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  • 1. Trabajo final del curso de didáctica de la matemática Como trabajo final, elabore un diseño de un examen de didáctica de la matemática teniendo en cuenta la siguiente guia, donde se enuncia una pregunta con respecto a los referentes que manejamos en el curso y a renglón seguido se da la respuesta, la cual puede se una compilación o un pequeño ensayo que enuncie las ideas mas importantes sobre el tema de la pregunta Problema de la matemática. Examen final Silvia E. López Calificación: 10 (diez) 30/09/05 1. ¿Cómo funciona en la enseñanza y aprendizaje de la matemática la contradicción antiguo – nuevo? La didáctica de la matemática estudia las relaciones y transformaciones que realiza el sujeto en relación a un saber. Esta se funda en supuestos epistemológicos y psicológicos. Uno de esos supuestos constituye la construcción de conceptos nuevos basados o apoyados en los antiguos. Es Regine Douady quien establece que la construcción de un conocimiento se realiza sobre tres puntos fundamentales: a) La dialéctica instrumento – objeto. b) La dialéctica antiguo – nuevo. c) El juego de marcos. a) Un concepto puede ser trabajado como instrumento o como objeto del saber. Cuando el concepto matemático es tomado como herramienta para resolver situaciones entonces la situación problemática, o mejor dicho la situación didáctica estará orientada hacia el concepto como instrumento. Ej: la suma como primera herramienta para el tratamiento del concepto de multiplicación. En cambio cuando ese concepto es tomado como objeto, la diagramación se realiza apuntando a la construcción del concepto en sí. En este caso, el concepto y algoritmo de la suma.
  • 2. b) La dialéctica antiguo – nuevo se determina por el tratamiento de un aprendizaje en etapas: 1. Etapa de búsqueda: El alumno frente a una situación planteada comienza a movilizar esquemas y modelos explícitos que le harán comenzar a intentar resolver la situación planteada. Podrá movilizar los primeros esquemas de resolución (en términos de Vergnaud) para organizar, mediante construcciones mentales, lingüísticas, gestuales, los pasos a seguir. 2. La segunda etapa es la de nuevo implícito: La situación hará que sus modelos no le sean suficientes, resultarán entonces, ineficaces como para que la resolución evolucione. Se movilizan, entonces, nuevos saberes, esta vez implícitos ya que el sujeto todavía no puede explicar ni dar fundamentos a lo que va construyendo o resolviendo. Aquí es importante que el docente, que hasta ahora si no intervino en la relación sujeto – saber, esté atento ya que si la situación cae en un estancamiento debido a la falta de herramientas o a obstáculos por malas concepciones, por ejemplo, deberá intervenir para que el alumno no pierda el interés ni se diluya el sentido que en sí encierra la situación. 3. En esta tercera etapa estos nuevos conceptos que se comienzan a construir se explicitan. El alumno está en condiciones de apropiarse del saber. Se denomina “explicitación” o nuevo explícito. 4. Institucionalización: Esta es una etapa muy importante ya que, en términos de Brousseau aquí el docente debe ayudar al sujeto a ver que fue lo que aprendió, es decir qué concepto pudo construir. 5. En esta etapa se realiza la reinversión del saber en cuestión tratando de que se puedan formar modelos de resolución (en términos de Brousseau) y por lo tanto la fijación del mismo. El concepto ahora podrá constituirse como “antiguo” y será o podrá ser la base para conceptos más complejos. 6. En esta última etapa se complejizará la situación de aprendizaje pudiendo comenzarse nuevamente con la evolución de un nuevo concepto. c)Juegos de marcos: Douady afirma que para que un concepto pueda construirse es necesario, además, su tratamiento en diferentes marcos. Por ejemplo: fracciones en el marco numérico o en el marco geométrico.
  • 3. Y que para lograr una evolución satisfactoria es necesario trabajar los conceptos desde, al menos, dos marcos diferentes. 2. Chevallard sostiene que el saber no lleva en sí mismo la finalidad de ser enseñado, sino solamente la necesidad de ser enseñado. Es la sociedad la que requiere que una parte del saber científico se lleve a la enseñanza porque será de utilidad social ¿Cuál es el concepto desarrollado por Chevallard como respuesta al mencionado pensamiento? ¿Cuál es el rol en la enseñanza de la matemática dentro de un sistema educativo? En la década de los ´80 Ives Chevallard comienza a preocuparse por la relación del sujeto con el saber. Ya en la década del ´70 la preocupación de los estudiosos de la matemática apuntan al estudio de las relaciones que conforman la tríada saber – docente- sujeto ya que hasta entonces se tenía en cuenta la díada sujeto – docente. Nace en este período la llamada didáctica fundamental con personalidades como Artigue (estudio de la ingeniería didáctica) Vergnaud (campos conceptuales) Brousseau (Teoría de la situaciones) y el propio Chevallard que, preocupado, específicamente por el tratamiento del saber propone la Teoría de la transposición didáctica, que no está pensada exclusivamente para la didáctica de la matemática sino también para otras ciencias, sobre todo las de tipo experimental. Esta teoría se fundamenta en que el saber, generado por el investigador, llamado saber sabio debía sufrir una transformación para que pueda ser ingresado en el sistema didáctico. En la primera parte de la teoría se describe la historia como su definición, en una segunda parte se realizan los fundamentos epistemológicos y la distribución del tiempo. La transposición didáctica consta de dos partes. Una primera parte que es el pasaje del saber sabio al saber a enseñar y una segunda parte que es el pasaje del saber a enseñar al saber enseñado. La primera se realiza en el nivel externo o sea, en la noosfera que la integran todos los que piensan la matemática (si de esta didáctica hablamos). En esta etapa el docente no participa. Es el pasaje de los saberes sabios al currículum formal. Constituyen la noosfera, los políticos, los pensadores del currículum, los diagramadores de los libros y manuales, los directivos, administradores y hasta los padres. Es aquí donde la transposición tiene incidencia en la enseñanza dentro del sistema educativo.
  • 4. La segunda parte es la transposición interna y esta se realiza en el seno del aula. La realiza el docente y debe tener en cuenta en ella el currículum real (en términos de Perronault) ya que debe tener presente la realidad cultural, social y económica del sujeto que aprende. Toda la reforma de los currículums en la Argentina, que tuvo lugar en la década del ´90 fue consecuencia de esta mirada diferente del tratamiento del saber. La creación de los CBC en sus tres niveles, nacional, jurisdiccional y el PEI (Proyecto de Educación Institucional) generaron documentos de capacitación docente para entrenar a los docentes en esta nueva mirada. La transposición puede ser vista como un mal necesario cuando los integrantes de la noosfera sienten que se está faltando al saber erudito, al saber del científico. Lo cierto es que Chevallard indica que es necesario tener buenas transposiciones para construir buenos conocimientos y que “el saber no lleva en sí mismo la finalidad de ser enseñado, sino solamente la necesidad de ser enseñado” tomándose como herramienta para que el sujeto se relacione con el medio. Cuando el saber pasa a ser textualizado o sea cuando se elabora el texto del saber (en la noosfera) este sufre la influencia de:  La desincretización : cuando es dividido en unidades más pequeñas para su tratamiento.  La redespersonalización ya que el docente realiza el trabajo inverso al científico quien personaliza y contextualiza el saber.  La programabilidad : Esta influye ya que aquí depende mucho de la mirada que el docente tenga sobre el contrato didáctico, sobre el contrato pedagógico (propio de la institución) del concepto que el tenga de qué es aprender o enseñar y que no se sienta presionado para evitar que saltee etapas en la construcción del conocimiento.  También influye la cronogénesis (manejo del tiempo) ya que el tiempo de enseñar reconstruye y el tiempo de aprendizaje destruye la cronogénesis. Todo oo que el docente puede haber supuesto que le llevaría (en términos de tiempo de enseñanza) sufre las consecuencias del tiempo de aprendizaje que no siempre se puede suponer de antemano. El docente controla el futuro.  La topogénesis: es el lugar del docente y del alumno con respecto al saber. El docente sabe todo y sabe más. Pero debe, realizar siempre, una vigilancia epistemológica (en términos de Chevallard) para no caer en la obsolescencia del saber, es decir que siempre el saber debe, tener como referencia el saber sabio, aún después de la transposición y debe estar lo suficientemente alejado del saber banal de los padres.
  • 5.  Además debe, poder ser evaluado y debe tener carácter social, tomado esto como sinónimo de público. 3. ¿Cómo define Guy Brousseau el sentido de un conocimiento matemático? Brousseau indica, en su teoría de Situaciones, que el alumno aprende sólo cuando la situación planteada tiene sentido, tiene significado para él. El sentido de una situación (Brousseau trata a la situación en términos de relaciones) está dada por : El tejido de situaciones de prueba que harán que el alumno comience a movilizar sus saberes previos. El tejido de formulaciones y representaciones que generarán la manipulación del saber generando pasos a seguir, diagramación de la actividad. Los modelos explícitos: como los saberes previos que harán que movilice y genere modelos implícitos. El tejido de relaciones: Entre los diferentes elementos del sistema didáctico. Charnay, determina que, según Brousseau, el sentido de un conocimiento se define por: No sólo la colección de situaciones en la que el conocimiento es tomado como teoría matemática. No sólo por la colección de situaciones en las que el conocimiento es tomado como instrumento valido de resolución, sino también por los errores que evita, las concepciones que rechaza y las formulaciones que retoma. Y determina, además, que el sentido está dado en dos niveles:  Un nivel externo: Es el campo en el que el concepto es utilizado y sus limitaciones y…  Un nivel interno: Que es donde se observa el funcionamiento de esa situación. Como funciona en sí (algoritmo, etc) Ejemplo: (Real realizado en un colegio de Tigre) Para la enseñanza de los números decimales, más específicamente la multiplicación de números decimales se propuso la fabricación de dos arcos de fútbol en caños de PVC. El proyecto, por supuesto, estaba cargado de significado para los chicos ya que poseían una motivación generada por el uso de los arcos en sí. A la hora de comprar los materiales tuvieron que realizar los cálculos correspondientes. Al no tener el concepto de multiplicación de números decimales (aunque sé se había trabajado el concepto de decimal a través del armado con
  • 6. material concreto) se tuvieron que organizar para calcular cuánto costarían los 18 metros de caño a $3,75 el metro. El nivel externo de la situación estaba dado por el tratamiento de los números decimales y la operación (en este caso multiplicación) y la limitación fue el precio por metro. Los alumnos pudieron resolverlo separando pesos de centavos y multiplicando por separado pudieron realizar al final el canje de los centavos a pesos y por suma realizar el cálculo final: 3,75 X 18 3 Centavos X 18 75 X18 …………… centavos El nivel interno estuvo dado por el uso de cálculos aproximativos, estimación de cálculos previamente a resolver cuyo concepto les sirvió para institucionalizar el saber o sea, determinar cómo se realizaba el algoritmo de la multiplicación de números decimales. 4. Desarrolle sintéticamente el aporte que Vergnaud realiza a la didáctica de la matemática con la teoría de los Campos conceptuales. Vergnaud es un psicólogo y especialista en didáctica de la matemática, por lo tanto su teoría de los campos conceptuales está basada en la psicología. Tanto en Piaget cuando indica que el sujeto aprende por relaciones con un medio que le proporciona contradicciones y hace que se generen acomodaciones y asimilaciones. También se apoya en la noción de aprendizaje por adaptación de Brousseau. Para Vergnaud, quien hace una primera redacción de su teoría en 1981 y una segunda versión en 1991, es fundamental basar el aprendizaje en la relación entre conceptos y el nivel cognitivo del sujeto. Define campo conceptual como el conjunto de situaciones o problemas que conllevan procedimientos y conceptos variados en estrecha relación. Su teoría se basa en que:
  • 7.  Una misma situación puede engendrar varios conceptos y un mismo concepto puede estar involucrado en varias situaciones.  Que los aprendizajes, no se realizan de un día para el otro, muchas veces lleva años su construcción.  Que son importantes los teoremas en acto que son las preposiciones verdaderas o falsas que el sujeto enuncia ante una situación (invariables operatorias).  Que es importante jerarquizar la parcialización que se realiza de los conceptos tratando de conformar una estructura.  Que son importantes, también, los esquemas que el sujeto posee (representaciones mentales, gestuales, lingüísticos, etc) que el sujeto posee para comenzar a ordenar su razonamiento. Vergnaud, en su teoría, realiza el estudio de conceptos de relación estrecha estudiados como campos conceptuales. Así comienza estudiando diferentes campos como:  El de las estructuras aditivas: incluyen suma, resta, numeración, relacion parte todo, nociones de geometría, etc.  El de las estructuras multiplicativas: Multiplicación, división, proporcionalidad, función lineal, etc. Además de:  El campo de las magnitudes continuas de carácter estático: volumen, superficie, peso específico, etc. (perímetro y magnitudes).  El campo de la dinámica: Que incluye los conceptos trabajados en física como movimiento, aceleración, etc. Vergnaud realiza, además, una detallada descripción de los elementos que intervienen en su teoría como los esquemas, las situaciones, los conceptos y las ya nombradas invariables operatorias, pero respetando la consigna que indica sintetizar, me parece oportuno sólo nombrarlas. Silvia López.