El documento presenta conceptos sobre planos en R3. Explica que un plano puede generarse geométricamente por tres puntos no colineales o vectorialmente por dos vectores no paralelos. Luego describe las ecuaciones vectorial, paramétrica, normal y general de un plano, y presenta ejercicios para aplicar estos conceptos.

1. RECTAS Y PLANOS EN R3
Antes de convencer al
intelecto, es
imprescindible tocar y
predisponer el corazón.
B. Pascal.
BLAISE PASCAL
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la unidad, el estudiante genera conceptualmente un plano basado en conceptos
vectoriales, reconoce la normal a un plano y determina las posiciones relativas entre rectas que
no son paralelas”
5.9. El Plano
Geométricamente podemos decir que tres
puntos no colineales en el espacio gene-
ran un plano.
Vectorialmente podemos decir que dos vec-
tores no paralelos en el espacio generan
un plano.
5.9.1. Ecuación Vectorial de un
Plano
Denota la ecuación de un planoP como
aquel que pasa por un punto P0 y contiene dos
vectores no paralelos −→u y −→v , está dada por:
P : P = P0 + t−→u + r−→v t, r ∈ R
Donde:
P = (x, y, z): punto cualquiera del plano
P0 = (x0 , y0 , z0 ): punto de paso del plano
t, r: parametros t, r ∈ R
−→u , −→v : vectores directores
5.9.2. Ecuación Paramétrica de un
Plano
Se obtiene del desarrollo de la ecuación vec-
torial, está dada por:
L :



x = x0 + tu1 + rv1
y = y0 + tu2 + rv2
z = z0 + tu3 + rv3
t, r ∈ R
5.9.3. Ecuación Normal del Plano
La ecuación normal del plano P que pasa
por el punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) y que tiene como
vector normal a −→n = (a, b, c), es:
−→n · (P − P0 ) = 0
Donde:
P = (x, y, z): punto cualquiera del plano
P0 = (x0 , y0 , z0 ): punto de paso
−→n = (a, b, c): vector normal que se obtiene del
producto cruz de dos vectores del plano
P
5.9.4. Ecuación General del Plano
Del desarrollo de la ecuación normal del
plano se tiene:
(a, b, c) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0
De donde obtenemos la ecuación general del
plano:
P : ax + by + cz + d = 0
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2. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 10 Sesión 01
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar la ecuación general del plano
que pasa por los puntos A (−1, 2, 3);
B (3, 1, 4)y es paralelo al vector −→u =
(2, 1, 2)
Solución. :
Respuesta:
2. Dadas las rectas L1 : (1, 1, 1) + t (1, 2, 3);
L2 : (1, 3, 4) + r (2, 1, 1);L3 : (2, 1, 0) +
s (0, 4, 2)Forme un plano con las rectas
L1 y L2 y otro con L1 y L3 , luego halle la
intersección de los planos
Solución. :
Respuesta:
3. Determine la ecuación vectorial, nor-
mal y general de un plano que pasa
por los puntos A (3, 3, 1); B (−2, 2, 1);
C (4, 1, −1).
Solución. :
Respuesta:
4. Para que valores a y b la recta
L :



x = 3 + 4t
y = 1 − 4t
z = t − 3
esta contenida en el
plano P1 :ax + 3y − 4z + b = 0
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 88

3. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dados los puntos A (1, 0, 2); B (0, 1, 3);
C (−1, 2, 0) y D (2, −1, 3) Hallar la
ecuación del plano Θ que contiene a la
recta que pasa por AB y es paralelo a la
recta que pasa por CD
Solución. :
Respuesta:
2. Encontrar la ecuación del plano que pasa
por los puntos P(2, 0, −1); Q(−1, 2, 1)
y es paralelo a la recta que resul-
ta de la intersección de los planos
P1 : x + y − 2z = 4 ; P2 : 4x − y + z = 0
Solución. :
Respuesta:
3. Encontrar la ecuación del plano que pasa
por los puntos P(1, −3, 2) y Q(0, 1, 1) y
es paralelo a la recta: x−3
−5 = y−1
2 = 2 − z
Solución. :
Respuesta:
4. Determine el punto de intersección en-
tre la recta L1 :



x = 2 + 3t
y = −4t
z = 5 + t
y el plano
P1 :4x + 5y − 2z − 18 = 0
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 89

4. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos
A (−1, 2, 3); B (3, 1, 4) y C (0, −4 − 5)
2. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos
A (3, −1, 2); B (8, 2, 4) y C (−1, −2, −3)
3. Dados los vectores −→u = (−2, 2, 1); −→v = (3, −1, 4) y el punto Q (3, 4, 5). ¿Se puede formar
un plano? Halle la ecuación general de dicho plano.
4. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −3, 2) yB(0, 1, 1) y es paralelo
a la recta L2 :
3x − 2y + 1 = 0
2x + 3z − 3 = 0
5. Halle la ecuación del plano P que pasa por el punto de intersección de la recta L1 :x+2
3 =
y
1 = z−4
2 y el plano 2x + 3y − z + 11 = 0; y es perpendicular a la recta L2 : (−1, 4, 1) +
r (1, 0, 3)
6. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el origen y los puntos (2, −4, 6) y (5, 1, 3)
7. Halle la ecuación del plano que pasa por el punto (6, 0, −2) y contiene a la recta x = 4 − 2t;
y = 3 + 5t; z = 2 − t
UTP Sede Arequipa Página 90