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Rectas en R3Sea P0(x0,y0,z 0) un puntoque pertenece a la recta L, convector director d diferente delvector cero dado por (...
Ecuacionesencontrar la ecuación de una recta dadosdos puntos de la recta o un punto y lapendiente de la recta En el plano ...
 P    tv       P0( x, y , z )    t (a, b, c) ( x0 , y0 , z0 )                                           x   ta   x0 Ecuac...
Ejemplos:Hallar las ecuaciones parametricas y simétricas de la recta que tiene por vector direcciónv=(1,-2,3) y pasa por e...
Angulo entre una recta y un planoSe define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo quedeterminan sus vectores direct...
Números directores de la intersección de dos planos     Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un...
2) Plano paralelo al eje OY.Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0Siendo el vector director...
5)Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B =0 y la ecuación general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = ...
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GEOMETRIA ANALITICA

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RECTAS EN R3

  1. 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la defensaUniversidad nacional experimental politécnica de las fuerzas armadas UNEFA Integrantes : Jairo Abreu Jennifer luckert Dairimar Pérez Dennys Gómez Sección : 1T2IS Barquisimeto, Julio201 2
  2. 2. Rectas en R3Sea P0(x0,y0,z 0) un puntoque pertenece a la recta L, convector director d diferente delvector cero dado por (a,b, c).Se define a L como el conjuntode puntos P(x ,y ,z ) tales que ladirección del vector P0P esparalela a d.
  3. 3. Ecuacionesencontrar la ecuación de una recta dadosdos puntos de la recta o un punto y lapendiente de la recta En el plano R2podemos. En R3, las ideas básicas son lasmismas, así que podemos hallar laecuación de la recta si conocemos dospuntos de ella o un vector paralelo a larecta. Denotamos Po como un punto de larecta (xo,yo,zo), v como el vector dirección(a,b,c), y t como un numero realcualquiera, podemos obtener las dosecuaciones de la recta.
  4. 4.  P tv P0( x, y , z ) t (a, b, c) ( x0 , y0 , z0 ) x ta x0 Ecuaciones param etric as y tb y0 z tc z0Con estas ecuaciones podemos obtener n puntos de la recta. Si despejamos la t en las tresecuaciones e igualamos, obtenemos: x x0 y y0 z z0Ecuacionessim etricas a b c
  5. 5. Ejemplos:Hallar las ecuaciones parametricas y simétricas de la recta que tiene por vector direcciónv=(1,-2,3) y pasa por el punto (1,1,1).  y v ( 1, 2 ,3 ) P0 ( 1,1,1 ) L x ta x0 x t 1 Ec. param etric as y tb y0 y 2t 1 x z tc z0 z 3t 1 x 1 y 1 z 1 z Ec. sim etricas 1 2 3 v Si t 1 P ( 2 , 1,4 ) Si t 1 P ( 0 ,3 , 2 )
  6. 6. Angulo entre una recta y un planoSe define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo quedeterminan sus vectores directores.Sea N un vector en R 3 diferente de cero . Sea T un punto en R3 .Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene alpunto T, si cumplen que : __ __ (0X - 0T) . N = 0Si se denota por π el plano que contiene aT y los puntos X En R3 que satisfacen (∗), entonces se dice que N es elvector normal de π.
  7. 7. Números directores de la intersección de dos planos Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos. 1) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:
  8. 8. 2) Plano paralelo al eje OY.Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0Siendo el vector director normal al plano de la forma:3) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación generaltoma la forma : A.x + B.y + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma: 4) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0
  9. 9. 5)Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B =0 y la ecuación general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = Cte.Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente aun plano paralelo al plano XOY 6)Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: B.y + D = 0 ; y = Cte. 7) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + D = 0 ; x = Cte.

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