1. Determinantes
Iniciamosel estudiode losdeterminantesal definirel determinante de unamatrizde 2 x 2, este se denota| 𝑨|o
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨), y estádado por:
(
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐
) = 𝒂 𝟏𝟏 ∙ 𝒂 𝟐𝟐 − 𝒂 𝟏𝟐 ∙ 𝒂 𝟐𝟏
El determinantede una matrizde 2 x 2 está dado por la diferenciade los productosde lasdos diagonalesdela
misma.
Por ejemplo:
si 𝑨 = (
⁡⁡⁡𝟐 𝟒
−𝟑 𝟏
) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠⁡𝑒𝑙 det( 𝐴) = 2 ∙ 1 − (−3) ∙ 4 = 2 − (−12) = 14
El determinantede unamatrizde 3 x 3 se define entérminosdel determinante de unamatrizde 2 x 2. El
determinantede unamatrizde 4 x 4 se define entérminosdel determinantede unamatrizde 3 x 3, y así
sucesivamente.
Sea A una matrizcuadrada
El menor del elemento 𝒂𝒊𝒋 se denotacomo 𝑴𝒊𝒋 y esel determinantede lamatrizque quedadespuésde
borrar la fila 𝒊 y lacolumna 𝒋 de A.
El cofactorde 𝒂𝒊𝒋 se denotacomo 𝑪𝒊𝒋 y estádado por 𝑪𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋
+ 𝑴𝒊𝒋
Observe que el menoryel cofactordifierenenel signoosoniguales. 𝑪𝒊𝒋 = ±𝑴𝒊𝒋
Teorema
El determinantede cualquiermatrizcuadradaesla sumade los productosde loselementos,de cualquierfilao
columna,porsus cofactores.
Mediante lafila 𝒊. | 𝑨| = 𝒂𝒊𝟏 ∙ 𝑪𝒊𝟏 + 𝒂𝒊𝟐 ∙ 𝑪𝒊𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒊𝒏 ∙ 𝑪𝒊𝒏
Mediante lacolumna 𝒋 | 𝑨| = 𝒂 𝟏𝒋 ∙ 𝑪 𝟏𝒋 + 𝒂 𝟐𝒋 ∙ 𝑪 𝟐𝒋 + ⋯+ 𝒂 𝒏𝒋 ∙ 𝑪 𝒏𝒋

2. Hay una reglamuyútil para saberel signo, (−𝟏)𝒊+𝒋
, del cofactor,la reglaquedaresumidaenel siguiente arraglo.
(
+ − + − ⋯
− + − + ⋯
+ − + − ⋯
⋮
)
Si por ejemplo,se realizaentérminosde lasegundafila,lossignosserán − + − + etc. Lossignosvan alternados
conforme se avanzaa lolargode la filaode la columna.
Por ejemplo:
Encuentre el determinante de lasiguiente matrizusandolasegundafila.
𝐴 = (
1 2 −1
3 0 ⁡⁡⁡1
4 2 ⁡⁡⁡1
)
𝐝𝐞𝐭( 𝐀) = 𝐚 𝟐𝟏 ∙ 𝐂 𝟐𝟏 + 𝐚 𝟐𝟐 ∙ 𝐂 𝟐𝟐 + 𝐚 𝟐𝟑 ∙ 𝐂 𝟐𝟑
= −𝟑 ∙ |
𝟐 −𝟏
𝟐 ⁡⁡⁡𝟏
| + 𝟎|
𝟏 −𝟏
𝟒 ⁡⁡⁡𝟏
| − 𝟏 ∙ |
𝟏 𝟐
𝟒 𝟐
|
= −𝟑 ∙ [( 𝟐 ∙ 𝟏) − (𝟐∙ (−𝟏))] + 𝟎 ∙ [( 𝟏 ∙ 𝟏) − (𝟒∙ (−𝟏))] − 𝟏 ∙ [( 𝟏 ∙ 𝟐) − ( 𝟒 ∙ 𝟐)]
= −𝟏𝟐 + 𝟎 + 𝟔 = −𝟔
Al evaluarel determinate,se pudenminimizarlasoperacionessi se expandeentérminosde lafilaola columnaque
contengamás ceros.
Por ejemplo:
Evalue el determinante de lasiguiente matrizde 4x 4
𝐿 = (
2
0
7
0
⁡⁡⁡1
−1
−2
⁡⁡⁡1
0
0
3
0
⁡⁡⁡4
⁡⁡⁡2
⁡⁡⁡5
−3
)
Utilizandolaterceracolumnaobtenemos:
𝐝𝐞𝐭( 𝐋) = 𝐚 𝟏𝟑 ∙ 𝐂 𝟏𝟑 + 𝐚 𝟐𝟑 ∙ 𝐂 𝟐𝟑 + 𝐚 𝟑𝟑 ∙ 𝐂 𝟑𝟑 + 𝐚 𝟒𝟑 ∙ 𝐂 𝟒𝟑
= 𝟎 ∙ ( 𝑪 𝟏𝟑) + 𝟎 ∙ ( 𝑪 𝟐𝟑) + 𝟑 ∙ ( 𝑪 𝟑𝟑) + 𝟎 ∙ (𝑪 𝟒𝟑)

3. = +𝟑 ∙ |
𝟐 ⁡⁡⁡𝟏 ⁡⁡⁡𝟒
𝟎 −𝟏 ⁡⁡⁡𝟐
𝟎 ⁡⁡⁡𝟏 −𝟑
|
= 𝟑 ∙ [𝟐 ∙ |
−𝟏 ⁡⁡⁡𝟐
⁡⁡⁡𝟏 −𝟑
| + 𝟎 ∙ 𝑪 𝟐𝟏 + 𝟎 ∙ 𝑪 𝟑𝟏]
= 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ |
−𝟏 ⁡⁡⁡𝟐
⁡⁡⁡𝟏 −𝟑
| = 𝟔 ∙ ( 𝟑 − 𝟐) = 𝟔
Propiedades de los determinantes
El siguienteteoremadice cómoafectanal determinanteslasoperacioneselementalesenlas filas.Tambiéndiceque
estasoperacionesse puedenextenderacolumnas.
Teorema
SeaA unamatriz de n x n y c un escalardistintode cero:
 Si una matrizB se obtiene de unamatriz A multiplicandoloselementosde unafilaocolumnaporc,
entonces 𝐝𝐞𝐭⁡( 𝑩) = 𝒄 ∙ 𝐝𝐞𝐭⁡⁡(𝑨).
 Si una matrizB se obtiene de unamatrizA intercambiandodosfilasocolumnas,entonces
𝐝𝐞𝐭( 𝑩) = −𝐝𝐞𝐭⁡( 𝑨).
 Si una matrizB se obtiene de unamatrizA sumandounmúltiplode unafilaocolumnaa otra filao columna,
entonces 𝐝𝐞𝐭( 𝑩) = 𝐝𝐞𝐭⁡( 𝑨).
Definición
Se dice que una matrizcuadrada A es singularsi 𝐝𝐞𝐭( 𝐀) = 𝟎. A no es singularsi 𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨) ≠ 𝟎
El teoremasiguiente informade algunascircunstanciasbajolascualesunamatrizessingular.
SeaA unamatriz cuadrada. A es singularsi
 Todoslos elementosde unafilaocolumnasonceros.
 Dos filasocolumnassoniguales.
 Dos filasocolumnassonproporcionales.
Nota:el segundocaso esun caso particulardel tercero,se separanparadarle mayor énfasis.
El siguienteteoremadice cómointeractúael determinante conalgunasde lasoperacionesde matrices.

4. Teorema
SeanA y B matricesde n x n y c un escalardistintode cero.
 El determinantede unmúltiploescalar. 𝐝𝐞𝐭( 𝐜 ∙ 𝐀) = 𝐜 𝐧
∙ 𝐝𝐞𝐭⁡( 𝐀)
 El determinantede unproducto. 𝐝𝐞𝐭( 𝐀 ∙ 𝐁) = 𝐝𝐞𝐭⁡( 𝐀) ∙ 𝐝𝐞𝐭⁡( 𝐁)
 El determinantede unatraspuesta. 𝒅𝒆𝒕( 𝑨 𝒕) = 𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨)
 El determinantede unainversa. 𝐝𝐞𝐭( 𝐀−𝟏) =
𝟏
𝐝𝐞𝐭⁡( 𝐀)
⁡ (suponiendo⁡que⁡existe⁡A−1)
Por ejemplo:
SeaA unamatriz de 2 x2 con det(A) = 4, calcularlos siguientesdeterminantes:
a)⁡det⁡(3 ∙ 𝐴) 𝑏)⁡det⁡( 𝐴2) 𝑐)⁡det(5 ∙ 𝐴 𝑡 ∙ 𝐴−1), 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜⁡𝑞𝑢𝑒⁡𝐴−1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.
𝑎)det(3 ∙ 𝐴) =⁡ 32 ∙ det( 𝐴) = 9 ∙ 4 = 36
𝑏) det( 𝐴2) = det( 𝐴 ∙ 𝐴) = det( 𝐴) ∙ det( 𝐴) = 4 ∙ 4 = 16
𝑐) det(5 ∙ 𝐴 𝑡 ∙ 𝐴−1) = 52 ∙ det( 𝐴 𝑡 ∙ 𝐴−1) =⁡52 ∙ det( 𝐴 𝑡)∙ det( 𝐴−1) = 25 ∙ det( 𝐴) ∙
1
det( 𝐴)
= 25 ∙ 4 ∙
1
4
= 25
Definición
SeaA unamatriz cuadrada,se llamamatriz triangularsuperiorsi todos suselementosdebajode ladiagonal
principal sonceros.Se llama matriztriangularinferiorsi todosloselementossobre ladiagonal principal sonceros.
Por ejemplo:
(
𝟑 𝟖 𝟐
𝟎 𝟏 𝟓
𝟎 𝟎 𝟗
)⁡⁡⁡⁡(
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟒
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
𝟑
𝟎
𝟎
𝟕
𝟓
𝟗
𝟏
)
⏟
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔⁡𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔⁡𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(
𝟗 𝟎 𝟎
𝟏 𝟒 𝟎
𝟏 𝟎 𝟓
)⁡⁡⁡⁡(
𝟏
𝟎
𝟖
𝟎
𝟎
𝟐
𝟎
𝟑
𝟎
𝟎
𝟔
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
)
⏟
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔⁡𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔⁡𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔
⁡
Teorema
El determinantede unamatriztriangularesel productode sus elementosdiagonales.
Por ejemplo:
Calcularel determinantede lasiguiente matriz: 𝐴 = (
2 −1 ⁡⁡⁡9
0 ⁡⁡⁡3 −4
0 ⁡⁡⁡0 −5
)
det( 𝐴) = 2 ∙ 3 ∙ (−5) = −30

5. Determinantes, matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales
Ahorase verá como un determinantenospuede darinformación,acercade lainversade una matrizy también
sobre lassolucionesde unsistemade ecuaciones.
Definición
SeaA unamatriz de 𝒏⁡𝒙⁡𝒏⁡⁡𝒚⁡⁡𝑪𝒊𝒋⁡𝒆𝒍⁡𝒄𝒐𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓⁡𝒅𝒆⁡𝒂𝒊𝒋. A la matrizcuyo elemento (𝒊, 𝒋) esel cofactor 𝑪𝒊𝒋 se la llama
la matrizde cofactores de A. A la traspuestade estamatrizse la llamamatriz adjuntade A y se denotapor 𝒂𝒅𝒋(𝑨).
(
𝑪 𝟏𝟏
𝑪 𝟏𝟐
⋮
𝑪 𝒏𝟏
𝑪 𝟏𝟐
𝑪 𝟐𝟐
⋮
𝑪 𝒏𝟐
⋯
⋯
⋯
𝑪 𝟏𝒏
𝑪 𝟐𝒏
⋮
𝑪 𝒏𝒏
)
⏟
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒐𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(
𝑪 𝟏𝟏
𝑪 𝟏𝟐
⋮
𝑪 𝒏𝟏
𝑪 𝟏𝟐
𝑪 𝟐𝟐
⋮
𝑪 𝒏𝟐
⋯
⋯
⋯
𝑪 𝟏𝒏
𝑪 𝟐𝒏
⋮
𝑪 𝒏𝒏
)
𝒕
⏟
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛⁡𝒂𝒅𝒋𝒖𝒏𝒕𝒂
⁡
Por ejemplo:
Dé lamatriz de cofactoresy lamatriz adjuntade A.
𝐴 = (
⁡⁡⁡2 ⁡⁡⁡0 ⁡⁡⁡3
−1 ⁡⁡⁡4 −2
⁡⁡⁡1 −3 ⁡⁡⁡5
)
Los cofactoresde A son lossiguientes
𝐶11 = (
4 −2
−3 5
) = 14⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶12 = (
−1 −2
1 5
) = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶13 = (
−1 4
1 −3
) = −1⁡
𝐶21 = − (
0 3
−3 5
) = −9⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶22 = (
2 3
1 5
) = 7⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶23 = −(
2 0
1 −3
) = 6
𝐶31 = (
0 3
4 −2
) = −12⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶32 = −(
2 3
−1 −2
) = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶33 = (
2 0
−1 4
) = 8
La matrizde cofactoresde A es (
⁡14 3 −1
−9 7 ⁡⁡⁡6
−12 1 ⁡⁡⁡8
)
La matrizadjuntade A es ⁡(
⁡14 −9 −12
3 7 ⁡⁡⁡1
−1 6 ⁡⁡⁡8
)

6. Teoremas
1) SeaA unamatriz cuadrada,tal que 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) ≠ 𝟎. A esinvertible y 𝑨−𝟏
=
𝟏
𝐝𝐞𝐭⁡( 𝑨)
∙ 𝒂𝒅𝒋(𝑨)
2) Una matriz cuadrada A esinvertiblesi ysólosi 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) ≠ 𝟎.
Por ejemplo:
Utilizarel determinante paraencontrarcuálesde lassiguientesmatricessoninvertibles.
𝐴 = (
1 −1
3 2
) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐵 = (
4 2
2 1
) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐶 = (
2 4 −3
4 12 −7
−1 0 1
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐷 = (
1 2 −1
−1 1 2
2 8 0
)
det( 𝐴) = 5 ≠ 0.⁡⁡𝐴𝑒𝑠⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
det( 𝐵) = 0.⁡⁡𝐵⁡𝑒𝑠⁡𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.⁡⁡𝑁𝑜⁡⁡𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.
det( 𝐶) = 0.⁡⁡𝐶⁡𝑒𝑠⁡𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.⁡⁡𝑁𝑜⁡⁡𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.
det( 𝐷) = 2 ≠ 0.⁡⁡𝐷⁡𝑒𝑠⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
Calcularla inversade lamatriz 𝐴 = (
⁡⁡⁡2 ⁡⁡⁡0 ⁡⁡⁡3
−1 ⁡⁡⁡4 −2
⁡⁡⁡1 −3 ⁡⁡⁡5
) si sabemosque det( 𝐴) = 25
Si 𝑎𝑑𝑗( 𝐴) =⁡ (
⁡14 −9 −12
3 7 ⁡⁡⁡1
−1 6 ⁡⁡⁡8
), 𝐴−1
=
1
det⁡( 𝐴)
∙ 𝑎𝑑𝑗( 𝐴) =
1
25
∙ (
⁡14 −9 −12
3 7 ⁡⁡⁡1
−1 6 ⁡⁡⁡8
) =
(
⁡
14
25
−9
25
−12
25
3
25
7
25
⁡⁡⁡
1
25
−1
25
6
25
⁡⁡⁡
8
25)
Ahorase verála relaciónque existeentre laexistenciayunicidadde lasoluciónde unsistemade necuaciones
linealescon n variablesporunlado,y el determinante de lamatrizde coeficiente delsistemaporotro.
Teorema
Sea 𝑨 ∙ 𝑿 = 𝑩 un sistemade necuacioneslinealesconn variables.Si det( 𝐴) ≠ 0,entoncesel sistematiene una
soluciónúnica.Si 𝐝𝐞𝐭( 𝐀) = 𝟎,entoncespuede habermuchassolucionesoningunasolución.
Por ejemplo:
Determinarsi el siguiente sistemade ecuacionestiene soluciónúnica.
3𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = ⁡⁡⁡2
4𝑥1 + 1𝑥2 + 3𝑥3 = −5
7𝑥1 + 4𝑥2 + 1𝑥3 = ⁡⁡⁡9

7. Calculamosel determinantede lamatrizde cofactores:
(
3 3 −2
4 1 ⁡⁡⁡3
7 4 ⁡⁡⁡1
) = 0
Por lotanto el sistemanotiene soluciónúnica.
Los siguientesdossistemasde ecuacioneslineales,cuyasmatricesde coeficientessonmatricessingulares, ilustran
que puede habermuchassolucionesoningunasolución.
Primercaso:
⁡⁡𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
3𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = 3
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 2
𝑚𝑢𝑐ℎ𝑎𝑠⁡𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠⁡⁡⁡
𝑥1 = 𝑥3 + 1
𝑥2 = 2 ∙ 𝑥3
𝑥3
Segundocaso:
⁡1⁡𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3
2𝑥1 + 1𝑥2 + 3𝑥3 = 3
1𝑥1 + 1𝑥2 + 2𝑥3 = 0
𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎⁡𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Teorema
Regla de Cramer, sea 𝑨 ∙ 𝑿 = 𝑩 un sistemade n ecuaciones linealescon nvariables,tal que 𝒅𝒆𝒕( 𝑨) ≠ 𝟎.El
sistematiene unasoluciónúnicadadapor
𝒙 𝟏 =
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨 𝟏)
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨)
,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒙 𝟐 =
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨 𝟐)
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨)
, …………⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒙 𝒏 =
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨 𝒏)
𝒅𝒆𝒕⁡( 𝑨)
⁡
Donde 𝑨𝒊 esla matrizque se obtiene sustituyendolacolumna i de A por B.
Por ejemplo:
Resolverel siguiente sistemade ecuacionesutilizandolareglade Cramer:
1𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = −2
2𝑥1 + 5𝑥2 + 1𝑥3 = −5
1𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = ⁡⁡⁡6
Del sistemaobtenemoslassiguientesmatrices, Ade coeficientes,y Bmatrizcolumnade resultados.
𝐴 = (
1 3 1
2 5 1
1 2 3
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐵 = (
−2
−5
⁡⁡⁡6
)

8. Si se tiene que el det( 𝐴) = −3 ≠ 0.Porlo que se puede aplicarlareglade Cramer.Se tiene
𝐴1 = (
−2 3 1
−5 5 1
⁡⁡⁡6 2 3
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝐴2 = (
1 −2 1
2 −5 1
1 ⁡⁡⁡6 3
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝐴3 = (
1 3 −2
2 5 −5
1 2 ⁡⁡⁡6
)
Donde se obtiene det( 𝐴1) = −3,⁡⁡⁡⁡⁡det( 𝐴2) = 6,⁡⁡⁡⁡⁡⁡ det( 𝐴3) = −9
Aplicandolareglade Cramer
𝑥1 =
det⁡( 𝐴1)
det⁡( 𝐴)
=
−3
−3
= 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥2 =
det⁡( 𝐴2)
det⁡( 𝐴)
,=
6
−3
= −2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥3 =
det⁡( 𝐴3)
det⁡( 𝐴)
=
−9
−3
= 3⁡
La soluciónúnicaes 𝑥1 = 1,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥2 = −2,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥3 = 3

9. Guía de Actividades
1) Evalúe los determinantes de las siguientes matrices de 2 x 2:
𝒂)⁡⁡(
𝟐 𝟏
𝟑 𝟓
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟒 𝟏
−𝟐 𝟑
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡(
𝟑 −𝟐
𝟏 𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡(
𝟓 −𝟐
−𝟑 −𝟒
)
𝒆)⁡⁡(
𝟏 −𝟓
𝟎 𝟑
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡⁡(
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒈)⁡⁡(
−𝟑 𝟏
𝟐 −𝟓
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒉)⁡⁡(
𝟑 −𝟐
−𝟏 𝟎
)
2) Sea 𝐴 = (
1 2 −3
5 0 6
7 1 −4
) encuentre los siguientes menores y cofactores de A
𝒂)⁡⁡⁡𝑴 𝟏𝟏⁡𝒚⁡𝑪 𝟏𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡⁡𝑴 𝟐𝟏⁡𝒚⁡𝑪 𝟐𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡𝑴 𝟐𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟐𝟑⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡⁡𝑴 𝟑𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟑𝟑
3) Sea 𝐵 = (
5 0 1
−2 3 7
0 −6 2
) encuentre los siguientes menores y cofactores de B
𝒂)⁡⁡⁡𝑴 𝟏𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟏𝟑⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡⁡𝑴 𝟑𝟏⁡𝒚⁡𝑪 𝟑𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡𝑴 𝟐𝟐⁡𝒚⁡𝑪 𝟐𝟐⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡⁡𝑴 𝟑𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟑𝟑
4) Sea 𝐶 = (
2
8
4
1
0
−1
−3
4
1
2
−5
8
−5
1
0
2
) encuentre los siguientes menores y cofactores de C
𝒂)⁡⁡⁡𝑴 𝟏𝟐⁡𝒚⁡𝑪 𝟏𝟐⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡⁡𝑴 𝟐𝟒⁡𝒚⁡𝑪 𝟐𝟒⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡𝑴 𝟑𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟑𝟑⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡⁡𝑴 𝟒𝟑⁡𝒚⁡𝑪 𝟒𝟑
5) Evalúe los determinantes de las siguientes matrices de 3 x 3
𝒂)⁡⁡(
𝟏 𝟐 𝟒
𝟒 −𝟏 𝟓
−𝟐 𝟐 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟑 𝟏 𝟒
−𝟕 −𝟐 𝟏
𝟗 𝟏 −𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡(
𝟒 𝟏 −𝟐
𝟓 𝟑 −𝟏
𝟐 𝟒 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡(
𝟏 𝟐 𝟒
𝟒 −𝟏 𝟓
−𝟐 𝟐 𝟏
)⁡
𝒆)⁡⁡(
𝟐 𝟎 𝟕
𝟖 −𝟏 −𝟐
𝟓 𝟔 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡⁡(
𝟐 −𝟏 𝟑
𝟒 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒈)⁡(
𝟎 𝟎 𝟓
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒉)⁡(
𝟎 𝟑 𝟐
𝟏 𝟓 𝟕
−𝟐 −𝟔 −𝟏
)
𝒊)⁡⁡(
𝟓 −𝟏 𝟐
𝟑 𝟎 𝟔
−𝟒 𝟑 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒋)⁡⁡(
𝟔 𝟑 𝟎
−𝟐 −𝟏 𝟓
𝟒 𝟔 −𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒌)⁡(
−𝟐 −𝟏 𝟏
𝟗 𝟑 𝟐
𝟒 𝟎 𝟎
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒍)⁡(
𝟏 𝟎 𝟐
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟐
)

10. 𝒎)⁡⁡(
𝟑 𝟗 𝟔
𝟎 −𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟒
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒏)⁡⁡(
𝟑 𝟒 −𝟕
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟓
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒐)⁡(
𝟗 𝟎 𝟎
𝟐 𝟑 𝟎
𝟓 𝟐 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡
6) Evaluar los siguientes determinantes empleando la menor cantidad de cálculos posibles
𝒂)⁡𝑪 = (
𝟏
𝟒
𝟕
−𝟑
−𝟐
𝟎
−𝟑
𝟎
𝟑
𝟓
𝟖
𝟒
𝟎
𝟎
𝟒
𝟎
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡𝑪 = (
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎
𝟒
𝟑
𝟎
𝟏
𝟓
−𝟕
𝟎
𝟎
𝟗
𝟏
−𝟑
𝟖
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡𝑪 = (
𝟗
𝟏
𝟏
−𝟐
𝟑
𝟎
𝟎
𝟎
𝟕
𝟒
𝟎
−𝟏
−𝟖
𝟐
−𝟏
𝟑
)
𝒅)⁡𝑪 = (
−𝟏
𝟏
𝟐
−𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
−𝟏
𝟎
−𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒆)⁡𝑪 = (
𝟏
𝟐
−𝟏
𝟑
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
−𝟐
𝟎
−𝟐
−𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡𝑪 = (
−𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
−𝟏
−𝟐
−𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟎
𝟏
−𝟏
𝟏
𝟏
)
7) Hallar el valor de X
𝒂)⁡⁡(
𝒙 + 𝟏 𝒙
𝟑 𝒙 − 𝟐
) = 𝟑⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟐𝒙 −𝟑
𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐
) = 𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡(
𝟑 −𝟐
𝟏 𝟐
) = 𝟎
𝒅)⁡⁡(
𝒙 𝟎 𝟐
𝟐𝒙 𝒙 − 𝟏 𝟒
−𝒙 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏
) = 𝟎
8) Simplifique los determinantes de las siguientes matrices, creando ceros en una fila o en una
columna y expandiendo después el determinante en términos de esa fila o columna.
𝒂)⁡⁡(
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟒 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟎 𝟏 𝟓
𝟏 𝟏 𝟔
𝟐 𝟐 𝟕
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡(
𝟐 𝟏 −𝟏
𝟑 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟒 −𝟒
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡(
𝟑 −𝟏 𝟎
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟐
)
9) Si 𝐴 = (
8 5 2
1 3 2
−1 −2 −1
), entonces det( 𝐴) = 5. Use esta información junto con las propiedades de
los determinantes para calcular el determinante de las siguientes matrices
𝒂)⁡⁡(
𝟖 𝟐 𝟓
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟏 −𝟏 −𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟖 𝟏 𝟐
𝟏 −𝟏 𝟐
−𝟏 𝟎 −𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡(
𝟖 𝟏 −𝟏
𝟓 𝟑 −𝟐
𝟐 𝟐 −𝟏
)
10) Las siguientes matrices son singulares debido a alguna de las propiedades de las filas o las
columnas. Dé en cada caso la razón.

11. 𝒂)⁡⁡(
𝟕 𝟎 𝟗
−𝟐 𝟑 𝟎
𝟒 𝟓 𝟎
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
𝟏 𝟎 𝟒
𝟎 𝟏 𝟗
𝟎 𝟎 𝟎
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡(
𝟏 −𝟐 𝟑
𝟎 𝟒 𝟏
𝟑 −𝟔 𝟗
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡(−
𝟐 𝟑 −𝟑
𝟒 𝟏 𝟔
𝟔 𝟐 −𝟗
)
11) Se sabe que A es unamatriz de 2 x 2 y que det( 𝐴) = 3, use laspropiedadesde losdeterminantespara
calcularlos siguientesdeterminantes.
𝒂)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝟐𝑨)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝟑𝑨 𝒕) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄⁡)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝑨 𝟐)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
⁡𝒅)⁡𝐝𝐞𝐭(( 𝑨 𝒕) 𝟐)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒆)⁡𝐝𝐞𝐭(( 𝑨 𝟐)𝒕)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝟒𝑨−𝟏)
12) Sabiendoque A yB sonmatricesde 3 x 3 y que el det( 𝐴) = −3⁡𝑦⁡𝑒𝑙⁡ det( 𝐵) = 2,⁡calcule lossiguientes
determinantes.
𝒂)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝑨 ∙ 𝑩) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝑨 ∙ 𝑨 𝒕)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄⁡)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝑨 𝒕
∙ 𝑩)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝒅)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝟑 ∙ 𝑨 𝟐
∙ 𝑩)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒆)⁡𝐝𝐞𝐭( 𝟐 ∙ 𝑨 ∙ 𝑩−𝟏) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡𝐝𝐞𝐭(( 𝑨 𝟐
∙ 𝑩−𝟏) 𝒕)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
13) Utilizandolosdeterminantes, determinarsi lassiguientesmatricestieneninversa
𝒂)⁡⁡(
𝟒 𝟕
𝟏 𝟑
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
−𝟑 𝟏
𝟔 −𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡(
𝟔 𝟒
𝟑 𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡(
𝟕 𝟐
𝟑 𝟏
)
𝒆)⁡⁡(
−𝟑 𝟎 𝟎
𝟏 𝟕 𝟎
−𝟐 𝟖 𝟓
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡⁡(
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟒 𝟔
𝟕 𝟑 −𝟏
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒈)⁡(
𝟐 𝟒 −𝟕
𝟎 𝟏 𝟑
𝟎 𝟎 𝟗
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒉)⁡(
𝟒 −𝟐 𝟗
𝟎 𝟎 𝟑
𝟎 𝟎 𝟔
)
14) Determinarsi lassiguientesmatricestieneninversa,si estoocurriese encontrarlautilizandolafórmulapara
la inversade unamatriz.
𝒂)⁡⁡(
𝟏 𝟒
𝟑 𝟐
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡(
−𝟐 −𝟏
𝟕 𝟑
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡(
𝟏 𝟐
𝟐 𝟒
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒅)⁡⁡(
𝟐 𝟏
𝟒 𝟑
)
𝒆)⁡⁡(
𝟏 𝟐 𝟑
𝟎 𝟏 𝟐
𝟒 𝟓 𝟑
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡⁡(
𝟎 𝟑 𝟑
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟒 𝟔
)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒈)⁡(
𝟏 −𝟐 𝟑
𝟎 𝟒 𝟏
𝟑 −𝟔 𝟗
)

12. 15) Utilizando el determinante de la matriz de coeficientes, determinar si los siguientes sistemas de
ecuaciones tienen una solución única
𝒂)⁡
⁡⁡⁡𝟐𝒙 𝟏 − 𝟑𝒙 𝟐 = −𝟏
−𝟒𝒙 𝟏 + 𝟔𝒙 𝟐 = 𝟑
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡
𝟑𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟏
𝟒𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟏𝟒
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡⁡
𝟔𝒙 𝟏 + 𝟗𝒙 𝟐 = −𝟏
−𝟐𝒙 𝟏 − 𝟑𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎
16) Resolverlossiguientessistemasde ecuaciones,si esposible, utilizandolareglade cramer
𝒂)⁡
⁡⁡⁡𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟖
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 = 𝟏𝟗
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃)⁡⁡
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟑
𝟑𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −𝟏
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒄)⁡⁡⁡
𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 = 𝟏𝟏
−𝟐𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −𝟏
𝒅)⁡⁡
𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟑 = 𝟑
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟗𝒙 𝟑 = 𝟓
𝟑𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟑 = 𝟕
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒆)⁡⁡
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 = 𝟗
𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 = 𝟒
𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 = 𝟕
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒇)⁡⁡⁡
𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟑 = 𝟓
𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 = 𝟐
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 = 𝟕
𝒈)⁡⁡
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟑 = 𝟕
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 = 𝟐
𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟑 = 𝟓
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒉)⁡⁡
𝟑𝒙 𝟏 + 𝟏𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 = 𝟕
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 = 𝟑
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟎𝒙 𝟑 = −𝟒
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒊)⁡⁡⁡
𝟑𝒙 𝟏 + 𝟔𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 = 𝟑
𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟑 = 𝟐
𝟒𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 𝟑 = 𝟓