Ejercicios con funciones, dominios y recorridos.

1. Variable independiente.- a la variable x se la denomina variable independiente porque
se le puede asignar cualquier valor en su dominio, no el valor que uno quiera ,así en la función
f : f ( x ) = 4 – x 2
a x se le puede asignar valores del intervalo cerrado de [– 2 , 2 ] pero no podemos
asignar un valor de – 3 pues la imagen que se obtendría NO es un número real.
Variable dependiente.- se denomina variable dependiente a y porque su valor depende del
valor asignado a x.
Con frecuencia resulta imposible o poco práctico el enunciar todos los pares ordenados que
constituyen una función en particular, en tales casos podemos establecer la correspondiente
regla o ley de f entre los elementos del dominio y del recorrido por medio de ecuaciones o
fórmulas que ligan a la variable dependiente con la variable independiente.
Ejemplos:
Sea la función f
f : R → R : f ( x ) = x 2
f : R → R : y = x 2 ( forma una parábola )
dominio de la función recorrido de la función
getresa@hotmail.com

2. x y
0 0
1 1
2 4
-1 1
-2 4
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
y = x 2
Si observamos bien al darle valor a x, el valor de y no es menor a 0, desde
este pequeño análisis, ya podemos dar un rango al dominio y recorrido de
la función y = x 2
Respuesta:
Dominio de la función todos los números reales
Recorrido de la función [ 0, ∞ [
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
x
y





getresa@hotmail.com

3. x y
0 1
1 2
2 5
-1 2
-2 5
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
f = { ( x , y ) / y = x 2 + 1 }
Razonando con respecto a la gráfica, es fácil deducir
el dominio y el recorrido:
DF = R
RF = [ 1, ∞ [
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
5
4
3
2
1
y



x
Si trazamos una paralela al eje de las y, si se corta la gráfica en un solo punto es una función
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•

4. getresa@hotmail.com
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
R = { ( x , y ) / y 2 = x + 1 }
y 2 = x + 1
y = ± x + 1
x y
0 ± 1
1 ± 2
2 ± 3
3 ± 2
-1 0
-2 - 1 número complejo
y
x
1
- 1
1 2 3 4-4 -3 -2 -1







2
- 2

•
•
Corta la gráfica en dos puntos no es una función.

5. y
x
1
- 1
1 2 3 4-4 -3 -2 -1


2
- 2

•
Restrinjo la ecuación (sólo respuestas positivas) para que sea una función
Dominio de la función: [ - 1 , ∞ [
Recorrido de la función: [ 0 , ∞ [
f : [ - 1 , ∞ [ → [ 0 , ∞ [ : f ( x ) = + x + 1 }
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Observación: como vemos en el dominio x no puede tomar como valor un número menor a
– 1 por el motivo de que y nos daría un número complejo, irreal o imaginario

6. Sea G = { ( x, y ) / y 2 + x 2 = 4 }
a) Determinar si G es una función.
b) En caso negativo restringir la ecuación para convertirla en función.
c) Representarla gráficamente.
d) Hallar el dominio y recorrido de la función.
y 2 + x 2 = 4
y 2 = 4 – x 2
y = ± 4 – x 2
x y
0 ± 2
1 ± 3
2 0
3 ± – 5 número complejo
-1 ± 3
-2 0
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
3
2
1
-1
-2
-3
y
x

 

y = + 4 – x 2
y = – 4 – x 2
getresa@hotmail.com
•
•

7. a) y = ± 4 – x 2
NO es función.
b) Restrinjo la función utilizando sólo respuestas positivas.
y = + 4 – x 2
c) Su gráfica es la siguiente.
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
y
x
2
1
-1
-2
 
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•
d) Dominio de la función:
[ - 2 , 2 ]
Recorrido de la función:
[ 0, 2 ]
f : [ -2, 2 ] → [ 0, 2 ] : f (x) = + 4 – x 2
• •

8. getresa@hotmail.com
Hallar dominio de la función analíticamente
y = + 4 – x 2
4 – x 2 ≥ 0 Recordando los casos de factorización tenemos una diferencia de cuadrados perfectos
Primer método
(2 + x) (2 – x) ≥ 0
2 + x ≥ 0 ∩ 2 – x ≥ 0
x ≥ – 2 ∩ 2 ≥ x
x ≥ – 2 ∩ x ≤ 2
- 2 0 2
x
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒
S 1 = [ - 2 , 2 ]
Segundo método
(2 + x) (2 – x) ≥ 0
2 + x ≤ 0 ∩ 2 – x ≤ 0
x ≤ – 2 ∩ 2 ≤ x
x ≤ – 2 ∩ x ≥ 2
- 2 0 2
x
S 2 = 0
Dominio de la función: [ - 2 , 2 ]

9. Hallar dominio analíticamente y recorrido gráficamente:
f : f (x) = 1
x 2 + 1
y =
1
x 2 + 1
y (x 2 + 1) = 1
y x 2 + y = 1
x 2 =
1 – y
y
x =
1 – y
y
; y ≠ 0
x y
0 1
1 0,5
2 0,2
3 0,1
-1 0,5
-2 0,2
-3 0,1
- 1 1
1
x
y
- 2- 3 2 3
•
••
•• ••
±
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Dominio de la función:
Todos los números reales

10. 1 – y
y
≥ 0 ; y ≠ 0
1 – y
y • y 2 ≥ 0 (y 2 )
Primer caso:
(1 – y) ( y ) ≥ 0
1 – y ≥ 0 ∩ y > 0
1 ≥ y ∩ y > 0
y ≤ 1 ∩ y > 0
o
-1 0 1
S 1 = ] 0 , 1 ]
Segundo caso:
(1 – y) ( y ) ≥ 0
1 – y ≤ 0 ∩ y < 0
1 ≤ y ∩ y < 0
y ≥ 1 ∩ y < 0
o
– 1 0 1
S 2 = 0
Recorrido de la función
S T = S 1 + S 2 = ] 0 , 1 ]
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(1 – y) ( y ) ≥ 0

11. f : f (x) =
x – 1 si x ≤ 1
3 x + 2 si x > 1
y = x – 1 si x ≤ 1 y = 3 x + 2 si x > 1
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
x y
1 0
0 -1
x y
1 5 NO incluye
2 8
Respuesta: dominio de la función todos
los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = ] – ∞ , 0 ] ∪ ] 5 , ∞ [
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4-1
-2
-3
x
y
o
•
•
getresa@hotmail.com

12. Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : y =
x si x < – 2
– √ 4 – x 2 si – 2 ≤ x ≤ 2
3 si x > 2
y = x si x < - 2 y = – √ 4 – x 2 si - 2 ≤ x ≤ 2 y = 3
getresa@hotmail.com
x y
- 2 -2 NO incluido
- 3 -3
x y
-2 0
0 2
2 0
3
2
1
-1
-2
-3
1 2 3-3 -2 -1
•
o
•
o
•
Respuesta: dominio de la función todos
los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = ] - ∞ , 0 ] ∪ { 3 }
Reemplazando:
– √4 – (-2) 2
– √4 – 4
0
x
y

13. Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
x 2 si x ≠ 2
7 si x = 2
y = x 2 si x ≠ 2 y = 7 si x = 2
x y
0 0
1 1
2 4 NO incluye
3 9
-1 1
-2 4
-3 9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3Respuesta: dominio de la función
todos los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = [ 0, ∞ [
•
getresa@hotmail.com
x
y
••
•
• •

14. Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
– 4 si x < – 2
– 1 si – 2 ≤ x ≤ 2
3 si 2 < x
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-3 -2 -1 1 2 3
x
y
o
o
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Respuesta: dominio de la función
todos los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = {– 4, – 1, 3 }
Si 2 < x , entonces x > 2

15. Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
x 2 – 4 si x < 3
2 x – 1 si 3 ≤ x
Si 3 ≤ x , entonces x ≥ 3
x y
0 - 4
1 - 3
2 0
3 5 NO incluye
-1 - 3
-2 0
-3 5
y = x 2 – 4 si x < 3 y = 2 x – 1 si 3 ≤ x
x y
3 5
4 7
5 9
6 11
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-3 -2 -1 1 2 3
x
y
•
•
•
o
•
•
• •
•
•
Respuesta: dominio de la función
todos los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = [ - 4, ∞ [
getresa@hotmail.com

16. Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
- x si x < 0
2 si 0 ≤ x < 2
x - 2 si x ≥ 2
y = - x y = 2 y = x - 2
x y
0 0 NO incluye
-1 1
-2 2
-3 3
x y
0 2
1 2
2 2 NO incluye
x y
2 0
3 1
4 2
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 1 2 3 4
•
•
o
•
o
•
•
•
Respuesta: dominio de la función
todos los números reales DF = R
Recorrido de la función
RF = [ 0, ∞ [
getresa@hotmail.com
x
y

17. Hallar dominio analíticamente y recorrido gráficamente:
f : f (x) =
x 2 + x – 6
x + 5
f (x) = x 2 + x – 6
x + 5
En donde x ≠ - 5
x 2 + x – 6
x + 5
≥ 0y =
2
x 2 + x – 6
x + 5
≥ ( 0 ) 2
x 2 + x – 6
x + 5
≥ 0
Analicemos si multiplicamos
x + 5
x + 5
= 1
a la fracción, no cambia en
nada la ecuación, realizamos
este proceso para poder pasarlo
al numerador
x 2 + x – 6
x + 5
≥ 0
x + 5
x + 5
x 2 + x – 6 es trinomio
cuadrado perfecto
( x + 3 )( x - 2 )
( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5)
( x + 5) 2
≥ 0
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( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5) ≥ 0 ( x + 5) 2

18. ( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5) ≥ 0
( x + 3 ) ≥ 0
x = – 3
( x – 2 ) ≥ 0
x = 2
( x + 5 ) ≥ 0
x = – 5
-5 - 4 -3 - 2 -1 0 1 2 3 4
(- 6 + 3) (- 6 - 2) (-6 + 5) ≥ 0
(- 3) (- 8) (-1) ≥ 0
-24 ≥ 0 F
F
(- 4 + 3) (- 4 - 2) (- 4 + 5) ≥ 0
(-1) (-6) (1) ≥ 0
6 ≥ 0 V
V
(0 + 3) (0 - 2) (0 + 5) ≥ 0
(3) (-2) (5) ≥ 0
-30 ≥ 0 F
F
(3 + 3) (3 - 2) (3 + 5) ≥ 0
(6) (1) (8) ≥ 0
48 ≥ 0 V
V
3
2
1
-1
-2
-3
- 6 - 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
y
o
Respuesta: dominio de la función
DF = ] – 5 , -3 ] ∪ [ 2 , ∞ [
Recorrido de la función
RF = [ 0, ∞ [
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 

19. x y
0 Número complejo
1 Número complejo
2 0
3 0,8660
4 1,2472
9 2,4494
- 1 Número complejo
- 2 Número complejo
- 3 0
- 4 2,4494
- 5 NO incluido
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x 2 + x – 6
x + 5
Estamos confundidos, pues no
nos preocupemos, demos
valores a x para comprobar la
respuesta, teniendo en cuenta
que sólo tomaremos las
respuestas positivas de la raíz,
recordemos que 4 tiene
dos respuestas +2 y – 2
(2*2 = 4) ; (– 2)*(– 2) = 4
– 6
5
(0) 2 + (0) – 6
(0) + 5
=
(1) 2 + (1) – 6
(1) + 5
=
– 4
6
(2) 2 + (2) – 6
(2) + 5
=
0
7
= 0
(3) 2 + (3) – 6
(3) + 5
=
6
8
= 0,8660
(4) 2 + (4) – 6
(4) + 5
=
14
9
= 1,2472
(9) 2 + (9) – 6
(9) + 5
=
84
14
= 2,4494
(–1) 2 + (–1) – 6
(–1) + 5
=
– 6
4
(–2) 2 + (–2) – 6
(–2) + 5
=
– 4
3
(–3) 2 + (–3) – 6
(–3) + 5
=
0
2
= 0
(–4) 2 + (–4) – 6
(–4) + 5
=
6
1
= 2,4494

20. Hallar dominio y recorridodela función:
f : {( x, y ) / y = ( 3 x + 2) / (x + 1 ) }
3 x + 2
x + 1
y =
x ≠ – 1
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Con una simple inspección observamos que – 1 no puede formar parte del dominio de la función.
Ahora para saber el recorrido
3 x + 2
x + 1
y = Despejaremos x para encontrar el recorrido de la función:
y ( x + 1) = 3 x + 2
x y + y = 3 x + 2
x y – 3 x = 2 – y
x ( y – 3 ) = 2 – y
x =
2 – y
y – 3
En donde y es diferente de 3

21. getresa@hotmail.com
x y
0 2
1 2,5
2 2,66
3 2,75
9 2,9
- 0,5 1
- 0,9 - 7
-1 NO incluido
-1,5 5
-2 4
-3 3,5
-9 3,125
3 x + 2
x + 1
3 (0) + 2
0 + 1
= 2
3 (1) + 2
1 + 1
= 2,5
3 (2) + 2
2 + 1
= 2,66
3 (3) + 2
3 + 1
= 2,75
3 (9) + 2
9 + 1
= 2,9
3 (- 0,5) + 2
(- 0,5) + 1
- 1,5 + 2
0,5
= = 1
3 (- 1,5) + 2
(- 1,5) + 1
- 4,5 + 2
- 0,5
= = 5
3 (- 2) + 2
(- 2) + 1
- 6 + 2
- 1
= = 4
3 (- 3) + 2
(- 3) + 1
- 9 + 2
- 2
= = 3,5
3 (- 9) + 2
(- 9) + 1
- 27 + 2
- 8
= = 3,125
3 (- 0,9) + 2
(- 0,9) + 1
- 2,7 + 2
0,1
= = - 7
Otorgando valores a x podemos
comprobar que nuestro razonamiento
analítico estaba en lo correcto, el
recorrido de y nunca llega a 3

22. Respuesta:
Dominio de la función todos los
números reales excepto el { - 1 }
Recorrido de la función todos los
números reales excepto el { 3 }
getresa@hotmail.com
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9




 




23. Hallar dominio y recorrido de la función
☻
f : f (x) =
x 3 – 2 x 2
x – 2
x ≠ 2
Dominio de la función
todos los números reales excepto el 2
x 2 ( x – 2 )
x – 2
y =
y = x 2
x y
0 0
1 1
2 4 NO incluye
3 9
-1 1
-2 4
-3 9 x
y
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 ☻☻
○☻
Recorrido de la función
[ 0 , ∞ [
getresa@hotmail.com
Observación: como x no puede tomar el valor
de 2 porque sería una división para 0, entonces
el valor que toma y que es 4 no incluiría, pero
cuando x toma el valor de – 2 otra vez y toma
el valor de 4.

24. Hallar dominio y recorrido de la función analíticamente:
f : f (x) =
x 2 – 9
x – 3
x ≠ 3
Dominio de la función
todos los números reales excepto el 3
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( x + 3 ) ( x – 3 )
( x – 3 )
y =
y = x + 3 ^ x ≠ 3
x y
0 3
1 4
2 5
3 6 NO incluye
-1 2
-2 1
-3 0 x
y
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
6
5
4
3
2
1






Recorrido de la función
todos los números reales
excepto el 6

25. Hallar dominio y recorrido de la función aplicando fórmula cuadrática:
– b ± b 2 – 4 a c
2 a
4
y 2 – 4 y + 4
g (y) =
– (– 4) ± (– 4) 2 – 4 (1) (4)
2 (1)
y =
4 ± 16 – 16
2
y =
4
2
y =
y = 2
En donde el dominio de la función son todos los números reales excepto el 2 (ya que daría
como denominador el 0).
Para encontrar el recorrido basta realizar el gráfico.
Una división para 0 es una indeterminación.
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26. y g (y)
0 1
1 4
2 NO implica
3 4
4 1
9 0,081
- 1 0,444
- 2 0,25
- 3 0,16
- 4 0,111
4
(0) 2 – 4 (0) + 4
g (y) = = 1
4
(1) 2 – 4 (1) + 4
g (y) = = 4
4
(3) 2 – 4 (3) + 4
g (y) = = 4
4
(4) 2 – 4 (4) + 4
g (y) = = 1
4
(9) 2 – 4 (9) + 4
g (y) = = 0,081
4
(–1) 2 – 4 (–1) + 4
g (y) = = 0,444
4
(–2) 2 – 4 (–2) + 4
g (y) = = 0,25
4
(–3) 2 – 4 (–3) + 4
g (y) = = 0,16
4
(–4) 2 – 4 (–4) + 4
g (y) = = 0,111
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27. y– y
g (y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
9
8
7
6
5
4
3
2
1


 


 
Respuesta:
Dominio de la función todos los
números reales excepto el { 2 }
Recorrido de la función:
] 0 , ∞ [
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28. H : y = x ( x – 2 )
Encontrar dominio y recorrido de la siguiente función:
x ( x – 2 ) ≥ ( 0 ) 2
2
x ( x – 2 ) ≥ 0
x ≥ 0
x = 0
x – 2 ≥ 0
x – 2 = 0
x = 2
x– x
0 1 2 3- 3 - 2 - 1
(–1) ( –1 – 2 ) ≥ 0
3 ≥ 0 V
1 ( 1– 2 ) ≥ 0
– 1 ≥ 0 F
3 ( 3 – 2 ) ≥ 0
3 ≥ 0 V
V VF
y
Dominio de la función: ] – ∞, 0 ] ∪ [ 2 , ∞ [
Recorrido de la función: [ 0 , ∞ [
Dando valores a x de: -1, 1, 3
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