Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf

Integral definida
Facultad de Ingeniería Civil - UNI
Departamento de Ciencias Básicas
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella
ftorrese@uni.edu.pe
4 de septiembre de 2023

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Antiderivada de una función
Contenido
1 Área e integral definida
2 Existencia de funciones integrables
3 Propiedades básicas de la integral
4 Área para funciones integrales
5 El teorema del valor medio y primer teorema fundamental
del cálculo
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 4 de septiembre de 2023 2/28

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Área e integral definida
Consideremos funciones no negativas i.e. f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a; b]. Definimos la
región
R = {(x, y) : x ∈ [a; b], y ∈ [0, f (x)]}
denominada la región de f desde a hasta b y es la región acotada por la gráfica de f ,
el eje x y las rectas verticales x = a, x = b.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Denotamos el área de la región R por:
Area(R) = Ab
a(f ), f ≥ 0.
para funciones f y no negativas sobre [a; b]. Debemos definirla de modo tal que
satisfaga las siguientes tres propiedades:
1 Si 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a; b] entonces
Ab
a(f ) ≤ Ab
a(g).
2 Para todo c ∈ [a; b]:
Ab
a(f ) = Ac
a(f ) + Ab
c (f ).
3 Si f esla función constante c ≥ 0:
Ab
a(f ) = c(b − a).
Sea P = {xi : i = 0, 1, . . . , n} una partición arbitraria de [a; b]. De la propiedad 2 se
sigue que
Ab
a(f ) = Ax1
x0
(f ) + Ax2
x1
(f ) + · · · + Axn
xn−1
(f ) =
n
X
i=1
A
xi−1
xi
(f ).
Se sigue que,
mi(f )(xi − xi−1) ≤ A
xi−1
xi
(f ) ≤ Mi(f )(xi − xi−1);
de donde obtenemos

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
L(f , P) =
n
X
i=1
mi(f )(xi − xi−1) ≤ Ab
a(f ) ≤
n
X
i=1
Mi(f )(xi − xi−1) = U(f , P).
Se observa que Ab
a(f ) es una cota superior de {L(f , P) : P ∈ P} y una cota inferior de
{U(f , P) : P ∈ P} que
Z b
a
f ≤ Ab
a(f ) ≤
Z b
a
f .
Para funciones integrables, podemos, por tanto concluir que Ab
a(f ) =
Z b
a
f .

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Existencia de funciones integrables
Ya sabemos que las funciones decrecientes y crecientes son integrables; ahora
veremos que las funciones continuas sobre [a; b] son también integrables sobre [a; b].
Teorema. 1
Toda función continua sobre [a; b] es integrables sobre [a; b].
Teorema. 2
Si f es continua sobre [a; b], entonces para cada 0 hay un δ 0 tal que
Z b
a
f −
n
X
i=1
f (xi)(xi − xi−1)
para toda partición P con norma kPk δ y todos los xi ∈ [xi−1; xi].
El resultado se expresa a menudo con una notación de límites: si f es continua sobre
[a; b], entonces
lı́m
kPk→0
n
X
i=1
f (xi)(xi − xi−1) =
Z b
a
f (x)dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 1
Usando sumas de Riemann, calcule el área de la región limitada por la curva C
definida por la ecuación y = x3 + x2 con x ≥ 0, la recta x = 2 y el eje x.
Definición. 1
Una función f se denomina continua por tramos o seccionalmente continua en
[a; b], si el intervalo [a; b] puede ser particionado en un número finito de subintervalos,
esto es,
a = x0 x1 x2 · · · xn−1 xn = b
en que se cumplen las dos siguientes condiciones:
1 f es continua en cada intervalo abierto ]xi−1, xi[.
2 Los límites laterales lı́m
x→a+
f (x), lı́m
x→b−
f (x), lı́m
x→x+
i
f (x), lı́m
x→x−
i
f (x) existen (esto es, son
finitos), para todo xi con i = 1, 2, . . . , n − 1.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Una forma equivalente de definir función continua por tramos es la siguiente:
Definición. 2
Una función es seccionalmente continua en [a; b] si tiene a lo más un número finito de
discontinuidades de tipo salto (es decir, no asíntotas verticales) en [a; b].
Ejemplo 2
Sea f una función definida en [−1; 6], cuya regla de correspondencia está dada por
f (x) =
(
2x + 3, −1 ≤ x ≤ 2
5, 2 x 4
2 −
p
1 − (x − 5)2, 4 ≤ x ≤ 6
Muestre que f es una función continua por tramos en [−1; 6].

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Teorema. 3
Si f es una función continua por tramos en el intervalo [a; b], entonces f es Riemann
integrable en [a; b]. Además,
Z b
a
f (x)dx =
n
X
i=1
Z xi
xi−1
f i(x)dx
donde f i(x) es la función continua en [xi−1, xi] definida por
f i(x) =





lı́m
x→x+
i−1
f (x), x = xi−1
f (x), xi−1 x xi
lı́m
x→x−
i
f (x), x = xi

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 3
Sea f una función definida en [−1; 6], cuya regla de correspondencia está dada por
f (x) =
(
2x + 3, −1 ≤ x ≤ 2
5, 2 x 4
2 −
p
1 − (x − 5)2, 4 ≤ x ≤ 6
Muestre que f es una función Riemman integrable en [−1; 6] y calcule el valor de
Z 6
−1
f (x)dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Propiedades básicas de la integral
La integral definida tiene las siguientes propiedades:
1 a, b ∈ R y k ∈ R, entonces se cumple:
Z b
a
kdx = k(b − a).
2 Si c ∈ [a; b] y f es integrable en [a; b], entonces f es integrable en [a; c] y en [c; b] e
Z b
a
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
f (x)dx.
3 Si c ∈ [a; b] y f es integrable en [a; c] y en [c; b], entonces f es integrable en [a; b] e
Z b
a
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
f (x)dx.
4 Sea k ∈ R y f una función integrable en [a; b]. Entonces se cumple:
Z b
a
kf (x)dx = k
Z b
a
f (x)dx.
5 Si f y g son integrables en [a; b], entonces f + g es integrable en [a; b] e
Z b
a
(f (x) + g(x))dx =
Z b
a
f (x)dx +
Z b
a
g(x)dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
6 Si f y g son integrables en [a; b] y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a; b], entonces
Z b
a
f (x)dx ≤
Z b
a
g(x)dx.
7 Si f es integrable en [a; b], entonces |f | es integrable en [a; b] e
Z b
a
f (x)dx ≤
Z b
a
|f (x)|dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Lema. 1
Si f es integrable sobre [A; B] y [a; b] ⊂ [A; B], entonces f es integrable sobre [a; b].
Lema. 2
Si f es acotada en [a; b] y c ∈ [a; b], entonces
Z b
a
f =
Z c
a
f +
Z b
c
f
y
Z b
a
f =
Z c
a
f +
Z b
c
f .

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Lema. 3
Si f es acotada en [a; b], entonces
Z b
a
f +
Z b
a
g ≤
Z b
a
(f + g)
y
Z b
a
(f + g) ≤
Z b
a
f +
Z b
a
g.
Hasta ahora, al hablar de
Z b
a
f hemos considerado que la integral sobre [a; b], a ≤ b.
Queremos ahora extender la definición de
Z b
a
f para incluir el caso en que a b. Al
extender la definición de integral queremos conservar sus principales propiedades.
Esto determina cómo debemos definir
Z b
a
f cuando a b. Por ejemplo, queremos
conservar la propiedad de aditividad. Entonces

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
0 =
Z a
a
f =
Z b
a
f +
Z a
b
f
lo que implica
Z b
a
f = −
Z a
b
f .
Definición. 3
Si f es integrable sobre [A; B] y si A ≤ b a ≤ B, entonces definimos
Z b
a
f = −
Z a
b
f .

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Área para funciones integrales
Si la función es no positiva, es decir, f ≤ 0, entonces el área de la región R acotada
por la función f , el eje x y las rectas verticales x = a, x = b es igual al área de la región
R simétrica con respecto al eje x, acotada por la gráfica de la función −f , el eje x y las
rectas verticales x = a, x = b, debido a que −f es una función no negativa −f ≥ 0.
Por lo tanto, si f es integrable sobre [a; b] se tiene
Área(R) = Área(R0
) =
Z a
b
(−f )(x)dx = −
Z a
b
f (x)dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Observación 1
Según lo anterior, sii f es integrable y no positiva sobre [a; b], para calcular el área de
la región R acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x = a, x = b, se calcula
simplemente la integral de f desde a hasta b, y se le cambia de signo:
Área(R) = −
Z b
a
f (x)dx, si f ≤ 0 sobre [a; b]
Ejemplo 4
Halle el área de la región limitada por la gráfica de f (x) = 3 + 2x − x2, la recta x = 4 y
el eje x.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
El teorema del valor medio y primer teorema
fundamental del cálculo
Sea f una función integrable en [a; b], con m y M constantes tales que m ≤ f (x) ≤ M
para todo x ∈ [a; b]. Por tanto,
m(b − a) ≤
Z b
a
f (x)dx ≤ M(b − a).
Una pregunta natural que surge de lo anterior es la siguiente.
¿Existirá un valor f (c), con c ∈ [a; b] tal que
Z b
a
f (x)dx = f (c)(b − a)?
Teorema. 4 (Teorema del valor medio)
Si f es continua en [a; b], entonces existe c ∈ [a; b] tal que
Z b
a
f (x)dx = f (c)(b − a)

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Sea f continua en [a; b] tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a; b]. La igualdad establecida
en el Teorema del valor medio para integrales nos dice que el área bajo la gráfica de f
sobre [a; b] es igual al área del rectángulo con base el intervalo [a; b] en el eje x y
altura f (c), donde c ∈ [a; b].

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 5
Sea f (x) = (x − 1)2 + 1.
1 Halle
Z 3
0
f (x)dx.
2 Halle c ∈ [0; 3] que hace satisfacer la igualdad establecida en el Teorema del valor
medio para integrales.
3 Realice la interpretación geométrica del Teorema del valor medio.
Definición. 4
Sea f una función integrable en [a; b]. Definimos el valor promedio de f en [a; b] como
1
b − a
Z b
a
f (x)dx.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 6
Una partícula se mueve a lo largo del eje x por acción de una fuerza dada por:
f (x) = 2x2
+ 6x newtons, donde x se mide en metros.
¿ Cuál es la fuerza promedio que se ejerce sobre la partícula para moverla desde x = 0
hasta x = 3?

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Isaac Barrow notó que la derivación e integración están estrechamente relacionados.
Se dio cuenta de que la diferenciación y la integración son procesos inversos. El
teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la derivada y la
integral.
Definición. 5
Sea F, f : I → R, donde I ⊂ R, diremos que F es una antiderivada de f si F0(x) = f (x)
para todo x ∈ I.
Ejemplo 7
F(x) = ln |x| es una antiderivada de f (x) =
1
x
en R − {0}, pues (ln |x|)0 =
1
x
para todo
R − {0}.
En la práctica al hablar de antiderivada se suele omitir el conjunto I a menos que se
indique de modo explícito, y sólo se verificará F0(x) = f (x) en el mayor conjunto
donde ambos están definidos.
Ejemplo 8
F(x) = sen x + x es la antiderivada de f (x) = cos x + 1, quedando sobreentendido que
I = R.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Una pregunta natural es si la antiderivada es única, lo que por un simple
razonamiento se puede ver que no es cierto, pero en el caso que I sea un intervalo de
R podemos decir que si F(x) es una antiderivada de f (x) entonces cualquier otra
antiderivada G(x) será de la forma F(x) + C, donde C es una constante real, pues
tendríamos que F0(x) = G0(x) = f (x) para todo x ∈ I, entonces (G − F)0(x) = 0 y del
cálculo diferencial sabemos que si I es un intervalo entonces (G − F)(x) = C donde C
es una constante, por lo tanto
G(x) = F(x) + C.
Ejemplo 9
sen(x), sen(x) + 1, sen(x) +
1
2
, sen(x) +
√
2 son algunas antiderivadas de cos(x).
Lo anterior, nos dice que cuando I es un intervalo, si conocemos una antiderivada
entonces conocemos todas las antiderivadas.

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 10
Sean F(x) = ln |x| y
G(x) =
n
ln(x) + 1, si x 0
ln(−x) + 2, si x 0
Se verifica que F(x) y que G(x) son ambas antiderivadas de f (x) =
1
x
en R − {0}, y en
este caso no se cumple que F(x) = G(x) + C, esto se debe a que R − {0} no es un
intervalo de R.
Veremos ahora un caso en el que podemos garantizar la existencia de antiderivadas.
Teorema. 5 (Primer Teorema fundamental del cálculo)
Sea f continua en [a; b] y definamos F(x) =
Z x
a
f (t)dt si x ∈ [a; b], entonces
F0(x) = f (x) para todo x ∈ [a; b].

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Ejemplo 11
La derivada de la función g(x) =
Z x
2
u2 − 1
u2 + 1
du es
g0
(x) =
x2 − 1
x2 + 1
Ejemplo 12
Muestre que si f es continua entonces
Z x
0
f (u)(x − u)du =
Z x
0
Z u
0
f (t)dt

du

Área e integral
definida
Existencia de
funciones
integrables
Propiedades
básicas de la
integral
Área para
funciones
integrales
El teorema del
valor medio y
primer teorema
fundamental del
cálculo
Observación 2
Aunque no se ha dicho, está implícito que las funciones del ejemplo anterior esán
definidas en un mismo intervalo que contiene al 0 para sea válida la última
afirmacón, en adelante a menos que se indique, siempre las funciones estaán
definidas en un intervalo.
Ejemplo 13
Calcule lı́m
x→1
Z x
1
3
√
t2 + t + 6 dt
x − 1
e indique la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de la función F(x) =
Z x
1
3
√
t2 + t + 6 dt en el punto (1, F(1)).

Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf

Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf

Similar a Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf (20)

Último

Último (20)

Calculo_integral_semana2 areas positivas y negativas de una intefral.pdf