza por |x|. Por tanto:

| − 3| = 3 ya que −3 est´ 3 unidades de distancia del cero en la recta
a
num´rica.
e

Adem´s,
a

|3| = 3 ya que 3 est´ a 3 unidades del cero en la recta num´rica.
a e

Figura 4: Interpretaciń gr´fica
o a

De manera algebra´ definimos el valor absoluto de la siguiente manera:
ıca,

x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0

Definiciń Sean a,b las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente en una
o
recta coordenada l. La distancia entre A y B, notada d(A, B) = |A − B| = |B − A|.

11

a a

1.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto
1.|x| ≥ 0 2.|x| ≥ x

3.| − x| = |x| 4.|x|2 = x2

5.|x| = |y|, x = y ´ x = −y ´ −x = y
o o 6.|xy| = |x||y|

x |x|
7. = ,y = 0 8. |x − y| = |y − x|
y |y|

9.|x + y| ≤ |x| + |y| 10.|x| − |y| ≤ |x − y|

Ejemplo Escriba cada expresiń sin los s´
o ımbolos de valor absoluto
a) |π − 3| b) |3 − π| c) |x4 + 1|
d) |x − 2| e) |x + 1|

Solucion
1. Como π 3,14, entonces π − 3 es positivo, por tanto |π − 3| = π − 3

2. |3 − π| es negativo, por tanto |3 − π| = −(3 − π) = −3 + π = π − 3

3. x4 es no negativo y x4 + 1 tambiń es positivo, por tanto |x4 + 1| = x4 + 1
e

4. |x − 2| = x − 2 cuando x − 2 ≥ 0, x ≥ 2, |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2 cuando
x − 2 < 0, x < 2 por tanto
x − 2 cuando x ≥ 2
|x − 2| =
2 − x cuandox < 2

Taller 4
1. Determine el valor de cada expresiń, si x = 3, y = −2
o
a.|x + y| b.|x| + |y|
c. |x − y| d.|x| − |y|
2. Escriba cada expresiń sin los s´
o ımbolos de√ valor absoluto
a. |3 − √
5| b. |x − 5| c. | 2 − 1| d. |x + 4|
e. |1 − 2| f.|x2 + 1| g. |π − 3, 14| h. |x4 + 3|

12

a a

3. Determine la distancia sobre la recta num´rica entre cada par de puntos con
e
las coordenadas dadas.
a. 2 y 5 b. -3 y 8 c. 5 y 9 d. -8 y 4

4. La distancia entre x y a se define como |x−a|. En cada caso grafique el conjunto
soluciń sobre la recta num´rica y expr´selo mediante notaciń de intervalos.
o e e o
a. |x − 2| < 1 b. |x − 2| < 3 c. |x| < 4 d. |x − 4| < 3
e. |x − 2| ≥ 1 f. |x| ≥ 3 g. |x − 3| > 5 h. |x − 4| ≥ 3
i. |x + 2| < 1 j. |x + 2| ≥ 1

5. Calcule |x − y| − |x| − |y| si x = −1 y y = −2

13

a a

1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros
El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar n´meros en una forma
u
m´s corta. Por ejemplo: el producto 2 × 2 × 2 × 2 × 2 se expresa de la forma 25 y se
a
ˆ
lee dos a la cinco.E
o ˆ
La expresińE2 × 2 × 2 × 2 × 2 est´ en la forma expandida y la expresiń 25 es una
a o
ˆ
expresiń exponencial.EEl valor 32 es la quinta potencia de 2.
o

Definiciń La expresiń xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se conoce
o o
como la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se obtiene al
multiplicar la base n veces. Esto es, xn = x × x × x × x × ×× multiplicado por si
n veces
mismo n veces.
Ejemplo

a) La notaciń exponencial de (−3)(−3)(−3)(−3) es (−3)4 .
o

b) La notaciń exponencial de b × b × b es b3 .
o

Definiciń Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier n´mero elevado a la uno
o u
es el mismo n´mero.
u

Ejemplo 31 = 3 (17)1 = 17 (259)1 = 259

Definiciń Cualquier n´mero diferente de cero, elevado a la cero es igual a
o u
uno. Esto es, para toda base x x = 0 x0 = 1.

5
Ejemplo 30 = 1 (−5)0 = 1 ( 8 )0 = 1

Definiciń Cualquier n´mero diferente de cero y n un n´mero entero, tenemos
o u u
1
x−n =
xn
1 1
Ejemplo 2−3 = 3
=
2 8

1.4.1 Propiedades
1. Si n y m son enteros positivos y x un real: xn xm = xn+m

2. Si n y m son enteros positivos y x un real: (xn )m = xnm

14

a a

3. Si n es entero positivo y x, y reales: (xy)n = xn y n

4. Si n y m son enteros positivos, n > m y x un real, x=0:
xn
= xn−m
xm
Ejemplo

a) 32 × 35 = 32+5 = 38

b) (a + 2b)3 (a + 2b)7 = (a + 2b)3+7 = (a + 2b)10

c) (( 1 + 1 )−2 )4 = (( 5 )−2 )4 = ( 5 )−8 = ( 5 )8
2 3 6 6
6

(2a−2 b)−3 (−3ab)−2
d)
a−4
2 −3 a6 b−3 (−3)−2 a( − 2)b−2
=
a−4
2−3 (−3)−2 a6 a−2 b−3 b−2
=
a−4
−3 −2 6+(−2)−(−4) −3+(−2)
= 2 (−3) a b
= 2−3 (−3)−2 a8 b−5
a8
= 3
2 (−3)2 b5
a8
=
72b5

Taller 5 Elim´
ınense les exponentes negativos y simpliﬁquese:

1. (a5 )4

2−3
2.
3−2
3. (ar as )t

4. (x2m × x3n )4

5. (−3)3

(2x5 )(3x4 )
6.
(x2 )3

15

a a

x7
7. (−2xy 2 )5
8y 3
8. (2xn )n

9. (a−1 + b−1 ) ÷ (a + b)−1
(2x3 y −2 )
10.
(3x−2 y 3 )
2
4a0 b3
11.
a4 b

a−1 + b−1
12.
(a + b)−1
x−2 − y −2
13.
x2 − y 2
14. ((x2 y 3 )2 )3

16

a a

1.5 Exponentes racionales
Definiciń Si n es un entero positivo y a un n´mero para el cual a1/n est´ definido,
o u a
√
n
entonces la expresiń a denomina raiz n-´sima de a, donde el n´mero a se llama
o e u
cantidad subradical y a n el ´
ındice del radical.
• La ra´ principal de un n´mero positivo es la ra´ positiva
ız u ız

• La ra´ principal de un n´mero negativo es la ra´ negativa, si n es impar
ız u ız
√
• Se nota y = a1/n = n a
Nota: Si n = 2 (´
ındice del radical) entonces se omite al escribir la expresiń.
o
Ejemplo
√ √
251/2 = 2
25 = 25 = 5 ındice; 52 = 25
25 es el radicando y 2 es el ´
√
n
Definciń Si a es un n´mero real y m,
o u √ n dos enteros para la cual: a es
un n´mero real, entonces am/n = n am
u

Ejemplo
√
3
√
a) 22/3 = 22 = 3
4

b) a−(2/3) = 1
2 = 1
√ ,
3 2 a=0
a3 a

Taller 6 Reduzcanse a su forma m´s simple:
a
1. 251/2

2. x1/4 ÷ x−1/5

3. (2x1/6 y 5/6 )−6

4. (210 )−3/5

5. x1/4 x1/5

6. (x + y −1 )2

7. (x−1/4 )−1/5

8. 37/2 31/2

9. (a1/2 + b1/2 )2

17

a a

10. (125x4 y 3 ÷ 27x−2 y 6 )1/3

11. (x1/3 + y 1/3 )(x2/3 − x1/3 y 1/3 + y 2/3 )

1.5.1 Reglas de los radicales
Para cualquier entero positivo n y n´meros reales a y b donde b = 0, y si todas las
u
ra´
ıces son n´meros reales:
u

Definiciń Regla del producto de radicales
o
√
n √ √n
n
a·b= a b

Ejemplo
√ √ √ √
a) 9 × 3 = 9 3 = 3 3
√ √ √ √
b) 3 2 3 4 = 3 2 × 4 = 3 8 = 2

Definiciń Regla de la divisiń de radicales
o o

√
n
a a
n
= √
n
b b
Ejemplo
√
4
a) 4 16
= √16
4
81 81

√
48 48
√
b) √
3
= 3 = 16 = 4

1.5.2 Simplificaciń de radicales
o
Un radical est´ en su forma m´s simple si:
a a

1. El radicando no tiene factores con una ra´ en´sima perfecta.
ız e

2. No hay fracciones dentro del signo del radical.

3. No existen radicales en el denominador.

18

a a

Nota: La regla del producto se usa para hallar las ra´
ıces perfectas de los factores
del radicando.

La regla de la divisiń de radicales se usa cuando las fracciones estń dentro del
o a
signo del radical.

Taller 7 Red´zcanse a su forma m´s simple:
u a
√
1. 50
√
2. 4 32
√
3. 3 −81
√ √
4. 3 6 3 18
5 −32a10
5. b4
√
6. √75
27
√
7. a2 b2 + b2 c2
x3
3 a2 4
8. x x 3
2a4

√
n
9. a2n b3n

5 4
10. 3
(32)2

9
11. x+6+ x
√
10
12. 32a5

1.5.3 N´ mero imaginario
u
Definiciń Un n´mero imaginario se define como:
o u
√
i= −1 y i2 = −1
Definiciń Para todo n´mero real positivo a, tenemos que:
o u
√ √ √ √
−a = −1 a = i a

19

a a

Ejemplo Simplificar:

√ √ √ √
a) −36 = −1 36 = i 36 = 6i
√ √ √ √ √
b) −17 = −1 17 = i 17 = 17i

1.5.4 Operaciones con radicales
Suma y Resta: En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos:

1. Simplificar todos los radicales que no estń expresados en su forma m´s simple.
e a

2. Sumar y restar t´rminos que contienen los mismos radicales (es decir, que son
e
semejantes) usando la propiedad distributiba.

Multiplicaciń: En la multiplicaciń de radicales hacemos los siguientes pasos:
o o

1. Multiplicar los coeficientes de los radicales.

2. Multiplicar los radicales y buscar la ra´ en´sima del producto.
ız e

3. Simplificar si es necesario.

Ejemplo Realizar las operaciones y expresar la respuesta en su forma m´s simple
a

a)

5x − 10 3x − 2
+
x−4 4−x
5x − 10 2 − 3x
= +
x−4 x−4
5x − 10 + (−3x + 2)
=
x−4
2x − 8
=
x−4
2(x − 4)
= =2
x−4

20

a a

b)

4x(x + 1) 1
+ 2
(x2 − 2)3 (x − 2)2
4x(x + 1) 1
=− 2 − 2)3
+ 2
(x (x − 2)2
−4x(x + 1) + (x2 − 2)
=
(x2 − 2)3
−3x2 − 4x − 2
=
(x2 − 2)3

Taller 8 Evaluar:
√ √ √
1. 3 16 − 3 54 + 3 250
√ √ √
2. 12 + 75 − 18
√ √
3
3. 3ab2 18a3 b
√ √ √ √
4. (2 3 + 3 2)(3 3 − 2 2)
√ √
5. 6 75 ÷ 2 15

Divisiń: Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que definir lo que es
o
el conjugado.
√ √ √ √
DefinicińLas expresiones ( a + b) y ( a − b), donde a y b representan
o
cualquier t´rmino algebraico positivo se llaman conjugados. Cada expresiń es el
e √ √ √ o
√
conjugado de la otra expresiń. De manera que: ( a + b)( a − b) = a − b
o

Definiciń El proceso para eliminar radicales que estń en el denominador se
o a
llama racionalizar el denominador.

Ejemplo Racionalizar
√ √ √
4 4(2 − 5) 4(2 − 5) 4(2 − 5)
a) √ = √ √ = =
2+ 5 (2√ 5)(2 − 5)
+ (4 − 5) −1
= −4(2 − 5)
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
11 + 2 ( 11 + 2)( 11 + 2) ( 11 + 2)( 11 + 2)
b) √ √ = √ √ √ √ =
11 − 2 ( 11 − 2)( 11 + 2) 9

21

a a

Taller 9
1
1. El factor racionalizante de √
5a es
√5
a) a
√5 2
b) a
√5
c) a4
12
x5 y 7
2. La expresi´n
o es igual a:
3 √
xy
√
a) xy
6
b) x2 y 3
√
c) 3 xy
12
d) x2 y 5
a+b
3. El factor racionalizante de √
3 2
es:
a + b2
√
a) 3 a + b
√
b) 3 a − b
√
c) 3 a4 + b4
√
d ) 3 a4 + b4 + 2a2 b2
1
4. El factor racionalizante de √ es:
1− 3x
√
3
a) 1 + x2
b) 1 + x + x2
√ √3
c) 1 + 3 x + x2
√ √3
d ) 1 − 3 x + x2

22

a a

1.6 Expresiones algebraicas
Una expresiń algebraica es una expresiń que se obtiene sumando, restando,
o o
multiplicando, dividiendo y calculando ra´ıces de constantes y/o variables. Por
ejemplo: √
2x + 5 3xy
a. 3x −1/3 + 9, b. 3+1
, c. 5x3 + + 4,
7x x
d. 2x5 + x3 + 1
Todas son expresiones algebraicas donde x, y son variables. Si n´meros espec´
u ıficos
se sustituyen por las variables en una expresiń algebraica, el n´mero real que
o u
resulta se llama valor de la expresiń para estos n´meros. Por ejemplo, el valor de
o u
2xy + 3x
, cuando x = −2 y y = 3 es:
y−1
2(−2)(3) + 3(−2) −12 − 6
= = −9
3−1 2
Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, se supone que los dominios se escogen
de tal manera que las variables no representan n´meros que dejen sin sentido la
u
expresiń. Entonces se supone que los denominadores no se anulan, siempre existen
o
ra´
ıces, etc.

1.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios
Definiciń Un polinomio en la variable x es una expresiń algebraica formada
o o
solamente por la suma de t´rminos de la forma axn , donde a es cualquier n´mero
e u
y n es un n´mero entero no negativo.
u

Ejemplo
a) 3x − 2
b) x4 + 5
c) 2n2 − 5n + 3
d) 5y 3 + 4y 2 − 3y + 1
e) 23
Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios:
1 x−3 √
a) + 2x b) 2+4
c) 2x2 + x − 5
x x
Nota Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresiń algebraica
o
es un polinomio.

23

a a

1.6.2 Componentes de un polinomio
1. T´rmino: Un t´rmino es una parte de una expresiń algebriaca. Los t´rminos
e e o e
se separan entre s´ por los signos de suma (+) o resta (-).
ı
2. Coeficiente: El coeficiente num´rico de un t´rmino de un polinomio es el factor
e e
num´rico del mismo.
e
3. T´rmino constante: Es el coeficiente num´rico que no contiene variable.
e e
Ejemplo El polinomio 5x2 + 3x − 8
a) Tiene tres t´rminos
e
b) Los coeficientes num´ricos son 5, 3 y -8
e
c) -8 es el t´rmino constante
e

1.6.3 Clasificaciń de los polinomios
o
Los polinomios se clasifican de acuerdo al n´mero de t´rminos. Un polinomio que
u e
tiene un solo t´rmino se llama monomio. Si el polinomio tiene dos t´rminos se llama
e e
un binomio y si tiene tres t´rminos se llama trinomio. Los polinomios formados
e
por m´s de tres t´rminos no reciben ningń nombre en especial, simplemente son
a e u
polinomios con la cantidad de t´rminos que contiene.
e
Ejemplo
Monomio Binomio Trinomio
3x 7x − 4 n2 + 3n + 2
25 3a + 5b 3x4 − x3 + 5x2
−9x2 y 3 n2 − 4n 4xy + pxy 2 − 11xy 4
El polinomio 8x3 + 5x2 − 3x + 7 es un polinomio de cuatro t´rminos.
e

1.6.4 Grado de un polinomio
Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio est´ determinado por el
a
t´rmino que contiene el mayor exponente.
e
Ejemplo
Polinomio Grado
9y 4 − 5y 3 + 3y 2 + 7y − 2 cuatro
2n2 − 3n + 1 dos
3x 3 y 5 + 5x2 y 4 − 7xy 2 + 6 ocho

24

a a

1.6.5 T´rminos Semejantes
e
Dos t´rminos son semejantes cuando ambos son num´ricos o cuando tienen las
e e
mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.

Ejemplo

a) 6 semejante 6

b) 9x2 semejante 3x2

c) 11x no semejante 11x2

1.6.6 Operaciones entre polinomios
1. Suma. Encuńtrese la suma de los polinomios x3 + 2x2 − 5x + 7 y 4x3 − 5x2 + 3
e

(x3 + 2x2 − 5x + 7) + (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 4x3 + 2x2 − 5x2 − 5x + 3 + 7
= (1 + 4)x3 + (2 − 5)x2 − (5)x + (3 + 7)
= 5x3 − 3x2 − 5x + 10

2. Diferencia. Encuńtrese la diferencia de los polinomios x3 + 2x2 − 5x + 7 y
e
4x3 − 5x2 + 3

(x3 + 2x2 − 5x + 7) − (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 2x2 − 5x + 7 − 4x3 + 5x2 − 3
= x3 − 4x3 + 2x2 + 5x2 − 5x + 7 − 3
= (1 − 4)x3 + (2 + 5)x2 − 5x + (7 − 3)
= −3x3 + 7x2 − 5x + 4

3. Producto. Encuńtrese el producto de 2x3 + 3x − 1 y x2 − x + 4
e

(2x3 + 3x − 1)(x2 − x + 4) = (2x3 + 3x − 1)x2 + (2x3 + 3x − 1)(−x)
+ (2x3 + 3x − 1)4
= 2x5 + 3x3 − x2 − 2x4 − 3x2 + x + 8x3 + 12x − 4
= 2x5 − 2x4 + (3 + 8)x3 + (−1 − 3)x2 + (1 + 12)x − 4
= 2x5 − 2x4 + 11x3 − 4x2 + 13x − 4

25

a a

4. Cociente. Antes de proceder a dividir dos polinomios se deben escribir ambos
en orden descendente de exponente y luego realizar un proceso muy parecido a la
divisi´n de n´meros en aritm´tica.
o u e

Ejemplo x3 − x + 3x2 − 3 entre x − 1

Proceso:

1. Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor as´
ı
x 3 + 3x2 − x − 3 (dividendo) y x − 1 (divisor)

2. El termino de m´s grado del dividendo se divide entre el t´rmino de m´s grado
a e a
x3 2 . Luego se multiplica x2 por el divisor y el resultado se resta
del divisor. x = x
al dividendo

3. Este proceso se continua hasta lograr que el residuo sea un polinomio de grado
inferior al del divisor o una constante.

x3 − x + 3x2 − 3 |x − 1
−x3 + x2 x2 + 4x + 3
0 + 4x2 − x − 3
−4x2 + 4x
0 + 3x − 3
−3x + 3
0

Taller 10 Completar

1. (x + 2)(x + 3) =

2. (x − 2)(x + 3) =

3. (2x + 3)(3x − 5) =
x3 − y 3
4. =
x−y
x4 − y 4
5. =
x−y
x4 − y 4
6. =
x+y

26

a a

1.6.7 Factorizaciń
o
Factorizar un polinomio es volverlo a escribirlo como un producto de polinomios.
Ejemplo
a) y 5 + y 4 = y 4 (y + 1)

b) 25 − x2 = (5 + x)(5 − x)

1.6.8 Algunos casos de factorizaciń
o
1. Factor com´ n Consiste en la aplicaciń de la propiedad distributiva.
u o
Ejemplo
a) 3x3 y − 5x2 y 2 + 7xy = xy(3x2 − 5xy + 7)

b) x2 − xy − x + y = (x2 − xy) + (−x + y) = x(x − y) − (x − y) = (x − y)(x − 1)
2. Factorizaciń de trinomios Trinomio de la forma x2 + bx + c: En este trinomio
o
b y c son enteros y se busca factorizarlo as´ se buscan, si existen, dos n´meros
ı: u
enteros que sumados algebraicamente den como resultado b y multiplicados c.

Ejemplo
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

x2 − 5x − 24 = (x − 8)(x + 3)
3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c: En este caso b y c son enteros y se
factoriza de la siguiente forma: Se multiplica y se divide el trinomio por a quedando
(ax)2 + b(ax) + ac
, una vez as´ se procede como el caso anterior, simplificando
ı
a
cuando sea posible.
Ejemplo
(3x)2 + 7(3x) − 18 (3x + 9)(3x − 2)
a) 3x2 + 7x − 6 = = = (x + 3)(3x − 2)
3 3
(6x)2 − 5(6x) − 36 (6x − 9)(6x + 4 3(2x − 3)(3x + 2)2
b) 6x2 − 5x − 6 = = =
6 6 6
= 6x2 − 5x − 6 = (2x − 3)(3x − 2)
Taller 11 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:
1. 6x2 − 7x − 3

27

a a

2. 4x4 y − 10x3 y 2 + 6x2 y 3

3. a(x2 − y) + 2b(x2 − y)

4. xy + xz

5. −6ax + 2ya

6. 2x2 − 9x − 5

7. 3y 2 + 7y − 6

8. x2 + x + 1

1.6.9 Productos notables
Ciertos productos ocurren tan frecuentemente en ´lgebra, que merecen un lugar
a
especial (produntos notables). Hacemos una lista de ´stos, en donde las letras
e
representan n´meros reales.
u

1. (x + y)(x − y) = x2 − y 2

2. (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

3. (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2

4. (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

5. (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3

6. (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3

1.6.10 Factorizaci´n utilizando los productos notables
o
Taller 12 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 49 − a2

2. a2 − (x − y)2

3. 27 − b3

4. a3 + 216

5. x2 + x − 20

28

a a

6. 6x2 − 7x − 3

7. 3x3 − 3x2 − 6x

8. (x − 3)2 − (x − 3)

9. x4 − 16

10. x2 − 8x + 16

11. x2 + 2xy + y 2

12. 8x3 − 1

13. x3 − 3x2 − 25x + 75

14. x2 + 4x + 4 − y 2

15. (x2 + 4)2

1.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales
Conocemos lo que es un n´mero racional, un n´mero que se expresa de la forma:
u u
a
donde a y b son enteros con b = 0
b
Definiciń Una expresiń racional es una expresiń algebraica de la forma:
o o o
P
donde P y Q son polinomios y Q = 0
Q
Ejemplo
5
a)
x
3
b) −
x+1
1
c)
x2 −4
De acuerdo con lo anterior, el denominador de una expresiń racional no puede ser
o
cero, entonces:

29

a a

5
No esta definida para x = 0
x
3
− No esta definida para x = −1
x+1
1
No esta definida para x ± 2
x2 − 4
El numerador puede ser cero ya que la expresiń:
o
0
para b = 0 es cero
b

1.6.12 Simplificaciń de expresiones racionales
o
Para simplificar una expresiń racional seguimos los siguientes pasos:
o
1. Factorizar completamente el numerador y el denominador.

2. Dividir el numerador y el denominador por los factores comunes en ambos.Esto
se hace cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador.
3x2 − 5x − 2
Ejemplo Simplif´
ıquese
x2 − 4
3x2 − 5x − 2 (3x + 1)(x − 2) 3x + 1
Soluciń :
o 2−4
= =
x (x − 2)(x + 2) x+2

En el ejemplo anterior, dividimos numerador y denominador por x − 2. Debe
enfatizarse que esta simplificaciń es v´lida y las expresiones son iguales, s´lo bajo
o a o
la hip´tesis de que x − 2 = 0, esto es x = 2. Sin embargo 2 no esta en el dominio de
o
x ya que nos lleva, cuando se sustituye en la expresiń original, a un denominador
o
igual a cero.

Taller 13 Enmarcar con un c´
ırculo la respuesta correcta a cada problema.
x2 + xy
1. Al reducir la fracciń
o a su m´
ınima expresiń se obtiene:
o
x2 − y 2
x x x 1
a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores
x+y y x−y 1+y
x2 + 3x − 10
2. Al reducir la fracciń
o a su m´
ınima expresiń se obtiene:
o
4x − x3
x+5 x+5 3x − 10 x+5
a. b. − c. d. −
x(x + 2) x(2 − x) 3x x(x + 2)

30

a a

e. Ninguna de las anteriores

x2 − 16y 2
3. =
x + 4y
a. x + 4y b. x − 4y c. x−y d. x+y e Ninguna de las anteriores.

4. Completar con una expresiń adecuada.
o

15x2 + 10x
a) =
5
5x3 y 2 − xy 2 + 3xy
b) =
−xy
x3 − 3x2 + 3x − 1
c) =
x−1
x3 − 2x2 − 17x + 6
d) =
x2 + 5x − 2
2 − x − 3x2
Ejemplo Simplif´
ıquese
6x2 − x − 2
2 − x − 3x 2 (1 + x)(2 − 3x) −(1 + x)
Soluciń : 2
o = =
6x − x − 2 (2x + 1)(3x − 2) 2x + 1
Donde hemos usado el hecho de que (2 − 3x) = −(3x − 2). Esto explica el signo
menos en la respuesta final.
Ejemplo Real´ ıcense y simplif´
ıquense las operaciones indicadas:

x2 − 6x + 9 2x − 2
a) ×
x2 − 1 x−3
x+2 x2 − 4
b) ÷ 2
2x − 3 2x − 3x
Soluciń:
o
x2 − 6x + 9 2x − 2 (x − 3)2 × 2(x − 1) 2(x − 3)
a) × = =
x2 − 1 x−3 (x − 1)(x + 1)(x − 3) x+1

x+2 x2 − 4 x+2 2x2 − 3x (x + 2)x(2x − 3)
b) ÷ 2 = × 2 =
2x − 3 2x − 3x 2x − 3 x −4 (2x − 3)(x + 2)(x − 2)
x
=
x−2

31

a a

2x + 5 x 1
Ejemplo Simplif´
ıquese + 2 +
x2+ 6x + 9 x − 9 x − 3
Soluciń: Las formas factorizadas de los denominadores son: (x + 3)2 , (x + 3)(x − 3)
o
y (x − 3). Entonces el m.c.d es (x + 3)2 (x − 3). Luego:

2x + 5 x 1 2x + 5 (x − 3) x (x + 3)
+ 2 + = × + ×
x2 + 6x + 9 x − 9 x − 3 (x + 3) 2 (x − 3) (x + 3)(x − 3) (x + 3)
1 (x + 3)2
+ ×
x − 3 (x + 3)2
(2x2 − x − 15) + (x2 + 3x) + (x2 + 6x + 9)
=
(x + 3)2 (x − 3)
4x2 + 8x − 6
=
(x + 3)2 (x − 3)
2(2x2 + 4x − 3)
=
(x + 3)2 (x − 3)

A veces es necesario simplificar cocientes en los que el numerador y denominador
no son polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo:
2
1−
Ejemplo Simplificar: x+1
1
−x
x
2 (x + 1) − 2
1−
x+1 = x+1
1 1 − x2
−x
x x
x−1 x
= ×
x + 1 1 − x2
(x − 1)x
=
(x + 1)(1 − x)(1 + x)
−x
=
(x + 1)2

Taller 14 Simplificar:

p4 + 3p3 − 8p − 24
1.
p3 − 2p2 − 9p + 18

32

a a

1
a2 −
2. a
1
a+ +1
a

33

a a

1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable
Una ecuaciń es una igualdad de dos expresiones matem´ticas. Una ecuaciń de
o a o
primer grado en una variable es una ecuaciń en la que aparece una variable elevada
o
al exponente uno. A estas ecuaciones tambiń se le conocen como ecuaciones lineales
e
en una variable.

La variable puede aparecer por m´s de una ocasiń, por ejemplo, en la ecuaciń
a o o
5n − 3 = 3n + 1 es una ecuaciń de primer grado en una variable. Se puede observar
o
que la variable n aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno.

Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x + 1 = 16;
2(x + 1) − 3 = x + 5

Resolver una ecuaciń de primer grado en una variable consiste en hallar el
o
valor de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como la
ız o ˆ
soluciń o la ra´ de la ecuaciń. Por ejemplo, es 2 unaE soluciń de la ecuaciń
o o o
5n − 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuaciń observamos
o
que es cierta la igualdad:

5(2) − 3 = 3(2) + 1 luego 10 − 3 = 6 + 1 7 = 7 Se cumple

Lo que hacemos para resolver una ecuaciń de primer grado en una variable es
o
despejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuaciń y escribir
o
las constantes (los n´meros) al otro lado de la ecuaciń usando las propiedades
u o
correspondientes:

1. Si a = b, entonces a + c = b + c y a − c = b − c.
a b
2. Si a = b y c = 0, entonces: ac = bc y =
b c
Ejemplo
x+5
a) = 5 ⇒ x + 5 = 5(3x − 2)
3x − 2
15
⇒ x + 5 = 15x − 10 ⇒ 5 + 10 = 15x − x ⇒ x =
14

3 4−x
b) +5=
x−1 x−1

34

a a

3 4−x
(x − 1) + 5(x − 1) = (x − 1)
x−1 x−1
3 + 5(x − 1) = 4 − x
5x − 2 = 4 − x
6x = 6
x=1

Taller 15

1. Resolver para x:
1 3 2
3x + 5 4 − x x − 2 d. + =
a. − − =0 x x+1 3(x 2 + x)
12 6 3
3x + 2 6 2 45
b. − =0 e. 5 + 1 = 8
x−1 5 3 − 4−x
3 − 2x 7−x x x
x−1 −1 x+1 −1
c. 3x − =2+ f. =
7 5 x
+1 x
+1
x−1 x+1

1.7.1 Soluciń a problemas
o
Para una buena formaciń en Matem´ticas, a cualquier nivel, es necesaria la
o a
soluciń a problemas.
o

Con este proceso puede confrontarse lo aprendido y sembrar bases que serń
a
la fuente de trabajos posteriores.

Taller 16 Resolver utilizando ecuaciones en una variable:

1. Una tienda de descuento de computadores realiza una promociń de fin de
o
aõ de dos tipos de computadores. Se obtienen 41800 d´lares por la venta de
n o
58 computadoras. Si uno de los tipos se vendi´ a 600 d´lares y el otro a 850
o o
d´lares. Cuńtos computadores se cada tipo se vendieron?
o a

2. Carlos puede procesar 200 hojas de un trabajo en una hora y Pedro puede
procesar 150 hojas del mismo trabajo en una hora. Cuńto tardar´ en
a ıan
procesar 900 hojas juntos, si Carlos comienza 1 hora despu´s de Pedro?
2 e

35

a a

3. Un camiń transporta una carga de 50 cajas; algunas de ´stas cajas son cajas
o e
de 20 kg y el resto son cajas de 25 kg. Si el peso total de de todas las cajas es
de 1175 kg; Cuńtas cajas hay de cada tipo?
a

4. La tuber´ A puede llenar una piscina con agua en 3 d´ y la tuber´ B puede
ıa ıas ıa
llenar la misma piscina en 2 d´ Si se utilizaran ambas tuber´ En cuńto
ıas. ıas, a
tiempo se llenar´ la piscina?
a

5. Cuando se abre la llave de una ba˜era (y el desagë) est´ tapado, la ba˜era
n u a n
se llena en 10 minutos; cuando el desagë se destapa (y se cierra la llave), la
u
ba˜era llena, se vac´ en 15 minutos. Cuńto tarda en llenarse la ba˜era si se
n ıa a n
abre la llave y el desagë se destapa?.
u

1.7.2 Inecuaciones lineales
Anteriormente has usado los s´ ımbolos ¿(mayor que), ¡(menor que), ≥ (mayor o
igual que) y ≤ (menor o igual que) para describir como es la relaciń entre un
o
n´mero y otro. Por ejemplo: 4 > −1 para seãlar que 4 es mayor que -1, −2 < 3
u n
para seãlar que -2 es menor que 3 y −3 < −1 para seãlar que -3 es menor que -1.
n n
Estos ejemplos se conocen como desigualdades.

Definiciń Una inecuaciń lineal es una expresiń matem´tica que describe c´mo se
o o o a o
relacionan entre s´ dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3+5x ≥ 18; −2(x+3) < −9.
ı
La soluciń de una inecuaciń lineal se puede representar haciendo uso de intervalos
o o
en la recta num´rica, la cual contiene infinito n´meros reales.
e u

Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:
1. Para todo n´mero real a, b y c, si a < b entonces: a + c < b + c y a − c < b − c
u
2. Para todo n´mero real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:
u
a b
ac < bc y <
c c
3. Para todo n´mero real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces:
u
a b
ac > bc y >
c c
Taller 17 Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar la soluciń en
o
la recta num´rica:
e

36

a a

1. x + 5 < 3

2. 3x + 2(x − 4) > 4x

3. 5x − 7 ≤ 2x + 8

4. 3x + 8 ≥ 5x
1 1
5. (x + 5) > (x + 1)
7 5
6. 5x + 2 < 4 − x

7. 7(x − 3) ≥ 4(1 + 2x)
x x 1
8. −1≤ −
3 5 5

37

a a

1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita
En el apńdice anterior trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones
e
lineales son ecuaciones polin´micas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones
o
polin´micas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadr´ticas.
o a

Definiciń Una ecuaciń cuadr´tica es una ecuaciń de la forma:
o o a o
ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son n´meros reales y a es un n´mero diferente de
u u
cero.
Ejemplo

a) x2 − 9 = 0

b) x2 − x − 12 = 0

c) 2x2 − 3x − 4 = 0

La condiciń de que a es un n´mero diferente de cero en la definiciń asegura
o u o
que exista el t´rmino x
e 2 en la ecuaciń. Existen varios m´todos para resolver las
o e
ecuaciones cuadr´ticas. El m´todo apropiado para resolver una ecuaciń cuadr´tica
a e o a
depende del tipo de ecuaciń cuadr´tica que se va a resolver. En este apńdice
o a e
estudiaremos los siguientes m´todos: factorizaciń, completando el cuadrado y la
e o
f´rmula cuadr´tica.
o a

1. Factorizaciń Para utilizar este m´todo la ecuaciń cuadr´tica debe estar
o e o a
igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuaciń que no es cero como un
o
producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la
variable.

2. Completando el cuadrado Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer
t´rmino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto
e
es, trinomios de la forma: x2 + bx+?

Regla para hallar el ultimo t´rmino de x2 + bx+?: El ultimo t´rmino de un
´ e ´ e
trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente
del t´rmino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros
e
t´rminos son x2 + bx es :
e
b
x2 + bx + ( )2
2
Al completar el cuadrado queremos una ecuaciń equivalente que tenga un trinomio
o
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuaciń equivalente el n´mero que
o u

38

a a

completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuaciń.
o

3. F´rmula cuadr´tica La soluciń de una ecuaciń ax2 + bx + c con a diferente
o a o o
de cero est´ dada por la f´rmula cuadr´tica:
a o a
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a

Donde el n´mero b2 − 4ac se denomina el discriminante
u y si:

b2 − 4ac > 0, las ra´
ıces son reales y diferentes.

b2 − 4ac = 0, las ra´
ıces son reales e iguales. (ra´ doble)
ız

b2 − 4ac < 0, las ra´
ıces son complejas.

Taller 18 Resolver para x,

1. x2 − 7x + 10 = 0

2. x2 + 3xy − 10y 2 = 0

3. x2 + 6x + 5 = 0

4. x2 + 2ax + a2 − b2 = 0

5. x2 + 12x + 11 = 0

6. x2 + x − 6 = 0

7. 4x2 − 12x + 9 = 0

8. 2x2 + 6x + 7 = 0

39

a a

1.9 Secciones cńicas
o
1.9.1 Distancia entre dos puntos
En el sistema coordenado - bidimensional rectangular:

Figura 5: Sistema coordenado

Taller 19

1. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5, −7) son v´rtices de un trińgulo
e a
rectńgulo. Determinar su ´rea.
a a

2. Determinar la ecuaciń algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y)
o
equidista de los puntos (−3, 5), (7, −9)

1.9.2 Coordenadas del punto medio
Las coordenadas del punto medio del segmento cuyos puntos extremos son : (x1 , y1 )
y (x2 , y2 )

x1 + x2 y1 + y2
x=
¯ , y=
¯
2 2
Taller 20

1. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un trińgulo rectńgulo
a a
equidista de los v´rtices. Sug: Tomar el trińgulo con v´rtices en
e a e
(0, 0), (a, 0), (0, b)

2. Uno de los puntos extremos de un segmento es (7, 8) y su punto medio es
(4, 3). Hallar el otro extremo.

40

a a

3. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5, −7) son v´rtices de un trińgulo
e a
rectńgulo. Determinar su ´rea. Verificar que el punto medio de la hipotenusa
a a
equidista de los v´rtices.
e

4. Mostrar que los puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6) y (9, 2) son v´rtices de un
e
paralelogramo.

5. Mostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y (4, −2) son v´rtices de un
e
cuadrado.

6. Mostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son v´rtices de un rombo.
e

7. Los v´rtices de un trińgulo son A(−1, 3), B(3, 5) y C(7, −1). Si D es el
e a
punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, verificar
que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

8. Hallar las coordenadas del punto situado a tres cuartas partes del punto a
(6, −2) a (2, 6)

9. Determinar los puntos del eje Y que estń a una distancia de 6 del punto
e
(5, 3)

10. Determinar el punto que tenga coordenadas de la forma (2a, a), que est´ en
e
el tercer cuadrante y a la distancia 5 de (−2, 4)

1.9.3 Recta
Inclinaciń: Es el ńgulo menor a 180◦ medido en sentido contra-reloj, fomado
o a
por una recta y el eje positivo de las X.

Pendiente: Es la razń (cociente) del ascenso o descenso y el avance de
o
una recta que no es paralela al eje Y .

41

a a

Figura 6: Pendiente

Pendiente: m
Elevaci´n por unidad de
o
avance.
elevacion y2 − y1
m= =
avance x2 − x1

Figura 7: Tipos Pendiente

Rectas paralelas y perpendiculares:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y son perpendiculares
si el producto de sus pendientes es −1

Ecuaciones de la recta
Punto pendiente Pasa por un punto ﬁjo (x1 , y1 ) y tiene una pendiente dada m:

y − y1 = m(x − x1 )

42

a a

Pendiente intercepto Intercepta al eje y en b, y tiene una pendiente dada m:

y = mx + b

Interceptos La que intercepta al eje y en b intercepta al eje x en a
x y
+ =1
a b
Forma general: Ax + By + C = 0, con A;B;C constantes reales cualesquiera, pero
A y B no pueden ser cero simultaneamente y de la cual:

Si C = 0, la recta pasa por el origen.
−A
Si B = 0, la recta es vertical, si B = 0 la recta tiene pendiente y corta al
B
−C
eje y en .
B
Si A = 0, la recta es horizontal.

Taller 21

1. Resolver gr´ficamente los sistemas:
a
y
x− =2
a. 23y
2x − 2 = 7
3x + 2y = 3 3x + 2y = 3
b. c.
6x + 4y = 24 6x + 4y = 6

2. Determine la ecuaciń de la recta que pasa por (2, 1) y (−6, 5)
o

3. Determine la ecuaciń de la recta cuyas intersecciones con los ejes X,Y son 2
o
y7

4. Cu´l es la ecuaciń del sistema de rectas que pasa por (−1, 3) ?
a o

5. Cu´l es la ecuaciń del sistema de rectas paralelas a 2x − 3y + 6 = 0?
a o

6. Cu´l es la ecuaciń del sistema de rectas perpendicular a
a o
3x − 2y = 5?

7. Hallar la ecuaciń de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6)
o

43

a a

8. Hallar el valor de k, para que kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta
4x + 3y + 7 = 0

9. Hallar el valor de k, para que k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la
recta 3x − 2y − 11 = 0

10. Muestre que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0,
5x − y − 32 = 0, x + 5y + 4 = 0, forman un cuadrado.

11. Dados los cuatro puntos A(2, −4), B(10, 0), C(6, 3) y D(4, 2). Demuestre por
medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D son los v´rtices de un
e
trapecio y calcule el ´rea de este trapecio.
a

1.9.4 Circunferencia
El conjunto de puntos en el plano tales que su distancia a un punto fijo
C(h, k), centro, es siempre una constante r, radio, se denomina circunferencia.

• Su ecuaciń:
o
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

• Con centro en el origen:
x2 + y 2 = r 2
Taller 22
1. Dibujar el conjunto de puntos en el plano que satisfacen:

a) 3x2 + 3y 2 + 6x − 8y = 48
b) x2 + y 2 + 2x − 4y = −5
c) x2 + y 2 + 2x − 4y = −7
d ) x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
e) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13
f ) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13
g) 9x2 + 9y 2 − 18x − 54y + 54 = 0

2. Determinar la ecuaciń de la circunferencia en la cual el segmento de recta que
o
determinan los puntos (−3, −4) y (4, 3) es un di´metro.
a

44

a a

3. Hallar la ecuaciń de la circunferencia con centro en (5, 3) y es tangente al
o
eje Y

4. Hallar la ecuaciń de la circunferencia que pasa por (2, −1), (0, 2) y (1, 1)
o

5. Hallar la ecuaciń de la familia de circunferencias que tienen radio 5 y sus
o
centros pertenecen a la recta x = −2. Determinar los miembros de esta
familia que deben pasar por el punto (2, −5)

6. Hallar la ecuaciń de la circunferencia con centro en (0, −2) y es tangente a
o
5x − 12y + 2 = 0

7. Una cuerda de la circunferencia x2 +y 2 = 25 est´ sobre la recta x−2y+5 = 0.
a
Cual es la longitud de la cuerda?

8. La ecuaciń de una circunferencia es (x − 4)2 + (y − 3)2 = 20. Hallar la
o
ecuaciń de la recta tangente a ella en el punto (6, 7)
o

9. Hallar la ecuaciń de la circunferencia con centro en x − 3y − 11 = 0 y pasa
o
por (−1, 1) y (2, 3)

10. i) Hallar la distancia del punto (5, 7) a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustre
gr´ficamente.
a
ii) obtenga la ecuaciń de la circunferencia con centro en el punto (5, 7) y que
o
es tangente a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustre gr´ficamente la recta y la
a
circunferencia.

1.9.5 La par´bola
a
Una par´bola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo
a
es igual a su distancia a una recta fija.

45

a a

Ecuaciones de la par´bola
a

1. Ecuaciń de la par´bola con v´rtice en el or´
o a e ıgen, eje focal en el eje x, foco (p, 0)
es y 2 = 4px

2. Ecuaciń de la par´bola con v´rtice en el or´
o a e ıgen, eje focal en el eje y, foco (0, p)
es x2 = 4py

Taller 23
1. Grafique y determine las coordenadas del v´rtice, del foco, las ecuaciones de
e
las directriz y del eje de las par´bolas:
a

a) y 2 = 12x
b) x2 = 12y

46

a a

c) y 2 + 8x = 0
d ) x2 + 2y = 0

2. Determinar la ecuaci´n de la par´bola con foco en (3, 0) y directriz x + 3 = 0.:
o a

Par´bolas trasladadas
a

1. V´rtice en (h, k), eje focal paralelo al eje x:
e

2. V´rtice en (h, k), eje focal paralelo al eje y:
e

Taller 24

1. Graﬁcar y determinar las coordenadas del v´rtice, de las siguientes par´bolas:
e a

a) 4y 2 − 48x − 20y = 71

47

a a

b) 4x2 + 48y + 12x = 15
c) x2 − 4x − 3y + 7 = 0
d ) y 2 − 6y − 2x + 1 = 0
e) x2 − 4x − 4y = 0
f ) x2 − 4x + 2y = 1

2. Se debe contruir un reflector parab´lico con una fuente de luz en su foco, que
o
9
est´ a cm del v´rtice. Si el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, ¿Cu´l
a e a
4
debe ser el ancho de su boca?

3. Los extremos del cable de un puente de suspensiń estń a 1000 mt de distancia
o a
y a 100 mt sobre el piso de la v´ horizontal, mientras que el centro del cable
ıa
est´ en el piso. Encontrar la altura del cable sobre el piso a una distancia de
a
300 mt de la base de la torre de amarre.

4. Cu´l es la mayor ´rea rectangular que puede encerrarse con 400 mt de cerca?
a a

5. Un canalń para captar agua de lluvia ha de tener lados iguales y un fondo y
o
es fabricado con hojas de aluminio de 12 pulgadas de ancho, doblando los lados
90◦ hacia arriba. Qu´ altura del canal proporciona el mayor flujo de agua?
e

1.9.6. La elipse
Conjunto de puntos en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos llamados focos, tambiń en el plano, es igual a una constante, mayor que la
e
distancia entre sus focos.

La suma de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia entre
los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la elipse.

a > c > 0, a2 − c2 > 0, a2 − c2 = b2

x2 y 2
1. La ecuaciń de la elipse con centro en el or´
o ıgen, focos (±c, 0) es + 2 =1
a2 b
y 2 x2
ıgen, focos (0, ±c) es
2. La elipse con centro en el or´ + 2 =1
a2 b
Taller 25

1. Grafique y determine las coordenadas del centro, v´rtices y focos de las elipses:
e

48

a a

a) 9x2 + 4y 2 = 36
b) 4x2 + 9y 2 = 36
c) 16x2 + 25y 2 = 400
d ) x2 + 3y 2 = 6
e) x2 + 9y 2 + 2x − 18y + 1 = 0
f ) 9x2 − 18x + 4y 2 − 16y = 11
g) 4x2 + 9y 2 − 16x − 18y = 11

1.9.7 La hip´rbola
e
Conjunto de puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos, tambiń en el plano, es igual a una
e
constante positiva menor que la distancia entre los focos.

La diferencia de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia
entre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la hip´rbola
e

0 < a < c, c2 − a2 > 0, c2 − a2 = b2

x2 y 2
o e ıgen, focos en (±c, 0) es 2 − 2 =
1. La ecuaciń de la hip´rbola con centro en el or´
a b
1
y 2 x2
o e ıgen, focos (0, ±c) es
2. La ecuaciń de la hip´rbola con centro en el or´ − =1
a2 b2
Taller 26

1. Graficar y determinar las coordenadas del centro, v´rtice y focos de las
e
hip´rbolas:
e

a) 9x2 − 4y 2 = 36
b) 4x2 − 9y 2 = 36
c) 9y 2 − 4x2 = 36
d ) 4y 2 − 9x2 = 36
e) x2 − 4y 2 − 2x + 16y − 31 = 0
f ) y 2 + 2y − 4x2 + 8x = 7

49

a a

Taller 27

1. Grafique sobre la recta num´rica el conjunto soluciń de la desigualdad |x−1| ≥
e o
2. Exprese tambiń la soluciń mediante notaciń de intervalos.
e o o
a−b
2. A) Haciendo todo el procedimiento, elimine en los exponentes
a−2− b−2
negativos y simplifique hasta su m´
ınima expresiń.
o
B) Haciendo todo el procedimiento, verifique que
4 1/3 4 −2/3 4 x − 1
x − x =
3 3 3 x2/3
3. Utilizando el resultado notable a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) obtenga el factor
1
racionalizante de √
(1 − 3 x)
4. Factorice y simplifique:
(3x2 − 7x + 2)
i)
(x2 − x − 2)
(x3 − 8)
ii) 2
(x − x − 2)
5. Halle la ecuaciń de la recta que pasa por el punto (6, 5) y que es perpendicular
o
a al recta x − 2y − 6 = 0. Ilustre gr´ficamente.
a
6. Haciendo todo el procedimiento (completar cuadrados y expresar en forma
canńica la ecuaciń dada), grafique cada una de las siguientes ecuaciones:
o o
i) y 2 − 6y − 2x + 1 = 0
ii) x2 + 9y 2 + 2x − 18y + 1 = 0

Taller 28
1. Grafique sobre la recta num´rica el conjunto soluciń de la desigualdad |x−3| ≤
e o
2. Exprese tambiń la soluciń mediante notaciń de intervalos.
e o o
x−1 − y −1
2. Haciendo todo el procedimiento, elimine en los exponentes
x−2 − y −2
negativos y simplifique hasta su m´
ınima expresiń.
o
3. Utilizando la suma de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) obtenga el factor
1
racionalizante de √ .
1+ 3x

50

a a

9
4. Haciendo todo el procedimiento, determine si la expresiń x + 6 + es igual
o
√ x
x(x + 3)
o no a la expresiń
o . Aqu´ suponemos que x es mayor que cero.
ı
x
5. Sea l una recta cuya ecuaciń es x − 2y − 5 = 0.
o

a) Halle la ecuaciń de la recta que pasa por el punto (6, 3) y que es
o
perpendicular a l.
b) Obtenga la ecuaciń de la circunferencia con centro en el punto (6, 3)
o
que es tangente a la recta l cuya ecuaciń es x − 2y − 5 = 0. Ilustre
o
gr´ficamente las rectas y la circunferencia.
a

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