Transparencias de la conferencia impartida por Sixto Romero en la I Jornada del Profesorado de Matemáticas el 22 de mayo de 2010

1. SAPERE AUDE……¿y por qué no matemáticas? Sixto Romero Universidad de Huelva ¿Cómo crear contextos adecuado para poder enseñar matematizando? Necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes. H. Freudenthal, 1983

2. OBJETIVO Analizar algunos de los principales dominios o ámbitos de educación matemática donde resulte pertinente proponer innovaciones y presentar algunos ejemplos concretos utilizando la expresión latina SAPERE AUDE Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1

3. ÍNDICE 1. ¿Innovación y/o Renovación? 2. Innovación en el dominio de: a) Diseño del currículo b) La infraestructura escolar 3. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 4. Experiencias 5. Conclusión Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 2

6. Aplicación de los dos conceptos cuando hablamos de enseñanza de las Matemáticas A) RENOVACIÓN *Si hay fundamentales razones para la actualización B) INNOVACIÓN * Si queremos especificar los productos del cambio Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1. Introducción 5

7. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva La innovación, una natural respuesta al inmovilismo en los procesos CAMBIOS EN EL ENTORNO PROPUESTA DE INNOVACIÓN ESTABILIDAD REITERADA BUSQUEDA DE INNOVACIONES PARA ASÍ DECIDIR LA REALIZACIÓN DE LOS OBJETIVOS 1. Introducción 6

8. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Hay muchos dominios matemáticos casi inexplorados en la Enseñanza Primaria y/o Secundaria que, organizados de una manera original y creativa, permitirían el diseño de actividades del aula enriquecedoras. 2.a. Innovación-Diseño Curricular 7

10. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Muchos de estos dominios pueden ser planificados de manera que puedan transformarse en potentes generadores de importantes competencias, no sólo matemáticas, sino de carácter transversal. 2.a. Innovacion-Diseño Curricular 9

11. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Pero no sólo podemos pensar en innovaciones en la dirección de la selección del contenido (el QUÉ enseñar ), sino que también podemos distinguir amplias perspectivas de innovación en el PARA QUÉ enseñar , en el A QUIÉN ENSEÑAR y en el CUÁNDO ENSEÑAR . 2.a. Innovacion-Diseño Curricular 10

12. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Este es otro dominio que se ha mantenido invariante por mucho tiempo y en el cual es posible y deseable pensar en algunas innovaciones 2.b. Innovación-Infraestructura Escolar 11

13. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Un ejemplo de innovación en el ámbito de la infraestructura puede ser el diseño y mantenimiento de Laboratorios de Matemática Creativa donde estudiantes y profesores diseñan y validan prototipos de materiales de diversa clase que sirvan para apoyar el estudio de la matemática, para modelar diferentes situaciones y para realizar actividades creativas. 2.b. Innovación-Infraestructura Escolar 12

16. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN El Proyecto Klein es una iniciativa conjunta de IMU/ICMI para desarrollar una versión actualizada (en la forma y en el fondo) del hito que supuso la publicación, en 1908, del libro del catedrático de la Universidad de Göttingen, el Profesor Félix Klein, titulada Matemática elemental desde un punto de vista superior 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 15

17. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN En marzo y abril de 2004, se procedió a constituir La Comisión Klein formada por ocho personas, cuatro propuestas por el comité ejecutivo ICMI, cuatro por el comité ejecutivo IMU, con un coordinador –W. Barton, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Auckland, Nueva Zelanda– 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 16

18. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN • Michèle Artigue, Universidad de Paris VII, Francia • Ferdinando Arzarello, University de Turín, Italia • Graeme Cohen, Universidad Tecnológica, Sydney, Australia • William McCallum, Universidad de Arizona, USA • Tomás Recio , Universidad de Cantabria, España • Christiane Rousseau, Universidad de Montreal, Canadá • Hans-Georg Weigand, Universidad de Wurzburg, Alemania 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 17

19. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN LIBRO: " ¿Cuáles son los desarrollos matemáticos del Siglo XX que los profesores de secundaria deberían conocer, y cómo se les pueden hacer accesibles? Centro Internacional de Encuentros Matemáticos de Castro Urdiales (Santander) organizará la segunda el 2 y 3 de junio de 2010, 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 18

20. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva CAPÍTULOS DEL LIBRO • Introducción • Capítulos temáticos - Aritmética - Lógica - Algebra y Estructuras - Geometría - Funciones y Análisis - Matemática Discreta y Algorítmica - Matemáticas de la Computación - Probablidad y Estadística 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 19

22. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El aprendizaje de la geometría debe ofrecer continuas oportunidades para construir, dibujar, realizar modelos, medir o clasificar de acuerdo con criterios libremente elegidos. Su estudio ofrece excelentes oportunidades de establecer relaciones con otros ámbitos, como la naturaleza o el mundo del arte, que no debería quedar al margen de atención. 4.a. Experiencias-Geometría 21

23. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Ptolomeo y Teorema de Pitágoras A B D En un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, se tiene: AC. BD= AB.CD+AD.BC AC. AC= AB.AB+BC.BC AC 2 = AB 2 +BC 2 4.a. Experiencias-Geometría C http://ualmat.wordpress.com/videos-matematicos http://video.google.es/videoplay?docid=513442171440946116# http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm 22 A B D

24. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y Teorema de Pitágoras Cuando dos cuerdas se cortan en un círculo, el producto, el producto de las medidas de los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos de la otra , se tiene que AF. FC=DF.FE C F B E A D G O 4.A. Experiencias-Geometría 23

25. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y Teorema de Pitágoras Se tiene, en nuestro caso: AF. FC=DF.FE=(DO-FO).(FO+OE) (b/2).(b/2)= (c/2-a/2)(a/2+c/2) b 2 /4=c 2 /4-a 2 /4 Se deduce que c 2 = b 2 +a 2 C F B E A D G O 4.A. Experiencias-Geometría 24

26. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Pitágoras Quizá ningún teorema de la extensa Matemática haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitágoras. Bien puede decirse, por ello, que este teorema y la multitud de demostraciones del mismo que se han dado a lo largo de la historia constituyen una prueba fehaciente de que hay muchos caminos para alcanzar la verdad. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm 4.A. Experiencias-Geometría 25

27. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó Hábitat para pájaros (Casita) Croquis del hábitat 4.A. Experiencias-Geometría 26

28. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó El refugio ha de adosarse a un tronco cilíndrico, con las medidas que aparecen, hallar el radio mínimo del tronco al que puede adherirse el refugio de modo que su altura sea de por lo menos de 8 centímetros . 4.A. Experiencias-Geometría 27

29. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Sugerencias a la RDP El alumno deberá decidir en algunos casos qué radios convienen más, de este modo traducirá criterios como que las dimensiones de las casitas tienen que adaptarse al tamaño de los pájaros, a restricciones matemáticas. Esto permite además que el problema se pueda presentar con distintos niveles de dificultad. 4.A. Experiencias-Geometría 28

30. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 1. Utilización del teorema de Pitágoras En el triángulo OC’B’, llamamos a B’C’= L. Como OO’= r-d y B’O’=L/2 se tiene Una primera restricción L=12 y d=3 determina el radio del tronco en que se sitúa la casita del croquis 4.A. Experiencias-Geometría 29

31. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP Considerando a r como una función de dos variables L y d , se trata de una función escalar de dos variables reales definidas en todo excepto para d=0 (¡que justifica el hecho de la imposibilidad de construir una casita con un solo punto de tangencia con el árbol. ¡Se tendría una casita inestable!). MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial 4.A. Experiencias-Geometría 30

32. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial A partir de aquí podemos pensar en niveles superiores de enseñanza, por ejemplo en un primer curso de Universidad, y hacer ver a nuestros alumnos como a partir de un ejercicio sencillo de la vida real, caso u objeto, podemos llegar a introducirnos en estudio detallado de EXISTENCIA DE EXTREMOS (Máximos y mínimos) en CAMPOS ESCALARES 31 4.A. Experiencias-Geometría

33. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial a) Comprobación de los teoremas que permiten determinar los puntos críticos de un campo escalar b) Teorema de Taylor de segundo orden c) Formas cuadráticas y matriz Hessiana d) Método de los mínimos cuadrados e) Calcular los extremos relativos de una función escalar 4.A. Experiencias-Geometría 32

34. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Lo importante, a nivel de secundaria y en todos los niveles, no son sólo las destrezas de cálculo y los algoritmos de lápiz y papel, sino una comprensión de las operaciones que permita el uso razonable de las mismas, en paralelo con el desarrollo de la capacidad de estimación y cálculo mental que facilite ejercer un control sobre los resultados para detectar posibles errores. 4.B. Experiencias-Números 33

35. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS a ) Consideremos el número 6174, reordenemos sus dígitos para construir con ellos el mayor número posible; es decir, coloquémoslo en orden decreciente. Reordenémoslo también para construimos el menor número posible y restemos. Obtenemos así: 7641-1467=6174 que es el número con el que empezamos Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 34

36. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS b) Consideremos otro número por ejemplo 4959. Obtenemos, 9954-4599=5355 Hasta aquí no parece que haya sucedido nada interesante. Hagamos lo mismo con la diferencia 5355 5553-3555=1998. Nada especial. Seguimos con 1998: 9981-1899=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174. Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 35

37. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS ¡Otra vez el dichoso número! Con respecto a este problema, surgen las siguientes preguntas: ¿Siempre será así? ¿Habrá restricciones al problema? Las respuestas a estos dos interrogantes las comenzará a vislumbrar el estudiante al notar que esto siempre ocurre, con la única condición que los cuatro dígitos no sean iguales. Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 36

40. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes: 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Joyita 2. El número de Hardy-Ramanujan: 1729 4.B. Experiencias-Números 39

41. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Se dice que un número es el enésimo número taxicab si es el menor número que se puede descomponer como n sumas distintas de dos cubos positivos Joyita 4. Los números taxicab 4.B. Experiencias-Números 40

42. a ... a ... Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi cualquier disciplina o asunto. La presencia de las Matemáticas en el cine se produce a muy diferentes niveles: a) En ocasiones se trata sólo de una escena centrada en un aspecto matemático (así sucede, por ejemplo, en El crimen desorganizado , Jungla de cristal 3 , 1492 La conquista del Paraíso, El día de la Bestia, Amanece que no es poco o El enigma de Kaspar Hauser ) o incluso varias escenas ( El Código Da Vinci ). Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C .Experiencias-Sociedad 41

43. a ... a ... b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento matemático. c) Las Matemáticas están en el núcleo de una historia de gente corriente, que además es real y con fuerte contenido social. d) Hay títulos de divulgación cuya puesta en escena o su fin de entretenimiento hacen que sobrepasen el género documental y pasen a lo cinematográfico . ……… . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad 42

44. a ... a ... Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc., tomando como base algunas escenas de una película, intentando fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine. ¡Puede parecer extraño! Hemos elegido el film La jungla de cristal III! Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad 43

46. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización La película La Jungla de Cristal III pone de manifiesto que la matemática puede resolver situaciones perversas : neutralizar una bomba a través de la resolución de un enigma. Simon Zeus-Mclane 45

47. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización Una de esas pruebas consiste en desactivar una bomba que está en una fuente de un parque y explotará en 5 minutos a menos que McCLane consiga depositar sobre ella exactamente 4 galones de agua. Para ello dispone de dos garrafas sin graduar: una de 3 galones y otra de 5. 46

48. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 1 : Se llena el bidón A de 3 litros y se vierte el contenido en el bidón B de 5 litros: A B 47

49. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 2 : Se llena de nuevo el bidón A, y se vierte el contenido en el bidón B hasta el momento en que se llene. ¿Cuál es la situación ahora? En el bidón A hay 1 litro, y el bidón B está lleno. A B 48

50. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 3 : Se vacía el bidón B y se vierte el contenido de 1 litro que hay en el bidón A al bidón B A B A B 49

51. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 4 : Se rellena de nuevo el bidón de 3 litros y se vierte en el bidón de 5 litros. Obtenemos entonces los 4 litros solicitados. A B A B 50

52. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Con el bidón A, de 3 litros, se pueden obtener 3,6,9,…, 3a litros Con el bidón B, de 5 litros, se obtienen 5,10,15, …, 5b litros 51

53. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Si se quiere obtener 4 litros, es, es necesario utilizar los dos bidones y cómo es necesario verter el agua de un bidón a otro. Esto demuestra la necesidad de utilizar números enteros negativos en la resolución del problema. Por eso la solución adoptada en la película por B. Willis y S.L. Jackson, se puede escribir como: Es decir a=3 ; b=-1 52

54. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema ¿Se puede obtener cualquier número de litros de agua? El hecho de obtener un litro manipulando los dos bidones de la forma es un resultado interesante, porque permite, reiterando el proceso, obtener un número cualquiera de litros L: 53

57. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Teoremas de Películas La mayor parte de las experiencias audiovisuales que se ha llevado a cabo en las clases de matemáticas han consistido en la visualización de una película o un documental sobre el que luego se intentará trabajar de acuerdo a unas cuestiones. Un resumen magnífico es el trabajo de Pilar Bayent de la Universidad de Cantabria titulado TEOREMAS DE PELÍCULA 56

58. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Si hay que administrar nuevas cosas en Educación Matemática ... Capacidad de transformar la educación y la sociedad 57 La innovación, clave para el éxito

59. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Para generar una cultura de la innovación 58 Nuevo lenguaje de la innovación El lenguaje es fundamental para compartir Sin lenguaje es posible pensar, es difícil conocer y es imposible comprender Jorge Wagensberg

60. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Si “Innovar es introducir novedades en alguna cosa” El reto podría ser pasar de 59 La innovación como suceso La innovación como proceso

61. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final 60 En resumen, la innovación se inspira en ATREVERSE, superar los miedos y cambiar de perspectiva “ El miedo nos indica que estamos entrando en un territorio desconocido, el miedo es la membrana que separa lo nuevo de lo conocido y constituye, así, un interesante indicador de que estamos a punto de abrirnos a algo superior al mundo que estamos acostumbrados. Kornfield, J .

62. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final ¿Muchas gracias por la atención! 61 [email_address] http://www.uhu.es/18208

63. a) Cuando viajamos en avión tenemos la oportunidad de observar las distintas formas que la naturaleza y el hombre han generado sobre la piel de la superficie de la Tierra. b) También si nos subimos a un mirador notamos cómo la naturaleza y los humanos “conciben” de diferentes maneras los infinitos elementos que conforman el paisaje. ¿Dónde está diferencia? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

64. ¿Dónde está diferencia? Hay que encontrarla en la geometría. Por un lado la geometría euclidiana trazada como si un tiralínea se tratara por las máquinas creadas por el hombre, y por otro, la geometría de la curva. Podemos decir que es una lucha de titanes entre dos estilos distintos. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

68. Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué la humanidad le dio la espalda a las formas sinuosas y ramificadas de la naturaleza y se decantó por la línea recta, el círculo y la esfera? Cuando aparece sobre la tierra, tan sólo tenía tres ejemplos de esa geometría en los que basarse, varias formas que eran distintas a todas las demás: a) La línea del horizonte, una recta interminable y los círculos perfectos en el ocaso del sol y la luna… b) El iris de los ojos de sus congéneres cuando le miraban. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

69. Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué hemos roto el patrón natural que venía dibujando la piel de la tierra desde su formación hace cuatro mil años? Una sola respuesta: para medir. La geometría euclidiana es uno de los hitos del pensamiento deductivo que basándose en cinco axiomas crea un sistema de descripción del mundo que colmó las necesidades de las ciencias de la naturaleza, de la historia natural hasta bien entrado el siglo XIX. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

70. a) El pintor Paul Cezanne: "Todo en la Naturaleza puede verse en términos de conos, cilindros y esferas". Se trata de una sentencia programática en referencia a su estilo pictórico y nos viene al pelo como descripción de una visión euclidiana de la Naturaleza. SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

71. La réplica la pondría Mandelbrot al contestar: "Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son suaves y nada, excepto la luz, viaja en línea recta ". Si el mensaje de Mandelbrot es que la Naturaleza responde mejor a otro tipo de descripción , sería conveniente que pudiésemos comprobarlo más allá de la simple intuición . SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

72. SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

73. Midiendo longitudes y volúmenes Una forma de medir la longitud de una curva es aproximarla a la longitud de una serie de pequeñas rectas que la recubren. A ese procedimiento se llama rectificación . Cuanto más pequeñas sean las rectas escogidas para el recubrimiento, más exacta será nuestra medida. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

74. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir la "longitud total" de un cuadrado? No su perímetro, sino la longitud del cuadrado por este método de rectificación. ¿Tiene, siquiera, sentido tal pregunta? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

75. Cuando hayamos repetido esta tediosa, pero expeditiva operación infinitas veces, podremos decir que hemos recubierto el cuadrado con líneas. No existirá ni un solo punto por el que no pase una línea, ni por ninguno de ellos pasará a la vez más de una. Para hallar matemáticamente el valor de la longitud de la línea que recubre al cuadrado empleamos el límite: Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

76. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el volumen de un objeto geométrico? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

77. a) Nuestra primera aproximación será de nuevo un recubrimiento burdo: una sola caja cúbica que contiene al cuadrado como sección transversal. Así, V 1 = 1·1·1 = 1. b) Dividamos el cuadrado en cuatro pedazos idénticos y sobre cada uno repitamos el proceso anterior: recubrámoslos con cubos de arista correspondiente. Ahora tenemos 4 cubos de volumen 1/2·1/2·1/2 = 1/8. La nueva aproximación será V 2 = 4·(1/2) 3 = 1/2. c) Si volvemos a dividir: V 3 = 16·(1/4) 3 = 1/4. V4 = 64·(1/8) 3 = 1/8 . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

78. ¡De modo que la longitud de un cuadrado es infinita y el volumen es cero! SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

79. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el perímetro del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

80. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el área de un triángulo por aproximación? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

81. ¿Sorpresa? El triángulo de Sierpinski es un objeto geométrico de infinita longitud, aunque se encuentra en una región finita del plano, cosa que implica dimensión mayor que uno. Pero a la vez tiene área nula, que indica dimensión menor que 2. ¿Pero entonces, qué dimensión tiene? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

82. Definición de autosimilaridad Sea un segmento de longitud L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con: 2 segmentos de tamaño 1/2: N=2, R=1/2; (1/2) -1 =2 4 segmentos de tamaño 1/4: N=4, R=1/4; (1/4 )-1= 4 8 segmentos de tamaño 1/8: N=8, R=1/8; (1/8 )-1= 8 Observa que el exponente -1 cambiado de signo coincide con la dimensión 1 de una recta. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

83. La relación N= R -D nos determina la dimensión D del objeto geométrico . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

84. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? 3 triángulos de lado 1/2:N=3, R=1/2; (1/2) -D = 3 9 triángulos de lado 1/4:N=9, R=1/4; (1/4) -D = 9 27 triángulos de lado 1/8:N=27, R=1/8; (1/8) –D =27 ……………………………………………… . 3 n triángulos de lado 1/2n:N=3n , R=1/2 n ; (1/2 n ) -D = 3 n Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

85. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? (1/2 n ) -D = 3 n Despejando D : D ln 2 n = ln 3 n Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

86. Definición de autosimilaridad Así la dimensión de autosimilaridad D de un objeto, hecho de N copias exactas a él mismo y reducidas en un factor R, es: Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

88. Obtención de fractales Observa el monigote inicial Llamémoslo semilla inicial. Sobre él vamos a ejercer una serie de transformaciones. Creamos tres copias reducidas a 1/3 y las situamos como se observa en la segunda celda. Repetimos el procedimiento con cada nuevo monigote y ... Observa las sucesivas aproximaciones a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

89. a ... a ... Obtención de Fractales Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

91. Para bola de papel arrugado Las bolas tienen dimensión fractal, igual a 2.5. Ni son esferas sólidas (dimensión 3) ni son hojas planas (dimensión 2). “Debido a que las esferas no son homogéneas, son superficies autoevitantes, el diámetro de las bolas arrugadas crece más deprisa de lo que aumentaría si fuesen esferas homogéneas.” El valor experimental de la dimensión fractal se puede estimar fácilmente de forma teórica. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales

92. a ... a ... Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi cualquier disciplina o asunto. La presencia de las Matemáticas en el cine se produce a muy diferentes niveles: a) En ocasiones se trata sólo de una escena centrada en un aspecto matemático (así sucede, por ejemplo, en El crimen desorganizado , Jungla de cristal 3 , 1492 La conquista del Paraíso, El día de la Bestia, Amanece que no es poco o El enigma de Kaspar Hauser ) o incluso varias escenas ( El Código Da Vinci ). Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad

93. a ... a ... b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento matemático. c) Las Matemáticas están en el núcleo de una historia de gente corriente, que además es real y con fuerte contenido social. d) Hay títulos de divulgación cuya puesta en escena o su fin de entretenimiento hacen que sobrepasen el género documental y pasen a lo cinematográfico ……… . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad

94. a ... a ... Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc., tomando como base algunas escenas de una película, intentando fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine. ¡Puede parecer extraño! Hemos elegido el film La jungla de cristal III! Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad

96. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización La película La Jungla de Cristal III pone de manifiesto que la matemática puede resolver situaciones perversas : neutralizar una bomba a través de la resolución de un enigma. Simon Zeus-Mclane

97. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización Una de esas pruebas consiste en desactivar una bomba que está en una fuente de un parque y explotará en 5 minutos a menos que McCLane consiga depositar sobre ella exactamente 4 galones de agua. Para ello dispone de dos garrafas sin graduar: una de 3 galones y otra de 5.

98. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 1 : Se llena el bidón A de 3 litros y se vierte el contenido en el bidón B de 5 litros: A B

99. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 2 : Se llena de nuevo el bidón A, y se vierte el contenido en el bidón B hasta el momento en que se llene. ¿Cuál es la situación ahora? En el bidón A hay 1 litro, y el bidón B está lleno. A B

100. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 3 : Se vacía el bidón B y se vierte el contenido de 1 litro que hay en el bidón A al bidón B A B A B

101. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 4 : Se rellena de nuevo el bidón de 3 litros y se vierte en el bidón de 5 litros. Obtenemos entonces los 4 litros solicitados. A B A B

102. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Con el bidón A, de 3 litros, se pueden obtener 3,6,9,…, 3a litros Con el bidón B, de 5 litros, se obtienen 5,10,15, …, 5b litros

103. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Si se quiere obtener 4 litros, es, es necesario utilizar los dos bidones y cómo es necesario verter el agua de un bidón a otro. Esto demuestra la necesidad de utilizar números enteros negativos en la resolución del problema. Por eso la solución adoptada en la película por B. Willis y S.L. Jackson, se puede escribir como: Es decir a=3 ; b=-1

104. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema ¿Se puede obtener cualquier número de litros de agua? El hecho de obtener un litro manipulando los dos bidones de la forma es un resultado interesante, porque permite, reiterando el proceso, obtener un número cualquiera de litros L:

107. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Teoremas de Películas La mayor parte de las experiencias audiovisuales que se ha llevado a cabo en las clases de matemáticas han consistido en la visdualización de una película o un documental sobre el que luego se intentará trabajar de acuerdo a unas cuestiones. Un resumen magnífico es el trabajo de Pilar Bayent de la Universidad de Cantabria titulado TEOREMAS DE PELÍCULA

108. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final ¿El escenario actual? ¿Sucede con frecuencia que existen profesores que afirman que esto de las competencias es lo mismo de siempre, que sólo cambian los nombres, pero que ya está todo inventado y no hay nada nuevo? ¿Habría que utilizar argumentos para convencer a esos compañeros de que las competencias básicas suponen un cambio en los planteamientos educativos?

109. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Si hay que administrar nuevas cosas en Educación matemática ... Capacidad de transformar la educación y la sociedad La innovación, clave para el éxito

110. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Para generar una cultura de la innovación necesitamos Nuevo lenguaje de la innovación El lenguaje es fundamental para compartir Estamos rodeados de códigos, lenguajes… Sin lenguaje es posible pensar, es difícil conocer y es imposible comprender Jorge Wagensberg

111. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final Si “Innovar es introducir novedades en alguna cosa” El reto podría ser pasar de La innovación como suceso La innovación como proceso

112. a ... a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final En resumen, la innovación se inspira en ATREVERSE, superar los miedos y cambiar de perspectiva “ El miedo nos indica que estamos entrando en un territorio desconocido, el miedo es la membrana que separa lo nuevo de lo conocido y constituye, así, un interesante indicador de que estamos a punto de abrirnos a algo superior al mundo que estamos acostumbrados. Kornfield, J .