La integral


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Determina la
antiderivada más
general.
Interpreta la integral y
su relación con la
derivada.
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Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo I si la derivada de F es f,...
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un
intervalo I, la antiderivada más
general de f en I es F(x)+c, donde c es
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INTERPRETACION GEOMETRICA

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INTERPRETACION GEOMETRICA

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INTERPRETACION GEOMETRICA

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INTERPRETACION GEOMETRICA

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Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general
de cada una de las siguientes
funciones.

a) f ( x) = e
1
b) f(x) =
x
c) f...
Funció
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f ( x) + g ( x)
x n ( n ≠ −1)
1
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sen x

Antiderivada
particular

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F ( x) + G ( x)
x n ...
INTEGRAL DEFINIDA Y
CALCULO DE
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¿Área?
A3
A4

A2
A1

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11
f (x) = e + 1
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Definición : El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es ...
b

n

f ( x )dx = lim ∑ f ( x *i )∆x i
∫
n →∞

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superior

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b

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Limite Inferior

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2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]
y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:

...
PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables
en [a, b] y α y β son constantes, se
tiene:

∫

...
Si existen las integrales de la
izquierda, también existe la integral de
c ∈ a, b
la derecha:

2.

∫

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a

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∫...
La propiedad anterior es aplicada cuando la
función está definida por partes y cuando es
seccionalmente continua.
Ejemplo:...
3.

∫

b
a

h dx = h ( b − a )

Y representa el área de un rectángulo de altura
h y longitud de base (b – a).

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DEFINICIONES:
Sea f una función integrable en
[a, b], entonces:
1.
2.

∫

a

∫

b

a

a

f (x ) dx = 0
f (x ) dx = −

∫

a...
Definición:
Sea f una función contínua tal que:
• f(x) ≥0 en [a, b] y
• S={(x, y)/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x)}
Se denota por A(S) y s...
y
f(x)
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
0

a

dx ∆x

b

b

x

A = ∫ f(x)dx
a

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Ejemplo 1:
Calcular el área de la región:
S={(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 +
1}

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y
d

g(y)
dy

dy

x = g(y)
dA = g(y)dy

c
0

d

x

∫

A = g(y)dy
c

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Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitada
por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el
eje X, tal como lo muestra la figur...
f(x)
y

- g(x)

y = f(x)

dx
0

a

dx

b

x

dA =[f(x) - g(x)]dx
b

y = g(x)

A=

[ f(x) - g(x)]dx
∫
a

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3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ;
y = x 1− x2
y
1

x
-1

1

-1

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4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
y2 = 1 − x

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Sem 13 1_la_integral

  1. 1. La integral     Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano. 1
  2. 2. Antiderivadas Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: Observación: De la definición se ve que F no es única. De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua. continua. 2
  3. 3. Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema: Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I. 3
  4. 4. INTERPRETACION GEOMETRICA 4
  5. 5. INTERPRETACION GEOMETRICA 5
  6. 6. INTERPRETACION GEOMETRICA 6
  7. 7. INTERPRETACION GEOMETRICA 7
  8. 8. Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones. a) f ( x) = e 1 b) f(x) = x c) f ( x) = x n x 8
  9. 9. Funció n c f ( x) f ( x) + g ( x) x n ( n ≠ −1) 1 x ex cos x sen x Antiderivada particular cF ( x) F ( x) + G ( x) x n +1 ( n + 1) ln x ex sen x − cos x 9
  10. 10. INTEGRAL DEFINIDA Y CALCULO DE ÁREAS ¿Área? A3 A4 A2 A1 10
  11. 11. 11
  12. 12. f (x) = e + 1 x ∆x Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: n [( ) ( ) ( ) ] A = lim ∑ Ai = lim f x ∆ x + f x2 ∆ x + ... + f xn ∆ x n→ ∞ i =1 n→ ∞ * 1 * * 12
  13. 13. b n f ( x )dx = lim ∑ f ( x *i )∆x i ∫ n →∞ a Limite superior i =1 b f ( x )dx ∫ a Limite Inferior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. 13
  14. 14. 2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b], entonces: ∫ b a b f ( x) dx = F ( x) = F (b) − F (a) a Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación. 14
  15. 15. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y α y β son constantes, se tiene: ∫ b a (α f (x ) + β g ( x )) dx = α ∫ b a f (x ) dx + β ∫ b a g (x ) dx Propiedad de linealidad 15
  16. 16. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de c ∈ a, b la derecha: 2. ∫ c a f (x ) dx + ∫ b c f (x ) dx = ∫ b a f (x ) dx Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración 16
  17. 17. La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si x 2 f ( x) =  x - 1 0 ≤ x ≤1 1< x ≤ 3 y se quiere hallar: 3 ∫ f ( x ) dx 0 3 ∫ f (x)dx 0 1 = ∫ x dx 2 0 3 + ∫ (x − 1) dx 1 17
  18. 18. 3. ∫ b a h dx = h ( b − a ) Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). 18
  19. 19. DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces: 1. 2. ∫ a ∫ b a a f (x ) dx = 0 f (x ) dx = − ∫ a b f (x ) dx 19
  20. 20. Definición: Sea f una función contínua tal que: • f(x) ≥0 en [a, b] y • S={(x, y)/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: A(S) = b ∫ f (x) dx a 20
  21. 21. y f(x) y = f(x) dx dA = f(x)dx 0 a dx ∆x b b x A = ∫ f(x)dx a 21
  22. 22. Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 + 1} 22
  23. 23. y d g(y) dy dy x = g(y) dA = g(y)dy c 0 d x ∫ A = g(y)dy c 23
  24. 24. Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura. 24
  25. 25. f(x) y - g(x) y = f(x) dx 0 a dx b x dA =[f(x) - g(x)]dx b y = g(x) A= [ f(x) - g(x)]dx ∫ a 25
  26. 26. 3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ; y = x 1− x2 y 1 x -1 1 -1 26
  27. 27. 4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; y2 = 1 − x 27

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