Tema 6   elementos geométricos del espacio
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Tema 6 elementos geométricos del espacio

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Tema 6: Cuerpos geométricos

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  • 1. UNIDAD 6: CUERPOS GEOMÉTRICOS2º E.S.O. CURSO 2011-2012 – 2º EVALUACIÓN
  • 2. ÍNDICE• Elementos geométricos del espacio.• Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.• Ángulos diedros y poliedros.• Poliedros. Elementos de un poliedro. Clasificación en cóncavos y convexos..
  • 3. ÍNDICE• Relación de Euler• Poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro• Poliedros no regulares: prismas y pirámides.• Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera.
  • 4. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL E S PA C I O Punto: Unidad mínima de expresión geométrica. Se representancon letras mayúsculas Recta: Se representa mediante una línea recta. Se simboliza conletras minúsculas : r , s, t…
  • 5. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL E S PA C I O Plano: Se representa por medio de un paralelogramo. Se simbolizacon letras griegas: α, β, γ De esto ya hablamos en clases anteriores. Recuerda que el puntono tiene dimensión, la recta tiene dimensión 1 y el plano dimensión 2
  • 6. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL E S PA C I O Y podemos definir, segmento, semirrecta o semiplano. Pero el espacio tendrá dimensión 3 (altura, anchura y profundidad) Por un punto del espacio pasan infinitas rectas pero por dospuntos una única recta. Luego para determinar una recta necesitamosdos puntos
  • 7. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL E S PA C I O Pero ¿Y en el esapacio? Pues por un punto podemos trazar infinitos planos Por dos puntos infinitos planos Por tres puntos un ÚNICO plano (Dibujos de estas situaciones puedes ver en el libro en la página165)
  • 8. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Al igual que en el plano dos rectas pueden ser: Secantes: Se cortan en un único punto Paralelas: No se cortan Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común
  • 9. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
  • 10. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Pero en el espacio tenemos una nueva posibilidad Rectas que se cruzan: No se cortan en ningún punto pero NOexiste ningún plano que las contenga
  • 11. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Pero con respecto a las rectas perpendiculares tenemos dosposibilidades: 1. Dos rectas son perpendiculares si están contenidas en el mismoplano y son perpendiculares en el plano 2. Dos rectas son perpendiculares si se cruzan de modo quepodemos encontrar una paralela a una de ellas, contenida en el mismoplano y perpendicular a ésta. VER DIBUJO PAG 166
  • 12. Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Posiciones relativas de una recta y un plano: Secante (un punto en común) Paralela (ningún punto en común) Contenida (Todos los puntos pertenecen al plano)(DIBUJOS PÁGINA 167
  • 13. P O S I C I O N E S R E L A T I VA S D E D O S R ECTA S, D E UN A R ECTA Y UN PL A N O Y D E D O S P L A N O S E N E L E S PA C I O Una recta es perpendicular a un plano si es PERPENDICULAR acualquier recta de ese plano Dos planos son secantes si tienen una recta en común Dos planos son paralelos si no tienen ninguna recta en común Dos planos son coincidentes si tienen todos sus puntos en comun
  • 14. Á N G U L O S D I E D RO S Y P O L I E D RO S Un ángulo DIEDRO es la región del espacio delimitada por dossemiplanos
  • 15. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS La medida de un ángulo diedro es la medida de su ángulo rectilíneo
  • 16. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS Igual que los ángulos en el plano los ángulos diedros pueden sercóncavos o convexos y por otro lado pueden ser: Diedroagudo, Diedro recto y diedro obtuso Además dos planos son perpendicuares si son secantes y los cuatrodiedros que forman son rectos
  • 17. ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS Un ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por tres omás planos que concurren en un punto Un ángulo poliedro tiene cara, vértice y arista
  • 18. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S Un Poliedro es una región del espacio delimitada por polígonos.Además tiene tres elementos característicos: Cara, Arista y Vértice Cara: cada uno de los polígonos del poliedro Arista: Cada uno de los lados de los polígonos, o dicho de otromodo, los cortes de dos polígonos. Vértice: Cada uno de los puntos de corte de las aristas, o dicho deotro modo, el corte de tres polígonos.
  • 19. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S Observa que la arista es en realidad un ÁNGULO DIEDRO Y el vértice un ángulo POLIEDRO
  • 20. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O.C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S Poliedros
  • 21. P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y C O N V E X O S Un poliedro es CONVEXO si TODOS sus ángulos son convexos Un poliedro es CÓNCAVO si ALGÚN ángulo es cóncavo
  • 22. Relación de Euler En todos los poliedros convexos se cumple la relación de EULER: C+V=A+2Siendo C= nº de Caras V = nº de Vértices A = nº de Aristas
  • 23. R E L AC I Ó N D E E U L E R http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
  • 24. Poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro Un poliedro es REGULAR si todas sus caras son polígonosregulares y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número dearistas. Sólo hay 5 poliedros regulares:Tetraedro, Octaedro, Icosaedro, Hexaedro o Cubo y Dodecaedro.También se llaman Sólidos Platónicos (los antiguos griegos ya sabíanque no había más de 5 poliedros regulares)
  • 25. POLIEDROS REGULARES:T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO  Tetraedro 4 Triángulo equilátero. 3 números de aristas por vértice
  • 26. P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO  Octaedro: 8 triángulos equiláteros 4 aristas por vértice
  • 27. POLIEDROS REGULARES: T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO  Icosaedro 20 triángulos equiláteros 5 aristas por vértice
  • 28. POLIEDROS REGULARES: T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO  Hexaedro o Cubo 6 cuadrados 3 aristas por vértice
  • 29. POLIEDROS REGULARES: T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO  Dodecaedro 12 pentágonos regulares 3 aristas por vértice
  • 30. POLIEDROS REGULARES: T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O HEXAEDRO Y DODECAEDRO Resumen Construcción sólidos platónicos Historia Sólidos Platónicos
  • 31. Poliedros no regulares: prismas y pirámides. Un poliedro no es regular cuando: Alguna de sus caras no es unpolígono regular o en dos de sus vértices concurre un númerodistinto de aristas Hay de dos tipos: Primas y Pirámides
  • 32. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y PIRÁMIDES  PRISMAS Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos igualesy paralelos, y el resto son paralelogramos. El nombre del prisma vendrá dado por el polígono de la base, esdecir, prisma triangular, cuadrangular, pentagonal… Los elementos de un prisma son: bases, vértices, altura, cara lateral, aristabásica y arista lateral Un prisma es regular si es recto y los polígonos básicos son regulares
  • 33. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y PIRÁMIDES  Prismas
  • 34. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y PIRÁMIDES  Pirámides Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígonocualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice en común. Dependiendo del polígono se llamarán pirámidetriangular, cuadrangular, pentagonal… Los elementos de una pirámide son: Vértice, base, arista básica, aristalateral y altura. Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular
  • 35. POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y PIRÁMIDES  Pirámides
  • 36. Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera. Un cuerpo de revolución se obtiene al girar un figura plana 360ºalrededor de un eje,. Este año estudiaremos tres: cilindro, cono y esfera
  • 37. Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera  Cilindro Se obtiene al girar 360º un rectángulo alrededor de uno de suslados. Sus elementos son: Eje de revolución, Generatriz, Bases (Soncírculos) y altura. En los cilindros la altura coincide con la generatriz
  • 38. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Cilindros
  • 39. CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Cono Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos. Sus elementos son: Base, (es un círculo), generatriz, vértice,altura y eje de revolución En un cono, la generatriz NO coincide con la altura.
  • 40. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Cono
  • 41. CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Esfeera Se obtiene al girar 360º un semicírculo alrededor de su diámetro Los elementos más característicos de las esferas son el centro y elradio. Además es importante señalar las diferencias entre semiesfera yhemisferio; cuña esférica y huso esférico; segmento esférico ycasquete esférico; segmento esférico de dos bases, zona esférica
  • 42. C U E R P O S D E R E V O L U C I Ó N : C I L I N D R O, CONO Y ESFERA  Esfera
  • 43. CUERPOS DE REVOLUCIÓN:C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Esferas
  • 44. CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C I L I N D R O, C O N O Y E S F E R A  Cuerpos de revolución http://www.youtube.com/watch?v=-_-fCQNX1Fk