1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
DETERMINANTES
CONCEPTO DE DETERMINANTE
DEFINICIÓN
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,
det ( A) ó ∆ A ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al
multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada
fila y columna de A .
Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2 n
det ( A) = a31 a32 a33 … a3n = κ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an1 an 2 an 3 ⋯ ann
Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo
líneas.
CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación
diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.
a a 
Esta regla establece que para una matriz de segundo orden A =  11 12  , su determinante se calcula
a21 a22 
de la siguiente manera:
a11 a12
det ( A) = = a11a22 − a21a12
a21 a22
esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplos.
3 5
1) = 3(4 ) − 2(5) = 12 − 10 = 2
2 4
1

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4 −8
2) = 4(− 7 ) − 3(− 8) = −28 + 24 = −4
3 −7
− 12 − 6
3) = −12(− 4 ) − 5(− 6 ) = 48 + 30 = 78
5 −4
 a11 a12 a13 

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden A = a 21 a22 a 23  , establece que su
 
 a31
 a32 a33 
determinante se calcula como:
a11 a12 a13
det ( A) = a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a11a32 a23
a31 a32 a33
esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal
secundaria y sus dos paralelas.
Ejemplos.
1 −3 5
1) 7 4 − 1 = 1(4 )(6 ) + 7(0 )(5) + (− 2 )(− 3)(− 1) − (− 2 )(4 )(5) − (7 )(− 3)(6 ) − 1(0 )(− 1)
−2 0 6
= 24 + 0 − 6 + 40 + 126 + 0 = 184
2 −1 0
2) 3 5 10 = 2(5 )(− 8 ) + 3(7 )(0 ) + 1(− 1)(10 ) − 1(5)(0 ) − 3(− 1)(− 8) − 2(7 )(10 )
1 7 −8
= −80 + 0 −10 − 0 − 24 −140 = −254
3 −5 8
3) − 4 2 3 = 3(2 )(− 1) + (− 4 )(9 )(8) + 7(− 5)(3) − 7(2 )(8) − (− 4 )(− 5)(− 1) − 3(9 )(3)
7 9 −1
= −6 − 288 −105 −112 + 20 − 81 = −572
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
2 0
1) = 2(0 ) − 6(0 ) = 0 − 0 = 0
6 0
2

3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
−9 1
2) = (− 9 )(0 ) − 0(1) = 0 − 0 = 0
0 0
2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz AT
Ejemplo.
5 − 1
A= 
8 3 
5 −1
det ( A) = = 5(3) − (8)(− 1) = 15 + 8 = 23
8 3
 5 8
AT =  
− 1 3
det AT = ( ) 5 8
−1 3
= 5(3) − (− 1)(8) = 15 + 8 = 23
3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es
también multiplicado por k.
Ejemplos.
2 3
= 2(5) − 4(3) = 10 − 12 = −2
4 5
Multiplicando el primer renglón por k =3
6 9
= 6(5) − (4 )(9 ) = 30 − 36 = −6
4 5
Multiplicando la primera columna por k =3
6 3
= 6(5) − 12(3) = 30 − 36 = −6
12 5
en general:
a11 a12 ⋯ a1n ka11 a12 ⋯ a1n ka11 ka12 ⋯ ka1n
a21 a22 ⋯ a 2 n ka21 a22 ⋯ a2 n a a22 ⋯ a2n
k = = 21
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an1 a n 2 ⋯ ann kan1 an 2 ⋯ ann an1 an 2 … ann
4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia.
Ejemplos.
4 5
= 4(2 ) − 1(5) = 8 − 5 = 3
1 2
intercambiando renglones:
3

4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1 2
= 1(5) − 4(2 ) = 5 − 8 = −3
4 5
intercambiando columnas:
5 4
= 5(1) − 2(4 ) = 5 − 8 = −3
2 1
5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido
es igual a: (− 1) p ∆
Ejemplo.
4 2 3
∆ = 1 0 − 1 = 4(0 )(− 2 ) + 1(− 1)(3) + 0(2 )(− 1) − (0 )(0 )(3) − 1(2 )(− 2 ) − 4(− 1)(− 1)
0 −1 − 2
= 0 − 3 + 0 − 0 + 4 − 4 = −3
si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:
2 3 4
∆1 = 0 − 1 1 = 2(− 1)(0 ) + (0 )(− 2 )(4 ) + (− 1)(3)(1) − (− 1)(− 1)(4 ) − (0 )(3)(0 ) − 2(− 2 )(1)
−1 − 2 0
= 0 − 0 − 3 − 4 − 0 + 4 = −3 = (− 1) ∆
2
si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:
1 0 −1
∆2 = 4 2 3 = 1(2 )(− 2 ) + 4(− 1)(− 1) + 0(0 )(3) − (0 )(2 )(− 1) − 4(0 )(− 2 ) − 1(− 1)(3)
0 −1 − 2
= −4 + 4 + 0 + 0 + 0 + 3 = 3 = (− 1) ∆
1
6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1 1
1) = 1(6 ) − 6(1) = 6 − 6 = 0
6 6
−2 5
2) = (− 2 )(5) − (− 2 )(5) = −10 + 10 = 0
−2 5
7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son
sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:
a11 a12 ⋯ a1n a11 + ka1 j a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2 n a21 + ka2 j a22 ⋯ a2 n a21 a22 ⋯ a2 n
= =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an1 an 2 ⋯ ann an1 + kanj a n 2 ⋯ ann an1 + kai1 an 2 + kai 2 … ann + kain
4

5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
2 3
∆= = 2(4 ) − 1(3) = 8 − 3 = 5
1 4
sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2:
2 + 2(3) 3 8 3
∆2 = = = 8(4 ) − 9(3) = 32 − 27 = 5
1 + 2(4 ) 4 9 4
al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:
2 3 2 3
∆2 = = = 2(− 5) − (− 5)(3) = −10 + 15 = 5
1 − (3)(2 ) 4 − (3)(3) − 5 − 5
Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante.
Ejemplo.
3 − 1 1 3 − 2(1) − 1 1 1 − 1 1
∆ = 4 5 2 = 4 − 2(2 ) 5 2 = 0 5 2 = 15
6 0 3 6 − 2(3) 0 3 0 0 3
MENOR DE UN ELEMENTO
Sea un determinante de orden n , correspondiente a una matriz A :
a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2 n
det ( A) =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a n1 a n 2 ⋯ ann
Se define el menor de un elemento a ij al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna
j . Si se denota como M ij a tal determinante, se tiene:
a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n
a 21 a 22 ⋯ a2 j ⋯ a2n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
M ij =
a j1 a j2 ⋯ aij ⋯ ain
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a n1 an 2 ⋯ anj ⋯ ann
Ejemplos.
Dado el determinante:
−1 5 − 3
∆= 2 1 4
10 6 − 2
5

6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Algunos menores son:
−1 5 − 3
−1 − 3
M 22 = 2 1 4 = = 2 + 30 = 32
10 − 2
10 6 − 2
−1 5 − 3
5 −3
M 31 = 2 1 4 = = 20 + 3 = 23
1 4
10 6 − 2
−1 5 − 3
−1 5
M 23 = 2 1 4 = = −6 − 50 = −56
10 6
10 6 − 2
Ejemplo.
Dado el determinante:
5 1 3 2
9 0 2 10
∆=
8 7 5 4
2 −3 16
Encontrar el menor M 43
Solución:
5 1 3 2
5 1 2
9 0 2 10
M 43 = = 9 0 10 = 0 + 126 + 80 − 0 − 36 − 350 = −180
8 7 5 4
8 7 4
2 −3 1 6
COFACTOR DE UN ELEMENTO
Se define el cofactor de un elemento a ij , el cual se denota Aij , como:
Aij = (− 1) M ij
i+ j
es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó − 1 , dependiendo si la suma de los dos
subíndices es par o impar, respectivamente.
Ejemplo.
Calcular los cofactores del siguiente determinante:
4 11
det ( A) =
−5 −8
Solución:
A11 = −8
A12 = 5
6

7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
A21 = −11
A22 = 4
Ejemplo.
Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:
1 0 1
det ( A) = − 2 5 4
3 10 2
Solución.
5 4
A11 = = 10 − 40 = −30
10 2
−2 4
A12 = − = −(− 4 − 12) = 16
3 2
−2 5
A13 = = −20 − 15 = −35
3 10
El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos
de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:
n n
det ( A) = ∑ akj Akj = ∑ ail Ail
j =1 i =1
Para el renglón k o la columna l .
Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:
a11 a12 a13
det ( A) = a21 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a31 a32 a33
a22 a23 a21 a23 a21 a22
= a11 − a12 + a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32
esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:
a21 a22 a11 a12 a11 a12
det ( A) = a13 − a23 + a33
a31 a32 a31 a32 a21 a22
esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Ejemplo.
Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:
7

8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1 2 −8
det ( A ) = 6 − 4 5
2 −1 3
Tomando el primer renglón se tiene:
−4 5 6 5 6 −4
=1 −2 + (− 8)
= 1(− 12 + 5) − 2(18 − 10 ) + (− 8)(− 6 + 8)
−1 3 2 3 2 −1
= 1(− 7 ) − 2(8) + (− 8)(2 ) = −7 − 16 − 16 = −39
Ahora, tomando la segunda columna se tiene:
6 5 1 −8 1 −8
= −2 + (− 4 ) − (− 1)
= −2(18 − 10 ) + (− 4 )(3 + 16 ) − (− 1)(5 + 48)
2 3 2 3 6 5
= −2(8) − 4(19) + 1(53) = −16 − 76 + 53 = −39
Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un
determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna.
Ejemplo.
1 2 −1 4
0 2 1 −2
det ( A) =
0 3 2 5
0 4 −1 3
= 1A11 + 0 A21 + 0 A31 + 0 A41 = A11
calculando el cofactor A11 y tomando el segundo renglón se tiene:
2 5 3 5 3 2
=2 −1 + (− 2 )
= 2(6 + 5) − 1(9 − 20 ) + (− 2 )(− 3 − 8)
−1 3 4 3 4 −1
= 2(11) − 1(− 11) + (− 2 )(− 11) = 22 + 11 + 22 = 55
MATRIZ ADJUNTA
Si A = aij es una matriz cuadrada y Aij es el cofactor de a ij , se define la matriz adjunta de A ,
denotada Adj A , como la matriz de cofactores de su transpuesta.
A11 A12 ⋯ A1n
A21 A22 ⋯ A2 n
Adj A =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
An1 An 2 ⋯ Ann
Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en
ella, se calcula la matriz de cofactores.
Ejemplo.
Obtener la matriz adjunta de:
8

9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
 3 7
A= 
− 1 8
La matriz transpuesta es:
3 − 1
AT =  
7 8 
La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es:
8 − 7 
Adj A =  
1 3 
Ejemplo.
Encontrar la matriz adjunta de:
1 2 3
A =  2 3 2
 
 3 3 4
 
Solución.
1 2 3 
AT =  2 3 3 
 
3 2 4
 
 3 3 2 3 2 3 
 − 
 2 4 3 4 3 2 
6 1 − 5
 2 3 1 3 1 2  
Adj A = − −  = −2 −5 4 
 2 4 3 4 3 2 
 − 3 3 − 1
 2 3 1 3 1 2   
 3 3 −
 2 3 2 3 

MATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA
En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la
división en álgebra.
La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por
−1
resultado la matriz identidad, se denota como A :
A −1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = I
esto se cumple siempre y cuando det ( A) ≠ 0 .
La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:
9

10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
A11 A12 ⋯ A1n
1 1 A21 A22 ⋯ A2 n
A −1 = ⋅ Adj A =
det ( A) det ( A) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
An1 An 2 ⋯ Ann
El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el
siguiente:
• Se calcula el determinante de A . Si det ( A) ≠ 0 entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se
dice que es una matriz singular)
• Se obtiene la transpuesta de A , es decir, A T
T
• Se calcula la matriz de cofactores de A , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, Adj A
1
• Se forma el producto ⋅ Adj A .
det ( A)
Ejemplo.
Obtener la matriz inversa de:
− 2 − 1
A=
3 4
Solución.
− 2 −1
det ( A) = = −8 − (− 3) = −5
3 4
− 2 3
AT =  
 − 1 4
4 1 
Adj A =  
− 3 − 2
 4 1
1
−1 1 4 1  − 5 − 
5
A = ⋅ Adj A = =
−5 − 5 − 3 − 2  3
  2 

 5 5 
Comprobación:
 4 1  8 3 2 2 
 − 2 − 1  − 5 −   − −
5 5 
A ⋅ A −1 =  
5 = 5 5
 3 4  3
 2   12 12 3 8
 − + − + 
 5 5   5 5 5 5
1 0 
= =I
0 1 
Ejemplo.
Obtener la matriz inversa de:
10

11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
 2 − 1 0
A = − 5 1 2
 
 4 − 3 6
 
Solución.
det ( A) = 12 + 0 − 8 − 0 − 30 + 12 = −14
 2 −5 4 
A = − 1 1 − 3
T
 
0
 2 6

 1 −3 −1 − 3 −1 1 
 − 
 2 6 0 6 0 2 
12 6 − 2
 −5 4 2 4 2 −5  
Adj A = − −  = 38 12 − 4
 2 6 0 6 0 2 
11 2 − 3
 −5 4 2 4 2 −5   
 1 −3 − −1 − 3 −1 1 
 
 12 6 2
12 6 − 2   − 14 − 14 14 
1  12 4 
38 12 − 4 = −
1 38
A−1 = ⋅ Adj A = − 
− 14 − 14    14 14 14 
11 2 − 3  11
  2 3
− −
 14
 14 14 

Comprobación:
 12 6 2
− −
 2 − 1 0  14 38
14 14 
12 4 
A ⋅ A−1 = − 5 1 2 −
   14 − 
14 14 
 4 − 3 6  11
  2 3
− −
 14
 14 14 

 24 38 12 12 4 4 
 − 14 + 14 + 0 − + +0
14 14
− +0 
14 14
 60 38 22 30 12 4 10 4 6
= − − − − − + + 
 14 14 14 14 14 14 14 14 14 
− 48 + 114 − 66 − 24 + 36 − 12 8 12 18 
− +
 14 14 14
 14 14 14 14 14 14 
1 0 0 
= 0 1 0 = I
 
0 0 1 
 
La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:
11

12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1 
a 0 ⋯ 0 
a11 0 ⋯ 0  11 
0 0  0 1
a22 ⋯ ⋯ 0 
A=  ⇒ a 22 
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮   ⋮
  ⋮ ⋮ ⋮ 
0 0 ⋯ ann  n×n  1 
 0 0 ⋯ 

 ann 

La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla:
( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A−1
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para
hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones
lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa
de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma
tradicional así :
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 


… ⋯ ⋯ … 
am1 xn + am 2 x2 + … + amn xn = bm 

Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde a ij son los coeficientes reales del
sistema, los valores bm son los términos independientes del sistema y las incógnitas xi son las
variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales s1 , s 2 , ⋯ , sn
tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
[A] ⋅ [x] = [B]
 a11 a12 ⋯ a1n   x1   b1 
a a22 ⋯ a2 n   x2   b2 
 21   =  
⋯ ⋯ ⋯ ⋯  … … 
    
a m1 am 2 ⋯ amn   xn  bm 
donde:
[A] es una matriz de coeficientes
12

13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
[B ] es un vector de constantes
[x] es un vector de incógnitas
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
Sea la ecuación matricial: [A] ⋅ [x] = [B] que denota un sistema de ecuaciones lineales.
Esta ecuación puede ser resuelta para [x] , premultiplicando [A] por su inversa, y para no alterar el
resultado, también se premultiplica [B ] por la inversa de [ A] :
[A]−1 ⋅ [A] ⋅ [x] = [A]−1 ⋅ [B] , esto es:
[x] = [A]−1 ⋅ [B]
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
3x1 + 4 x2 = 15
1) 
2 x1 + x2 = 5 
Solución.
3 4
A= 
2 1 
3 4
det ( A) = = 3 − 8 = −5
2 1
3 2
AT =  
4 1 
 1 − 4
Adj A =  
− 2 3 
 1 4 
1 1  1 − 4 − 5 5 
A −1 = ⋅ Adj A = = 
−5 − 5 − 2 3   2 − 3 
 
 5 5
 1 4 
 − 5 5  15 − 3 + 4 1
[x ] = [A] ⋅ [B ] =  2
−1
3  
= = 
 −   5   6 − 3  3
 5 5
∴ x1 = 1; x2 = 3
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14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
x + 4 y + 5 z = 11 

2) 3 x − 2 y + z = 5 
4 x + y − 3 z = −26 

Solución.
1 4 5
3 − 2 1 
A= 
4 1 − 3
 
det ( A) = 6 + 15 + 16 + 40 + 36 − 1 = 112
1 3 4
A = 4 − 2
T
 1
5 1
 − 3

− 2 1 4 1 4 − 2
 − 
 1 −3 5 −3 5 1 
 5 17 14 
 3 4 1 4 1 3  
Adj A =  − −  = 13 − 23 14 
 1 −3 5 −3 5 1
11 15 − 14
 3 4 1 4 1 3   
 −
 −2 1 4 1 4 − 2

 5 17 14 
 5 17 14  112 112 112 
1   13 14 
13 − 23 14  = 
1 23
A−1 = ⋅ Adj A = − 
112 112   112 112 112 
11 15 − 14  11
  15 − 14 
112 112
 112 
 5 17 14   55 85 364   − 224 
112 112 112   11  112 + 112 − 112   112  − 2
 13 14   143 115 364   336   
[x] = [A] ⋅ [B] =   5  = 
−1 23
−  112 − 112 − 112  =  − 112  =  − 3
112 112 112    
 11 15 − 14  − 26  121 75 364   560   5 
   
+ +
112 112
 112  112 112 112   112 
   
∴ x = −2; y = −3; z=5
REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de
( )
incógnitas n = m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para
sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados).
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15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 


… ⋯ ⋯ …
an1 xn + an 2 x2 + … + ann xn = bn 

El valor de cada incógnita x j se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la
matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna j del
determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
3x1 − 4 x2 = 23
1) 
5 x1 + 6 x2 = 13 
Solución.
3 −4
∆= = 18 + 20 = 38
5 6
Para calcular x1 , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
23 − 4
∆ x1 13 6 138 + 52 190
x1 = = = = =5
∆ ∆ 38 38
Para calcular x2 , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
3 23
∆ x2 5 13 39 − 115 − 76
x2 = = = = = −2
∆ ∆ 38 38
∴ x1 = 5; x2 = −2
2 x − 3 y + 7 z = 21 

2) 4 x − y + 10 z = 28 
− 6 x − 9 y − 3 z = −9 

Solución:
2 −3 7
∆ = 4 − 1 10 = 6 − 252 + 180 − 42 − 36 + 180 = 36
−6 −9 −3
Para calcular x1 , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
21 −3 7
28 − 1 10
∆ x − 9 − 9 − 3 63 − 1764 + 270 − 63 − 252 + 1890 144
x= = = = =4
∆ ∆ 36 36
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16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
2 21 7
4 28 10
∆y − 6 − 9 − 3 − 168 − 252 − 1260 + 1176 + 252 + 180 − 72
y= = = = = −2
∆ ∆ 36 36
Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna:
2 − 3 21
4 − 1 28
∆ − 6 − 9 − 9 18 − 756 + 504 − 126 − 108 + 504 36
z= z = = = =1
∆ ∆ 36 36
∴ x = 4; y = − 2; z =1
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