Tema 6: Cuerpos geométricos

1. UNIDAD 6: CUERPOS
GEOMÉTRICOS
2º E.S.O. CURSO 2011-2012 – 2º EVALUACIÓN

2. ÍNDICE
• Elementos geométricos del espacio.
• Posiciones relativas de dos rectas, de una
recta y un plano y de dos planos en el
espacio.
• Ángulos diedros y poliedros.
• Poliedros. Elementos de un poliedro.
Clasificación en cóncavos y convexos.
.

3. ÍNDICE
• Relación de Euler
• Poliedros regulares:
tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o
hexaedro y dodecaedro
• Poliedros no regulares: prismas y
pirámides.
• Cuerpos de revolución: cilindro, cono y
esfera.

4. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL
E S PA C I O
 Punto: Unidad mínima de expresión geométrica. Se representan
con letras mayúsculas
 Recta: Se representa mediante una línea recta. Se simboliza con
letras minúsculas : r , s, t…

5. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL
E S PA C I O
 Plano: Se representa por medio de un paralelogramo. Se simboliza
con letras griegas: α, β, γ
 De esto ya hablamos en clases anteriores. Recuerda que el punto
no tiene dimensión, la recta tiene dimensión 1 y el plano dimensión 2

6. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL
E S PA C I O
 Y podemos definir, segmento, semirrecta o semiplano.
 Pero el espacio tendrá dimensión 3 (altura, anchura y profundidad)
 Por un punto del espacio pasan infinitas rectas pero por dos
puntos una única recta. Luego para determinar una recta necesitamos
dos puntos

7. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL
E S PA C I O
 Pero ¿Y en el esapacio?
 Pues por un punto podemos trazar infinitos planos
 Por dos puntos infinitos planos
 Por tres puntos un ÚNICO plano
 (Dibujos de estas situaciones puedes ver en el libro en la página
165)

8. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un
plano y de dos planos en el espacio.
 Al igual que en el plano dos rectas pueden ser:
 Secantes: Se cortan en un único punto
 Paralelas: No se cortan
 Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común

9. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y
un plano y de dos planos en el espacio.

10. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y
un plano y de dos planos en el espacio.
 Pero en el espacio tenemos una nueva posibilidad
 Rectas que se cruzan: No se cortan en ningún punto pero NO
existe ningún plano que las contenga

11. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y
un plano y de dos planos en el espacio.
 Pero con respecto a las rectas perpendiculares tenemos dos
posibilidades:
 1. Dos rectas son perpendiculares si están contenidas en el mismo
plano y son perpendiculares en el plano
 2. Dos rectas son perpendiculares si se cruzan de modo que
podemos encontrar una paralela a una de ellas, contenida en el mismo
plano y perpendicular a ésta. VER DIBUJO PAG 166

12. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y
un plano y de dos planos en el espacio.
 Posiciones relativas de una recta y un plano:
 Secante (un punto en común)
 Paralela (ningún punto en común)
 Contenida (Todos los puntos pertenecen al plano)
(DIBUJOS PÁGINA 167

13. P O S I C I O N E S R E L A T I VA S D E D O S
R ECTA S, D E UN A R ECTA Y UN PL A N O Y D E
D O S P L A N O S E N E L E S PA C I O
 Una recta es perpendicular a un plano si es PERPENDICULAR a
cualquier recta de ese plano
 Dos planos son secantes si tienen una recta en común
 Dos planos son paralelos si no tienen ninguna recta en común
 Dos planos son coincidentes si tienen todos sus puntos en comun

14. Á N G U L O S D I E D RO S Y P O L I E D RO S
 Un ángulo DIEDRO es la región del espacio delimitada por dos
semiplanos

15. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
 La medida de un ángulo diedro es la medida de su ángulo rectilíneo

16. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
 Igual que los ángulos en el plano los ángulos diedros pueden ser
cóncavos o convexos y por otro lado pueden ser: Diedro
agudo, Diedro recto y diedro obtuso
 Además dos planos son perpendicuares si son secantes y los cuatro
diedros que forman son rectos

17. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
 Un ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por tres o
más planos que concurren en un punto
 Un ángulo poliedro tiene cara, vértice y arista

18. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O.
C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S
 Un Poliedro es una región del espacio delimitada por polígonos.
Además tiene tres elementos característicos: Cara, Arista y Vértice
 Cara: cada uno de los polígonos del poliedro
 Arista: Cada uno de los lados de los polígonos, o dicho de otro
modo, los cortes de dos polígonos.
 Vértice: Cada uno de los puntos de corte de las aristas, o dicho de
otro modo, el corte de tres polígonos.

19. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O.
C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S
 Observa que la arista es en realidad un ÁNGULO DIEDRO
 Y el vértice un ángulo POLIEDRO

20. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O.
C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S
Poliedros

21. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O.
C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S
 Un poliedro es CONVEXO si TODOS sus ángulos son convexos
 Un poliedro es CÓNCAVO si ALGÚN ángulo es cóncavo

22. Relación de Euler
 En todos los poliedros convexos se cumple la relación de EULER:
C+V=A+2
Siendo C= nº de Caras
V = nº de Vértices
A = nº de Aristas

23. R E L AC I Ó N D E E U L E R
 http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

24. Poliedros regulares:
tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y
dodecaedro
 Un poliedro es REGULAR si todas sus caras son polígonos
regulares y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de
aristas.
 Sólo hay 5 poliedros regulares:
Tetraedro, Octaedro, Icosaedro, Hexaedro o Cubo y Dodecaedro.
También se llaman Sólidos Platónicos (los antiguos griegos ya sabían
que no había más de 5 poliedros regulares)

25. POLIEDROS REGULARES:
T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O
O HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Tetraedro
 4 Triángulo equilátero.
 3 números de aristas por vértice

26. P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O,
O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Octaedro:
 8 triángulos equiláteros
 4 aristas por vértice

27. POLIEDROS REGULARES:
T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Icosaedro
 20 triángulos equiláteros
 5 aristas por vértice

28. POLIEDROS REGULARES:
T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Hexaedro o Cubo
 6 cuadrados
 3 aristas por vértice

29. POLIEDROS REGULARES:
T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Dodecaedro
 12 pentágonos regulares
 3 aristas por vértice

30. POLIEDROS REGULARES:
T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
HEXAEDRO Y DODECAEDRO
 Resumen
 Construcción sólidos platónicos
 Historia Sólidos Platónicos

31. Poliedros no regulares: prismas y pirámides.
 Un poliedro no es regular cuando: Alguna de sus caras no es un
polígono regular o en dos de sus vértices concurre un número
distinto de aristas
 Hay de dos tipos: Primas y Pirámides

32. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y
PIRÁMIDES
 PRISMAS
 Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos iguales
y paralelos, y el resto son paralelogramos.
 El nombre del prisma vendrá dado por el polígono de la base, es
decir, prisma triangular, cuadrangular, pentagonal…
 Los elementos de un prisma son: bases, vértices, altura, cara lateral, arista
básica y arista lateral
 Un prisma es regular si es recto y los polígonos básicos son regulares

33. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y
PIRÁMIDES
 Prismas

34. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y
PIRÁMIDES
 Pirámides
 Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono
cualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice en común.
 Dependiendo del polígono se llamarán pirámide
triangular, cuadrangular, pentagonal…
 Los elementos de una pirámide son: Vértice, base, arista básica, arista
lateral y altura.
 Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular

35. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y
PIRÁMIDES
 Pirámides

36. Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera.
 Un cuerpo de revolución se obtiene al girar un figura plana 360º
alrededor de un eje,.
 Este año estudiaremos tres: cilindro, cono y esfera

37. Cuerpos de revolución: cilindro, cono y
esfera
 Cilindro
 Se obtiene al girar 360º un rectángulo alrededor de uno de sus
lados. Sus elementos son: Eje de revolución, Generatriz, Bases (Son
círculos) y altura.
 En los cilindros la altura coincide con la generatriz

38. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Cilindros

39. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Cono
 Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos. Sus elementos son: Base, (es un círculo), generatriz, vértice,
altura y eje de revolución
 En un cono, la generatriz NO coincide con la altura.

40. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Cono

41. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Esfeera
 Se obtiene al girar 360º un semicírculo alrededor de su diámetro
 Los elementos más característicos de las esferas son el centro y el
radio. Además es importante señalar las diferencias entre semiesfera y
hemisferio; cuña esférica y huso esférico; segmento esférico y
casquete esférico; segmento esférico de dos bases, zona esférica

42. C U E R P O S D E R E V O L U C I Ó N : C I L I N D R O,
CONO Y ESFERA
 Esfera

43. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Esferas

44. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A
 Cuerpos de revolución
 http://www.youtube.com/watch?v=-_-fCQNX1Fk