El documento presenta una introducción al análisis vectorial en física, definiendo conceptos básicos como vectores, magnitudes vectoriales, elementos de un vector, representación gráfica y expresión analítica de vectores. También describe operaciones con vectores como adición, métodos para calcular la resultante, tipos de vectores y sustracción de vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan estos conceptos vectoriales fundamentales en física.

1. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 1
Indicadores de evaluación
Al finalizar la unidad serás capaz de:
1. Vectores
2. Tipos de vectores
3. Operaciones con vectores
4. Adición de vectores
5. Método del paralelogramo
6. Método del triángulo
7. Método del polígono
8. Sustracción de vectores
9. Multiplicación de vectores
10. Descomposición rectangular
11. Vector unitario
12. Ejercicios de aplicación
Uno de los primeros
temas esenciales que es
necesario aprender para
introducirnos en el
maravilloso mundo de la
física es el
correspondiente al análisis vectorial,
de múltiple aplicación en esta
fascinante ciencia.
En física, un vector es una
herramienta geométrica utilizada para
representar una magnitud física del
cual depende únicamente un módulo y
una dirección u orientación para
quedar definido. Los vectores se
pueden representar geométricamente
como segmentos de recta dirigidos o
flechas en planos; es decir,
bidimensional o tridimensional.
Por ejemplo: La velocidad con que se
desplaza un móvil es una magnitud
vectorial, ya que no queda definida tan
sólo por su módulo (lo que marca el
velocímetro), sino que se requiere
indicar la dirección hacia la que se
dirige.
1. Definen una magnitud vectorial
reconociendo sus elementos
2. Calculan la resultante de dos o más
vectores.
3. Determinan la dirección de los
vectores dados.
4. Suman y descomponen vectores.

2. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 2
VECTOR
Es un ente matemático que
gráficamente se representa por un
segmento de recta orientado (flecha).
El vector en la Física, se utiliza para
representar las magnitudes
vectoriales tales como: Velocidad,
Desplazamiento, aceleración, fuerza,
etc.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE UN VECTOR
Donde:
A

: Se lee “vector A”
P : Origen del vector
Q : Extremo del vector
X : Eje de abscisas
Y : Eje de ordenadas
O : Origen de coordenadas
Observación:
Todo vector queda bien definido
conociendo su Módulo, Dirección y
Sentido, siendo estos sus elementos.
ELEMENTOS DE UN
VECTOR
Todo vector consta de 3 elementos
básicos.
MÓDULO
Es la longitud del vector e indica el
valor numérico de la magnitud
vectorial, se representa por |Ᾱ|.
Para hallar el módulo del vector se
emplea la fórmula de Pitágoras.
Observación:
El módulo de un vector, siempre es un
número positivo, nunca puede ser
negativo cualquiera sea la dirección.
DIRECCIÓN
Es la orientación del vector, está
determinado por el ángulo de
inclinación que forman la recta que
contiene al vector con el Eje “x”
positivo en posición normal, pero
medido en sentido anti horario.
22
yxA 

O
Y
X
Módulo:
Línea de
AcciónSentido
P
Q
Dirección
A

A

Dirección
x
y
A

A

AA 

Módulo del vector A

3. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 3
Observación:
Para hallar la dirección del vector se
emplea la función trigonométrica
tangente:
SENTIDO
Gráficamente se representa por la
cabecita de la flecha, que indica
hacia qué lado de la dirección actúa
el vector. Pueden ser:
EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE
UN VECTOR
Existen diversas formas de
representar analíticamente un vector.
1. Cuando el punto de aplicación de
un vector está en el origen de un
sistema de coordenadas, su
extremo coincidirá con un punto
del plano, y se representa
mediante un par ordenado de
números reales.
Donde:
“x” e “y” son componentes del
vector.
Por ejemplo: Si  4;3A

2. Por otra parte, cuando el origen del
vector no coincide con el origen del
sistema de coordenadas, el vector
se halla restando el punto extremo
y el punto origen.
Entonces, el vector Ᾱ será:
Ᾱ = Extremo – Origen
Es decir:
Reemplazando:
);();( 1122 yxyxA 

Observación:
Para hallar su módulo, usando las
componentes de este vector
graficaremos desde el origen de
coordenadas. Mientras para hallar la
dirección del se emplea la F.T.T.,
trazadas siempre al Eje “x”.
);( yxA 

Ᾱ = Q - P
);( 1212 yyxxA 

3x
4y
180°
90°
270°
0°
360°
R
IVCIIIC
ICIIC
R R
IIC:
R 180
IIIC:
R 180
IVC:
R  360
Y
X
A

P
Q
X1
X2
Y1
Y2
x
y
tan )tan(
x
y
Arc
x

y
Oblícuo
Horizontal
Vertical

4. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 4
1. Hallar el módulo y la dirección del
vector  1;3A

Resolución:
22
yxA 

22
1)3( A

24 A

31tan 
33tan 
 30
2. Hallar el módulo y la dirección del
vector  12;5b

Resolución:
Rpta: 13 y 113°
3. Hallar el módulo y la dirección del
vector  1;1 c

Resolución:
Rpta: √2 y 225°
4. Hallar el módulo y la dirección del
vector  4;3 d

Resolución:
Rpta: 5 y 307°
5. En el plano xy, hallar el vector Ᾱ,
su módulo y su dirección.
Resolución:
Rpta: (-6; 8); 10 y 127°
6. Hallar las componentes del vector
Ᾱ, módulo y su dirección.
Resolución:
Rpta: (-4;-4); 4√2 y 225°
y
x

)12;5(
y
x
)4;3( 


O
y
x
)1;3(
P
Q 7
X
Y
-1
-4
2
X
N
-1
M
2
-2
Y
3
)1;1( 

0
y
x

5. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 5
1. Hallar el módulo y la dirección del
vector  3;1A

Resolución:
Rpta: 2 y 60°
2. Hallar el módulo y la dirección del
vector  4;2B

Resolución:
Rpta: 2√5 y 117°
3. Hallar el módulo y la dirección del
vector  2;1 C

Resolución:
Rpta: √5 y 243°
4. Hallar el módulo y la dirección del
vector  7;1 D

Resolución:
Rpta: 5√2 y 278°
5. Usando el esquema determine el
vector, el módulo y la dirección.
Resolución:
Rpta: (-4; 3), 5 y 143°
6. Dado el plano cartesiano halle el
vector, el módulo y la dirección.
Resolución:
Rpta: (4; 2), 2√5 y 27°

O
y
x
)(
y
x

)(
)(

0
y
x
y
x
)(

m

1
P
Q 3
X
Y
-3
X
Ᾱ
0
M
-1
N
3
1
Y
3

6. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 6
TIPOS DE VECTORES
1. VECTORES COLINEALES
Son aquellos vectores que se
encuentran en una misma recta
(línea de acción)
2. VECTORES PARALELOS
Cuando los vectores se
encuentran en rectas paralelas.
3. VECTORES COPLANARES
Son aquellos vectores que se
encuentran en un mismo plano.
4. VECTORES CONCURRENTES
Son aquellos vectores cuyas líneas
de acción, se cortan en un solo
punto.
5. VECTORES IGUALES
Son aquellos vectores que tienen
igual módulo, dirección y sentido.
6. VECTORES OPUESTOS
Son dos vectores que tienen el
mismo módulo, la misma dirección,
pero sentido contrario.
7. VECTORES ORTOGONALES
Son aquellos vectores donde sus
líneas de acción se cortan en 90°.
cyba

, Son concurrentes
a
 b

c

Punto de
Concurrencia
a

b

ba


a

b

c

Línea de Acción
a

b

c

→ ā, b, c, son paralelos
a

b

c

cyba

, Son coplanares
a

b

a

b


ba

 Son vectores opuestos entre sí

7. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 7
OPERACIONES BÁSICAS CON
VECTORES
1. ADICIÓN DE VECTORES
Es una operación que tiene por
finalidad, hallar un único vector
denominado vector resultante (R).
Este vector resultante es igual a la
suma de todos los vectores.
Por ejemplo:
MÉTODOS PARA CALCULAR
LA RESULTANTE
a. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Se utiliza para calcular la resultante de
dos vectores que tienen un mismo
punto de origen, dados sus módulos y
el ángulo que forman. Gráficamente,
se construye un paralelogramo,
trazando por el extremo de cada
vector una paralela al otro. El modulo
del vector resultante se obtiene
trazando la diagonal que parte del
origen de los vectores.
A
A
Observación:
Para hallar el módulo del vector
resultante (R) se usa la fórmula del
paralelogramo.
b.MÉTODO DEL TRIÁNGULO
Se utiliza para calcular la resultante de
dos vectores, para ello se unen los
dos vectores uno a continuación del
otro formando un triángulo, el vector
resultante se traza uniendo el origen
del primer vector con el extremo del
ultimo vector.
Es decir:
Observación:
Para hallar el valor del vector
resultante se aplica la Ley de
cosenos, y la dirección del vector
resultante se halla mediante la Ley de
senos.
Ley de cosenos
R

d

c

b

a

dcbaR


Suma vectorial
a

b


 
R

b

a

cos222
 abbaR
cos2222
 bRRba
cos2222
 aRRab
cos2222
 abbaR
a
R
b
 


a

b

R





a


b


8. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 8
Ley de senos
c. MÉTODO DEL POLÍGONO
Se utiliza para calcular la resultante de
un conjunto de vectores (más de dos
vectores). Consiste en construir un
polígono uniendo los vectores uno a
continuación del otro hasta el último
vector manteniendo sus tres
elementos, de manera que el vector
resultante se traza uniendo el origen
del primer vector con el extremo del
ultimo vector.
Por ejemplo, sean los vectores:
Observación:
Si al unir los vectores
forman un polígono cerrado, la
resultante es cero.
Casos particulares:
•Cuando la línea de acción de los
vectores es la misma, se efectúan
algebraicamente teniendo en cuenta
la dirección.
Observación:
El signo será (+) si la orientación es (  )
y (-) si la orientación es ( )
2.SUSTRACCIÓN DE VECTORES
Es una operación que tiene por
finalidad, hallar un vector denominado
diferencia, el cual es igual a la resta
de vectores.
La diferencia de dos vectores que
tienen el mismo origen se consigue
uniendo los extremos de los vectores.
La orientación del vector diferencia D
apunta al minuendo.
Observación:
El módulo del vector diferencia se
calcula aplicando la Ley de cosenos.
•Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando estos se
encuentran en la misma dirección y sentido (Ɵ=0°).
baR max
•Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando estos se
encuentran en la misma dirección, pero en sentidos contrarios
(Ɵ=180°).
baR max
a

b

a
 b

 sen
R
sen
b
sen
a

d
 c

b

a

 b

R

a

c

d

dcbaR


c

b

a

0

 cba
0

 R cos222
 abbaD

baD


a


b

b


a


9. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 9
1. Calcular el vector resultante de los
vectores mostrados.
Resolución:
Rpta: 3
2. Sabiendo que la resultante de los vectores
mostrados es 15. Halle el módulo de b
Resolución:
Rpta: 8b

3. Dos vectores cuyos módulos son 2u y 4u,
forman entre si un ángulo de 60°; calcular
el módulo del vector resultante en la
figura.
Resolución:
Rpta: 2√7
4. Hallar el módulo del vector resultante en
la figura.
Resolución:
Rpta: 10u
5. Los vectores a y b tienen módulos de 6 y 7
unidades. Si forman un ángulo de 30°.
Calcular el módulo y la dirección del vector
resultante.
Resolución:
Rpta: R=13 y α=13°
6. Halla el vector diferencia de dos vectores
de 5 y 6 unidades cuando forman 53°.
Resolución:
Rpta: 5
7. Hallar el valor de la resultante del sistema
de vectores mostrados, si 6a

.
Resolución:
Rpta: 18u
8. En el sistema, determinar la resultante.
Resolución:
Rpta: a

xb  6

xa  9

12c

R

0
30
b

 
a

m

y

z
x

a

n

m

y

z
x

a

n

I
II
7a
 22  xb

a

b

60
8
6
a

b



10. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 10
NOMBRES Y APELLIDOS:
………………………………………….
1.Determinar el valor de “x”, si la
resultante de los vectores es 10.
Resolución:
Rpta: 5
2.Hallar el módulo del vector
resultante.
Resolución:
Rpta: 4u
3.En el sistema hallar “x” en función
de Ᾱ y B.
Resolución:
Rpta: Ᾱ+B/2
4.Hallar la suma de los vectores
mostrados en términos de c

.
Resolución:
Rpta: 3c

5.El vector diferencia de dos vectores
es 2√61, si sus módulos son 10 y 8
unidades. ¿Qué ángulo forman
dichos vectores?
Resolución:
Rpta: 120°
6.Sean los vectores a

y b

, si )1;2;2(b

,
el módulo de a

es 4 y 6ba

. Hallar
ba

 .
Resolución:
Rpta: 60° y 6√3
n

n

b

x
a

4
60°
4
xb 10

35c

2
xa 

d

c

b

a

e
I
II

11. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 11
3. MULTIPLICACIÓN DE
VECTORES
El producto escalar y el producto
vectorial son las dos formas de
multiplicar vectores, de gran
importancia en las aplicaciones de la
Física.
PRODUCTO ESCALAR
Se calcula como el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo (θ)
que forman entre sí.
Observación:
El producto escalar de dos vectores
conociendo sus componentes es igual
Si  21;aaa 

y  21;bbb 

PRODUCTO VECTORIAL
Es un vector perpendicular al plano
formado por los dos vectores, se
calcula como el producto de sus
módulos por el seno del ángulo que
forman ambos vectores y cuyo sentido
se determina por la regla de la mano
derecha.
Producto punto
cos baba

b

a


2211 bababa 

senbaba 

Producto aspa

12. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 12
1. Determinar el valor de “x”, si la
resultante de los vectores es 10.
Resolución:
Rpta: ±3
2. Dos vectores de módulo 7cm y
8cm dan como resultante un
vector de módulo 13cm.
Determine el ángulo que forman.
Resolución:
Rpta: 60°
3. hallar “x” en función de Ᾱ y B.
Resolución:
Rpta: Ᾱ+B/2
4. Dos vectores de 100 y 80 unidades
forman entre si un ángulo de 37°.
Encontrar el módulo del vector
diferencia.
Resolución:
Rpta: 60u
5. Hallar el producto escalar de dos
vectores de 2 y 2√3 unidades
cuando forman 30°.
Resolución:
Rpta: 6
6. Dados los vectores )32;2(a

y
)0;4(b

. Hallar : ba

 y ba


Resolución:
Rpta: 8 y 8√3
a

b


n

n

b

x
a

2
xa 

xc 10

110  xb


13. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 13
DESCOMPOSICIÓN
RECTANGULAR DE UN VECTOR
Dado un vector se puede
descomponer en dos vectores
llamados “Componentes
Rectangulares” que forman entre sí
un ángulo recto.
Donde:
xA

: Componente de A

en el eje x
yA

: Componente de A

en el eje y
Se puede expresar como un triángulo
rectángulo:

A
A
sen y


A
Ax
cos
Para hallar el módulo de A

:
Observación:
El método de los componentes
rectangulares permite calcular el
módulo y la dirección de la resultante
de un conjunto de vectores.
Pasos a seguir:
▪Se descomponen los vectores
oblicuos en sus componentes
rectangulares.
▪Se suman algebraicamente y se
calcula la resultante en cada uno de
los ejes “x” e “y”, teniendo en cuenta
la dirección de cada vector (Rx; Ry).
xR : Suma de vectores en el eje x
yR : Suma de vectores en el eje y
▪Se calcula el módulo de la resultante
aplicando Teoremade Pitágoras y su
dirección aplicando la función
tangente.
Observación:
1. Si la R está en el eje “x” 0 yR
2. Si la R está en el eje “y” 0 xR
3. Si la R es NULO 0 yx RR
yx AAA


22
yx AAA 
x
y
R
R
tan
22
yx RRR 
AsenAy 
cosAAx 
xA


yA

y
x
A

Suma vectorial
y

x
A
yA
xA
y
x



e

d

c

b

a

REGLADESIGNO PARA
LOS VECTORES
 
 
   

14. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 14
Descomponer el vector e indicar el
valor de las componentes:
1.
Solución:
xA xA
yA yA
2.
Solución:
xA xA
yA yA
3. En el sistema vectorial mostrado,
hallar el módulo del vector
resultante.
Resolución:
En el eje x:
xR
En el eje y:
yR
22
yx RRR 
Rpta: 5
4. En el sistema, hallar la dirección
del vector resultante, si la
resultante está en el eje “y”.
Resolución:
0xR
xR
Rpta: θ=30°
15
37°
y
x
8
60°
y
x
6
45°
y
x
20
53°
y
x
37°
y
x4
3
10
y
x
θ
y
x12
24
32

15. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 15
1. Hallar el valor del ángulo “θ” si la
resultante se encuentra en el eje
“x”.
Resolución:
Rpta:
2. En el sistema vectorial mostrado,
la resultante es nula. Halle el valor
del ángulo “θ” y el módulo del
vector F.
Resolución:
Rpta:
3. Hallar la resultante del sistema.
Resolución:
Rpta: 2√2 N
4. la resultante del sistema es 7N, si
la resultante está en el eje “y”.
Hallar “θ” y la fuerza “F”.
Resolución:
Rpta: 60° y 200N
40
Ɵ
y
x
53°
100
30
θ
y
x12
F
9
10N
45° 53°
10N
N24
y
x
340N
F
53
300N
y
x

16. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 16
NOMBRES Y APELLIDOS:
………………………………………….
1. Hallar la resultante de los vectores
mostrados.
Resolución:
Rpta: 2√10
2. La resultante de los vectores es
nula. Hallar el ángulo “θ” y el
módulo del vector Ᾱ.
Resolución:
Rpta:
3. Determinar la dirección del vector
resultante, respecto del eje “x”.
Resolución:
Rpta: 135°
4. Usando el plano “xy”, calcular el
módulo del vector resultante.
Resolución:
Rpta: 2√3
30
45°
y
x
53°
10 220
10
75°
y
x15°
Ɵ
b
a

θ
y
x10
4
32
8
4
2
6




17. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 17
VECTOR UNITARIO ( u

)
Se usa para indicar la dirección de
un vector, su módulo es igual a la
unidad y se encuentran en los ejes
coordenadas cartesianas.
Existen dos formas de vectores:
VECTORES UNITARIOS EN EL
PLANO
i

: Vector unitario en el eje x
j

: Vector unitario en el eje y
Observación:
Indica dirección positiva : i; j
Indica dirección negativa : -i; -j
VECTORES UNITARIOS EN EL
ESPACIO
VECTORES UNITARIOS
PRINCIPALES
Cualquier vector se puede expresar
en función de los vectores unitarios
principales i y j.
En la dirección horizontal :  0;1i

En la dirección vertical :  1;0j

Ejemplo:
Expresar los vectores en función de
los vectores unitarios:
▪  7;4a

Resolución:
 7;4a

   7;00;4 a

   1;070;14 a

jia

74 
▪  4;3b

Resolución:
b

Observación:
Fórmula general del vector unitario
 AuAA

Donde:
A

: Vector A
A: Módulo del vector A
Au

: Vector unitario de A
A
A
uA



)1;1( 
)1;1(
y
xi

j

i


j


Donde:
 0;0;1i

 0;1;0j

 1;0;0k

y
xi

j

k

z
0
xi
j

y
Donde:
 0;1i

 1;0j

1u

u

1
);( yxa 

jyixa


uA

4

18. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 18
1. Expresar los vectores en función
de los vectores unitarios:
)2;3(A

)3;4(B

)3;6( C

)1;5( D

2. Expresar los vectores en función
de los vectores unitarios:
)2;0(A

)0;4(B

)1;0( C

)0;1(D

3. Expresar los vectores en
jiA

53 
jiB

34 
jC

4
4. Graficar:
jiA

5
Resolución:
5. De la gráfica,determine el vector Ᾱ
Resolución:
6. Dado el vector en el plano xy,
determine: El vector Ᾱ, su módulo
y el vector unitario de Ᾱ.
Resolución:
A
A
uA



Rpta: (-12/13;5/13)
y
x
A

2
0
y
x
5A

4
y
x
A

-8
4
-1

19. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 19

20. I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física
Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 20