5. A esta idea de una matemática dada, bajo una u otra forma, contrapongo la idea de una matemática construida . La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar. (Charlot)

6. Hacer matemática no consiste en una actividad que permita a un pequeño grupo de elegidos por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy particular por su abstracción. Hacer matemáticas, es un trabajo del pensamiento, que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.

7. Democratizar la enseñanza de la matemática supone en principio que se rompa con una concepción elitista de un mundo abstracto que existiría por sí mismo y que sólo sería accesible a algunos y que se piense en cambio, la actividad matemática como un trabajo cuyo dominio sea accesible a todos mediante el respeto de ciertas reglas.

9. Desde la enseñanza clásica, el saber matemático aparece para el alumno no como un sistema de conceptos que permiten resolver problemas sino como un gran discurso codificado, normalizado, simbólico, "abstracto".

10. Esta separación entre la actividad matemática y sus resultados, entre los problemas y los conceptos, engendra un fracaso escolar importante. Explican este fracaso, diciendo que las matemáticas son difíciles porque son abstractas y resuelven que a los alumnos con dificultades escolares hay que enseñarles las matemáticas partiendo de lo concreto.

11. En síntesis, si el aprendizaje de las matemáticas es actualmente difícil no es porque las matemáticas son abstractas, sino porque este aprendizaje no está basado en la actividad intelectual del alumno sino en la memorización y aplicación de saberes de los que el alumno no ha comprendido realmente el sentido.

12. El punto de partida de la actividad matemática no es la definición sino el problema .

19. Se aprende por necesidad y carencia : Se aprende por adaptación a un medio que ofrece resistencia.

20. Los alumnos, para transformar sus respuestas y conocimientos en saber deberán, con la ayuda del maestro, al resolver diferentes situaciones en donde el conocimiento sea herramienta, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha construido en un contexto particular, para poder reconocer en lo que ha hecho, algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable (Brousseau, G. 1986).

23. Construir un triángulo ABC. Ubicar el punto medio M sobre el lado AB y trazar la mediana. ¿Cuál de los dos triángulos AMC y CMB tiene mayor área? B M C A

27. La práctica de este modo de hacer matemática, debería progresivamente permitir a los alumnos descubrir: – que tener ideas “inteligentes” no está reservado a otros. – que tener ideas está bien pero hay que conseguir formularlas, hacerlas comprensibles para los demás. – que lo más importante en la resolución de un problema no consiste en precipitarse a dar la solución “correcta” sino más bien llegar a plantearse las preguntas correctas”, ver en qué sentido el problema es más sencillo o más difícil de lo que había parecido al principio.

28. La práctica de este modo de hacer matemática, debería progresivamente permitir a los alumnos descubrir: – que cuando no hemos comprendido algo, se nos plantean paradojas o contradicciones porque hemos planteado mal el problema, no nos encontramos solos en este caso; a veces somos diez, a veces cincuenta, a veces incluso todo el mundo se encuentra en esta situación. Y si nadie se atreve a admitirlo, a hacerlo saber, perdemos una ocasión formidable para progresar y comprender. – que no hay nada de humillante en ser el autor de un razonamiento erróneo porque las situaciones de búsqueda que se proponen en clase no tienen como objetivo demostrar lo que ya se sabe sino hacernos penetrar nuevas problemáticas: saber de qué hablamos, qué es exactamente y qué no es, conocer los razonamientos que funcionan y los que nos hacen caer en un círculo vicioso.

30. Hay muchas formas de conocer un concepto matemático, éstas dependen de todo lo que una persona haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto. Es éste un punto de partida fundamental para pensar la enseñanza: El conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático construirá el sentido de ese concepto para ese alumno.

31. “ ...No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica: la matemática en este nivel es el primer dominio –y el más importante– en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad. Aprenden en él –o deberían aprender en él– no sólo los fundamentos de su actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinentes; cómo convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra su deseo o su interés; cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común... Soy de los que piensan que la educación matemática, y en particular la educación matemática de la que acabo de hablar es necesaria para la cultura de una sociedad que quiere ser una democracia...” (Brousseau, G. 1989)

32. ¡Muchas Gracias!