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Interacciones en la clase de matemática: interferencias no
previstas para situaciones previstas.
Patricia Sadovsky - Carmen Sessa
Introducción
¿Cómo evolucionan los conocimientos de los alumnos? ¿Cuáles son las
transformaciones que se producen como producto de su interacción con las
situaciones didácticas? ¿Qué rechazos, qué reorganizaciones, qué economías, qué
nuevos objetos, suponen los aprendizajes que realizan? ¿Cuáles son los elementos
de las situaciones propuestas que constituirán para el alumno un factor de
desequilibrio a partir del cual producirán nuevos conocimientos? ¿Cuáles son los
conocimientos ya disponibles, que podrán utilizar para enfrentar las situaciones
propuestas? ¿Qué límites encontrarán? ¿A partir de qué elementos reconocerán los
estudiantes la insuficiencia de los conocimientos antiguos para tomar decisiones que
les permitan resolver las nuevas situaciones propuestas? ¿Cómo podrán validar las
elecciones que realicen para abordar los problemas que se van presentando? ¿A
partir de qué relaciones establecidas por los estudiantes el docente podrá identificar
un nuevo objeto de aprendizaje? ¿Qué tipo de intervenciones del profesor resultarán
fértiles para sostener el vínculo del alumno con la situación? ¿Cómo hará el
estudiante para tolerar la incertidumbre que le provoca el hecho de verse
confrontado a una situación abierta que le exige tomar decisiones? ¿Cómo
contribuirá el docente a sostener dicha incertidumbre, controlando a su vez la propia
inseguridad que le genera el no saber si el alumno podrá o no avanzar en la
resolución de la situación?
Son estas preguntas fundamentales que orientan nuestro trabajo de investigación en
las aulas, trabajo que enmarcamos en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de
Guy Brousseau (1986). Se trata de preguntas cuya respuesta obliga a poner en
relación muy estrecha, conocimientos antiguos del alumno, situaciones didácticas y
nuevos conocimientos a construir. Es claro que estas preguntas generales, adquieren
una especificidad en función del objeto de enseñanza al cual estemos apuntando.
Pero podríamos decir que las mismas resultan productivas tanto para el diseño de las
situaciones didácticas como para el análisis que realizamos al estudiar su
implementación real en la clase.
Sin embargo, - y reconociendo claramente la fertilidad que tiene para nosotros el
análisis que, muy esquemáticamente, acabamos de describir a través de las
preguntas - sabemos que la realidad es siempre mucho más compleja que cualquier
modelización que de ella podamos hacer. En el aula están los alumnos reales y los
docentes que se enfrentan diariamente al desafío de enseñar. Ellos, todos, tienen
una historia escolar particular, gracias a la cual han construido una cierta cultura
matemática, una cierta racionalidad. O incluso varias sub-culturas que se enfrentan
entre sí. Los elementos que constituyen esta racionalidad están vinculados al
conjunto de prácticas que alumnos y docentes han desplegado a lo largo de muchos
años. Entran allí no solo los aspectos más reconocibles del trabajo matemático
(problemas, conceptos, propiedades, leyes, formas de representación) sino también
aquellos más sutiles e inconscientes que están dados por la reconstrucción personal
que cada sujeto hace del trabajo común. R. Wilder (1981) ha tratado de concebir la
matemática como un sistema cultural que evoluciona. Por sistema cultural él designa
1
un sistema unido por lazos de comunicación entre seres humanos y compuesto por
- una estructura de convicciones, creencias, actitudes, valores, normas, ritos;
- reglas y esquemas inconscientes de pensamiento y de comportamiento, de
maneras de comunicarse con los otros;
- conocimientos explícitos, lógicamente justificados, necesarios en las diferentes
profesiones, que son dominados por un grupo de personas asociadas por algún
elemento en común.
Si bien Wilder desarrolla esta idea para la cultura matemática de una cierta época,
inmersa a su vez en un sistema cultural más amplio, nos resulta interesante
repensarla para la cultura matemática escolar. En definitiva, alumnos y profesores
constituyen, con relación a la matemática, una comunidad que produce un cierto
conocimiento que evoluciona y en el que - nuestro trabajo didáctico lo confirma- el
nivel de las convicciones, creencias, valores, formas de comunicarse con el otro,
jerarquías entre los integrantes, juega un rol importante en las producciones de la
clase.
Es la influencia de algunos elementos que ubicamos en este nivel, difícilmente
atrapable por el análisis a priori de las situaciones didácticas, el que nos interesa
analizar en este artículo.
Discutiremos en particular, un ejemplo a través del cual se pueden identificar
quiebres que se producen entre los conocimientos personales invertidos por un
alumno - o un grupo de alumnos- y la producción colectiva de conocimientos.
Analizaremos también una situación de fractura en la interacción docente- clase, que
se produce cuando los modelos matemáticos del docente lo llevan a identificar como
iguales problemas o procedimientos que para los alumnos son esencialmente
diferentes.
Acerca de las interacciones entre los alumnos
El análisis de las clases observadas en nuestro trabajo de investigación nos ha
permitido identificar un problema que nos interesa comunicar en este artículo pero
que merece - indudablemente - un estudio específico más profundo: las
intervenciones de un alumno particular en las clases son reguladas a través de un
cierto “control” que ejerce el grupo total de alumnos, que no está dispuesto, en
general, a aceptar desarrollos que se alejan demasiado de algo que podría llamarse
“el marco legal implícito aceptado por la comunidad clase”. Este “marco legal” es
producto de las diferentes relaciones con el saber que conviven en el aula y funciona
como una retroacción a las producciones personales de los alumnos. En el mismo,
no sólo participan aquellas reglas que se han institucionalizado, sino también todo
aquello que los alumnos piensan que es posible, que está justificado, que es
razonablemente económico, etc. Es así como intervenciones - correctas o no - que se
alejan de ese marco normativo implícito son rechazadas produciendo una fractura
entre los conocimientos personales invertidos por un alumno - o por un grupo de
alumnos -, en una cierta situación y la producción colectiva de conocimiento.
Analizaremos esta fractura a través de un ejemplo donde mostraremos las
dificultades que surgen en la interacción entre los alumnos cuando trabajan en una
situación que promueve un cambio fundamental respecto del tipo de práctica que
venían desarrollando y que supone, por lo tanto, una ruptura con respecto a aquello
que estaba estabilizado en la clase.
Se trata de una clase de geometría en la que habíamos propuesto una situación
didáctica que apunta a que los alumnos reconozcan los límites de la medición como
manera de leer información sobre una figura, y comiencen a aceptar la deducción
2
como forma de validación de una propiedad. Haremos un breve relato de la situación
para que pueda comprenderse la tensión que se produce entre las producciones de
un grupo de alumnos y el marco normativo de la clase al que acabamos de hacer
referencia.
(Hemos tomado la situación del libro "Initiation au raisonnement déductif au collège"
de G. Arsac et al (1992) y la hemos implementado en un segundo año de una
escuela secundaria pública de Buenos Aires, que corresponde a la formación con
orientación técnica.)
El problema planteado fue el siguiente:
Dado el rectángulo ABCD con AB=10 cm y BC = 6 cm
Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A.
Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en que corta a AB y
J al punto en que corta a CD. También por P trazar una paralela al lado AB, llamar K
al punto en que corta a AD y L al punto en que corta a BC.
¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?
Organización de la clase
Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual
Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor
propone que se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una
solución en conjunto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y
defender ante los otros grupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación
del resultado al que han arribado.
Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados
y se organiza un debate sobre los mismos.
Cuarta etapa: bajo la conducción del docente se realiza un balance final.
Esperábamos que la mayoría de los alumnos resolviera el problema a través de la
medición de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, y es por eso que
las medidas propuestas en el enunciado se eligieron de manera tal de garantizar
errores en la medición sobre los dibujos. Esto provocaría que los resultados de la
medición de cada alumno no fueran coincidentes, haciendo aflorar contradicciones
dentro de cada uno de los grupos y luego entre los diferentes grupos que conforman
la clase.
Hasta la tercera etapa del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a
favor ni en contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que el
docente está activo y participa de todas las cuestiones que no comprometan el
desarrollo del debate posterior. Es decir, si algún grupo llegara a la instancia del
debate con la confirmación del docente de que su resultado es correcto, tal debate no
cumpliría la función para el cual fue previsto.
Habíamos previsto que a partir del trabajo de los grupos y de la discusión en el
debate, se concluiría acerca de la “insuficiencia” de la medición para tomar una
decisión y el docente invitaría entonces a los alumnos a proponer otro tipo de
argumentos para poder arribar a una conclusión satisfactoria para todos. Si en la
segunda etapa algún grupo hubiera arribado a la igualdad de las áreas de los
3
rectángulos a partir de una argumentación deductiva, la discusión en el debate se
centraría en una confrontación de las diferentes prácticas desplegadas, apuntando a
una elaboración colectiva de las diferentes calidades de respuesta que se obtienen a
partir de las diferentes prácticas.
Es importante señalar que esta situación permite generar condiciones para plantear
el límite de ciertos recursos habituales en geometría pero de no podemos asegurar
que “conduce” a la elaboración de pruebas. Aunque el alumno no llegue a producir
por sí mismo una prueba del resultado correcto y sea el docente quien deba
plantearla, se han generado condiciones para que el discurso del profesor no se
monte en el vacío y adquiera entonces alguna significación.
Hasta aquí el análisis que habíamos hecho de la situación antes de su
implementación. ¿Qué sucedió en la clase que observamos? Como estaba previsto,
casi todos los grupos arribaron a una desigualdad entre las dos áreas a partir de
haber medido sobre un dibujo los lados de los rectángulos. Como estaba previsto
también, hubo muchas discusiones respecto de cuál era la medida "verdadera", dado
que en cada ensayo aparecían nuevos resultados. Un grupo sin embargo, a partir de
medidas desiguales - pero necesariamente próximas- concluyó que las áreas debían
ser iguales "porque siempre hay error de medición". Primera marca de una diferencia
entre la racionalidad de este grupo y el resto de la clase. Efectivamente vemos aquí
una utilización de la medición más próxima al uso científico y distante del marco
normativo de la clase, ubicado éste en un plano pragmático y sin capacidad de inferir
un no observable (la igualdad de las áreas) a partir de datos observables (la
proximidad de las mediciones).
En este momento un miembro de nuestro equipo intervino planteándole a este grupo
la necesidad de encontrar una argumentación más sólida para defender su resultado
de igualdad de las áreas en el debate colectivo. Frente a esta intervención el grupo
elabora una argumentación deductiva basada en la igualdad de los triángulos en que
queda dividido el rectángulo a partir de su diagonal. En el momento del debate, este
grupo fundamenta que las áreas son iguales apoyándose sucesivamente en los dos
argumentos que ellos habían encontrado. Esto provoca un rechazo generalizado,
sobre todo por parte de los alumnos más fuertes en matemática, que si bien aceptan
la declaración acerca de los errores en la medición, no consideran que la
argumentación deductiva sea suficiente para arribar a una respuesta:
- "Ustedes lo pensaron con la cabeza, pero analíticamente (refiriéndose a las
cuentas), matemáticamente, no da" - dijo un alumno asumiendo la representación
de la mayoría. La clase acepta que las áreas sean iguales pero exige al grupo
que llegue a esto midiendo sobre el dibujo!!!!!!! Para estos alumnos de escuela
técnica, con hábitos muy arraigados en mediciones y cálculos, la incertidumbre
provocada por resultados diferentes se resuelve afinando la medición y no lleva a
un cuestionamiento de ésta en tanto práctica para decidir sobre la validez de una
relación.
La racionalidad matemática de la mayoría de la clase trabajó aquí en contra de la
incorporación de una práctica nueva, la de la deducción, con una fuerza y una
contundencia que no había sido prevista en absoluto en nuestro análisis didáctico
de la situación. El tiempo invertido por el resto de los grupos en lograr una respuesta
unificada a partir de las mediciones, influyó en parte en la falta de aceptación del
nuevo recurso, que invalidaba el trabajo realizado previamente.
¿Hubiera sido tan fuerte la oposición si ningún grupo hubiera desplegado el recurso
de la deducción en el momento del debate y hubiera quedado a cargo del docente
la invitación a buscar un recurso mas satisfactorio que la medida ? ¿Cómo juegan
4
las jerarquías entre los alumnos de la clase? ¿Cómo son los mecanismos por los
cuales el marco normativo de una clase se modifica a partir de la propuesta de un
alumno o un grupo muy pequeño?
El ejemplo que acabamos de relatar apunta a señalar la necesidad de incorporar en
la interpretación de los hechos de la clase una dimensión que no se puede captar
muy fácilmente a través de los modos usuales de recolección de información: el papel
que juegan en las interacciones del aula las creencias, valores, actitudes y normas
de los alumnos, elaborados como producto de una práctica escolar de muy larga data
y que intentan resistir con fuerza la incorporación de nuevos modos de conocer.
Interferencias en la clase a propósito de los modelos matemáticos del docente
La diversidad en el aula hace muy compleja la gestión del docente, sobre todo en los
momentos colectivos de la clase. Hemos observado, como producto de nuestro
trabajo de investigación dos cuestiones sobre las que es necesario avanzar:
1) El docente tiende a tomar en cuenta casi exclusivamente las producciones de
aquellos alumnos cuya relación con la matemática esta más próxima al saber oficial,
omitiendo introducir en el espacio de la clase las elaboraciones de muchos alumnos
para quienes habría una ruptura entre lo que ellos han hecho y lo que se
institucionaliza (Perrin-Glorian, M.J, 1993). Esta modalidad del docente alimenta la
actitud de los alumnos flojos de hablar sólo en función de lo que ellos piensan que el
docente espera.
2) Los modelos matemáticos que tiene el docente lo llevan a concebir como iguales
producciones que, desde el punto de vista de los alumnos, son esencialmente
diferentes. Este fenómeno se potenciaría cuando se trata de contenidos algebraicos
dado que, relaciones de muy diversa naturaleza establecidas por los alumnos pueden
converger en una única expresión algebraica. (Vergnaud, G; 1981).
Veamos un ejemplo de esta última cuestión. Los alumnos de un séptimo grado - en el
marco de una secuencia de varias clases que no desarrollaremos aquí- debían
obtener tres números que multiplicados dieran por resultado el número 42.
Con mucho trabajo, una alumna, Estefanía, logró reconstruir el siguiente
procedimiento: toma el número 42, lo divide por 1000, aclarando que podría haber
dividido por cualquier otro número; a ese resultado, que es 0.042 lo divide por 2 y
obtiene 0.021. Luego reconstruye que la operación que busca es 1000 x 2 x 0.021.
(No relatamos aquí la gran cantidad de idas y vueltas realizadas por esta alumna
hasta llegar a establecer el procedimiento descripto). En el momento de realizar la
puesta en común, la profesora le da la palabra a Estafanía quien comienza a relatar
su producción:
Estefanía: Yo partí de 42, lo dividí por un número cualquiera, lo dividí por 1000.
Profesora: Vos me lo vas a dar con un ejemplo, yo voy poniendo el procedimiento.
Vos me decís con un número cualquiera. Puede ser cualquiera?
E: Sí
P: Puede ser 80? Puede ser 200? ¿Cualquiera puede ser?
E: Sí. El resultado de ese lo dividí por otro número cualquiera y el último resultado
con los dos números por los que dividí, multiplicados dan 42.
En ese momento la profesora anota en el pizarrón:
5
(42 : número cualquiera) : número cualquiera
P: a ver, cómo sería si los números por los que se divide fueran, por ejemplo, 60 y
25? y anota:
(42 : número cualquiera) : número cualquiera
↓ ↓
60 25
Estefanía queda perpleja ante esta pregunta sin poder responder. Ella no había
atribuido de entrada los dos valores que funcionan como variables independientes,
sino que había elegido un valor, realizado la cuenta y, recién una vez obtenido ese
resultado intermedio, atribuido el otro valor. Desde una concepción procedural y con
una cierta temporalidad como parte del proceso, no puede reconocer su
procedimiento cuando es transformado por la profesora quien, elige simultáneamente
los dos valores por los cuales dividir.
Por su parte, desde su representación matemática, la profesora no puede percibir la
distancia entre el trabajo de la alumna y la "síntesis" que ella realiza en el pizarrón.
Estamos ante una ruptura en la comunicación que - de maneras diferentes- bloquea
tanto a Estefanía como a la docente. Por un lado la alumna no puede recuperar
aquello que tan laboriosamente había elaborado, pierde el sentido matemático de la
situación y tiende a desechar su propia estrategia tratando de apropiarse de la
propuesta de la profesora sin poder establecer una relación entre ambos
procedimientos. Por otro lado la profesora no comprende las razones por las cuales
Estefanía, quien acaba de explicar su procedimiento, no lo puede "aplicar" a otro
caso, incomprensión que atenta contra las posibilidades de intervención de la
docente.
En tanto ruptura en la comunicación, es difícil que este problema pueda ser
identificado como tal por los actores de la situación. Fue en este caso la presencia de
un observador externo la que permitió "atrapar" lo sucedido y tratar de encontrar, en
un trabajo posterior en conjunto con la profesora, una explicación. Se trata sin
embargo de rupturas inevitables y para las cuales, en el mejor de los casos, el trabajo
de investigación ayudará a encontrar maneras de controlarlas.
Conclusiones
¿Por qué es difícil acceder a la "cultura" de un curso antes de la implementación
de las situaciones didácticas? Poner en práctica una secuencia de enseñanza
requiere recoger información respecto del curso particular en el que la misma se
desarrollará. Normalmente para ello, se tienen varios encuentros con el docente, en
los cuales, además de discutir las situaciones que se van implementar, se le pregunta
sobre características del curso, modos de trabajo, sobre los temas dados en ese año
y en años anteriores, etc. Observar las clases antes de la implementación de las
secuencias, revisar las carpetas de los alumnos y el libro de texto que utilizan, son
también maneras habituales de "acceder" a la historia de la clase, historia que va a
resultar esencial para el análisis que podamos hacer acerca de la implementación de
las secuencias didácticas diseñadas.
6
Sin embargo toda esta información recogida previamente, no resulta suficiente para
prever cuestiones como las que hemos analizado en este trabajo, cuestiones que,
como hemos visto, tienen una influencia decisiva en el desarrollo de las clases. ¿Se
trataría entonces de afinar los modos de recolección de información previa? ¿Habría
que incorporar otro tipo de datos que permitieran anticipar más este tipo de
fenómenos? ¿ O más bien habría que aceptar que los mismos se ubican en el nivel
de las creencias, valores y ritos, y son, por lo tanto, inaccesibles a través de los
relatos explícitos de los actores y de las trazas escritas del trabajo en el aula ?
Si bien es necesario avanzar en un trabajo de investigación que se proponga
esclarecer las cuestiones planteadas, los elementos que ya surgen del análisis
parecen indicar que, junto con la incertidumbre que acompaña al alumno en algunos
momentos de su proceso de aprender y junto con la incertidumbre que debe tolerar
el docente como parte de su trabajo de enseñar, un cierto grado de incertidumbre
deberá ser aceptado por los investigadores que aspiran a comprender mejor los
fenómenos relativos al aprender y enseñar matemática.
Referencias bibliográficas .
ARSAC, G et al., Initiation au raisonnement déductif au collège. Lyon, Presses
Universitaires de Lyon, 1992.
BROUSSEAU, Guy, Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática.
Córdoba, Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática Astronomía y
Física, Serie B, Trabajos de Matemática, No. 19, 1986, (versión castellana 1993).
CHARLOT, B, Du raport au savoir. Éléments pour une théorie. Economica,
París,1997.
CHEVALLARD,Yves, (1985,1991) La transposition didactique. Du savoir savante au
savoir enseigné.Grenoble, La Pensée Sauvage.
CHEVALLARD, Yves, Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives
apporteés par une aproche anthropologique, en Recherches en didactique des
mathématiques. Vol 12/1. 73-112. Grenoble. La Pensée Sauvage, 1992.
PERRIN GLORIAN, M.J, Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement
des mathématiques dans les classes "faibles". Recherches en didactique des
mathématiques. Vol. 13/1, 5-118, Grenoble, La Pensée Sauvage, 1993.
VERGNAUD, G., L'enfant, la mathématique et la réalité. Berna, Peter Lang, 1981.
WILDER, R, L, Mathematics as a cultural system. Toronto, Pergamon Press, 1981.
Articulo enviado a la Revista Projeto- Porto Alegre, a comienzos de 2000 y
aceptado par su publicación.
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Interacciones en la clase de matemática

  • 1. Interacciones en la clase de matemática: interferencias no previstas para situaciones previstas. Patricia Sadovsky - Carmen Sessa Introducción ¿Cómo evolucionan los conocimientos de los alumnos? ¿Cuáles son las transformaciones que se producen como producto de su interacción con las situaciones didácticas? ¿Qué rechazos, qué reorganizaciones, qué economías, qué nuevos objetos, suponen los aprendizajes que realizan? ¿Cuáles son los elementos de las situaciones propuestas que constituirán para el alumno un factor de desequilibrio a partir del cual producirán nuevos conocimientos? ¿Cuáles son los conocimientos ya disponibles, que podrán utilizar para enfrentar las situaciones propuestas? ¿Qué límites encontrarán? ¿A partir de qué elementos reconocerán los estudiantes la insuficiencia de los conocimientos antiguos para tomar decisiones que les permitan resolver las nuevas situaciones propuestas? ¿Cómo podrán validar las elecciones que realicen para abordar los problemas que se van presentando? ¿A partir de qué relaciones establecidas por los estudiantes el docente podrá identificar un nuevo objeto de aprendizaje? ¿Qué tipo de intervenciones del profesor resultarán fértiles para sostener el vínculo del alumno con la situación? ¿Cómo hará el estudiante para tolerar la incertidumbre que le provoca el hecho de verse confrontado a una situación abierta que le exige tomar decisiones? ¿Cómo contribuirá el docente a sostener dicha incertidumbre, controlando a su vez la propia inseguridad que le genera el no saber si el alumno podrá o no avanzar en la resolución de la situación? Son estas preguntas fundamentales que orientan nuestro trabajo de investigación en las aulas, trabajo que enmarcamos en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de Guy Brousseau (1986). Se trata de preguntas cuya respuesta obliga a poner en relación muy estrecha, conocimientos antiguos del alumno, situaciones didácticas y nuevos conocimientos a construir. Es claro que estas preguntas generales, adquieren una especificidad en función del objeto de enseñanza al cual estemos apuntando. Pero podríamos decir que las mismas resultan productivas tanto para el diseño de las situaciones didácticas como para el análisis que realizamos al estudiar su implementación real en la clase. Sin embargo, - y reconociendo claramente la fertilidad que tiene para nosotros el análisis que, muy esquemáticamente, acabamos de describir a través de las preguntas - sabemos que la realidad es siempre mucho más compleja que cualquier modelización que de ella podamos hacer. En el aula están los alumnos reales y los docentes que se enfrentan diariamente al desafío de enseñar. Ellos, todos, tienen una historia escolar particular, gracias a la cual han construido una cierta cultura matemática, una cierta racionalidad. O incluso varias sub-culturas que se enfrentan entre sí. Los elementos que constituyen esta racionalidad están vinculados al conjunto de prácticas que alumnos y docentes han desplegado a lo largo de muchos años. Entran allí no solo los aspectos más reconocibles del trabajo matemático (problemas, conceptos, propiedades, leyes, formas de representación) sino también aquellos más sutiles e inconscientes que están dados por la reconstrucción personal que cada sujeto hace del trabajo común. R. Wilder (1981) ha tratado de concebir la matemática como un sistema cultural que evoluciona. Por sistema cultural él designa 1
  • 2. un sistema unido por lazos de comunicación entre seres humanos y compuesto por - una estructura de convicciones, creencias, actitudes, valores, normas, ritos; - reglas y esquemas inconscientes de pensamiento y de comportamiento, de maneras de comunicarse con los otros; - conocimientos explícitos, lógicamente justificados, necesarios en las diferentes profesiones, que son dominados por un grupo de personas asociadas por algún elemento en común. Si bien Wilder desarrolla esta idea para la cultura matemática de una cierta época, inmersa a su vez en un sistema cultural más amplio, nos resulta interesante repensarla para la cultura matemática escolar. En definitiva, alumnos y profesores constituyen, con relación a la matemática, una comunidad que produce un cierto conocimiento que evoluciona y en el que - nuestro trabajo didáctico lo confirma- el nivel de las convicciones, creencias, valores, formas de comunicarse con el otro, jerarquías entre los integrantes, juega un rol importante en las producciones de la clase. Es la influencia de algunos elementos que ubicamos en este nivel, difícilmente atrapable por el análisis a priori de las situaciones didácticas, el que nos interesa analizar en este artículo. Discutiremos en particular, un ejemplo a través del cual se pueden identificar quiebres que se producen entre los conocimientos personales invertidos por un alumno - o un grupo de alumnos- y la producción colectiva de conocimientos. Analizaremos también una situación de fractura en la interacción docente- clase, que se produce cuando los modelos matemáticos del docente lo llevan a identificar como iguales problemas o procedimientos que para los alumnos son esencialmente diferentes. Acerca de las interacciones entre los alumnos El análisis de las clases observadas en nuestro trabajo de investigación nos ha permitido identificar un problema que nos interesa comunicar en este artículo pero que merece - indudablemente - un estudio específico más profundo: las intervenciones de un alumno particular en las clases son reguladas a través de un cierto “control” que ejerce el grupo total de alumnos, que no está dispuesto, en general, a aceptar desarrollos que se alejan demasiado de algo que podría llamarse “el marco legal implícito aceptado por la comunidad clase”. Este “marco legal” es producto de las diferentes relaciones con el saber que conviven en el aula y funciona como una retroacción a las producciones personales de los alumnos. En el mismo, no sólo participan aquellas reglas que se han institucionalizado, sino también todo aquello que los alumnos piensan que es posible, que está justificado, que es razonablemente económico, etc. Es así como intervenciones - correctas o no - que se alejan de ese marco normativo implícito son rechazadas produciendo una fractura entre los conocimientos personales invertidos por un alumno - o por un grupo de alumnos -, en una cierta situación y la producción colectiva de conocimiento. Analizaremos esta fractura a través de un ejemplo donde mostraremos las dificultades que surgen en la interacción entre los alumnos cuando trabajan en una situación que promueve un cambio fundamental respecto del tipo de práctica que venían desarrollando y que supone, por lo tanto, una ruptura con respecto a aquello que estaba estabilizado en la clase. Se trata de una clase de geometría en la que habíamos propuesto una situación didáctica que apunta a que los alumnos reconozcan los límites de la medición como manera de leer información sobre una figura, y comiencen a aceptar la deducción 2
  • 3. como forma de validación de una propiedad. Haremos un breve relato de la situación para que pueda comprenderse la tensión que se produce entre las producciones de un grupo de alumnos y el marco normativo de la clase al que acabamos de hacer referencia. (Hemos tomado la situación del libro "Initiation au raisonnement déductif au collège" de G. Arsac et al (1992) y la hemos implementado en un segundo año de una escuela secundaria pública de Buenos Aires, que corresponde a la formación con orientación técnica.) El problema planteado fue el siguiente: Dado el rectángulo ABCD con AB=10 cm y BC = 6 cm Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A. Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en que corta a AB y J al punto en que corta a CD. También por P trazar una paralela al lado AB, llamar K al punto en que corta a AD y L al punto en que corta a BC. ¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor? Organización de la clase Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor propone que se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una solución en conjunto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y defender ante los otros grupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación del resultado al que han arribado. Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados y se organiza un debate sobre los mismos. Cuarta etapa: bajo la conducción del docente se realiza un balance final. Esperábamos que la mayoría de los alumnos resolviera el problema a través de la medición de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, y es por eso que las medidas propuestas en el enunciado se eligieron de manera tal de garantizar errores en la medición sobre los dibujos. Esto provocaría que los resultados de la medición de cada alumno no fueran coincidentes, haciendo aflorar contradicciones dentro de cada uno de los grupos y luego entre los diferentes grupos que conforman la clase. Hasta la tercera etapa del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a favor ni en contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que el docente está activo y participa de todas las cuestiones que no comprometan el desarrollo del debate posterior. Es decir, si algún grupo llegara a la instancia del debate con la confirmación del docente de que su resultado es correcto, tal debate no cumpliría la función para el cual fue previsto. Habíamos previsto que a partir del trabajo de los grupos y de la discusión en el debate, se concluiría acerca de la “insuficiencia” de la medición para tomar una decisión y el docente invitaría entonces a los alumnos a proponer otro tipo de argumentos para poder arribar a una conclusión satisfactoria para todos. Si en la segunda etapa algún grupo hubiera arribado a la igualdad de las áreas de los 3
  • 4. rectángulos a partir de una argumentación deductiva, la discusión en el debate se centraría en una confrontación de las diferentes prácticas desplegadas, apuntando a una elaboración colectiva de las diferentes calidades de respuesta que se obtienen a partir de las diferentes prácticas. Es importante señalar que esta situación permite generar condiciones para plantear el límite de ciertos recursos habituales en geometría pero de no podemos asegurar que “conduce” a la elaboración de pruebas. Aunque el alumno no llegue a producir por sí mismo una prueba del resultado correcto y sea el docente quien deba plantearla, se han generado condiciones para que el discurso del profesor no se monte en el vacío y adquiera entonces alguna significación. Hasta aquí el análisis que habíamos hecho de la situación antes de su implementación. ¿Qué sucedió en la clase que observamos? Como estaba previsto, casi todos los grupos arribaron a una desigualdad entre las dos áreas a partir de haber medido sobre un dibujo los lados de los rectángulos. Como estaba previsto también, hubo muchas discusiones respecto de cuál era la medida "verdadera", dado que en cada ensayo aparecían nuevos resultados. Un grupo sin embargo, a partir de medidas desiguales - pero necesariamente próximas- concluyó que las áreas debían ser iguales "porque siempre hay error de medición". Primera marca de una diferencia entre la racionalidad de este grupo y el resto de la clase. Efectivamente vemos aquí una utilización de la medición más próxima al uso científico y distante del marco normativo de la clase, ubicado éste en un plano pragmático y sin capacidad de inferir un no observable (la igualdad de las áreas) a partir de datos observables (la proximidad de las mediciones). En este momento un miembro de nuestro equipo intervino planteándole a este grupo la necesidad de encontrar una argumentación más sólida para defender su resultado de igualdad de las áreas en el debate colectivo. Frente a esta intervención el grupo elabora una argumentación deductiva basada en la igualdad de los triángulos en que queda dividido el rectángulo a partir de su diagonal. En el momento del debate, este grupo fundamenta que las áreas son iguales apoyándose sucesivamente en los dos argumentos que ellos habían encontrado. Esto provoca un rechazo generalizado, sobre todo por parte de los alumnos más fuertes en matemática, que si bien aceptan la declaración acerca de los errores en la medición, no consideran que la argumentación deductiva sea suficiente para arribar a una respuesta: - "Ustedes lo pensaron con la cabeza, pero analíticamente (refiriéndose a las cuentas), matemáticamente, no da" - dijo un alumno asumiendo la representación de la mayoría. La clase acepta que las áreas sean iguales pero exige al grupo que llegue a esto midiendo sobre el dibujo!!!!!!! Para estos alumnos de escuela técnica, con hábitos muy arraigados en mediciones y cálculos, la incertidumbre provocada por resultados diferentes se resuelve afinando la medición y no lleva a un cuestionamiento de ésta en tanto práctica para decidir sobre la validez de una relación. La racionalidad matemática de la mayoría de la clase trabajó aquí en contra de la incorporación de una práctica nueva, la de la deducción, con una fuerza y una contundencia que no había sido prevista en absoluto en nuestro análisis didáctico de la situación. El tiempo invertido por el resto de los grupos en lograr una respuesta unificada a partir de las mediciones, influyó en parte en la falta de aceptación del nuevo recurso, que invalidaba el trabajo realizado previamente. ¿Hubiera sido tan fuerte la oposición si ningún grupo hubiera desplegado el recurso de la deducción en el momento del debate y hubiera quedado a cargo del docente la invitación a buscar un recurso mas satisfactorio que la medida ? ¿Cómo juegan 4
  • 5. las jerarquías entre los alumnos de la clase? ¿Cómo son los mecanismos por los cuales el marco normativo de una clase se modifica a partir de la propuesta de un alumno o un grupo muy pequeño? El ejemplo que acabamos de relatar apunta a señalar la necesidad de incorporar en la interpretación de los hechos de la clase una dimensión que no se puede captar muy fácilmente a través de los modos usuales de recolección de información: el papel que juegan en las interacciones del aula las creencias, valores, actitudes y normas de los alumnos, elaborados como producto de una práctica escolar de muy larga data y que intentan resistir con fuerza la incorporación de nuevos modos de conocer. Interferencias en la clase a propósito de los modelos matemáticos del docente La diversidad en el aula hace muy compleja la gestión del docente, sobre todo en los momentos colectivos de la clase. Hemos observado, como producto de nuestro trabajo de investigación dos cuestiones sobre las que es necesario avanzar: 1) El docente tiende a tomar en cuenta casi exclusivamente las producciones de aquellos alumnos cuya relación con la matemática esta más próxima al saber oficial, omitiendo introducir en el espacio de la clase las elaboraciones de muchos alumnos para quienes habría una ruptura entre lo que ellos han hecho y lo que se institucionaliza (Perrin-Glorian, M.J, 1993). Esta modalidad del docente alimenta la actitud de los alumnos flojos de hablar sólo en función de lo que ellos piensan que el docente espera. 2) Los modelos matemáticos que tiene el docente lo llevan a concebir como iguales producciones que, desde el punto de vista de los alumnos, son esencialmente diferentes. Este fenómeno se potenciaría cuando se trata de contenidos algebraicos dado que, relaciones de muy diversa naturaleza establecidas por los alumnos pueden converger en una única expresión algebraica. (Vergnaud, G; 1981). Veamos un ejemplo de esta última cuestión. Los alumnos de un séptimo grado - en el marco de una secuencia de varias clases que no desarrollaremos aquí- debían obtener tres números que multiplicados dieran por resultado el número 42. Con mucho trabajo, una alumna, Estefanía, logró reconstruir el siguiente procedimiento: toma el número 42, lo divide por 1000, aclarando que podría haber dividido por cualquier otro número; a ese resultado, que es 0.042 lo divide por 2 y obtiene 0.021. Luego reconstruye que la operación que busca es 1000 x 2 x 0.021. (No relatamos aquí la gran cantidad de idas y vueltas realizadas por esta alumna hasta llegar a establecer el procedimiento descripto). En el momento de realizar la puesta en común, la profesora le da la palabra a Estafanía quien comienza a relatar su producción: Estefanía: Yo partí de 42, lo dividí por un número cualquiera, lo dividí por 1000. Profesora: Vos me lo vas a dar con un ejemplo, yo voy poniendo el procedimiento. Vos me decís con un número cualquiera. Puede ser cualquiera? E: Sí P: Puede ser 80? Puede ser 200? ¿Cualquiera puede ser? E: Sí. El resultado de ese lo dividí por otro número cualquiera y el último resultado con los dos números por los que dividí, multiplicados dan 42. En ese momento la profesora anota en el pizarrón: 5
  • 6. (42 : número cualquiera) : número cualquiera P: a ver, cómo sería si los números por los que se divide fueran, por ejemplo, 60 y 25? y anota: (42 : número cualquiera) : número cualquiera ↓ ↓ 60 25 Estefanía queda perpleja ante esta pregunta sin poder responder. Ella no había atribuido de entrada los dos valores que funcionan como variables independientes, sino que había elegido un valor, realizado la cuenta y, recién una vez obtenido ese resultado intermedio, atribuido el otro valor. Desde una concepción procedural y con una cierta temporalidad como parte del proceso, no puede reconocer su procedimiento cuando es transformado por la profesora quien, elige simultáneamente los dos valores por los cuales dividir. Por su parte, desde su representación matemática, la profesora no puede percibir la distancia entre el trabajo de la alumna y la "síntesis" que ella realiza en el pizarrón. Estamos ante una ruptura en la comunicación que - de maneras diferentes- bloquea tanto a Estefanía como a la docente. Por un lado la alumna no puede recuperar aquello que tan laboriosamente había elaborado, pierde el sentido matemático de la situación y tiende a desechar su propia estrategia tratando de apropiarse de la propuesta de la profesora sin poder establecer una relación entre ambos procedimientos. Por otro lado la profesora no comprende las razones por las cuales Estefanía, quien acaba de explicar su procedimiento, no lo puede "aplicar" a otro caso, incomprensión que atenta contra las posibilidades de intervención de la docente. En tanto ruptura en la comunicación, es difícil que este problema pueda ser identificado como tal por los actores de la situación. Fue en este caso la presencia de un observador externo la que permitió "atrapar" lo sucedido y tratar de encontrar, en un trabajo posterior en conjunto con la profesora, una explicación. Se trata sin embargo de rupturas inevitables y para las cuales, en el mejor de los casos, el trabajo de investigación ayudará a encontrar maneras de controlarlas. Conclusiones ¿Por qué es difícil acceder a la "cultura" de un curso antes de la implementación de las situaciones didácticas? Poner en práctica una secuencia de enseñanza requiere recoger información respecto del curso particular en el que la misma se desarrollará. Normalmente para ello, se tienen varios encuentros con el docente, en los cuales, además de discutir las situaciones que se van implementar, se le pregunta sobre características del curso, modos de trabajo, sobre los temas dados en ese año y en años anteriores, etc. Observar las clases antes de la implementación de las secuencias, revisar las carpetas de los alumnos y el libro de texto que utilizan, son también maneras habituales de "acceder" a la historia de la clase, historia que va a resultar esencial para el análisis que podamos hacer acerca de la implementación de las secuencias didácticas diseñadas. 6
  • 7. Sin embargo toda esta información recogida previamente, no resulta suficiente para prever cuestiones como las que hemos analizado en este trabajo, cuestiones que, como hemos visto, tienen una influencia decisiva en el desarrollo de las clases. ¿Se trataría entonces de afinar los modos de recolección de información previa? ¿Habría que incorporar otro tipo de datos que permitieran anticipar más este tipo de fenómenos? ¿ O más bien habría que aceptar que los mismos se ubican en el nivel de las creencias, valores y ritos, y son, por lo tanto, inaccesibles a través de los relatos explícitos de los actores y de las trazas escritas del trabajo en el aula ? Si bien es necesario avanzar en un trabajo de investigación que se proponga esclarecer las cuestiones planteadas, los elementos que ya surgen del análisis parecen indicar que, junto con la incertidumbre que acompaña al alumno en algunos momentos de su proceso de aprender y junto con la incertidumbre que debe tolerar el docente como parte de su trabajo de enseñar, un cierto grado de incertidumbre deberá ser aceptado por los investigadores que aspiran a comprender mejor los fenómenos relativos al aprender y enseñar matemática. Referencias bibliográficas . ARSAC, G et al., Initiation au raisonnement déductif au collège. Lyon, Presses Universitaires de Lyon, 1992. BROUSSEAU, Guy, Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática. Córdoba, Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática Astronomía y Física, Serie B, Trabajos de Matemática, No. 19, 1986, (versión castellana 1993). CHARLOT, B, Du raport au savoir. Éléments pour une théorie. Economica, París,1997. CHEVALLARD,Yves, (1985,1991) La transposition didactique. Du savoir savante au savoir enseigné.Grenoble, La Pensée Sauvage. CHEVALLARD, Yves, Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apporteés par une aproche anthropologique, en Recherches en didactique des mathématiques. Vol 12/1. 73-112. Grenoble. La Pensée Sauvage, 1992. PERRIN GLORIAN, M.J, Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement des mathématiques dans les classes "faibles". Recherches en didactique des mathématiques. Vol. 13/1, 5-118, Grenoble, La Pensée Sauvage, 1993. VERGNAUD, G., L'enfant, la mathématique et la réalité. Berna, Peter Lang, 1981. WILDER, R, L, Mathematics as a cultural system. Toronto, Pergamon Press, 1981. Articulo enviado a la Revista Projeto- Porto Alegre, a comienzos de 2000 y aceptado par su publicación. 7