En este archivo se podra ver a las Relaciones de Equivalencia, sus representaciones y Caracterisitcas

1. MATEMATICA DISCRETA UNIDAD Nº 3 2º parte Relaciones yDigrafosTEORIA 1 Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación. Kolman y Busby. Cap IV

2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 2

3. 3

4. Descripción de digrafos y matrices de relaciones reflexivas, simétricas y transitivas Relaciones reflexivas: * R es reflexiva si y solo si todos los elementos tienen lazos. * R es reflexiva si y solo la matriz MR es tal que mii=1 i Relaciones simétricas: * R es simétrica si y solo si se cumple que, si la arista (x,y) pertenece al grafo entonces también aparece la arista (y,x) en el grafo * R es simétrica si y solo si la matriz MR es tal que mij=mjii,j Relaciones transitivas: * R es transitiva si y solo si se cumple que , si las aristas (x,y) e (y,z) pertenecen al grafo entonces también aparece la arista (x,z) en el grafo * Sean m2ij y mij los elementos genéricos de MR2 y MR . R es transitiva si y solo si se cumple que m2ij =1 mij =1 , i,j 4

5. Ejercicios para el aula 5 j p m r s a

6. g) Sea R7 definida en Zpor medio de a R7 b a+ b es par Demostrar que es una relación de equivalencia. 6

7. Particiones y Relaciones de Equivalencia Ejemplo A a b c d h j w k e p t s f m 7

8. Ejercicios para el aula 8

9. Clases de equivalencia 9 Definición: Sea aA y sea R definida en A una relación de equivalencia Se define a la “clase de equivalencia del elemento a” como el conjunto relativo al elemento a Simbólicamente [a] = R(a) = { x A / aRx } Observación: Si P es una partición de A y R es la relación de equivalencia determinada por P en A, entonces los elementos de P (subconjuntos de A), pueden ser descriptos en términos de las clases de equivalencia Si A1 P y a  A1 entonces A1=[a]

10. 10 Ejemplos A1=[e] =[c]=[d] ={e,c,d } A A2=[a] = [b] ={a,b} A1=[a] A A2=[d] a b c d h j w k e p t s f m A4=[h] A3=[s]

11. 11 Definición distintas

12. Ejercicios para el aula Sabiendo que los siguientes grafos corresponden a relaciones de equivalencia, encontrar el conjunto cociente determinado por ellas m n n t t s s p p a x u u r r q q c g f f b d y 12

13. Ejercicios para el aula Encontrar A/R en los siguientes casos: Sea A = N y sea R definida por: aRba+b es par Sea A = Z y sea R definida por aRb 3|(a-b) En ambos casos representar la partición en un diagrama de Venn 13