gdgs

1. VBV
LA INTEGRAL DEFINIDA
1

2.  Derivada  Recta tangente
 Integral  Área
 Entendemos:
 Área de una función f : región comprendida entre
la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2

3. 3
Pensemos en como obtener el
área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de
polígonos…

4. 4
Podríamos …
x0 x1
x
f(x)
x2 x3 x4
Nosotros construiremos
rectangulos!!!

5. 5
En realidad…
 Este es un problema muy
antiguo (Arquimedes se
plantea esto, pero son
Newton y Leibniz los que
lo resuelven).
 Idea: Construir
rectangulos “bajo” la
curva f(x), encontrar el
área de todos estos
rectangulos.

6. Sea [a,b] un intervalo
cerrado.
 Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos
entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma
que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
 Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de
[a,b]
6

7. Denotemos por Δxi la longitud de
cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0
Δx2 = x2 – x1
…
Δxi = xi – xi-1
…
Δxn-1 = xn-1 – xn-2
Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la
base de cada rectangulo.
7

8.  A la longitud del sub-intervalo (o sub-
intervalos) más largo de la partición P se
llama norma de la partición y se le
denota ||P||.
 Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
8

9. Ejemplo:
 Considerar el intervalo [1,3] y construir una
partición donde n=4.
9

10. Pensar en una partición para
[a,b]
 Geométrica:
 a, ar, ar2,… arm, donde r0
 Aritmética:
 a, a+d, a+2d, … a+md
10

11. PARTICIÓN GEOMÉTRICA
 Se define r como la raíz n-ésima del
cuociente: b/a
 Se tiene: xi= x0*rn
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
11

12. PARTICIÓN ARITMÉTICA
 Se define d=(b-a)/n
 Se tiene: xi= x0+id
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
 Por esto, denotamos Δx=d.
12

13. Pensemos en la altura de
cada rectángulo…
 Sea f : [a,b]  una función acotada
 P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]
 Para i = 1, . . . ,n denotamos:
 mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
 Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
 Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el
conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y
acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
13

14. 14
DEF:
SUMA INFERIOR de f asociada a P
i
n
1
i
iΔx
m
)
,
( 


P
f
s
x1 x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f

15. 15
DEF:
SUMA SUPERIOR de f asociada a P
i
n
1
i
iΔx
M
)
,
( 


P
f
S
x1 x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f

16. Ejemplo:
 Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3],
para la función f(x)=x2+2
 Usando una partición con n=4.
16

17. Proposición:
 Para cada partición, se verifica:
s(f,P) ≤ S(f,P)
 Dem:
mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi
  mi Δxi ≤  Mi Δxi
 s(f,P) ≤ S(f,P)
17

18. Proposición:
 P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
 Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la
partición P1).
18

19. Corolario:
 Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de
[a,b]. Entonces:
 m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
 Además, si P= P1  P2 , entonces:
 s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
19

20. DEF:
INTEGRAL INFERIOR de f en
[a,b]
b]}
[a,
de
s
particione
P
:
P)
,
sup{s(f
)
( 

b
a
dx
x
f
20

21. DEF:
INTEGRAL SUPERIOR de f en
[a,b]
 
b
a
dx
x
f b]}
[a,
s
particione
P
:
P)
,
inf{S(f
)
(
21

22. OBS:

b
a
dx
x
f )
(

 
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
22

23. DEF:
 f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:
 Se escribe:

 
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(

b
a
dx
x
f )
(
23

24. Pensar en…
 Alguna función que NO sea Riemann
integrable.
24

25. Ejemplo:
 Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en
[a,b].
 Considerando las particiones aritméticas:
 Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}
 Se tiene que:
25
n
a
b
a
b
P
f
s n
2
)
(
2
)
,
(
2
2
2




n
a
b
a
b
P
f
S n
2
)
(
2
)
,
(
2
2
2





26. Pensar…
 ¿qué debe suceder para que …
??????
26

 
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(

27. Teorema
27
)
,
(
lim
)
,
(
lim
0
||
||
0
||
||
n
P
n
P
P
f
S
P
f
s
n
n 


 Si la norma de la partición Pn se aproxime a
cero, la suma inferior y superior coinciden.
 Esto es
 Notar que es equivalente a decir:
)
,
(
lim
)
,
(
lim
|
|
n
n
n
n
P
f
S
P
f
s






28. OBS:
28
 Si hacemos que la norma de la partición Pn se
aproxime a cero.
 Entonces, la suma de Riemann se aproximará a
un valor A que corresponde a la suma algebraica
de las áreas comprendidas entre la gráfica de la
función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.

29. n = 3 rectángulos
Veamos esto geometricamente…

30. n = 6 rectángulos

31. n = 12 rectángulos

32. n = 24 rectángulos

33. n = 48 rectángulos

34. n = 99 rectángulos

35. La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.


b
a
dx
x
f
Área )
(
Interpretación …

36. Teorema
 Considere una sucesión de particiones Pn de
un intervalo [a,b] tales que:
 y,
 Entonces, f es Riemann integrable,
0
||
||
lim 


Pn
n
0
)}
,
(
)
,
(
{
lim 



Pn
f
s
Pn
f
S
n







b
a
n
n
dx
x
f
Pn
f
s
Pn
f
S )
(
)
,
(
lim
)
,
(
lim
36

37. Ejercicios:
1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1]
usando la partición:
2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del
intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo
largo. Encontrar las sumas de riemann.
37

38. Definición:
 Sea f : [a,b]  una función acotada
 P una partición de [a,b]
 Una SUMA DE RIEMANN para la función f
respecto a la partición P es una suma finita de
la forma:
38
]
,
[
;
Δx
)
(
)
,
,
( 1
i
n
1
i
i i
i
i
i x
x
f
P
f
S 


  



39. 39
En la grafica hemos considerado el
punto medio de cada sub-intervalo.
x1 x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f

40. 0
y
x
y = f(x)
x0=a xn=b
x1 x2 xn-1
xi
xi-1
• • • • • • • • • •
Δ1x Δ2x Δix Δnx
Δn-1x
… …
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
w1 w2 wi wn-1 wn
Otra grafica…

41. Ejemplo:
 Calcular la suma de riemann en el intervalo
[1,3], para la función f(x)=x2+2
 Usando una partición con n=4.
41

42. OBS:
 Cuando la función considerada es continua la
suma superior e inferior corresponde a la
suma de Riemann.
 Escribimos:
 Para denotar que:
42
L
P
f
S i
n



)
,
,
(
lim 




 






 |
)
,
,
(
|
||
||
.
.
,
0
,
0 L
P
f
S
P
q
t i

43. Propiedades:
 Sean f,g : [a,b]  acotadas e integrables.
 Se cumple:
43
 
 


b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
))
(
)
(
(

 
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
( 


44.  Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
44
R
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a

 
 

 ,
)
(
)
(
0
)
(
0
)
( 

 
b
a
dx
x
f
x
f
 





b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
b
a
x
x
g
x
f )
(
)
(
]
,
[
),
(
)
(
 

b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f |
)
(
|
)
(

45. Proposición(Aditividad):
 Si f : [a,b]  es acotada e integrable, y para
todo c  [a , b] .
 Se cumple:
 f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].
 Además se verifica el reciproco.
45
 
 

c
a
b
c
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
)
(

46. Ejercicio
Sea f una función continua en 1, 5, si:

 


5
1
3
1
7
)
(
4
)
( dx
x
f
y
dx
x
f
Determine el valor de:

5
3
)
( dx
x
f

47. Definición:
 Sea f : [a,b]  acotada e integrable.
 Definimos:
47
0
)
(
 
a
a
dx
x
f

 

a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(

48. Teorema:
 S f : [a,b]  es monótona entonces f es
integrable.
48

49. Observación
 Muchas de las funciones con las cuales se
trabaja en cálculo son monótonas por
intervalos.
 Por la propiedad de aditividad y este teorema
podemos argumentar la integrabilidad de
prácticamente todas las funciones
 elementales como por ejemplo ex ,
lnx,arctanx,etc.
49

50. Teorema:
 S f : [a,b]  es continua entonces f es
integrable.
50

51. Teorema:
 Si f : [a,b]  es continua en [a , b] excepto
en x0 , x1 , x2 , …, xn
 Entonces, f es integrable en [a,b].
 Además, se verifica:
51
  
 



o
o n
x
a
x
x
b
x
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(

52. Definición:
 Sea f : [a,b]  integrable .
 se define elVALOR PROMEDIO de f en [a,b]
por:
52



b
a
dx
x
f
a
b
f
AV )
(
1
)
(

53. Teorema:
 Sea f : [a,b]  continua.
 Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) = AV(f).
53

54. Ejercicios
 Calcular:
 Dem.
 ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de
54
 
4
0
]
[
)
2
( dx
x
a
b
b
a
x
e
e
dx
e 


 
b
a
dx
x
x )
( 2

55. ?
3
40
)
4
1
(
3
2
2





dx
x
 Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
¿Será correcto afirmar que:
a)
b)
1
0
1
0
2
1
1
2
)
1
(
2
)
1
(
1
2
)
1
(
1





 


x
dx
x
dx
x

56. Determine el valor de “ ” tal que:
2
)
2
3
(
1
2



dx
x
x
k
k

57.  Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas.
 Evaluar y calcular el área representada por la
 integral.

f

9
3
)
( dx
x
f

9
3
)
( dx
x
f

58. 








2
1
;
2
1
1
1
-
;
2
-
x
)
(
x
x
x
x
f
 


2
1
dx
x
f
 Sea:
 Calcular