Este documento presenta una secuencia didáctica sobre funciones cuadráticas que incluye actividades disparadoras, rutinas de pensamiento, ejercicios de aplicación y una actividad integradora evaluativa utilizando herramientas digitales como Tracker, Graspable Math, Geogebra y Mentimeter. El objetivo es que los estudiantes comprendan conceptos como máximos, mínimos, raíces y la relación entre la fórmula y el gráfico de una función cuadrática.

1. ISFD N°41
Secuencia didáctica
enriquecida
Herramientas generales y específicas para docentes de Matemática
Espacio de definición institucional - Matemática y el Trabajo por Proyectos
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Docente:
Alejandra Redín
Alumnos:
Leonardo Carabajal
Juan Carlos Koch
Julene García Torres
Agustina Castellano
Jonathan Pacheco
2022
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Tabla de contenidos
1. Fundamentación 6
2. Secuencia de actividades 7
2.1 Actividad disparadora 7
2.2 Rutinas de pensamiento 8
2.3 Ejercicios de aplicación 9
2.3.1 Discusión sobre máximos, mínimos, raíces y gráfico de la función 11
2.3.2 Discusión sobre traslaciones, relación de una función con su gráfico. 14
2.4 Actividad integradora 15
2.4.1 Evaluación 15
2.5 Actividad de retroalimentación (Feedback) 18
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1. Fundamentación
Propósitos: Realizar un recorrido y construcción de la noción de función cuadrática a partir del
trabajo con herramientas digitales, partiendo de la modalidad de aula invertida y comprendiendo
diferentes corrientes de acción como las rutinas de pensamiento o el modelo SAMR.
Objetivos: Que los/as estudiantes puedan:
− Interpelar sus construcciones de la función lineal y la relación de proporcionalidad para construir
nuevas relaciones en cuanto a la representación cuadrática en todas sus formas.
− Utilizar recursos tecnológicos, gráficos y algebraicos para elaborar, validar o rechazar conjeturas o
proposiciones dadas acerca de la función cuadrática, sus elementos, la relación entre sus
representaciones o situaciones ligadas a ella.
− Identificar elementos claves en los gráficos como los puntos notables (raíces, ordenada, y vértice).
− Reconocer situaciones que se modelan con una función cuadrática, en contextos reales.
− Encontrar gráfica y analíticamente raíces, ordenadas al origen, vértice y otros puntos necesarios
para graficar una función cuadrática.
− Ubicar en el sistema de ejes cartesianos la información obtenida a partir de la ecuación de la
función cuadrática para realizar un gráfico aproximado.
− Resolver situaciones problemáticas para las cuales estos conceptos representan un recurso de
solución.
Contenidos: Funcionamiento de la función cuadrática; tipos de problema que esta función modeliza.
Existencia de máximo o mínimo. Formas de representación (contexto, tabla de valores, gráfico
cartesiano, fórmulas); relación entre las distintas representaciones.
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2. Secuencia de actividades
2.1 Actividad disparadora
En esta actividad inicial se propone desarrollar experiencias que tengan una trayectoria parabólica.
Consigna: En conjunto con la materia de Educación Física, se toma a los alumnos en diferentes
grupos. Con 2 integrantes de cada uno, se realiza un pase de voleibol a través de la red. Dicha
actividad se graba en video, que se utilizará como material para trabajar con el programa Tracker. Se
sube un tutorial para usar dicha herramienta en formato videotutorial, para que los alumnos lo
estudien fuera del aula. En la siguiente clase, a partir de su utilización se identifica el recorrido de la
pelota y se hacen diferentes preguntas.
Buscamos que el video en cuestión sea desde un punto de vista similar a la Imagen 1, que
corresponde al video de Youtube Calentamiento en pareja: el pase | Voleibol:
Imagen 1. Captura de pantalla. Video de Youtube.
Los alumnos crean la trayectoria de la pelota, y a través de Tracker se observa una situación similar a
la Imagen 2:
Imagen 2. Captura de pantalla. Propia Autoría
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En el siguiente vínculo se comparten los videos que deben mirar los alumnos antes de trabajar en
clase:
Videotutoriales para el uso de Tracker
2.2 Rutinas de pensamiento y Metodologías
Se propondrá trabajar con dos rutinas de pensamiento: “Veo, pienso, me pregunto” y “Preguntas
creativas”
Veo, pienso, me pregunto: Con los resultados obtenidos en las clase anterior, reflexionar y anotar:
1. Lo que veo: describir con sus palabras lo que se observa
2. Lo que pienso: aquellas ideas que se vienen a la mente al observarlo detenidamente.
3. Pregunta: ¿Dónde más puedo encontrar una forma o un comportamiento similar?
Se trabajará en base a las respuestas, compartiendo abiertamente los distintos puntos de vista y por
sobre todo lo similar de cada uno.
Creemos que es potente el que puedan relacionar este tipo de trayectoria particular con otras
trayectorias que conocen en su vida cotidiana, por ejemplo, el recorrido de un proyectil en el juego
“Angry Birds”, o el recorrido de una pelota en un partido de tenis, etc. De esta manera, pueden
ampliar las situaciones reales que de alguna forma le dan sentido a lo que estamos analizando.
Preguntas creativas: nuevamente trabajaremos en base al trabajo en Tracker realizado
anteriormente pero enfocándonos en los datos.
Queremos que surja una especie de lluvia de ideas luego de hacer preguntas que requieran analizar
el aspecto numérico o característico del recorrido en cuestión. Presentando al menos dos recorridos
diferentes haríamos preguntas tales como: “¿Son iguales?” “¿Son distintos?” “¿En qué?” “¿Qué
podemos decir de los números que vemos?” “¿Cómo son?” “¿Cómo podríamos diferenciar a simple
vista un recorrido del otro?”, etc.
Luego abriremos un diálogo o un debate acerca de las ideas que nos parezcan apropiadas tomar.
Con esta reflexión buscamos que empiecen a surgir aspectos que podamos ir distinguiendo entre
todos. Creemos que es una buena manera de ir descontextualizando de a poco ciertos conceptos
que serán retomados en clases posteriores: Un valor más grande al resto, pares de valores, “que
sube y baja”, etc.
Metodología SAMR: Esta metodología es utilizada para redefinir las prácticas educativas de modo
tal que lo analítico se ve reemplazado por lo digital, con herramientas que permiten un mejor manejo,
y a medida que avancemos con la secuencia se ampliarán las posibilidades de realizar un trabajo
matemático y creativo más amplios. La actividad disparadora cuenta con el uso del programa Tracker
para trazar el dibujo de la trayectoria de la pelota de manera automática, generando datos
específicos de la situación.
Inteligencias Múltiples: La teoría de Inteligencias Múltiples se basa en estructurar la inteligencia en
diferentes ramas que conforman una red de conjuntos autónomos y relacionados entre sí. Estas
secciones corresponden a varias cualidades, como la Inteligencia Emocional o la Musical. Por esa
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razón se considera que hay actividades que fomentan uno u otro tipo de inteligencia, y que cada
alumno tiende a manifestar mayor interés en ámbitos específicos. En este caso, se realiza una
articulación entre la Inteligencia Lógico-Matemática que siempre se ve atrapada en nuestras
prácticas y la Inteligencia Corporal, ya que hacemos una actividad que incluye el trabajo físico al
compartir nuestro espacio con el docente de Educación Física. Las modalidades grupales también
suponen una mayor presencia de la Inteligencia Interpersonal, al fomentar la cooperación y el trabajo
en equipo.
2.3 Ejercicios de aplicación
Se proponen estas actividades por medio de 2 problemas que permiten establecer relaciones entre la
fórmula y el gráfico de una parábola, vinculando las coordenadas del vértice con su ubicación en la
parábola y con el eje de simetría.
Un aspecto interesante de esta propuesta es que el alumno pueda “leer” información en la fórmula y
mediante un trabajo más bien artesanal pueda buscar, por ejemplo, extremos o raíces, sin necesidad
de hacer manipulaciones algebraicas complejas o desconocidas para él. De esta manera, se pueden
ir construyendo estrategias para la resolución de ecuaciones cuadráticas como una alternativa a la
utilización de técnicas estandarizadas y a la memorización de fórmulas.
Las fórmulas de tipo canónica permiten ese trabajo que consideramos formativo para el alumno,
optamos entonces por comenzar con ellas dejando el tipo de expresiones como la factorizada y la
polinómica para más adelante.
Se presenta la consigna 1:
La expresión de la Función cuadrática para trabajarla con las herramientas Graspable Math y
Geogebra.
El siguiente videotutorial se ha realizado para dar a conocer la herramienta Graspable Math a los
estudiantes, y su vinculación con Geogebra (la duración incluye la explicación de las dos
herramientas). Además tendrán otro videotutorial de Maple Calculator para entender su
funcionamiento.
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Imagen 3. Captura de pantalla. Propia autoría.
Herramientas digitales en matemática: Graspable Math - Geogebra - Maple Calculator
2.3.1 Discusión sobre máximos, mínimos, raíces y gráfico de la función
Con este problema nos proponemos que los estudiantes comiencen a utilizar una fórmula para
responder preguntas relativas al contexto de la situación. El análisis de una fórmula puede ser una
tarea nueva para los alumnos, la experiencia nos ha mostrado que los chicos pueden resolver y
justificar lo que hacen y en este sentido comienzan a entablar relaciones que derivan posteriormente
en conclusiones formalizadas mediante el trabajo en clase que les permitirá construir conocimientos
sobre el comportamiento de las fórmulas cuadráticas.
Los alumnos podrían trabajar en pequeños grupos o de manera individual, dependiendo la disposición
específica de cada aula, y el docente podría hacer una recopilación de los datos obtenidos en el
pizarrón con la intención de discutir colectivamente el hecho de que “no siempre que se aumenta el
precio por hora aumenta la ganancia”.
Para este ejercicio, serán muy útiles las herramientas que fueron presentadas con anterioridad
mediante un videotutorial porque nos permitirán visualizar de manera gráfica el comportamiento de la
función que presentó el amigo economista (Geogebra) y manipular esta función para trabajarla de
manera algebraica más fácilmente (Graspable Math). Por otro lado, los alumnos pueden utilizar la
calculadora (Maple) para verificar sus resoluciones desde sus dispositivos móviles.
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Se presenta la consigna 2:
Imagen 4. Captura de pantalla. Propia autoría.
2.3.2 Discusión sobre traslaciones, relación de una función con su gráfico.
Es interesante reflexionar acerca de los números involucrados en la fórmula propuesta, ya que
distintos números ofrecen distintas dificultades en la resolución del problema. Apuntamos a que en el
aula surja una discusión sobre los distintos tipos de traslaciones que puede sufrir una función y cómo
verlos tanto en el gráfico como en la misma función.
Luego de haber recorrido diferentes problemas, haber caracterizado y sacado ciertas conclusiones
sobre las diferentes partes de la función cuadrática en su expresión canónica, les propondremos
trabajar con la calculadora gráfica que nos ofrece geogebra. La misma creemos que es idónea para
realizar una exploración exhaustiva de la relación fórmula-gráfico debido a su fácil manejo y la gran
variedad de opciones que nos brinda. Con ella podrán ver cómo va variando el gráfico según la parte
que se modifique en la expresión, por ejemplo, qué pasa con el gráfico cuando en la función
cambiamos el término fijo, o cuando cambiamos el número que multiplica al paréntesis, o los
elementos que componen a este último. El hecho de que la aplicación permite la superposición de los
gráficos aumentará la experiencia positiva de esta exploración ya que será muy evidente la diferencia
entre un gráfico y el otro. En fin, la idea es que logren un manejo más fluido de las funciones apoyado
en los gráficos, y la información que ambas nos brindan. Esto les dará el pie para realizar la actividad
integradora con mucha más confianza.
Les dejaremos un Videotutorial de Geogebra, analizando estas cuestiones, e invitando a que ellos
mismos pongan esta exploración en marcha.
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2.4 Actividad integradora
Para la actividad integradora propondremos a los estudiantes que hagan 2 preguntas que involucren
los temas tratados en la secuencia. Los temas son: máximos y mínimos (vértices) de la parábola,
raíces de la misma, y ecuación en forma canónica. El medio para hacer estas preguntas será la
herramienta Mentimeter. De esta forma lo que lograremos es evaluar su creatividad y al mismo
tiempo su comprensión sobre el tema, ya que para generar preguntas para otros es necesario
primero comprender de qué se está hablando, y haber analizado, relacionado y procesado el tema a
tratar.
Para que logren llevar a cabo esta actividad, les acercaremos una serie de 3 videotutoriales con una
introducción a Mentimeter, y a algunas de las herramientas que nos brinda.
Esta clase implementará como metodología al aula invertida, ya que los estudiantes deberán ver
estos videotutoriales, trabajar desde sus casas con el material visto en clases y en los videos,
analizarlos, pensar cómo relacionarlos y finalmente trabajar sobre sus actividades en el aula,
armando las imágenes, presentaciones, preguntas, y sacándose las dudas con nuestra ayuda
presencial. Finalmente, al volver a sus hogares, podrían terminar lo comenzado en clases y entregar
la actividad de manera virtual.
La consigna para esta actividad integradora podría ser la siguiente:
Actividad integradora: Luego de ver los tutoriales, utiliza las herramientas de Mentimeter para generar
una presentación con 2 diapositivas, con preguntas interactivas. Las preguntas deben ser sobre
temas trabajados en el aula, y cada una debe tratar un tema distinto, además de tener un formato
diferente. Junto con la entrega de la presentación deberán aclarar cuales son las respuestas
correctas a sus preguntas. Se evaluará comprensión del contenido y creatividad.
Luego de recibir las entregas y evaluar las preguntas, la idea de la secuencia es reutilizarlas para
terminar con la actividad de Feedback:
2.4.1 Evaluación
Ésta es una buena oportunidad para contar con el termómetro en la clase, ponerlos a trabajar solos
con el recurso de la herramientas digitales, para que hagamos un repaso de todo lo trabajado hasta
aquí. Sabemos que la evaluación es un proceso y no un suceso; consecuentemente se lleva a cabo
al comienzo de cada contenido (evaluación inicial), durante el desarrollo de los contenidos
(evaluación formativa) y al finalizar cada contenido, cuatrimestre y el ciclo lectivo (evaluación
sumativa).
A continuación, se presenta una rúbrica sintetizando los criterios, indicadores e instrumentos de
evaluación, teniendo en cuenta que la evaluación será un medio y nunca el fin.
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Imagen 5. Captura de pantalla
2.5 Actividad de retroalimentación (Feedback)
Para actividad de Feedback proponemos la siguiente actividad:
En grupos de 4 estudiantes, armar un cuestionario en la plataforma Plickers. Este cuestionario
deberá estar conformado por un total de 8 preguntas las cuales serán sobre los temas trabajados en
las últimas clases. Dichos temas son: Vértice de una parábola, raíces de la misma, y ecuación en
forma canónica.
Pueden utilizar las preguntas que hicieron para la actividad integradora, no obstante, procuren que el
cuestionario cuente con una variedad de preguntas y que no todas sean sobre el mismo concepto.
(Mínimo dos preguntas sobre cada concepto)
Tengan en cuenta que dicho cuestionario será utilizado para evaluar a sus compañeros, por lo
tanto, las preguntas propuestas deben ser similares a las trabajadas en clase.
La consigna de dicha actividad se presentará no solo por escrito sino que también se les compartirá
el siguiente video
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En dicho tutorial, se les informa a los estudiantes sobre la tarea a realizar y responder a la pregunta
de ¿Qué vamos a hacer? y ¿Cómo lo vamos a hacer?
La idea es que los estudiantes sean quienes realicen la actividad de Feedback y que además la
evaluación sea entre pares. Si bien no serán los estudiantes los que califiquen a sus compañeros, se
utilizará el material que ellos mismos produjeron.
Además, en esta actividad no se pondrá en juego ninguna nota numérica ni conceptual. Cabe aclarar
que si habrá una nota, ésta será en base al compromiso de los estudiantes al realizar el cuestionario
y no en la instancia práctica.
Una actividad de Feedback nos sirve para realizar un diagnóstico sobre qué tanto se comprendió lo
que estuvimos trabajando con los estudiantes. No obstante, este tipo de actividades no solo nos sirve
a nosotros, sino que también es útil para ellos. Les permite conocer su situación y a su vez les ayuda
a lograr identificar aquellos contenidos que no quedaron tan claros, sin la necesidad de recurrir a una
instancia de evaluación en donde es una nota la que determina nuestra situación, siendo quizás un
poco chocante y a la vez “tarde” para cubrir aquellos “baches” que quedaron una vez finalizada la
secuencia.
Respecto a la actividad, se encuentra atravesada por la metodología de “Aula invertida”. Los
estudiantes tendrán que trabajar en conjunto desde sus hogares a través de un documento
compartido de Google Drive con el/la docente. En dicho documento, los estudiantes deberán realizar
las preguntas y dejar las posibles respuesta que tendrá dicha pregunta, aclarando cual es la correcta.
En esta etapa, los estudiantes estarán acompañados por los comentarios que pueda realizar el
docente a modo de ayuda. Una vez finalizada esta etapa y que dichas preguntas sean autorizadas
por el docente, deberán pasar las mismas a un cuestionario, el cual será realizado en la página
Plickers. Mediante un sorteo, a cada grupo se le asignará otro grupo a evaluar. Ambos grupos se
evaluarán mutuamente, por lo que deberán cargar los nombres de dichos integrantes en la lista de
estudiantes que pide Plickers. Para esta actividad, solo se utilizaran 4 de los carteles que nos ofrece
la plataforma.
Para facilitar esta etapa, les acercaremos el siguiente tutorial en donde explicaremos cómo hacer el
cuestionario.
A modo de aclaración, cuando hablamos de que el docente autorice las preguntas, nos referimos a
que sea el docente el que corrobore que no hay ningún error conceptual. Este cuestionario se
utilizará para evaluar a otros estudiantes, un error podría generar una gran confusión y es lo último
que queremos.
Llegado el momento de ejecutar la actividad, utilizaremos una computadora y un proyector. Al
momento de comenzar el juego, un integrante del grupo, el que se registró en la página, ingresará su
cuenta y reproducirá el cuestionario.
Cada integrante del grupo deberá responder 2 preguntas. Una vez finalizado el juego, se les
mostrará el puntaje obtenido.
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Fuentes consultadas
Illuzi, A., Sessa, C. y Azar, G. (2014). Matemática. Función cuadrática, parábola y ecuaciones de
segundo grado. Ministerio de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
https://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/matematica-cuadratica.
pdf.
Rabiela, A. PhD Artorius Aguilar-Rabiela (2018). Análisis te tiro parabólico con Tracker / Parabolic
movement with Tracker. Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=IDlrUYwnPYw&t=1065s&ab_channel=PhDArtoriusAguilar-Rabiela.
Redín, A. (2021). Herramientas digitales para aprender y enseñar Matemáticas. [Diapositiva de
Power Point]. Google Slides.
https://docs.google.com/presentation/d/1Esfs3Iyf1zgfD95F4jDez3rk4be-mqbnGyiocZkX244/edit#slide
=id.p.
Ferreyra, H. y Vidales, S. Enseñar en Educación Secundaria, un compromiso con la construcción de
aprendizajes relevantes y duraderos. http://pa.bibdigital.uccor.edu.ar/2048/1/L_Ferreyra_Vidales2.pdf.
Aja, D., Alonso, A., Diego, R., Ramos, L., San Martín, M., Sousa, M., Villazán, M. y Zorrilla, R. (2016).
Guía Didáctica - Rutinas de Pensamiento - Salesianos Santander. Rutinas de Pensamiento.
http://rutinasdepensamiento.salesianossantander.org/
Organización del trabajo:
Para realizar este trabajo decidimos que todos participaríamos en el armado de todo, es por esto que
organizamos videollamadas y armamos un esquema de la secuencia detallado al que consultamos
para comenzar con la escritura del mismo. Luego, decidimos dividirnos de tal forma que cada
integrante deba dedicar exclusividad a un tramo de la secuencia, y de esta manera poder elegir el
videotutorial que sería más indicado para ese tramo. La división quedó de la siguiente manera:
Actividad disparadora, Carabajal Leonardo; Ejercicio 1 de aplicación, Koch Carlos; Ejercicio 2 de
aplicación y rutinas de pensamiento, Pacheco Jonathan; Actividad integradora, Garcia Torres Julene;
Actividad de retroalimentación, Castellano Agustina. Finalmente, terminamos el trabajo realizando
una lectura integral con corrección grupal.
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