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¿Qué significa aprender matemática?
Antes de introducirse en una propuesta didáctica, es conveniente analizar qué se entiende por
aprender matemática. Casi todos los profesionales que tienen a su cargo la educación
matemática, coinciden en que ésta tiene como objetivo fundamental que los alumnos se apropien
de un conjunto de contenidos, y que desarrollen la capacidad de razonar. Pero, ¿hay coincidencia
en el significado que todos los miembros de la comunidad educativa le dan a esos dos objetivos?
Seguramente no, y se impone la necesidad de llevar a cabo instancias de reflexión y
comunicación.
A través de este trabajo no se pretende de ninguna manera suplir ese tipo de instancias, que por
otra parte son irreemplazables y deben comprometer a toda la comunidad. Lo que sí se pretende
es desarrollar algunas ideas que orienten la reflexión y la búsqueda de recursos didácticos.
En cuanto a lo concerniente a la definición de objetivos, se impone la necesidad de analizar los
significados precisos que se le asignan a expresiones tales como apropiarse de un conjunto de
contenidos y aprender a razonar. Este análisis puede servir tanto para la evaluación del logro de
los objetivos que cada docente pueda hacer en relación a su propia acción, como para la
definición de objetivos en el futuro y la elección de propuestas didácticas.
En primer lugar, la apropiación de contenidos entendida como conjunto no hace referencia a la
organización de dichos contenidos, ni da cuenta del tipo de estrategias que se espera que el
alumno ponga en funcionamiento en relación a los mismos.
Los siguientes son ejemplos de tipos de estrategias que son relevantes al hablar del aprendizaje y
de la utilización de conceptos:
 Recordar la definición de un concepto.
 Integrar conocimiento nuevo con conocimiento anterior.
 Utilizar un concepto en un problema tipo.
 Utilizar un concepto en un problema nuevo.
 Utilizar y reconocer explícitamente que un concepto particular hace posible la resolución de
un problema nuevo.
 Describir las características de los problemas para los cuales un concepto es instrumento
para su resolución.
Es evidente que existen diferencias importantes entre las distintas estrategias mencionadas, en
cuanto al nivel de complejidad y de organización conceptual que suponen. Por otra parte, también
sugieren que las diferentes perspectivas desde las cuales puede considerarse la apropiación del
conjunto de contenidos, no se restringe a una cuestión de matices.
Por ejemplo, la mayoría de las capacidades mencionadas hace referencia, con distintos niveles
de explicitación, a la consideración de los contenidos desde la perspectiva de los modelos
matemáticos: la resolución de un problema implica establecer relaciones entre las variables
involucradas, y la utilización de un concepto en ese contexto significa adoptarlo como modelo
adecuado.
Cabe destacar que esto último no significa que esa elección deba ser necesariamente consciente
por parte del alumno en cada situación. La elección de qué tipo de estrategias habrá de buscarse
en relación a cada contenido, deberá hacerse sobre la base de un cuidadoso análisis de la
situación particular.

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La construcción de los conceptos está íntimamente ligada a dicho aspecto modelizador: construir
un concepto es no solo arribar a una definición del mismo, sino también establecer el conjunto de
problemas que dicho concepto permite resolver. Esto es, establecer el alcance y las limitaciones
del mismo como modelo.
El trabajo con grafos permite relacionar en forma transversal múltiples contenidos, inclusive tiene
aplicaciones en otras áreas del conocimiento, el análisis de esa complejidad debería guiar la
práctica docente no solo en términos de las limitaciones, sino también, y muy especialmente, en
término de las oportunidades que cada situación particular ofrece.
Más allá de la utilización de los modelos como instrumento para la construcción de conceptos, la
construcción del concepto de modelo es importante en la educación matemática.
El estudiante debe descubrir, a medida que avanza su estudio en la escuela, que la matemática
provee modelos de descripción de fenómenos de muy distinta naturaleza. Construir el concepto
de modelo matemático significa, a grandes rasgos, saber que la matemática como disciplina
dispone de recursos para, ante un fenómeno o situación proveniente de cualquier campo del
conocimiento, y en interacción con los especialistas en esa disciplina, describir las propiedades
mas importantes en el lenguaje de la matemática, y a través de operar con las relaciones
establecidas, ofrecer conclusiones acerca del fenómeno.
En fin, es descubrir el carácter anticipador de la matemática en el sentido de ser una disciplina
que permite predecir el resultado de experiencias no realizadas.
El objetivo relevante es que los alumnos arriben a una concepción de la matemática como ciencia
que, entre otras cosas, permite establecer relaciones entre objetos de la matemática misma, o
provenientes de otros campos del conocimiento y predecir resultados a partir de dichas
relaciones.
Cabe señalar que este objetivo se alcanzaría de manera transversal en una propuesta didáctica
que tuviera en cuenta la adquisición de conceptos desde la perspectiva de los modelos. La razón
es simple: el concepto de modelo, como cualquier otro concepto, se lograría por abstracción, a
partir del conjunto de situaciones en que se han puesto en juego modelos particulares.
 Hacer matemática es también analizar la variación de las soluciones cuando varían los datos
del problema, es descubrir que la variación de datos puede, por ejemplo, transformar un
problema con solución única en otro problema con infinitas soluciones.
 Hacer matemática es descubrir que hay problemas que no tienen solución, y que, en esos
casos, resolver el problema significa dar los argumentos que validen dicha afirmación.
 Hacer matemática es tener alguna previsión de los resultados que se esperan, de manera de
poder rechazar resultados absurdos, teniendo en cuenta las características del problema.
 Hacer matemática es poder representar una situación de distintas maneras teniendo en cuenta
que cada tipo de representación pone de relieve algún aspecto particular.
 Hacer matemática es justificar algoritmos, es descubrir nuevos procedimientos para obtener los
resultados de las operaciones, eligiendo la ocasión de usar uno u otro procedimiento en
función de la economía que procura, u otros criterios que resulten convenientes.
 Hacer matemática es también aceptar que hay varias estrategias posibles para resolver un
problema, argumentar para defender los propios procedimientos, reconocer la validez o no de
las producciones de los compañeros, comparar los distintos caminos en función de criterios
tales como la economía, la simplicidad, los recursos disponibles, etc., y rechazar las
estrategias equivocadas.

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 Hacer matemática es encontrar estructuras comunes en problemas que difieren en aspectos
superficiales.
 Hacer matemática es elaborar definiciones, mas que repetir definiciones dadas por otros, es
buscar ejemplos mas que solicitarlos, es proponer contraejemplos cuando se quiere demostrar
que cierta propiedad no es válida, es encontrar sentido a las hipótesis de un teorema, es
hacerse preguntas además de responderlas.
Aprender matemática es apropiarse de contenidos particulares (por ejemplo grafos) y de un modo
de producción. Esta afirmación se realiza en dos sentidos diferentes: por un lado, el conocimiento
matemático no puede, no debería restringirse nunca a los contenidos conceptuales, dejando de
lado el modo de proceder, por otro lado, una verdadera apropiación de los contenidos supone la
puesta en juego (y en consecuencia el aprendizaje) de las capacidades citadas.
Se trata entonces de que ambos aspectos del aprendizaje se vean expresados explícitamente a
través de los objetivos, así como también las relaciones entre los mismos, y los niveles de logro a
lo largo de la escolaridad.
1. El proceso de enseñanza
Según Chevallard, el sistema didáctico está compuesto por tres subsistemas: el subsistema
docente, el subsistema alumno y el subsistema conocimiento enseñado.
Alumno
Saber Docente
El proceso de enseñanza de la matemática se inserta en el sistema didáctico, y puede pensarse
desde un marco teórico sustentado en cuatro teorías.
a) Chevallard: La transposición didáctica
El trabajo que transforma de un objeto de saber enseñar en un objeto de enseñanza, es
denominado la transposición didáctica.
Chevallard1
se preguntó la relación que existe entre el conocimiento que se enseña en la escuela
y el conocimiento producido por el científico.
Ahora bien, se puede ir más lejos y pensar en tres etapas del proceso de transposición didáctica:
 del saber sabio (conocimiento producido por el científico) o de referencia al saber a
enseñar.
 del saber a enseñar al saber enseñado.
1
Yves Chevallard es profesor en el Instituto Universitario de Formación de Profesores (IUFM) y de Investigación
Matemática en la Universidad de Aix Marseille, Francia. Es conocido internacionalmente por su teoría de la
transposición didáctica y últimamente por el fértil desarrollo de la Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD).

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 del saber enseñado al saber aprendido (por el alumno).
La distancia entre el saber sabio y el saber aprendido con frecuencia es inmensa y requiere de
una vigilancia epistemológica.
Frente a cada nuevo concepto, se debe tener presente que el saber erudito o de referencia,
conllevará un trabajo de transformación hasta convertirse en un saber aprendido, y habría que
preocuparse asimismo por su correspondencia, reduciendo al mínimo posible esa distancia
debida a la transposición didáctica.
Las necesarias y sucesivas adaptaciones, conllevan numerosos riesgos. En primer lugar
provocan un olvido de la lógica y del contenido del conocimiento adaptado. En segundo lugar, la
sustitución del objeto de conocimiento puede conducir a que se considere como conocimiento
erudito aquello que es sólo su traducción. En tercer lugar, puede ocurrir que la adaptación
provoque una deformación, por lo que da lugar a la creación de un falso objeto de conocimiento.
Muchas veces se presenta al alumno porciones del conocimiento. Para facilitar su enseñanza se
aíslan ciertas propiedades o nociones, olvidando su sentido, origen, motivación y empleo, y se los
trasponen al contexto escolar.
Frecuentemente la institución escolar tiene la ilusión de ver en los objetos de enseñanza copias
fieles del conocimiento científico. Es por eso que se debe ser cuidadoso al llevar a cabo la
transposición didáctica, para que la distancia que separa el saber aprendido del saber erudito sea
mínima.
b) Douady: La dialéctica instrumento-objeto
Régine Douady2
distingue en los conceptos matemáticos, su carácter instrumento y su carácter
objeto. Por instrumento se entiende su funcionamiento científico en los diversos problemas que
permite resolver. Por objeto se entiende el concepto matemático considerado como objeto
cultural, que tiene lugar en una construcción más amplia que en la del conocimiento inteligente en
una momento dado, reconocido socialmente.
La dialéctica instrumento-objeto es contraria a una enseñanza tradicional donde aprendo-aplico,
donde primero deben enseñarse los algoritmos y definiciones para luego buscar que situaciones
permiten aplicar los conceptos trabajados.
Por el contrario, Douady, destaca que resulta imposible aprender cuando un concepto carece de
sentido para el alumno. Brousseau aporta que un conocimiento matemático adquiere sentido
"....no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es
realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones
donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por
el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de
economías que procura, de formulaciones que retoma, etcétera”.3
La construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:
 un nivel externo ¿cuál es el campo de utilización de ese conocimiento y cuáles son los
límites de este campo?
2
Régine Douady es profesora del IREM (Instituto de investigación en Educación Matemática) de la Universidad París
VII, en París.
3
Parra Cecilia, Saiz Irma, Didáctica de matemáticas, Buenos Aires, Paidós Educador, 1997, 5 ed., páginas 52 y 53,
capítulo III.

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 un nivel interno ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona
un algoritmo y por qué conduce al resultado esperado?)
La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los
conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?
El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones
nuevas, de aceptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.
Y es en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver
problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas
podrán ser estudiadas por sí mismas.
c) Brousseau: La teoría de las situaciones didácticas
El docente debe proponer y organizar una serie de situaciones con distintos propósitos y
desafíos. Para ello Guy Brousseau4
propone diferentes fases. Estas situaciones deben dar
sentido a los conocimientos que se quieren enseñar, es decir, contextualizar y personalizar el
saber para pasar a otra situación de descontextualización en la que se logra despegar el saber
de aquellas que le dieron origen. De esta manera, al conocimiento como instrumento se le otorga
un carácter de conocimiento científico convencional.
Para Brousseau todo conocimiento debería estar determinado por una solución. Las
concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones
de problemas en los que son puestos y en el curso de las cuales los conocimientos anteriores son
movilizados para ser modificados, completados o rechazados.
Para que los alumnos produzcan una actividad científica deben poder: actuar, formular, probar y
reconocer el conocimiento. Estas acciones se denominan funciones del saber, Brousseau las
llama: acción, formulación, validación, institucionalización y consolidación.
d) Vergnaud: La teoría de los campos conceptuales
El campo conceptual, se define como un conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica
esquemas, conceptos y teoremas en estrecha relación. Siendo los conceptos y teoremas los que
permiten analizar las diferentes tareas cognitivas que intervienen en las situaciones didácticas así
como las operaciones de pensamiento.
La teoría de los campos conceptuales se basa en:
 Un concepto adquiere sentido en función de la multiplicidad de problemas en que
interviene.
 Un concepto no es una isla, cuyo funcionamiento se manifiesta de manera independiente,
sino que se vincula con otros en una entramada red.
 Las propiedades y relaciones que se derivan de los conceptos se producen a través de
filiaciones y ruptura a lo largo de su génesis.
4
Nacido en 1933, Guy Brousseau comenzó su carrera como maestro de educación primaria en 1953. Al final de los
sesenta, tras graduarse en matemática, ingresó en la Universidad de Burdeos. En 1986 completó su "doctorado de
estado" y en 1991 se convirtió en catedrático en el nuevo Instituto Universitario de Formación de Profesores (IUFM)
de Burdeos, donde trabajó hasta 1998. Es ahora Profesor Emérito en el IUFM de Aquitania y Doctor Honoris Causa
de la Universidad de Montreal.

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Por otro lado se debe pensar que la apropiación de un conocimiento matemático, aparece por lo
general como parte de una red de conceptos vinculados unos con otros, y que la adquisición de
ellos se da simultáneamente.
Los conceptos de número, magnitudes, número racional y medidas son, por ejemplo,
instrumentos para la resolución de problemas de proporcionalidad directa, pero al mismo tiempo,
parte relevante del significado de los mismos es obtenido por los chicos a través de la resolución
de situaciones de proporcionalidad.
La teoría de los campos conceptuales se interesa en el análisis de las operaciones de
pensamiento (herramientas de la mente), porque es el corazón mismo de las
conceptualizaciones. Pero es necesario que esas operaciones de pensamiento, variadas y
diversas, estén presentes siempre en las situaciones problemáticas que se le presenten al
alumno.
2. El proceso de aprendizaje
Existe una divergencia entre aquellos que piensan que los conceptos se aprenden asimilando sus
atributos (rasgos que los caracterizan) de manera independiente, principalmente por asociación y
acumulación, y aquellos otros que consideran que los conceptos forman parte de una estructura
superior de significado, no atomizada, que se caracteriza sobre todo, por las relaciones que se
establecen entre ellos. En el primer caso, el cambio producido en la persona como consecuencia
del aprendizaje es más cuantitativo, y se consigue agregando cada vez un mayor número de
atributos. Mientras que en el segundo, tiene lugar un cambio de la propia estructura de
conocimiento a través de la reordenación de esquemas, de manera que adquiera así más
importancia la comprensión, que la acumulación, es decir, se produce una variación
principalmente cualitativa.
El trabajo del docente debe ser el de constructor de conocimientos. Para ello debe proponer al
alumno una situación de aprendizaje con distintos obstáculos (variables didácticas), el alumno
ensaya, busca soluciones, confronta con sus compañeros para que poder producir sus
conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y no a un deseo del maestro.
Para el trabajo diario se puede analizar algunas teorías de aprendizaje que ofrecen un abanico
muy rico de herramientas.
a) Piaget: constructivismo
¿Qué aporta Piaget5
al proceso de aprendizaje?
Si bien sus estudios poseen una profunda visión epistemológica y son el resultado de una amplia
producción psicológica, muestran una escasa preocupación por los temas pedagógicos.
Piaget concibe al aprendizaje como un proceso adaptativo que se desarrolla en el tiempo en
función de respuestas dadas por el sujeto a un conjunto de estímulos anteriores y actuales.
El medio opone al sujeto situaciones perturbadoras, desequilibradoras de un estado momentáneo
de equilibrio del sujeto, a las cuales debe dar respuestas, compensando estas perturbaciones
5
Nacido en Ginebra en 1896, el psicólogo suizo se dedicó especialmente a la psicología infantil y genética.

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mediante acciones reales o virtuales, (reequilibración en un nuevo estado superior y modificado
respecto del anterior).
Dentro del proceso de aprendizaje, el alumno lleva una búsqueda activa que compense los
desequilibrios, acomodando sus esquemas a las situaciones planteadas. Es decir, que frente a un
desequilibrio y un equilibrio posterior, él obtiene esquemas de conocimientos enriquecidos en
complejidad y reestructurados en un estado superior.
Una lectura inteligente de Piaget permite considerar la concepción constructivista. Entendiendo a
esta no como una teoría en sentido estricto, pero si como un marco explicativo que partiendo de
la consideración social y socializadora de la educación escolar, integra aportes diversos cuyo
denominador común lo constituye un acuerdo en torno a los principios constructivistas.
Para la concepción constructivista aprendemos cuando: somos capaces de elaborar una
representación personal sobre un objeto de la realidad o contenido que pretendemos aprender.
b) Vygotsky: la zona de desarrollo próximo
La zona de desarrollo próximo es la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la
capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial,
determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración
con otro compañero más capaz.
El concepto de zona de desarrollo próximo, acuñado por Vygotsky6
, permite explicar el desfasaje
que existe entre la resolución individual de tareas de orden cognitivo y los logros que alcanzamos
en esas mismas tareas con la ayuda de nuestros semejantes. El aprendizaje se sitúa
precisamente en esa zona.
La condición básica para que la ayuda que se aporte sea eficaz y pueda actuar como tal, es que
esa ayuda se ajuste al contexto y a las características distintivas en cada momento de acuerdo a
la actividad mental constructiva del alumno. Por tal razón se puede hablar para un alumno dado
no de una ZDP, sino de múltiples ZDP en función de la tarea y el contexto de que se trate, los
esquemas de conocimientos puestos en juego y las formas de ayuda empleadas a lo largo de la
interacción. Por lo tanto, la ZDP se debe ver como un lugar o un espacio no definido en términos
fijos y estáticos, sino como un lugar dinámico, en constante proceso de cambio con la propia
interacción.
Se podría decir entonces que ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar, supone crear
ZDP y ofrecer asistencia y apoyos en ellas, para que, a través de esa participación y gracias a
esos apoyos, los alumnos puedan ir modificando en la propia actividad conjunta sus esquemas de
conocimiento y sus significados y sentidos, y puedan ir adquiriendo más posibilidades de
actuación autónoma y uso independiente de tales esquemas ante situaciones nuevas, cada vez
más complejas.
c) Bruner: el andamiaje
Básicamente Bruner7
al proponer el concepto de andamiaje, plantea que la intervención docente
debería ir variando de acuerdo a las necesidades del alumno. "Andamiar y sostener", los
progresos del alumno, dice Bruner.
Cuanto mayor sean las dificultades del alumno en cuanto a la construcción de un conocimiento,
6
Lev Semionovich Vygotsky (1896-1934) es considerado el precursor del constructivismo social.
7
Bruner formula el concepto de andamiaje en 1976 a partir del concepto de ZDP.

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mayor serán las intervenciones del docente; de esta manera, gradualmente el alumno, podrá ir
adquiriendo el control de la situación.
Bruner, cuando habla del concepto de andamiaje lo hace a partir de la zona de desarrollo
próximo de Vygotsky, ya que el supuesto fundamental del andamiaje es que el docente soporte y
andamie los esfuerzos y logros del alumno. El docente cumple un rol de mediador entre el saber y
el alumno.
Por otro lado, propone pensar que el saber deberá ir adquiriendo cada vez maneras más
complejas de presentación al alumno. O sea, el currículum no debe ser lineal, sino que retomará
constantemente y a niveles cada vez más complejos, los núcleos fundamentales del área (un
currículum en espiral).
Por último, es necesario comentar que este investigador al hablar sobre el desarrollo cognitivo del
alumno, hace referencia también a la influencia de los problemas transculturales y de origen
social.
d) Rogoff: participación guiada y traspaso paulatino del control
Bárbara Rogoff, de manera inteligente toma aportes de Piaget sobre la construcción del
conocimiento, y de Vygotsky sobre de qué manera incide el medio sociocultural en esa
construcción.
Esta autora se pregunta, cómo se da la interacción entre el alumno y el docente, y propone
pensar el concepto de participación guiada; o sea, reflexionar que en cada uno de los distintos
contextos culturales en el que se desarrolle la tarea docente se debe ajustar la intervención de
acuerdo a ese contexto, y el traspaso paulatino del control en la construcción del conocimiento
por parte de los alumnos, se irá ajustando considerando los conocimientos previos que cada uno
ellos poseen.
 El conocimiento, adquirido por medio del aprendizaje, es inseparable del contexto, desde el
que surge y en el que se utiliza, y de la actividad en la que el aprendiz participa.
 Las metas del aprendiz, relacionadas sin lugar a dudas con aquello que ha de aprenderse,
están definidas desde la comunidad, ya que el proceso no siempre intencional, es
inseparable de actividades útiles y significativas en esa comunidad. Las diferencias
culturales adquieren enorme significación cuando se analizan las diferencias entre las
metas propuestas, implícita o explícitamente.
 El aprendiz entra en contacto con los instrumentos socio culturalmente definidos, cuya
utilización exige destrezas específicas que habrá de adquirir el aprendiz. El concepto de
participación guiada, desde este punto de vista, es inseparable del aprendizaje.
De acuerdo a Rogoff los docentes deberían plantearse lo siguiente: que el modo de su
intervención en la zona de desarrollo próximo, dependerá del contexto cultural real del alumno
(por ejemplo: si pertenece a una zona rural o urbana, si es un adulto al que hay que alfabetizar o
un adulto que posee una instrucción previa, pero que por distintas razones, había abandonado la
escolaridad formal y ahora vuelve a reintegrase a ella; o un niño o joven, considerando su
desarrollo personal, edad, intereses y comunidad a la que pertenece).
e) Ausubel: el aprendizaje significativo

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Ausubel8
presenta dos tipos de aprendizajes posibles; uno que va desde el aprendizaje por
descubrimiento al aprendizaje por recepción, y el otro desde el aprendizaje memorístico al
aprendizaje significativo.
El verdadero aprendizaje es el significativo, ya que, el alumno puede establecer relaciones
sustantivas y no arbitrarias entre lo que aprende y lo que conoce. El aprendizaje significativo
permite crear un puente cognitivo entre los conocimientos previos que el alumno posee y los
nuevos que se desea que construya. Para Ausubel el factor más importante que influye en el
aprendizaje es lo que el alumno sabe.
Ausubel consideraba además indispensable para la realización de aprendizajes significativos la
manifestación, por parte del alumno, de una disposición hacia el aprendizaje significativo; esto es,
de una disposición para ir a fondo en el tratamiento de la información que se pretende aprender,
para establecer relaciones entre ella y lo que ya se sabe, para aclarar y detallar los conceptos.
Sintetizando, para que el aprendizaje sea significativo deben cumplirse dos condiciones. En
primer lugar, el contenido debe ser potencialmente significativo, poseer significatividad lógica (no
debe ser arbitrario ni confuso) y significatividad psicológica (tiene que haber, en la estructura
cognoscitiva del alumno, elementos pertinentes y relacionables). En segundo lugar: el alumno
debe tener una actitud favorable para aprender significativamente; es decir, estar motivado para
relacionar lo que sabe con lo que aprende. Por lo tanto, el proceso mediante el cual se produce el
aprendizaje significativo requiere de una intensa actividad por parte del alumno.
3. Algunas reflexiones
Si se hace una lectura detenida de cada uno de los procesos, se encuentra que las teorías
expuestas en ellos se complementan entre sí. Si se hace el mismo análisis entre los dos procesos
(enseñanza, aprendizaje) se observa que si bien son distintos, existe una complementariedad,
como era de esperar.
Cada teoría se puede pensar como el eslabón de una larga cadena o de una entramada red que
da como resultado ambos procesos.
No pueden abordarse las cuestiones del aprendizaje sin una necesaria referencia a los procesos
de enseñanza que, aunque diferenciados entre sí, implican el establecimiento de puentes y
articulaciones entre unos y otros.
Hay muchas preguntas para responder: cuál es el lugar que ocupa el saber dentro de la escuela
para el docente y para los alumnos, las teorías implícitas del alumno y del docente, cómo trabajar
los errores, los obstáculos y/o bloqueos, qué se entiende por situaciones problemáticas, la
secuenciación de contenidos, el diagnóstico de conocimientos previos, las operaciones de
pensamiento y la meta cognición, la comunicación en un aula de matemática, los distintos marcos
(geométrico, algebraico, aritmético, físico) para trabajar un mismo contenido, el modelo de
aprendizaje de desarrollo del pensamiento geométrico del matrimonio Van Hiele, distintos
modelos para trabajar con problemas, la motivación, qué influencia tienen los conocimientos
extraescolares con que cuentan los alumnos, cómo trabajar con una metodología heurística,
activa y diferenciada, qué puede aportar la teoría de las inteligencias múltiples desde las
diferencias cognitivas y como implementarlas, cómo trabajar con la inteligencia emocional (de qué
manera influye en el aprendizaje), con qué criterios seleccionar libros de texto, el trabajo en
distintos contextos (tecnológico, ficcional, el de la vida cotidiana y el de la matemática pura),
8
Ausubel propone su teoría del aprendizaje significativo, en 1973.

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elección de materiales y recursos, cómo trabajar de una manera interdisciplinaria, cómo trabajar
con los esquemas de conocimientos que poseen los alumnos, cómo trabajar con la disposición al
aprendizaje (el enfoque superficial y el enfoque profundo), nuevos aportes de la psicología
cognitiva, cómo trabajar los valores, normas y actitudes en las clases de matemática, qué
competencias subyacen a los contenidos.
Se sabe que enseñar y aprender son procesos complejos en los cuales intervienen múltiples
variables que se deben considerar; pero a su vez, procesos fascinantes que requieren de los
docentes un compromiso con la profesión, de un espíritu inquieto dispuesto al cambio, al estudio,
a la reflexión constante y profunda que permita evaluar la práctica docente.