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PRIMERA PARTE: GENERALIDADES 1.- DEFINICIONES BÁSICAS a.- La topografía 
TIENE DOS DEFINICIONES: ARTE DE DESCRIBIR Y DELINEAR DETALLADAMENTE LA SUPERFICIE DE UN TERRENO. CONJUNTO DE PARTICULARIDADES QUE PRESENTA UN TERRENO EN SU CONFIGURACIÓN SUPERFICIAL. 
Según la primera definición topografía serán todos aquellos procesos que conduzcan a detallar como es un terreno, por ejemplo cuando vez a ciertas personas en la calle realizando mediciones al terreno con cintas métricas, teodolitos, etc., entonces ellos están haciendo topografía. Según la segunda definición cuando pedimos que se nos describa un terreno, lo que estamos pidiendo es que nos detallen como es el terreno con sus accidentes naturales (ríos, lagos, quebradas, etc.) y sus accidentes artificiales (carreteras, canales, etc.); ya que todo esto corresponde al conjunto de particularidades de un terreno. b.- La recopilación de la información De dos manera:
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Gráficos: 
http://maracaibo.olx.com.ve 
http://lanzamientos.wordpress.com A.-TOPOMETRÍA 
Se determina la forma y el relieve del terreno mediante mediciones de ángulos y distancias en el campo. Los equipos mas usados son: estaciones totales, teodolitos, niveles, winchas, brújulas. 
En el gráfico se observa un equipo llamado “estación total”, es uno de los equipos mas usados en topografía ya que además de medir ángulos, también mide distancias. Todo es nedido de manera electrónica y al instante. 
El teodolito es parecido a la estación total pero básicamente sólo sirve para medir ángulos con alta precisión. Los teodolitos mecánicos, muy usados durante el siglo pasado, tenían un mecanismo que permitía calcular las distancias teniendo en cuenta que un objeto se ve mas pequeño a medida que está mas lejos (taquimetría); este método era poco preciso. 
TOPOMETRÍA 
•Medicones llevadas a cabo directamente sobre el terreno. TELEDETECCIÓN 
•Mediciones llevadas a cierta distancia del terreno
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En caso se requiera calcular desniveles es muy útil el uso de un equipo topográfico llamado “nivel de ingeniero” Por ejemplo si deseamos saber que diferencia de alturas hay entre dos puntos de mi terreno, sería muy conveniente usar este equipo debido a que ha sido creado para hallar desniveles. 
La cinta métrica, comúnmente llamada wincha, ha sido la forma mas común de medir distancias, actualmente está siendo desplazada por un equipo electrónico llamado “distanciometro”. Observad el distanciómetro de la foto, tiene el tamaño de una calculadora. Por ejemplo sin en este instante deseases saber la distancia que hay desde tu mesa de estudios hacia una de las paredes de tu habitación, bastaría con tener un distanciómetro encima de tu mesa, lo apuntarías a la pared requerida y presionarías el botón respectivo, entonces el equipo lanzaría un rayo de luz la cual chocaría con la pared con lo que el equipo nos indicaría la distancia recorrida por la luz desde nuestra posición hasta la pared. 
La brújula nos sirve para orientarnos respecto al norte magnético, es decir la brújula indica hacia el polo norte magnético de la tierra. Recordemos los apuntes del colegio cuando nos decían que la tierra era como un imán gigante. 
Nota: Fuentes de los gráficos anteriores 
www.solostocks.com http://topve06.blogspot.com http://www.comerciallaga.com http://seguridadcam.wikispaces.com Por ejemplo si tenemos un terreno de 5 lados, como se muestra en la planta anterior:
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Si deseamos dibujar este plano deberíamos medir las distancias (con wincha) y ángulos (con teodolito). O con Estación total ambas: distancias y ángulos. 
Además, si queremos saber los desniveles que hay en el terreno tendríamos que usar un nivel de ingeniero.
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B.-TELEDETECCIÓN En este caso el relieve del terreno se determina mediante observaciones realizadas a distancia. Es decir no se realiza las mediciones directamente en el campo sino que se realizan observaciones con instrumentos colocados sobre plataformas, las cuales pueden ser: aéreas y terrestres. Hay dos técnicas: la fotogrametría y el escaneado. ¿En que consiste la fotogrametría? 
Recuerda que tienes dos ojos para poder ver en profundidad (3 dimensiones), esta propiedad la aprovechas los productores de cine para sus películas 3D. La técnica es simple ya que ambos ojos ven los mismos objetos pero desde distintas posciones, el cerebro junta las dos imágenes capturadas por los ojos y nos da la sensación de profundidad. Esta misma técnica se puede usar para determinar el relieve del terreno. 
Imagínate que estamos sobre un avión tomando fotos del terreno, hay una parte de dicho terreno que se observa en las dos fotos. Llamemos a esta parte: zona de traslape. Dicha zona es la que se ve en profundidad y se puede determinar su relieve. 
PARA LA FOTOGRAMETRÍA AÉREA SE UTILIZAN AVIONES O SATÉLITES. PARA TERRESTRE SE USAN CÁMARAS CON 2 LENTES LOS CUALES SIMULAN SER LOS DOS OJOS HUMANOS. EL PROBLEMA QUE TIENE ES QUE CUANTO MAYOR ES LA DISTANCIA ENTRE LA CÁMARA Y EL TERRENO, MENOR SERA LA PRESICIÓN, ES DECIR SE OBSERVARÁN MENOS DETALLES DEL TERRENO. NOTA ADICIONAL: LA fotogrametría terreste es muy útil para vistas tridimensionales de los monumentos históricos ya sea para educación o para su restauración. El INC usaba esta técnica para realizar un inventario de sus monumentos históricos pero actualmente está usando el ESCANEADO. ¿Y que es la técnica del escaneado o LIDAR (Light Detection And Ranging)? Es una técnica que está revolucionando la topografía y posiblemente en el futuro sea utilizada en casi todos los trabajos topográficos. El problema es que es una técnica muy nueva y comprar el sistema completo está alrededor de 180 mil dólares, precio que posiblemente baje a medida que esta tecnología se masifique. La técnica es simple, sobre un trípode se coloca el equipo SCAN, se lo enciende y éste empieza a escanear tridimensionalmente todos los objetos que se encuentren alrededor del equipo.
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Por ejemplo si deseamos escanear un auto de modo de verlo en la computadora en 3D, habrá que colocar el equipo SCAN en 3 posiciones¨: desde la posición A se escanea la parte lateral derecha del auto; desde B. la parte lateral izquierda; y desde C, la parte posterior. 
Nota: El equipo se coloca sobre un trípode. El equipo mostrado en la foto es fabricado por la empresa japonesa TOPCON. 
1.2.- CIENCIAS AFINES A LA TOPOGRAFÍA Las más importantes son: 
ALGO MÁS SOBRE TELEDETECCIÓN MEDIANTE SATÉLITES El ojo humano sólo puede ver las ondas donde están todos los colores existentes pero, por ejemplo, no pueden ver la temperatura , ni la cantidad de agua que tienen las plantas, ni si las plantas tiene insecticidas, etc. Nada de eso podemos ver, pero los satélites sí debido a que pueden “ver” mas frecuencias de ondas que las del ojo humano. Por ejemplo que desees diseñar un centro poblado en una zona de vegetación con pasturas y árboles. Necesitas conocer que áreas le corresponden a la zonas de árboles debido a que según lo especificado tu diseño debe respetar en lo posible dichos árboles. Mediante la teledetección por satélites va a ser muy sencillo determinar dichas áreas sin necesidad de ir al campo a medir.
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a.- GEODESIA 
Estudia la forma y dimensiones de la tierra. Ubica puntos considerando la curvatura terrestre. La topografía sólo considera que la tierra es plana, esta es la diferencia fundamental con la geodesia. 
DIFERENCIAS ENTRE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 
TOPOGRAFÍA: No considera la curvatura de la tierra. Mediciones menos de 1 km. Ya que distancias mayores ya se tiene que toma en cuenta la curvatura de la tierra. GEODESIA: Si considera la curvatura de la tierra. 
La geodesia aplicada usa el sistema global de navegación por satélite (NGSS)) para determinar la posición de puntos en el globo terráqueo. En la actualidad hay 3 sistemas: el estadounidense GPS, el ruso GLONASS y el europeo GALILEO. Existen receptores que tienen la posibilidad de recibir señales de los 3 satélites. 
Para poder realizar el trabajo requerimos que nuestro receptor NGSS esté al aire libre para que pueda recibir las señales de 4 satélites del sistema como mínimo. 
Entonces bastará con colocar el equipo, esperar que reciba las señales de 4 satélites y entonces nos dará la posición en la que nos encontramos. 
Fuente del gráfico:http://t2.gstatic.com B.- CARTOGRAFÍA Si se desea dibujar mapas de grandes extensiones de terreno (regiones, departamentos, países, continentes) se deberá recurrir a la cartografía, pues esta disciplina se encarga de proyectar un terreno curvo sobre una superficie plana. Se llaman proyecciones debido a que el procedimiento es muy similar a la proyección de una película sobre un ecrán. En el gráfico siguiente imagínate que tenemos un globo terráqueo de vidrio transparente con los continentes dibujados, colocamos una lámpara en el polo sur y un papel circular en el polo norte. Al encender la lámpara, veremos proyectado el globo sobre el papel de la manera siguiente:
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MAPA PROYECTADO Otro ejemplo de proyección cartográfica es la cilíndrica, con ésta se realizan los mapamundis. La lámpara se coloca en el centro del globo terráqueo, se envuelve el globo con un cilindro sobre el cual se proyecta el globo, luego se extiende el cilindro.
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Observa que en esta proyección cilíndrica a medida que nos acercamos a los polos las extensiones de tierra se ven mucho más grandes que lo que son realmente. ¿Porque crees que ocurre esta deformación? C.- GEOMÁTICA A partir de la información recopilada del terreno como son: características físicas, datos de la población, tipos de uso, etc; el especialista en Geomática las organiza y los presenta en el entorno de la computadora de manera sistemática y ordenada. Para entender mejor esta especialidad imagínate que eres un urbanista y deseas estudiar las características de un poblado serrano. Nuestro especialista nos mostrará en la computadora el plano del poblado, pero a diferencia de otros planos nuestro plano será iteractivo, podrás ver de manera gráfica las estadísticas de la población, fotografías, representaciones en 3D,etc. Todo dentro del propio plano, sin necesidad de ir a otro software. Los programas informáticos que realizan estas maravillas se llaman: sistemas de información. En el Perú los sistema de información más usados son: ArcGis y AutoCad Map. D.- AGRIMENSURA Determina los límites de una propiedad a partir de los análisis de los títulos, leyes, reglamentos y mediciones. 1.3.- ALGUNAS PRECISIONES. 
a.-La Carta Nacional
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La CARTA NACIONAL, es un mapa cartográfico de todo el Perú. realizado a partir de fotografías aéreas. La mayoría del territorio nacional está realizado a escala 1/100 000 , está representado todo el territorio nacional. Lo venden por hojas. El arquitecto puede usarla para determinar la ubicación aproximada de su proyecto, las coordenadas UTM, vías de acceso, accidentes topográficos cercanos, etc 
b.- LEVANTAMIENTO Y REPLANTEO 
Levantamiento: 
Es el proceso para ubicar (determinar la posición relativa de puntos) sobre la superficie de la tierra o a poca distancia vertical de la misma. 
Para el ejemplo, supongamos que nos 
solicitan levantar el punto P que se encuentra 
representada mediante una marca de pintura 
sobre el suelo. Es decir que lo que nos está 
pidiendo es conocer en que sitio se encuentra 
el punto respecto a los otros puntos del 
terreno (llamado también: posición relativa 
de un punto). La manera mas sencilla que se 
nos ocurre se medir dos distancias hacia 2 
puntos conocidos (por ejemplo las esquinas de 
dos edificios). Entonces nuestro punto estará 
perfectamente ubicado y no habrá peligro que 
se nos pierda. 
Así como se ha levantado un punto, podemos levantar muchos mas puntos para luego dibujar un plano con los detalles naturales y artificiales que tiene el terreno. 
La manera de realizar un buen levantamiento es uno de los objetivos del presente curso y será explicado con mayor detalle en las siguientes clases. 
La topografía clásica divide el levantamiento topográfico en 2 partes: 
Trabajo de campo: Verificar el buen funcionamiento de los equipos. Planificar el trabajo. Ir al campo y realizar mediciones. Anotar en libreta de campo a lápiz. 
Trabajo de gabinete: Cálculos, dibujo de plano y presentación de informe. 
IMPORTANTE 
En la topografía moderna, con Estaciones Totales robotizadas, toma de datos de campo mediante notebooks, etc. , todos los cálculos y el dibujo del plano se realizan en paralelo con el trabajo de campo, dejando para el trábajo de gabiente sólo el ploteo. 
Replanteo: 
Es el proceso de ubicar puntos en el terreno ya estudiados o proyectados.
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Por ejemplo, si la marca de pintura del punto 
P, levantado anteriormente, se nos borró con 
el transcurso del tiempo, y deseamos volver 
a dibujar dicha marca; entonces lo que 
deberemos hacer es un replanteo de dicho 
punto, es decir con los datos de las distancias 
a los dos vértices de los edificios 
anteriormente medidas (puntos ya 
estudiados) volveremos a marcarlo en el 
piso. Observar en la figura que el punto en 
mención se encontrará en la intersección de 
los dos arcos formados por dichas distancias. 
Otro ejemplo de replanteo: se ha realizado un proyecto de un futuro colegio en Chaclacayo . El ir al terreno y ubicar dicho proyecto sobre el terreno para su construcción, es un replanteo. 
c.- PRINCIPALES TIPOS DE LEVANTAMIENTOS 
a) Levantamiento planimétrico: En este levantamiento no se toma en cuenta el relieve del terreno. Como las guias de calles de Lima en la que no nos dicen si La Molina está a mas altura que Chorrillos. 
b) Levantamiento topográfico: Levantamiento tomando en cuenta el relieve del terreno (cerros, quebradas, etc.). Generalmente el relieve se representa mediante curvas de nivel. 
c) Levantamiento longitudinal: El levantamiento se realiza a lo largo de un eje longitudinal. Por ejemplo para construir el Metropolitano se hizo previamente un levantamiento a lo largo de la via expresa del Paseo de la República. 
d) Levantamiento hidrográfico: Levantamiento topográfico en las orillas o sobre la superficie que se encuentra debajo una masa o corriente de agua. 
e) Levantamiento catastral: Similar a un levantamiento planimétrico, solo que se incluye información adicional con fines fiscales: vivienda o negocio, si tiene piscinas, etc. Es muy conveniente que este tipo de levantamientos tenga la Municipalidad. 
f) Levantamiento fotogramétrico: Levantamiento realizado con fotogrametría. 
D.-ESCALA 
Es la relación entre una longitud y su representación sobre un mapa o plano. Existen 2 tipos: Numérica y Gráfica. Escala Numérica: Es mostrada mediante un quebrado, donde en el denominador se coloca la longitud medida en el plano y en el denominador la longitud en el terreno. Así por ejemplo: 1/1000 significa que 1 unidad de longitud medida en el plano equivale a 1000 unidades de longitud en el terreno. Nota: Cuando presente un plano es muy conveniente hacerlo con las escalas del escalímetro o con sus múltiplos.
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Escala Gráfica: Está representada mediante un gráfico. La ventaja de esta escala respecto a la otra es que al realizar reducciones o ampliaciones al plano, la escala no se pierde. 
CABEZA CUERPO Las divisiones a la derecha del origen se enumeran en metros, decenas o centenas de metros o kilómetros y a la izquierda del cero van subdivisiones (4 o 5 o 10 subdivisiones) de uno de los segmentos de la derecha. En el gràfico del ejemplo observamos que en el cuerpo cada segmento representan 100 m., mientras que en la cabeza cada segmento representa 10 m. Ejercicio: Convertir la escala 1/1250 a escala gráfica si es que sólo se dispone de una regla centimétrica. Solución: Como 1/1250 es 1 cm. del papel es a 1250 cm. del terreno. Entonces 
1 cm. en el papel es 12,5 m. del terreno, 
Ahora habrá que definir el tamaño de los segmentos del cuerpo, si deseamos 3 segmentos en 10 cm. entonces cada segmento será de aproximadamente 3 cm., como los segmentos del cuerpo deben ser valores enteros o múltiplos de 10 (1,10,100, etc.) entonces tomemos 40 m. para cada segmento del cuerpo (40 m. del terreno es 3,2 cm. del papel). Entonces la parte derecha de nuestra escala quedaría así. 
Solo nos falta agregar la cabeza la cual es una subdivisión del cuerpo, para nuestro ejemplo consideremos 10 subdivisiones (también podrían ser 5, 8, etc.). La numeración en la cabeza es opcional y puede ir en el medio y el extremo como en el ejemplo, o intercalado, etc. 
Nota: esta de más decir que si usa un escalímetro que tiene la escala 1/1250 entonces el procedimiento para dibujar la escala gráfica que la represente es mucho mas sencillo.
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e-APRECIACIÓN GRÁFICA 
Es la máxima en distancia que se puede medir un plano que está a una escala dada. Se ha establecido que el ojo humano puede apreciar detalles, en un plano, hasta 0,2 mm. 
Por ejemplo, se tiene un plano a escala 1/2000, la apreciación gráfica para dicho plano será: 2000x0,0002 m. = 0.4 m. Es decir cualquier detalle que tenga una distancia menor a 40 cm. no podrá ser observado en un plano a dicha escala. También quiere decir que cualquier error menor que 40 cm. cometido durante el levantamiento topográfico no podrá ser detectado a esta escala. 
Otro ejemplo. Si el plano de nuestra escala es 1/500 la apreciación gráfica es: 500x0,0002 = 0,1 m. Es decir valores menores a los 10 cm. no podrán ser medidas con el escalímetro a dicha escala. 
1.4.- LA FORMA DE LA TIERRA 
a.-El geoide 
La forma de la tierra a nivel del mar en calma se le denomina geoide, un poco achatado en los polos y ensanchado en el ecuador. El problema del geoide es que no hay ninguna figura geométrica conocida que se parezca a un geoide. Por ejemplo el globo terráqueo que tenemos en nuestros hogares, adornando nuestros dormitorios, es una esfera. La esfera no es achatada en sus extremos. Los geodestas necesitan tener una figura geométrica matemática conocida que represente la forma de la tierra para que puedan hacer sus cálculos y sus mapas cartográficos. 
b.-El elipsoide 
La figura geométrica matemática que mas se parece a la forma de la tierra es el elipsoide. Esta figura es una elipse rotada alrededor de su eje vertical. 
Fuente del gráfico: http://enciclopedia.us.es 
2.- PLANIMETRIA 2.1 Definición La planimetría es la parte de la topografía que se encarga de representar en terreno en un plano, prescindiendo de los desniveles o relieve del terreno. 
2.2.- PUNTOS TOPOGRÁFICOS 
Para realizar un trabajo topográfico es necesario tener ubicados algunos puntos en el terreno para que a partir de dichos puntos se proceda a realizar las mediciones de ángulos y
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distancias a los puntos del terreno que se desea levantar. Estos puntos que sirven de base para hacer nuestras mediciones se llaman: puntos topográficos. 
Sobre un punto topográfico debe ser posible estacionar un teodolito o una estación total, tener la mayor visibilidad posible al terreno. 
Pueden ser de 2 tipos: 
a.-Puntos topográficos Temporales: Son puntos que solo son útiles mientras dura el trabajo topográfico que los usa. Estos puntos se dejan en el terreno con: estacas o marcas de pintura. 
Si son marcas de pintura, éstas deberán ser de color claro sobre el asfalto y de color oscuro si están pintadas sobre el concreto. b.-Puntos topográficos Permanentes: Son puntos que son usados por distintos trabajos topográficos y en distintas épocas. La colocación de un punto permanente se le denomina: Monumentación. Se encuentran en placas de bronce sobre una losa o en un hito de concreto. Por ejemplo los hitos que conforman los límites de un país. Si es que estos fueron ubicados mediante el sistema GPS, lo común es llamarlos: PUNTOS GEODÉSICOS y en los trabajos fotograméticos se los llama: PUNTOS DE CONTROL. Estos puntos de control permanente, generalmente, los colocan entidades oficiales para indicar con alta precisión: sus coordenadas UTM o su elevación respecto al nivel del mar, de modo que el topógrafo pueda empezar a realizar sus mediciones a partir de dichos puntos que son los datos oficiales.
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En el ejemplo de la fotografía el punto permanente en la UNI 
c.-Ubicación referencia de puntos 
Es necesario referenciar los puntos topográficos respecto a puntos notables del terreno, con la finalidad de ubicarlos fácilmente. También es conveniente hacer un croquis e inclusive una descripción de la ruta a recorrer con la finalidad de llegar al punto. Veamos mediante ejemplos las formas mas comunes de la ubicación referencial. 
a) Por dos distancias 
Desde nuestro punto medimos dos distancias hacia referencias conocidas. En nuestro ejemplo se ha medido distancias hacia una esquina de un edificio y un poste.
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b) Por ángulo y distancia 
En este caso nuestro punto estará referenciado si tenemos la distancia que hay entre un punto notable del terreno y nuestro punto topográfico y el ángulo formado por estas dos direcciones. Ejemplos: Tenemos dos veredas correspondientes a dos esquinas. Vamos a referenciar los puntos que se encuentran cerca a ambas veredas. 
Caso 1: Se toma un punto notable en la vereda (Punto A) y medimos la distancia hasta el punto P así como el ángulo(a) formado por la dirección de la vereda y la de la medición. 
Caso 2: Se toma un punto notable en la vereda (punto A), se determina con una brújula la dirección del norte, se mide la distancia del punto A al punto Q (d) y el ángulo comprendido (a) entre ambas direcciones. 
Caso 3: Desde nuestro punto topográfico R, trazamos una perpendicular a nuestra dirección notable y marcamos un punto en dicha intersección (punto A) y medimos la distancia entre ambos puntos. 
c) Por dos ángulos
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Se miden los ángulos desde dos puntos notables, para nuestro ejemplo: dos equinas. Este método es muy poco usado para ubicar puntos en topografía, mas no así en astronomía ya que se usa para determinar la ubicación y distancias a las estrellas. 
2.4 MEDICIÓN DE DISTANCIAS 
Las distancias que interesan en planimetría son las distancias horizontales (en caso de altimetría son distancias verticales). Existen 2 sistemas de medición: Medición directa y medición indirecta a.-Medición directa: Se recorre la distancia a medir. Se va a estudiar: A pasos: usado en reconocimientos, medidas aproximadas. El método consiste en que conocida la longitud de nuestro paso, recorremos una distancia contando el número de pasos, la longitud recorrida es la longitud de cada paso por el número de pasos. Error aproximado: 1/100 . Significa que si la longitud a medir es de 100 metros, el valor que la midamos con wincha posiblemente esté entre 99 a 101 m. Cinta métrica o wincha: usado para levantamientos de precisión, Replanteo. Lotizaciones. Dificultades: muy lento, si el terreno es muy accidentado hay mayores errores, requiere de 2 a más trabajadores: su ventaja: económico, si el terreno es plano horizontal las distancias pueden ser medidas con buena precisión. Error aproximado 1/3000 
Medición electrónica: usado para todo tipo de trabajos. El equipo mas usado es el distanciómetro electrónico. Se pueden encontrar distanciómetros como un aparato independiente o dentro de una estación total. Desventaja: costo del equipo; ventaja: rápido. Y preciso.Error aproximado: 1/100000 
Este es un distanciómetro de mano. 
La manera mas común de usarlo es: 
se adosa el equipo a una pared y se 
lanza un rayo de luz láser hacia la otra pared. El equipo nos dará la distancia Esta es una estación total, el distanciómetro Entre pared y pared. Distancias cortas. se encuentra dentro del anteojo, generalmente la luz que envia rebota en un accesorio lla-
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mado prisma. Puede medir distancias largas. b.-MEDICIÓN INDIRECTA: No se recorre la distancia a medir. Se va a estudiar: Taquimetría: Usado en levantamientos y para calcular distancias aproximadas en altimetría. Desventaja: Requiere un equipo topográfico de precisión que tenga un anteojo. El fundamento es simple, cuanto mas cerca esté un objeto veremos menos porción de dicho objeto y visceversa. Error: 1/300 
En el esquema se puede observar que si colocamos una regla delante de nuestra lente, cuanto mas cerca esté la regla del lente menor será la porción de esta que se ve. Si llamamos j a la longitud de la porción de la regla vista. Podemos inferir: a mayor valor de j es porque es mayor la distancia que hay entre la regla y la mira; y a menor j es porque es menor la distancia. La relación es: D = kxj Es decir que la distancia se podrá calcular multiplicando el valor j obtenido por la constante K. El valor de esta constante es 100 en todos los equipos topográficos. 
Cálculos trigonométricos: Generalmente usado cuando no es posible medir directamente una distancia. Desventaja: Su precisión depende del equipo utilizado. Ventaja: Permite medir cualquier distancia. Esto es muy útil cuando se miden distancias a otras estrellas.
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2.5 Trabajos con wincha 
a) Equipo y accesorios 
Wincha: La cinta métrica, llamada comúnmente en nuestro medio wincha. Existen de diferentes materiales: Fibra de vidrio, nilón, o de PVC con alma de fibra de vidrio, nilón con alma de acero. Las más precisas son las cintas de acero, pero su utilización está descontinuada debido al avance de la tecnología de los distanciómetros electrónicos. 
Jalón : Elementos cilíndricos metálicos o de madera con refuerzo metálico en su punto, de alrededor de 1” de espesor y 2 m. (o mas) de largo. Pintada con dos colores los cuales se intercalan cada medio metro. Se usa como ayuda para definir alineamientos, medir distancias inclinadas, levantar la cinta horizontal. 
b) Trabajos elementales con wincha 
Nota: todos los gráficos para estos trabajos están mostrados en planta. 
TRABAJO 1: De un punto P trazar una perpendicular a un alineamiento L . 
Método 1: 
Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q sobre el alineamiento L . Paso 2: Medir la distancia PQ (por ejemplo que PQ= d ) Paso 3: A la mitad de PQ, ubicar un punto R. Paso4: Del punto R ubicar un punto S sobre el alineamiento L . a una distancia d/2 del punto R.
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Entonces 
Método 2: 
Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q sobre el alineamiento L . 
Paso 2: Medir la distancia PQ (por ejemplo que PQ= d), 
Paso 3: Ubicar el otro punto R sobre el alineamiento L que también se encuentre a la distancia d 
del punto P. 
Paso 4: Medir la distancia QR. 
Paso 5: En la mitad de QR ubicar un punto S. 
TRABAJO 2: De un punto P de un alineamiento trazar una perpendicular a dicho alineamiento. 
Método 1: 
Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q fuera del alineamiento L . 
Paso2: Medir la distancia PQ (Por ejemplo PQ=”d”) 
Paso3: Ubicar un punto R sobre el alineamiento L que se encuentre a la distancia “d” del 
punto Q. 
S 
R 
d/2 
d/2 
Q L 
P 
S 
R 
d 
d 
d 
P 
L 
Q 
L P
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Paso 4: Sobre la prolongación de RQ ubicar el punto S que se encuentra a la distancia “d” 
del punto S. 
Entonces; 
Método 2: Método del lazo 
La idea es formar con la cinta un triángulo rectángulo cuyas dimensiones sean: 3:4:5, del 
famoso triángulo notable. 
Paso 1: Tomando una longitud de 12 
m. en la cinta se hace un lazo que 
modo que su valor en 12 m. 
coincide con el valor 0 de la cinta. 
Paso 2: El cero de este lazo se coloca en el punto P y sobre dicho alineamiento se extiende 
el lazo de la cinta hasta 3 m. como se ve en la figura. 
R 
d 
d 
d 
Q 
L P 
T 
d 
R 
d 
d 
Q 
L P
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Paso 3: En los 8 metros de la cinta tensionarla de modo que forme un triángulo. El triángulo formado tendrá uno de sus lados coincidiendo con el punto P y perpendicular al alineamiento L que es lo que se deseaba. 
c.-Trabajos especiales con 
wincha 
A.- De un punto, trazar una paralela a un alineamiento 
Por ejemplo del punto P trazar una paralela al alineamiento L 
Método 1: 
Paso 1: Desde P trazar una perpendicular al alineamiento L, ubicar un punto Q en la intersección de la perpendicular y el alineamiento. Paso 2: Medir la distancia PQ, por ejemplo que sea PQ = d Paso 2: Ubicar otro punto R sobre el alineamiento L, y desde R trazar una perpendicular al alineamiento L, y ubicar un punto S a la distancia d del punto R. Entonces: PS es paralelo a L
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Método 2: Paso 1: Ubicar un punto Q cualquiera sobre el alineamiento L. Sobre la prolongación de QP ubicar un punto cualquiera R. Paso 2: Medir PQ y PR 
Paso 3: Ubicar un punto S cualquiera sobre el alineamiento L. Medir la distancia RS. Paso 4: Hallar el valor D por semejanza de triángulos: D = PR . RS PQ+PR Entonces : D = RSxPR PQ+PR Paso 5: Ubicar un punto T a dicha distancia D del punto R, sobre la línea RS.
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PT es paralelo a L. 
B.- Medición de distancias existiendo obstáculos entre ambos. Método 1: 
Por ejemplo deseamos medir la distancia AB, existen un obstáculo entre ambas que es imposible medir directamente con Wincha. 
Paso 1: Ubicar un punto cualquier P fuera del obstáculo, de modo que defina el alineamiento AP al cual le vamos a llamar alineamiento L. 
Paso 2: De B trazar una perpendicular al alineamiento L. Y en la intersección de dicha perpendicular con el alineamiento L, determinar el punto C. 
Paso 3: Medir AC y BC.
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La distancia AB será: 
Método 2: 
Deseamos conocer la distancia AB, dicha distancia no es tan larga, pero no la podemos medir porque hay un obstáculo. 
Paso 1: Ubicar un punto C cualquiera, fuera del obstáculo y desde donde se pueda medir hacia A y hacia B. 
Paso2: Medir las distancias AC = d1 , y BC= d2 
Paso 3: Sobre la prolongación de AC ubicar un punto A’ a la distancia d1 del punto C. Paso 4: Sobre la prolongación de BC ubicar un punto B’ a la distancia d2 del punto C. 
Paso 5: Medir A’B’. Entonces A’B’ = AB
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C.- Medición de distancias siendo uno de los puntos inaccesibles Se desea medir la distancia AB, pero el punto B es inaccesible. 
Paso 1: De A trazar una perpendicular al alineamiento AB. Y ubicar un punto C sobre dicha perpendicular. Paso 2: Desde C trazar una perpendicular al alineamiento CB. Y ubicar el punto D sobre dicha perpendicular y que interseque a la prolongación del alineamiento BA. 
Paso 3: Medir AC y DA. Entonces la distancia AB = (AC)2 / (AD) Nota: Tener en cuenta que si se desea una buena precisión, entonces AC no debe ser tan corta. 
TAREA: ¿Cómo podría determinar la distancia entre dos puntos, siendo ambos inaccesibles, usando sólo wincha y jalón?
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D.- MEDICION DE ANGULOS 
Este método no es muy preciso como si lo es la medición con un teodolito. Se puede 
conseguir mejores precisiones si los 
lados 
del triángulo a formar son grandes. Por 
ejemplo 10 m. o más. 
El procedimiento es sencillo: se mide una misma distancia “d” en cada uno de los lados del ángulo a a calcular, luego se mide la distancia “l” entre estos dos extremos, como se ha conseguido formar un triángulo isósceles se procede a calcular el ángulo por la trigonometría. 
Por triángulo rectángulo 
Ley de cosenos 
Tareas: 
1) Para conocer el valor del ángulo a, se midieron las distancias: l =10 m y d = 7 m. Se pide calcular el ángulo de dos maneras: 
a) Usando la ley de senos o la de cosenos. 
b) Dibujar a escala y calcularla con un transportador o en AutoCad. 
Solución: a=40º 58’29” 
2) Para conocer el valor del ángulo a, se midieron las distancias: l =12 m y d = 19 m. Se pide calcular el ángulo de dos maneras indicadas en la tarea anterior: 
Solución: a=104º 40’59”
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CAPITULO 3..-BREVE INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE ERRORES 
4.1.- Definición del error: Es la pequeña diferencia entre una medición hecha a una magnitud y su verdadero valor. Por ejemplo: Distancia medida de A-B = 100,02 mts. Distancia verdadera de A-B = 100,00 mts. Error en la medición A-B = 100,02 – 100,00 4.2 Discrepancia: Es la diferencia entre dos mediciones hechas para una misma magnitud. Por ejemplo: Distancia medida de A-B = 100,02 mts Distancia medida de B-A = 100,06 mts. Discrepancia = 100,02 – 100,06 O Discrepancia = 100,06 – 100,02 4.3 Equivocación: : Es una diferencia muy grande entre una medición hecha a una magnitud y su verdadero valor. 
4.4.-Fuentes de errores 
NATURALES: Debido a la naturaleza. Como por ejemplo: Cambios de temperatura, viento, etc. MATERIALES: Debido al error del equipo ya que todo equipo tiene un error. PERSONALES: Debido al error humano
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4.5 Tipos de errores a.-Errores sistemáticos: Son errores que se pueden corregir por una fórmula. Por ejemplo que durante años hemos trabajado con una cinta métrica que dice tener 30 mts. pero cuando la comparamos con otra cinta mas precisa, resulta que realmente mide 30,025 m. ya que con el tiempo nuestra cinta ha ido cediendo. Es decir que cuando nosotros medimos 30 mts. con nuestra cinta, realmente estamos midiendo 30,025 mts. ¿Cuál será la longitud correcta del lado A-B, si cuando la medimos con nuestra cinta, ésta nos indica que dicha longitud es 20 m.? Longitud nominal de la cinta: 30 mts. Longitud verdadera de la cinta: 30,025 mts. Error de la cinta cuando dice medir 30 mts = 30,000 –30,025 Error de la cinta cuando dice medir 30 mts = -0,025 Corrección a la medición hecha con la cinta a los 30 mts. = 0,025 
Corrección a la medición hecha con la cinta a los 20 mts. = 0,025 Corrección a la medición hecha con la cinta a los 20 mts = 0,017 Longitud correcta del tramo A-B = 20 m. + 0,017 m. Longitud correcta del tramo A-B = 20,017 m. 
Observar: La corrección es sentido contrario al error. b,-Errores accidentales: Una vez corregidos los errores sistemáticos de una medición, esta continua teniendo errores que son imposibles de corregir ya que dependen del operador, la precisión del equipo o las condiciones variables de la atmósfera. Por estos errores es la razón por la cual resulta imposible determinar el verdadero valor de una magnitud. 4.6.- EL VALOR MÁS PROBABLE Como es imposible determinar el verdadero valor entonces lo que se determina es el valor más probable. 4.7.-DETERMINACIÓN DEL VALOR MÁS PROBABLE a) De una magnitud medida varias veces en igualdad de condiciones El valor mas probable es el promedio. Ejemplo: Se ha medido 5 veces la distancia P-Q. hallar el valor mas probable de dicha distancia.
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Datos: Vez medición 
1 42,45 
2 42,49 
3 42,44 
4 42,72 
5 42,45 
Solución: Se elimina la cuarta medición debido a que es muy diferente a las otras 4. Es obvio que si existieran mas mediciones que estén muy diferentes que las otras, entonces habrá que eliminarlas también. 
Promedio Promedio = 42,458 m. b) Con mediciones en igualdad de condiciones cuya suma exacta se conoce Ejemplo: Se han medido los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero en igualdad de condiciones: ángulo medición A 100º 15’ 10” B 30º 00’ 10” C 142º 37’ 30” D 87º 07’ 40” Solución: Sumatoria de los ángulos medidos = 360º 00’ 30” pero por condición geométrica dicha suma debe ser 360º . Entonces Error = 360º 00’ 30” - 360º = 30” 
Corrección a cada ángulo = 7.5” (redondeando a 7” o a 8”) corrigiendo ángulo medición corrección ángulos corregidos A 100º 15’ 10” - 8” 100º 15’ 02” B 30º 00’ 10” - 7” 30º 00’ 03” C 142º 37’ 30” - 8” 142º 37’ 22” D 87º 07’ 40” - 7” 87º 07’ 33” SUMA -30” 360º 00’ 00” Nota: Que ángulos corregir a 7” y cuales a 8” es indistinto, lo importante es que la suma de todas las correcciones sea igual al error total cambiado de signo.
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c) De varias magnitudes medidas en igualdad de condiciones cuya suma exacta ha sido medida Se determina la discrepancia que existe de la suma de las mediciones y la suma medida. La corrección por medición será: Corrección por medición = Discrepancia/número de mediciones (incluida la suma) Si a las mediciones se le suma la corrección, entonces a la suma medida se le resta dicha corrección y viceversa. Ejemplo: 
Se ha medido los tramos de la fachada de un edificio, primero se midió por partes y luego se midió la distancia total como se indica el gráfico. Se pide los valores mas probables de los ángulos. 
AB+BC+CD = 37,18 m. AD = 37,10 m. Discrepancia= 37,18-37,10 o Discrepancia= 37,10-37,18 Discrepancia = 0,08 Corrección a cada medida = 0,08/4 ------- > Corrección a cada medida = 0,02 Entonces a AB, BC y CD habrá que restarle dicha corrección ya que 37,18> 37,10, es decir estos 3 datos están medidos en exceso. Y a AD habrá que sumarle 0,02 ya que 37,10<37,18. Tramos Medición corrección Valor mas probable (en m.) AB 12,34 -0,02 12,32 BC 11,20 -0,02 11,18 AB 13,64 -0,02 13,62 AB 37,10 +0,02 37,12 Tarea: Se tiene un terreno rectangular de 100 m. x 50 m. si al medir el lado mas corto cometemos un error de 5 mm. ¿En cuanto aumentaría dicha área? ¿Qué conclusión práctica podría sacar de esta experiencia.
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Capítulo 4: NIVELACIÓN 
4.1 Definiciones 
a.-Nivelación 
Nivelar es determinar la altura de un punto respecto a una superficie de referencia 
B.-Cota o elevación 
Como ya se vio anteriormente, es la 
distancia vertical de un punto desde una 
superficie de referencia. 
c--SUPERFICIE DE REFERENCIA 
Pueden ser de 2 tipos 
El nivel medio del mar Una superficie cualquiera 
d.-NIVELACIÓN ABSOLUTA 
Se usa cuando es necesario trabajar con cotas respecto al nivel medio del mar (cotas absolutas). Se trabaja a partir de puntos llamados Bench Mark. 
e.-NIVELACIÓN RELATIVA 
Se usa cuando solo es necesario conocer el desnivel existente, sin necesidad de tomar como referencia el nivel del mar. En este caso solo se trabajan con cotas relativas debido a que la superficie de referencia es una superficie cualquiera (o sea no es el nivel promedio del mar). 
f.-BENCH MARK 
Es un punto cuyo cálculo de su cota absoluta ha sido realizado con alta precisión. En el Perú el IGN, es el que se encarga de dar los BM. Físicamente es una placa de bronce de 10 cm. 
La información del BM lo da el IGN a pedido del interesado. Una hoja con dicha información. 
3.2.-Clases de nivelación 
1,- Nivelación Directa o Geométrica 
2.- Nivelación Indirecta 
- Barométrica 
- Trigonométrica
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A continuación se va a detallar cada uno de ellos. 
4.3.- Nivelación Geométrica 
Se miden directamente los desniveles en el terreno. Para esto se utilizan 2 equipos: Nivel y elemento vertical graduado. 
a.- Equipos y accesorios 
Nivel: Es el instrumento que define un plano horizontal, y permite realizar mediciones verticales con lo que corta dicho plano. Bajo esta definición podemos llamar nivel a: Nivel de manguera, nivel de mano, nivel de ingeniero. 
Nivel de mano Nivel de Ingeniero 
La fotografía del nivel de mano ha sido tomada del libro “Topografía práctica” del Ing. Jorge Mendoza D. 
Nivel de manguera 
Elemento vertical graduado: Si se va a trabajar con nivel de manguera o de mano, posiblemente sea suficiente usar como dicho elemento vertical: una wincha. Sin embargo si se utiliza nivel de ingeniero entonces habrá una regla graduada de madera llamada: MIRA.
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La MIRA, es una regla graduada, con marcas hasta el centímetro y agrupadas de 10 en 10 cm. 
Si la mira es de madera, se encuentra protegida en sus bordes por un elemento metálico que evita el desgaste. 
Mira de código: esta mira tiene códigos de 
barras en vez de graduación métrica ya que 
el nivel usado es el electrónico que permite 
leer estos códigos. 
Mira parlante: es la clásica mira con graduación cada cm. y agrupadas de 10 cm. en 10 cm. 
b.-Forma de realizar una lectura en mira 
b.1) Con el ocular del nivel aclarar los hilos del retículo, 
b,2) con la puntería del nivel visar aproximadamente la mira, 
b.3) bloquear el anteojo para que no se mueva (si es que el equipo tiene bloqueos), 
b.4) con el enfoque aclarar la imagen que estamos viendo. 
b.5) con el tangencial del equipo visar exactamente al medio de la mira como se observa en el gráfico, 
b.6) realizar la lectura: por ejemplo observamos que estamos en 14 decímetros y algo menos de 2 centímetros, aproximando los milímetros, la lectura será: 14 decímetros, 1 centimetro y 8 milímetros. En metros leeremos: 1,418 m
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Retículo: es el círculo de vidrio que se ve en el antejo. 
Cruz filiar: es una cruz que se encuentra en el centro de la 
visión y hacia donde debemos leer en la mira. 
Tarea: averiguar que lectura tenemos en esta mira: 
Tarea: marcar en la mira las siguientes lecturas: 3,408 y 3,500 
4.4 Tipos de nivelación geométrica 
- Nivelación geométrica simple 
- Nivelación geométrica compuesta
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4.5 Nivelación geométrica simple 
Se calcula la cota de uno o más puntos del terreno, teniendo la cota de un punto conocido y colocada el nivel en una sola estación. 
a-EJEMPLO 1: 
perfil 
planta 
VISTA ATRÁS ( L+): Lectura en la mira que se encuentra sobre un punto de cota conocida. Por ejemplo que la cota de A sea 100,000 m.s.n.m. y la vista atrás sea: 1,855 mts. 
VISTA ADELANTE (L-) : Lectura en la mira que se encuentra sobre un punto de cota por conocer. Por ejemplo que se desea conocer la cota de B, entonces la vista delante de B será: 0,721 mts. 
Del gráfico del perfil se puede observar que: 
COTA DE B = COTA DE A + VISTA ATRÁS DE A - VISTA DELANTE DE B 
Ojo 
La cota conocida + su vista atrás = Altura instrumental
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Cota de B = 100,000 + 1,855-0,721 
Cota de B = 101,855 - 0,721 
En libreta se anotará así ( las flechas no se indican) 
b.-Ejemplo 2: 
También se puede calcular las cotas de varios puntos, si tenemos conocida la cota del punto A, 
podemos calcular las cotas de otros puntos (B, C,D), si es que podemos estacionar el nivel en una 
posición desde la cual se puedan ver todos los puntos (A,B,C,D). 
c.-Ejemplo 3 
La cota del punto Q es 123,432 m. a partir de dicha cota se pide determinar las cotas de 
los puntos P,R y S. Para lo que se coloca el nivel en un sitio desde donde se ven todos los 
puntos. 
A continuación se muestra un perfil de los puntos donde las lecturas en la mira que se 
obtuvieron se muestran al costado de la línea de visual. Todos los datos están en metros. 
Se pide: llenar los datos en el formato de libreta de campo y calcular las cotas de todos los 
puntos.
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Solución: 
Observar que la vista atrás es a la lectura en el punto Q ya que tiene cota conocida, las demás lecturas son vistas adelante ya que ninguno de los puntos tiene cota conocida. Además desde una posición del nivel, sólo puede haber una sola vista atrás y puede tener una o más vista adelante como en nuestro caso. 
Punto 
Distancia 
V.atrás 
V.adelante 
cota 
Q 
1,404 
124,836 
123,432 
P 
0,798 
124,038 
R 
1,321 
123,151 
S 
0,796 
124.040 
d.- Recomendaciones 
* Es preferible que el nivel se coloque aproximadamente equidistante a los puntos a nivelar. Esto para eliminar los pequeños errores por curvatura terrestre y refracción atmosférica. 
* Colocar la mira en completa verticalidad. Dicha verticalidad se puede conseguir con una plomada o un nivel de mano. Si no se dispone de dichos accesorios, se puede bascular ligeramente la mira de atrás a adelante y viceversa. Cuando en el anteojo se ve la menor lectura, dicho valor es el que se anota. 
* Evitar colocar distancias muy largas entre el nivel y la mira, preferiblemente como máximo 50 mts. Para evitar demasiados errores. 
3.6 Nivelación geométrica compuesta 
Es una serie de nivelaciones geométricas simples relacionadas entre sí. Se utiliza cuando la distancia entre 2 puntos a nivelar es demasiado, o cuando tienen mucho desnivel o cuando se desea conocer el error de la nivelación o cualquier combinación de las 3 anteriores. 
a.-Ejemplo 1 
Se desea calcular el desnivel ente A y B, pero no existe ningún sitio donde se pueda colocar en nivel, desde donde se vean ambos puntos. Entonces de procederá a realizar una nivelación geométrica compuesta.
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En este ejemplo, ya que no podemos nivelar directamente entre A y B debido a que están muy lejos y 
tienen muchos obstáculos; procederemos a nivelar entre A y 1. (el punto 1 está mas cerca de B, que 
el punto A). En esta nivelación se tiene como dato la cota de A y lo que se desea conocer es la cota 
del punto 1. 
Punto Distancia V.atrás 
V.adelante cota 
A 2,540 100,000 
1 90 1,420 
Luego se procede a nivelar entre 
otro par de puntos, por ejemplo 
entre 1 y 2, donde por la nivelación 
anterior se puede conocer la cota 
de 1 y mediante esta nivelación se 
determina la cota de 2. 
Punto Distancia V.atrás 
V.adelante cota 
1 0,560 
2 102 2,530 
Luego entre 2 y 3
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Luego entre 3 y B. 
Punto Distancia V.atrás 
V.adelante cota 
3 2,659 
b 76 1,822 
De esta manera podemos calcular la cota de B. 
La libreta de campo será llenada de la siguiente manera. 
Punto Distancia 
parcial(m.) 
Vista atras 
Vista adelante Cota 
A 2.540 100,000 
1 90 0,560 1.420 
2 102 1,443 2,530 
3 102 2,659 0.543 
B 1.822 
Punto Distancia V.atrás 
V.adelante cota 
2 1,443 
3 102 0,543
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Y las cotas se determinaran mediante un trabajo de gabinete. 
Punto 
Distancia parcial(mts) 
Vista atras 
Vista adelante 
Cota 
A 
2.540 
102.540 
100,000 
1 
90 
0,560 
101,680 
1.420 
101,120 
2 
102 
1,443 
100,593 
2,530 
99,150 
3 
102 
2,659 
102,709 
0,543 
100,050 
B 
76 
1.822 
100.887 
Ahora, si deseamos determinar el error de nuestra nivelación, procedemos de manera inversa. O sea conocida la cota de B, determinamos la cota de A, la cual nos debería dar el mismo valor .( es decir 100,000 ). Se puede volver por los mismos puntos anteriores o por otros. 
FINALMENTE EL CUADRO LLE- NADO CON LOS PUNTOS DE VUELTA Y DETERMINANDO LA COTA DE A, PARA VERIFICAR CON LOS DATOS: 
Punto 
Distancia parcial(mts) 
Vista atras 
Vista adelante 
Cota 
A 
2.540 
102.540 
100,000 
1 
90 
0,560 
101,680 
1.420 
101,120 
2 
102 
1,443 
100,593 
2,530 
99,150 
3 
102 
2,659 
102,709 
0,543 
100,050 
B 
76 
1,732 
102.619 
1.822 
100.887 
4 
125 
1,705 
102,381 
1,943 
100,676 
5 
120 
0.900 
101.481 
1,800 
101,581 
A 
86 
1.471 
100,010 
SUMA 701 11,539 11,529
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Ahora deberemos determinar el error de la nivelación en esta NIVELACIÓN CERRADA DE CIRCUITO 
(Se llama cerrada porque termina en un punto que tiene cota y se llama “de circuito” porque el 
punto de llegada es el mismo que el de partida). Hay dos maneras conocer este error de nivelación: 
1) ERROR DE NIVELACIÓN =SUMA DE V. ATRÁS – SUMA DE V. ADELANTE 
ERROR EN NIVELACION = 11,539 – 11,529 
ERROR EN NIVELACIÓN = 0,010 
2) ERROR DE NIV. = COTA DE UN PUNTO (CALCULADA) – COTA DEL MISMO PUNTO (DATO). 
ERROR EN NIVELACIÓN = 100,010 – 100,000 
ERROR EN NIVELACIÓN = 0,010 
Este error deberá ser comparado con la tolerancia máxima permitida para ver si no nos 
excedemos de dicha tolerancia. 
Si deseamos una nivelación ordinaria que es la más común, entonces la tolerancia es: 
Tolerancia en niv. Ordinaria = 0,02 0,701 
Tolerancia en niv. Ordinaria = 0,017 
Observamos que: 
0,010 < 0,017 estamos bien. O sea podemos compensar. 
Si el error hubiese sido mayor que la tolerancia, entonces hubiese sido necesario volver a realizar la 
nivelación. 
COMPENSACIÓN DEL ERROR : 
Si el error está dentro de lo permisible procedemos a compensar las cotas: La compensación 
se basará en los criterios de la teoría de las observaciones o sea : 
A mayor distancia medida, mayor error. 
A mayor error, mayor corrección 
Los errores se comenten en la misma dirección y sentido. 
Todas las mediciones fueron realizadas en igualdad de condiciones 
Corrección de la cota de un punto = - error de nivelación * Distancia acumulada hasta el punto 
Distancia total nivelada 
Por lo que observamos tendremos que calcular las distancias acumuladas para todos los puntos. 
El cuadro con las distancias acumuladas, las correcciones y las cotas corregidas, se muestran a 
continuación:
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Punto Distancia 
acumulada 
Cota sin corregir Corrección Cota corregida 
A 100,000 -0,000 100,000 
1 90 101,120 -0,001 101,119 
2 192 99,150 -0,003 99,147 
3 294 100,050 -0,004 100,046 
B 370 100.887 -0,005 100,882 
4 495 100,676 -0,007 100,669 
5 615 101,581 -0,009 101,572 
A 701 100,010 -0,010 100,000 
b.-Tolerancias permisibles 
La tolerancia está dada por la expresión : e K mts. 
Donde e = error kilométrico (mts) Depende del tipo de nivelación compuesta que se requiera. 
K = distancia nivelada en Kilómetros. 
TIPOS: 
Nivelación aproximada: e = 0,10 Se usa para levantamientos preliminares. 
Nivelación ordinaria : e = 0,02 Se usa en trabajos de ingeniería y arquitectura. Proyectos 
definitivos, etc. Los puntos donde se coloque la mira no deben tener 
asentamiento, como por ejemplo no pararse sobre tierra suelta. 
Nivelación precisa: : e = 0,01 Se usa para trabajos de desagüe y canales. Los puntos donde se 
coloque la mira deben estar fijos. 
Nivelación de alta precisión : e = 0,004 Se usa para determinar BM. Tiene muchas 
especificaciones, entre las que se menciona que los niveles deben ser de alta 
precisión como lo son los niveles geodésicos, colocar sombrilla al nivel si 
hace mucho sol, etc. 
c.-Puntos de cambio y puntos intermedios 
Puntos de cambio : Son puntos que tienen vista atrás y vista adelante. Para efectos de cálculo los 
puntos: inicio y fin de una nivelación son considerados como puntos de cambio. 
Puntos intermedios: Son puntos que solo tienen vista adelante.
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d.- Ejemplo 1 
por ejemplo: COTA DE A = 102,000 Vista atrás de A = 1,323 Vista adelante de B = 1,456 Vista adelante de C = 1,544 Vista adelante de D = 0,454 Vista atrás de D = 0,349 Vista adelante de E = 1,654 Vista adelante de F = 1,432 LA LIBRETA DE CAMPO SE DEBERÁ LLENAR ASÍ: 
PUNTO 
DIST. PARCIAL 
VISTA ATRAS 
VISTA ADEL. 
COTA 
A 
1,323 
103,323 
102,000 
B 
20 
1,456 
101,867 
C 
20 
1,544 
101,779 
D 
20 
0,349 
103,218 
0,454 
102,869 
E 
20 
1,654 
101,564 
F 
20 
1,432 
101,787 
Si queremos saber si nuestra nivelación está dentro de la tolerancia permitida habrá que comparar nuestra cota obtenida con el “verdadero” valor de dicha cota. Si la cota “verdadera” de F fuese 101,793, entonces: Error en nivelación = 101,787 -101,793 Error en nivelación = -0,006
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Tolerancia en nivelación ordinaria = 0,02 0,100 = 0,006 
0,006 0,006 Si cumple, entonces se procede a corregir 
PUNTO DISTANC. 
ACUMULADA 
COTA 
SIN CORREGIR 
CORRECCIÓN COTA CORREGIDA 
A 102,000 0,000 102,000 
B 20 101,867 0,001 100.868 
C 40 101,779 0,002 101.78| 
D 60 102,869 0,004 102.873 
E 80 101,564 0,005 101.569 
F 100 101,787 +0,006 101,793 
4.6 PERFIL LONGITUDINAL 
Es la representación del relieve del terreno a lo largo de un trazo longitudinal como una poligonal, 
camino, ferrocarril, etc. Se toman las cotas de puntos a lo largo del trazo, gene-ralmente cada 20 m. 
en tramos rectos ,cada 10 m. en tramos curvos y en puntos notables como: cada cambio importante 
de pendiente, al inicio y al final, en los cambios de dirección, principio de curva (PC) y final de curva 
(PT). 
Para una mejor visualización del perfil, la escala vertical es mayor que la horizontal. Generalmente se 
utiliza 10 veces mayor la vertical que la horizontal. 
Por ejemplo: Si la escala horizontal es 1/500, la vertical será 1/50 
EJE LONGITUINAL
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Capítulo 5: ORIENTACIÓN Y MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALES 
TODO TRABAJO REQUIERE DE UNA ORIENTACIÓN RESPECTO A UNA LÍNEA DE REFERENCIA. ES DECIR EL ÁNGULO HORIZONTAL EN SENTIDO HORARIO DE LA LÍNEA DE REFERENCIA HACIA UNA LÍNEA DE NUESTRO TRABAJO. 5.1 Tipos de referencia 
a) RELATIVA 
b) NORTE CONOCIDO 
a) ORIENTACIÓN RELATIVA: En este caso se toma como línea de orientación una conocida. Por ejemplo el borde de una propiedad, el borde de una pista, etc. Se usa cuando no es necesario conocer el norte exacto. En estos casos también a la orientación relativa se le llama NORTE RELATIVO. 
PUNTOCOTA TERRENOCOTA RASANTE0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24 24+9,1420,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 9,1420,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 200,00 210,00 249,14122120118116116,851 117.145 118,298 117,208 116,555 117,188 118,408 118,800 118,904 118,994 119,258 119,895 120,943 121,512
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Un ejemplo claro del uso del norte relativo es en los planos arquitectónicos de viviendas, las cuales se orientan con la dirección de la calle o con uno de los bordes de la vivienda. 
b) ORIENTACIÓN RESPECTO A UN NORTE CONOCIDO: En este caso existen 3 tipos de norte conocido: 
b.1) Norte magnético: Lo determina la brújula. La aguja de la brújula indica el polo norte magnético. La tierra es como un imán gigante con dos polos, las agujas imantadas terrestres apuntan siempre a dichos polos. El problema es que estos polos cambian de posición en el transcurso de los años, por lo tanto cuando se orienta con brújula es necesario indicar cual fue la fecha del trabajo. En los planos este norte se indica mediante una flecha donde en su punta se indica: N.M. 
Brújula 
Fuente del gráfico: El Calatífico, periódico científico 
Buenos Aires, Argentina. 
b.2) Norte geográfico o Norte verdadero: Se orienta con la línea que indica hacia el polo norte geográfico. El Norte geográfico y el Sur geográfico pertenecen al eje alrededor del cual gira la tierra.
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Si estamos estacionados sobre un punto y queremos saber en que dirección está nuestro norte geográfico, bastará con encontrar un punto que está mas hacia el norte pero que tiene la misma longitud (l) que nuestro punto. Así por ejemplo si tenemos 2 puntos cuyas coordenadas geográficas son: Punto A Latitud : 12º 34’23,00” sur Longitud: 77º 33’12,50” Oeste 
Punto B 
Latitud: 12º 32’44,00” sur 
Longitud: 77º 33’12,50 oeste 
Entonces la dirección A-B indica el norte geográfico. 
Generalmente el norte geográfico se indica con una flecha que en la parte superior se indica: NG o NV o el dibujo de una estrella de 5 puntas. 
b.3) Norte UTM o norte de cuadrícula: indica una dirección paralela al meridiano central de su zona. Los puntos que se encuentran a lo largo de dicha dirección tendrán las mismas coordenadas en el eje ESTE (X). El eje vertical de la carta nacional indica el norte de cuadrícula. 
Por ejemplo 
Si A tiene coordenadas 8680400 NORTE, 493000 ESTE Y C tiene coordenadas 8682400 NORTE, 493000 ESTE Observamos que el punto C está más al norte que el A, la dirección A-C está indicando el Norte UTM o norte de cuadrícula. Generalmente está representado con una flecha que en la parte superior indica: NC. Mayor información respecto al norte de cuadrícula la va a ver en el curso de extensión: GPS o Geodésia. 
5.2 AZIMUT DE UNA LÍNEA 
Es el ángulo horizontal en sentido horario formado por dos direcciones: La dirección Norte con la dirección de la Línea cuyo azimut se desea saber. El azimut se encuentra entre los siguientes valores: 
Observar que el azimut de AD es mucho mayor que el azimut de AB. 
¿Y existe azimut negativo? 
Los azimuts son expresados en sentido horario y son positivos, entonces un azimut en sentido anti horario sería negativo como es observa en el gráfico
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siguiente: Azimut de P-Q = -33º (es negativo porque está en sentido antihorario) Deberemos convertirlo a horario sumándole 360º. Azimut de P-Q = 327º (se obtiene así: -33º+360º) 
3.3 RUMBO DE UNA LÍNEA O ALINEAMIENTO 
Es el menor ángulo formado por la línea Norte- Sur con una dirección dada. 
Rumbo de PQ = N 54º E 
= 54º noreste 
Rumbo de PR = S 73º O o S 73º W (*) 
= 73º suroeste 
(*) A veces se prefiere escribir W de west en vez de O de oeste. La razón de esto es que la letra O se puede confundir con el número cero. 
Tarea: Si en el gráfico siguiente se sabe los azimuts, determinar los rumbos:
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5.4 Azimut directo y Azimut inverso 
Veamos el gráfico siguiente: 
AZIMUT DE A-B AZIMUT DE B-A 
Al azimut de AB también se le llama AZIMUT DIRECTO DE A-B. 
Al azimut de BA también se le llama AZIMUT INVERSO DE A-B 
LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS AZIMUTS ES O 180 
Por ejemplo si el Azimut de AB es 60º 30’. ¿Cuál será el azimut inverso de A-B, llamado también el 
azimut de B-A? 
Solución: Azimut de B-A = 60º 30’ + 180º, en este caso si se le resta 180º el resultado saldría 
negativo y el azimut no puede ni ser negativo ni mayor 
de 360º ). 
Azimut de B-A = 240º 30’ 
Además se observa que los valores absolutos de ambos rumbos deben ser iguales pero con dirección 
contraria, asi: 
Rumbo de AB = 60º 30’ NORESTE 
Rumbo de BA = 60º 30’ SUROESTE
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ATRACCIÓN LOCAL 
La brújula en su aguja magnética suele sufrir desviaciones o atracciones, debidas a objetos cercanos o también relativamente cercanos que ejercen una atracción magnética llamada atracción local sobre ella. Esto se debe a la existencia de alguna acumulación de metales en el terreno, torres de transmisión, rieles de un ferrocarril, radios, etc. Si las mediciones de azimut directo e inverso no difieren en 180º ( o si sus valores absolutos no son iguales) es porque posiblemente hay atracción local. 
Ejemplo: Observar que el imán hace que el norte que indica la brújula en A, no sea paralela al norte que indicia en B, por lo que la diferencia de azimuts no será 180º. 
5.5 MEDICIÓN DE ÁNGULOS TENIENDO LOS AZIMUTS DE LAS DOS DIRECCIONES QUE COMPRENDEN EL ÁNGULO. 
En estos casos lo mejor es hacer un croquis para ver que operación aritmética voy a realizar. 
Por ejemplo, para calcular el ángulo ABC. Habrá que restar los azimuts: Azimut de BC- Azimut de BA. 
Ángulo A-B-C = ZBC - ZBA 
Por ejemplo, si deseo el ángulo CBA. Habrá que calcular cuanto vale el ángulo C-B-NORTE. Y luego sumarle el Azimut de BA. Entonces: 
Ángulo C-B-A = ( 360- ZCB)+ ZB 
Tarea: Hallar el ángulo R-S-T 
Azimut de ST = 43o 10’ y Azimut de SR = 291o 20’ 
Nota: También se puede calcular el ángulo mediante la resta del azimut de llegada menos el azimut de partida. Solo que si éste resulta negativo, entonces se le suma 360º para tener un ángulo positivo. 
Ejemplo: El ángulo R-S-T se calculará así:
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Azimut de llegada: S-T y azimut de partida S-R 
entonces el ángulo se calcularía así: ángulo R-S-T = 43º 10’ – 291º 20” ángulo R-S-T = -248o10’ (como el ángulo es negativo se le suma 360º ) ángulo R-S-T = 111º 50’ CAPITULO 6.0 COORDENADAS RECTANGULARES 
A todo punto de la superficie de la tierra se le puede asignar coordenadas rectangulares. Asignando a la dirección Oeste- Este, el eje X, y a la dirección Sur- Norte, el eje Y. Al eje X también se le llama eje ESTE, y al eje Y también se le llama eje NORTE. 
Respecto al origen de estos ejes coordenados estos pueden ser: Absolutos: Si es que el origen de coordenadas es UTM (Universal Transversa Mercator). Relativos: Si es que el origen de coordenadas lo determina el usuario de acuerdo a su critero o asigna coordenadas a un punto del trabajo para que todos los demás puntos tengan posición relativa a dicho punto. Por ejemplo si al punto A se asigna las coordenadas = (500 ESTE; 600 NORTE), entonces si el punto B tiene coordenadas = ( 800 Este; 800 Norte) significa que el punto B se encuentra 300 metros al este de A y 200 metros al norte de B. Hacer un gráfico para darse cuenta. 
a.- CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE UN PUNTO 
Se puede conocer las coordenadas de un punto teniendo las coordenadas de otro punto, el azimut y la distancia entre ambos puntos. Como se muestra en la figura. 
XA-BYA-BYAXAABZA-B DHA-B
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Los datos son: DHA-B = Distancia horizontal de A a B ZA-B = AZIMUT de A-B XA = Coordenada Este del punto A YA = Coordenada Norte del punto A se pide conocer las coordenadas del punto B: XB= Coordenada Este del punto A YB = Coordenada Norte del punto A procedimiento: Paso 1: Cálculo de proyecciones en ambos ejes: DXA-B= proyección en ESTE de la distancia horizontal A-B; DYA-B= proyección en NORTE de la distancia horizontal A-B. DXA-B= DHA-B SENO (ZA-B) DYA-B= DHA-B COSENO (ZA-B) Paso 2: Si se tiene como dato las coordenadas de A y los valores de las proyecciones DXA-B , DYA-B, se puede calcular fácilmente las coordenadas de B. Mediante XB = XA + DXA-B ^ YB = YA + DYA-B Así por ejemplo si las coordenadas de A son: ( 400 m. Este; 500 m. Norte) el azimut de A-B es 46º 23’ 40” y la distancia horizontal A-B es 203 m. Para calcular las coordenadas del punto B procederemos de la siguiente manera: Cálculos de DXA-B , DYA-B DXA-B = 203 seno (46o 23’ 40”) DXA-B = 146,99 DYA-B = 203 coseno(46o 23’ 40”) DYA-B = 140,01 Cálculo de las coordenadas de B. XB = 400+146,99 XB = 546,99 mts. YB = 500+ 140,01 YB = 640,01 mts. Ejemplo 1: El gráfico en planta de la derecha muestra una poligonal en la que se tiene los azimuts y las distancias horizontales de todos los lados como se muestra en el cuadro siguiente:
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Lado 
Azimut 
Distancia horizontal (m.) 
A-B 
64º 
120,00 
B-C 
152º 
88,88 
C-D 
225º 
91,50 
D-E 
112º 
100,00 
Además se sabe que las coordenadas del punto A son: 500,00 Este; 600 Norte. 
Se pide: 
a) calcular las coordenadas de todos vértices de la poligonal, 
b) calcular los rumbos de todos los lados de la poligonal. 
Solución: 
a) Para calcular las coordenadas de todos los vértices tenemos como dato las coordenadas del punto A y los respectivos azimuts y distancias de los lados. Entonces vamos a calcular las proyecciones en Este y Norte de todos los lados, ver el siguiente cuadro: 
Lado 
Azimut 
Distancia horizontal (m.) 
Proyección en X (DX) 
Proyección en Y (DY) 
A-B 
64º 
120,00 
107,86 
52,60 
B-C 
152º 
88,88 
41,73 
-78,48 
C-D 
225º 
91,50 
-64,70 
-64.70 
D-E 
112º 
100,00 
92,72 
-37.46 
Luego calculamos las coordenadas de los vértices. Primero calculamos las coordenadas del punto B de la siguiente manera: XB = XA + DXA-B ------> XB= 500,00+107,86 ------> XB= 607,86 m. YB = YA + DYA-B ------> YB= 600,00+ 52,60 ------> YB= 652,60 m. Ahora hallamos las coordenadas del punto C (observar el gráfico de esta página): XC = XB + DXB-C ------> XC= 607,86+41,73 ------> XC= 649,59 m. YC = YB + DYB-C ------> YC= 652,60+(-78.48) ------> Yc= 574,12 m. De igual manera hallamos las siguientes coordenadas: 
XD = XC + DXC-D ------> XD= 649,59+(-64.70) ------> XD= 584.89 m.
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YD = YC + DYC-D ------> YD= 574.12+(-64.70) ------> YD= 509,42 m. XE = XD + DXD-E ------> XE= 584,89+92.72 ------> XE= 677,61 m. YE = YD + DYD-E ------> YE= 509.42+(-37.46) ------> YE= 471,96 m. 
b) Cálculo de los rumbos 
Ejemplo 2: Desde un punto A de una poligonal se levantaron por radiación los puntos: 1; 2; 3 y 4. Los datos a los puntos levantados fueron: Azimut y distancia desde el punto A hasta cada uno de los puntos. El croquis y los datos de campo se muestran a continuación: 
Punto 
Punto levanta- do 
Distancia horizontal m. (DH) 
Azimut (Z) 
A 
1 
30 
30º 00’ 00’ 
2 
40 
120º 30’ 30” 
3 
35 
200º 20’ 30” 
4 
29 
300º 30’ 50”
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Se pide las determinar las coordenadas de los puntos levantados, con dos decimales de precisión. Solución: 
a) Hallar las proyecciones en X e Y para cada una de las distancias. 
lado 
DX (DH SEN Z) 
DY (DH COS Z) 
A-1 
15,00 
25.98 
A-2 
34.46 
-20.31 
A-3 
-12.17 
-32.82 
A-4 
-24.98 
14.72 
b) Cálculo de coordenadas 
Observar que todas las mediciones han sido medidas a partir del punto A. 
Punto 
Este ( m.) 
Norte (m.) 
1 
231,00+ 15,0 = 246,00 
438,00+ 25.98 = 463,98 
2 
231,00+34.46 = 265,46 
438,00+(-20.31)= 417,69 
3 
231,00+(-12.17)= 218,84 
438,00+(-32,82)= 405,18 
4 
231,00+(-24,98)=206,02 
438,00+ 14.72 = 452.72 
Tarea: Se tienen los siguientes datos: 
Coordenadas del punto P = (540,00 m. Este; 400,00 Norte) 
Azimut de Q-P = 143º 10’ 30” 
Distancia horizontal de P-Q = 439 m. 
Se pide: calcular las coordenadas del punto Q 
Respuesta: 
XQ = 276,88 m. 
YQ= 751.41 m. 
Cálculo de la distancia horizontal teniendo las coordenadas de 2 puntos 
Sean A = ( XA ; YA ) y B = (XB ; YB) las coordenadas de los dos puntos.
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Se realizan los siguientes cálculos: 
DXA-B = XB – XA 
DYA-B = YB – YA 
Con lo que finalmente: DH = DX2 
A-B + DY2 
A-B 
Cálculo de azimut de la línea conociendo las coordenada 
Sean los puntos A y B cuyas coordenadas se conocen y se desea saber cual es el azimut de A-B 
(ZA-B) 
DXA-B = XB- XA 
DYA-B = YB- YA 
Caso 1: 
Si el azimut se encuentra en el primer o segundo cuadrante: Es decir si YB>YA 
Entonces el 
azimut de A-B será: 
ZA-B = 
Ejemplo 1.a: Si XA = 490 ; YA = 600 y XB = 560 ; YB = 700 
ZA-B =
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ZA-B = ArcoTangente (0,70) ZA-B = 34º 59’ 31 
Ejemplo 1.b Si XA = 520 ; YA = 560 y XB = 230 ; YB = 800 
ZA-B = ZA-B = arcotangente (-1,2083333) ZA-B = -50º 23’ 22” El azimut sale negativo, es decir el ángulo no está indicado del norte a la izquierda sino del norte a la derecha. Pero como se dijo en clase es mejor expresar el azimut en valores entre 0° y 360º, por lo que el azimut calculado se expresará en: ZA-B = 360º -50º 23’ 22” ZA-B = 309º 36’ 38” Caso 2: Si el azimut se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante: Es decir si YB<YA 
El azimut se calculará de la siguiente manera: 
a = y luego; ZA-B = 180o + a
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Ejemplo 2.a: Si XA = 540 ; YA = 700 y XB = 610 ; YB = 610 
a = a = arcotangente (-0,777777777) a = -37º 52’ 30” Entonces ZA-B = 180o + (-37º 52’ 30”) ZA-B = 142º 07’ 30” 
Ejemplo 2.b: Si XA = 450 ; YA = 720 y XB = 200 ; YB = 610 
a = a = arcotangente (2,2727272) a = 66º 15’ 02” Entonces ZA-B = 180o + (66º 15’ 02”) ZA-B = 246o 15’ 02” 
Ejemplo 2.c XA = 430 ; YA = 710 y XB = 430 ; YB = 190 
a = a = arcotangente (0) a = 00º 00’ 00” Entonces: ZA-B = 180o + (00º 00’ 00”) 
ZA-B = 180o 00’ 00”
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Caso 3: Si YB=YA, entonces el azimut es: Si XB>XA, entonces ZA-B = 90º 00’ 00” Si XB<XA, entonces ZA-B = 270º 00’ 00” CAPÍTULO 7: RED DE APOYO 
Es la forma como se encuentran relacionados los puntos topográficos entre si de modo que sirvan de apoyo para un levantamiento. Existen 3 tipos: 
a.- TRIANGULACION 
Se forman triángulos entre los puntos topográficos. Se miden los ángulos de los tríangulos y sólo se mide uno de los lados, generalmente el más largo. 
Observar que midiendo estos 3 ángulos y una distancia la red está totalmente determinada. Si sólo se hubiesen medido los ángulos, la red no estaría determinada ya que existen infinitos triángulos de diferentes tamaños que tienen dichos tres ángulos. 
Claro que si hay más puntos topográficos se procede de manera similar, por ejemplo: 
En este ejemplo hay 6 puntos topográficos, se han formado triángulos, se ha medido un lado y los 15 ángulos. La figura está perfectamente definida. 
La red de triangulación era muy usada el siglo pasado debido a que sólo se medía una distancia. Sin embargo ha pasado al desuso con los distanciómetros electrónicos.
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b.- TRILATERACION 
Al igual que triangulación, se forman triángulos entre los puntos topográficos. Luego se miden todas las distancias de los triángulos, es decir ya no es necesario medir los ángulos. Y al igual que el caso anterior, si hay más triángulos se miden más lados. Con sólo medir las longitudes de los lados, la figura está perfectamente determinada. 
c.-POLIGONACION 
La poligonación en la Red de apoyo más usada en la actualidad. Se forma un polígono con los puntos topográficos y se miden los ángulos y las distancias de dicha poligonal. El trabajo de campo de la poligonal puede realizarse de 2 maneras: Mediante mediciones: en el campo se miden ángulos y distancias y luego con estos datos en el gabinete se procede a calcular las coordenadas de la poligonal y de los puntos levantados. 
Mediante coordenadas: las coordenadas de los puntos del terreno son calculadas directamente en el campo. Para esto se usan los equipos llamados “estaciones totales” ya que estos tienen programas informáticos que permiten realizar cálculos de coordenadas durante el levantamiento. 
En el gráfico se muestran dos poligonales, observar que pueden ser figuras irregulares y que los puntos topográficos son representados mediante dos círculos. 
Los ángulos medidos pueden ser interiores como en el gráfico de la izquierda o exteriores con en el gráfico de la derecha. 
- Condición geométrica
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Si los ángulos son interiores se debe cumplir que: 
Suma de los ángulos internos = 180(n-2) 
Si los ángulos son exteriores se debe cumplir que: 
Suma de los ángulos exteriores =180(n+2) 
tolerancias permisibles 
Para ángulos 
Tolerancia = Error del equipo * n 
El error del equipo en los equipos mecánicos en la menor graduación. Por ejemplo en la 
brújula que se sacó al campo, su error era de 5º . En el caso de equipos electrónicos su error es el 
Error probable de la medición (es un valor estadístico). Este valor lo dan los catálogos del equipo. 
Tarea: Revisar algunos catálogos de equipos topográficos que miden ángulos e indicar su error 
angular. 
Para distancias 
El error se llama error lineal y la tolerancia está expresada en error relativo, o sea: 
Error relativo = 
M 
1 
Donde M = Perímetro/Error lineal 
Tolerancia Clase de levantamiento 
1/800 Levantamiento en terrenos de muy poco valor. 
Generalmente rurales. 
1/1000 a 1/3000 Levantamientos mediante taquimetría en terrenos 
de mediano valor. Generalmente rurales. 
1/3000 a 1/6000 Levantamientos urbanos y rurales con cierto valor. 
1/6000 en adelante Levantamientos en ciudades y terrenos con valor 
considerable.
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7.3.- LEVANTAMIENTO DE DETALLES Como se explicó al principio, la poligonal se realiza para que a partir de ésta se levanten los detalles del terreno. Existen múltiples maneras de realizar un levantamiento de los detalles. C.1.a. Por intersecciones de distancias (Resección) 
Los detalles se ubican con dos distancias a puntos conocidos. C.1.b Por radiación Este es el tipo de levantamiento mas usado.
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Por perpendiculares Se trazan perpendiculares a los lados de la red de apoyo y se miden las distancias. 
7.4 Trabajos con las redes de apoyo 
a) Levantamiento con wincha. 
En los levantamientos con wincha es preferible usar la red de apoyo llamada trilateración, ya que en esta red no se miden ángulos. 
Por ejemplo, deseamos realizar el levantamiento de un parque de forma irregular con bancas, veredas y una pileta central. 
a.1) Primero deberemos realizar una red de apoyo. Como se explicó, se usará la trilateración. El número de triángulos dependerá de la extensión del terreno, además se recomienda lo siguiente:
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a-2) Los lados de los triángulos deben coincidir con algunos lados notables de la triangulación. En nuestro ejemplo, el lado A-C coincide con un borde de una vereda. 
a-3) Medir las distancias de los lados. Durante este proceso es conveniente dejar marcados algunos puntos sobre dichos lados y cuya distancia sea conocida. 
Ejemplo: Se midió la distancia A-E, pero además se dejo una estaca a la mitad de la distancia, como se observa en el gráfico el punto 1. 
Si se puede dejar marcados dichos puntos sobre detalles notables del levantamiento, mucho mejor. Por ejemplo al medir A-C se dejó 3 puntos notables: a la mitad de la vereda, al final de la vereda y en la intersección con la pileta central.
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Una vez medidas todas las distancias y marcados puntos importantes, entonces el croquis sería algo similar a lo indicado abajo. 
a.4) Después se procede a realizar el levantamiento de los detalles. * Cada detalle se puede ubicar a partir de 2 puntos marcados anteriormente. Ejemplos: El punto 11 que es el vértice de una banca puede ser ubicado mediante dos distancias: de 8 a 
11 y de E a 11 (método de 
resección).
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De igual manera, el vértice 12 puede ubicarse mediante las distancias hacia los mismos 
puntos: E y 8. 
Otra manera de ubicar puntos es mediante perpendiculares partiendo de un punto y una dirección conocida. Por ejemplo como los puntos 11 y 12 definen uno de los lados del paralelogramo que se desea levantar, bastará con medir la longitud del otro lado y por perpendiculares se podrá dibujar el paralelogramo. 
Otro ejemplo de trazar perpendiculares es el siguiente: como ya se tiene medida la vereda A-3, entonces desde el punto 3 se puede trazar una perpendicular a dicha vereda y medir la distancia que hay hasta la otra vereda, como se muestra en el gráfico. 
Una curva irregular se puede levantar ubicando varios puntos a lo largo de dicha curva referenciados a puntos ya levantados. Por ejemplo los puntos 15 y 16 se levantaron midiendo las distancia hacia los puntos 1 y A; el punto 16, midiendo hacia los puntos 1 y E.
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Una curva se puede también levantar mediante perpendiculares tomados a partir de una línea sobre la cual se encuentran puntos conocidos. Por ejemplo, se tiene la línea F-G sobre 
el cual se han medido 
las distancias 
indicadas, entonces se 
puede trazar perpendi- 
culares sobre los 
puntos marcados y 
medir las distancia 
hasta donde intersecan 
con la curva a levantar. 
a) También se debe medir el azimut de un lado de la red de apoyo para poder orientar nuestro levantamiento. 
b.- Cálculo de los azimuts de los lados de la poligonal teniendo como dato el azimut de un ángulo y los ángulos en sentido horario de todos los vértices. Este cálculo se puede realizar de manera gráfica o analítica. El método analítico es mas rápido pero hay mas riesgo de equivocarse si es que no se sabe aplicar bien la fórmula. Método gráfico: 
Veamos este método mediante un ejemplo: Tenemos los lados: A-B y B-C. Los datos son los siguientes y a su izquierda se ha hecho un croquis para entenderlo mejor. 
AZIMUT DE A-B (ZA-B) = 121º 02’48” 
Angulo A-B-C ( ) = 109º 47’ 42” 
Incognita: Azimut del lado siguiente (ZB-C)
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Si desde el punto B se prolongan los lados: A-B y C-B. Entonces el ángulo que forma la dirección B-Norte con la prolongación de A- B es: ZA-B (propiedad de ángulos correspondientes). Además el ángulo que forman la prolongación de A-B con la prolongación de C-B es el ángulo: B (propiedad de ángulos opuestos por el vértice). Entonces del gráfico observamos que: 
ZB-C = 121º 02’48”+109º 47’42”-180º 
ZB-C = 50º 50’ 30” Método analítico Para conocer el azimut de un lado, conociendo el azimut del lado anterior y el ángulo comprendido entre ambos lados se procede así: al azimut del lado anterior se le suma el ángulo comprendido entre ambos lados y a dicha suma se le resta 180º. Es decir la fórmula es la siguiente: 
ZLADO = ZLADO ANTERIOR + – 180º Donde: Z = azimut 
= ángulo comprendido entre ambos lados Nota: está de más decir que si el azimut resulta negativo habrá que sumarle 360º para convertirlo en positivo. Ejemplo 1: Se tiene la poligonal A-B-C-D-E donde el azimut del Lado A-B es: 45º y los ángulos a la derecha (en sentido horario) son: B = 262º C = 209º D = 51º
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Se pide: * realizar un croquis de la poligonal (asumir que cada lado mide 100 m), * los azimuts de los lados: B-C,C-D y D-E Solución: Croquis Primero deberá dibujar el punto A y la dirección del norte en la vertical luego a partir de dicha vertical con un transportador ubicar la dirección del lado A-B para luego en dicha dirección medir la distancia A-B. y así continuar con los demás lados. 
Cálculo de los azimuts de los lados de la poligonal Sabemos que Azimut de A-B = 45º , entonces: Azimut de B-C = 45º + 262º -180º Azimut de B-C = 127º Azimut de C-D = 127º +209º -180º Azimut de C-D = 156º. Azimut de D-E = 156º+51º -180º 
Azimut de D-E = 27º
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Ejemplo 2: Se tiene una poligonal cerrada A-B-C-D-E-A , se tiene como datos: el azimut del lado A-B y los ángulos internos. Los datos han sido medidos con un teodolito cuya menor lectura es al minuto (1’). Los datos se muestran a continuación: Azimut de A-B (ZA-B) = 48º 30’ A = 101º 21’ B = 111º 20’ C = 100º 22” D= 115º 43’ E = 111º 12’ Se pide: verificar si cumple con la condición geométrica, hallar el error angular y verificar si cumple con la tolerancia angular, corregir los ángulos, calcular los azimuts de los lados: B-C,C-D, D-E, E-A. 
Solución Verificando si cumple con la condición geométrica: 
A+B+C+D+E = 539º 58’ Condición geométrica: Suma de los ángulos = 180 (5-2) Suma de los ángulos = 540º 
Observamos que entonces no cumple con la condición geométrica. El error angular es: 539º 58’ – 540º 
Error angular = - 0o 02’ 
Tolerancia angular = 1’ (1’ es la precisión del equipo y 5 es el número de lados) Tolerancia angular = 2,2’ 
Observamos que: si cumple con la tolerancia angular, entonces podemos proceder a corregir los ángulos. Corrección a cada ángulo = 2’/5 
Corrección a cada ángulo = 24”
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Corrigiendo los ángulos: A = 101º 21’+ 0o 00’ 24” ………. A = 101º 21’ 24” B = 111º 20’+ 0o 00’ 24” ………. B = 111º 20’ 24” C = 100º 22” + 0o 00’ 24” ……… C = 100º 22’ 24” D= 115º 43 ’+ 0o 00’ 24” …….. D = 115º 43’ 24” E = 111º 12’+ 0o 00’ 24” …….. E = 111º 12’24” Cálculo de azimuts de todos los lados de la poligonal partiendo del azimut de AB. 
Azimut de B-C = 48º 30’ + 111º20’24” -180º Azimut de B-C = -20º 09’36” Azimut de B-C = 339º50’24” (como salió negativo se le sumó 360º para tenerlo como positivo) Azimut de C-D = 339º50’24”+ 100º 22”24” -180º Azimut de C-D = 260º 12’48” Azimut de D-E = 260º 12’48”+115º 43’24”-180º Azimut de D-E= 195º 56’12” Azimut de E-A= 195º 56’12”+111º 12’24”-180º Azimut de E-A= 127º 08’36” Ya tenemos todos los azimuts, pero si deseamos verificar nuestros cálculos, hallaremos el azimut de A-B y comparar si es que es el mismo que en la partida. Azimut de A-B = 127º 08’36” +101º 21’24”-180º Azimut de A-B = 48º 30’ Resolver el siguiente ejemplo: Tarea 
Si el azimut del Lado A-B es: 50º 33’ y los ángulos exteriores son:
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A = 252º 22’ B = 262º 20’ C = 240º 10” D= 250º 49’ E = 254º 19’ Se pide: realizar un croquis, verificar si los ángulos cumplen con la condición geométrica requerida, hallar los azimuts de los lados B-C, C-D, D-E y E-A. 
Respuestas: Azimut de B-C = 132º 53` Azimut de C-D = 193º 03’ Azimut de D-E = 263º 52’ Azimut de E-A = 338º 11 Levantamiento con brújula y wincha Realizar un levantamiento completo (Poligonal y relleno topográfico) con sólo brújula y wincha es utilizado cada vez menos debido a la poca precisión que tiene. Sin embargo para efectos de enseñanza es muy útil para poder ver en el campo como es que se realiza el levantamiento y sus respectivos los cálculos en gabinete Veamos esto con un ejemplo. Tenemos una poligonal de 4 lados, vamos a calcular el azimut de todos los lados con una brújula de 5º de precisión. 
ESTACIÓN 
DIRECCIÓN 
DISTANCIA 
AZIMUT 
A 
D 
73º 
B 
80,82 
165º 
B 
A 
343º 
C 
72,31 
71º 
C 
B 
251º 
D 
63,32 
333º 
D 
C 
151º 
A 
72,63 
254º 
c1.- Hallando los ángulos medidos y verificando si cumple con la condición geométrica A = 165º -73º ……………………………….….. A = 92º B = 71º -343º ………….. B= -272º ……….. B = 88o (-272o + 360o) C = 331o-251o ……………………………………..C = 80o D = 254o -151o ……………………………………D = 103º SUMA……………………………………………………….. 363º No cumple con la condición geométrica ya que la suma de los ángulos no es 360º , por lo tanto habrá que hallar su error angular. c2.- Hallando el error angular y su tolerancia.
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Error angular = 363º-360º Error angular = 3º 
Tolerancia angular = 5º (5º es la precisión del equipo y 4 es el número de lados) Tolerancia angular = 10º 
Observamos que: si cumple con la tolerancia angular, entonces podemos proceder a corregir los ángulos. Corrección a cada ángulo = -3º/4 Corrección a cada ángulo = - 45’ Entonces los ángulos corregidos serán: A = 91º 15’ B = 87º 15’ C = 79º 15’ D = 102º 15’ c3.- Hallando el lado que tiene menor atracción local ZAB – ZBA = 165-343 ………… ZAB – ZBA = -178 ZBC – ZCB = 71-251 ………… ZBC – ZCB = -180 ZCD – ZDC = 333-151 ………… ZCD – ZDC = 182 ZDA – ZAD = 254-73 ………… ZDA – ZAD = 181 De todas las restas de azimut directo y azimut inverso, el que tiene menor atracción local es aquel que es 180 o el más cercano a este valor. En nuestro caso el lado B-C es el de menor atracción local. c4.- Cálculo de los azimuts con los ángulos corregidos Para calcular los azimuts de todos los lados se parte del lado que tiene menor atracción local. En caso hubiese varios lados que tiene la menor atracción local, entonces se escoge cualquier lado. En nuestro caso partimos de lado B-C cuyo azimut es: 71º . A partir de este azimut y con el ángulo C calculamos el azimut de C-D y así sucesivamente. 
ZC-D = ZB-C + – 180º 
ZD-A = ZC-D + – 180º
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ZA-B = ZD-A + – 180º y finalmente para verificar 
ZB-C = ZA-B + – 180º reemplazando valores: ZC-D = 71º00’ + 79º 15’– 180º ------- ZC-D = -29º 45’ (como resulta negativo, sumarle 360º) ZC-D = 330º 15’ ZD-A = 330º15’ +102º 15’– 180º ZD-A = 252º 30’ ZA-B = 252º30’ + 91º 15’– 180º ZA-B = 163º 45’ Ya están calculados los azimuts, vamos a verificar el azimut de partida: ZB-C = 163º45’ + 87º 15’– 180º ZB-C = 71º 00’ Con los azimuts y distancias ya se puede dibujar la poligonal y si hay detalles se los pueden dibujar luego. Así primero marcamos el punto B y una línea vertical que indica el norte y con su azimut y a una escala dada ubicamos el punto C, y con los ángulos interiores o con los azimuts se dibujan los otros puntos. Es decir primero se traza el lado B-C, luego el C-D, después el D-A y finalmente el A- B. El último punto a dibujar será el punto B del lado A-B. que no necesariamente debe coincidir con el punto B de partida ya que existen los errores al medir las distancias y los ángulos.
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En el gráfico no se observa bien que hay un error de cierre lineal en B, pero si hacemos un acercamiento al círculo que se ha dibujado en B podremos ver este error. 
Esta pequeña diferencia se llama error lineal, que es la que sirve para hallar el error relativo visto anteriormente. 
¿Debemos dejar la poligonal abierta? 
No. Si el error es pequeño deberemos corregirlo para que nuestra poligonal cierre perfectamente. A continuación se verá cómo se corrige este error.
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
Topografia basica II
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Topografia basica II

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 1 PRIMERA PARTE: GENERALIDADES 1.- DEFINICIONES BÁSICAS a.- La topografía TIENE DOS DEFINICIONES: ARTE DE DESCRIBIR Y DELINEAR DETALLADAMENTE LA SUPERFICIE DE UN TERRENO. CONJUNTO DE PARTICULARIDADES QUE PRESENTA UN TERRENO EN SU CONFIGURACIÓN SUPERFICIAL. Según la primera definición topografía serán todos aquellos procesos que conduzcan a detallar como es un terreno, por ejemplo cuando vez a ciertas personas en la calle realizando mediciones al terreno con cintas métricas, teodolitos, etc., entonces ellos están haciendo topografía. Según la segunda definición cuando pedimos que se nos describa un terreno, lo que estamos pidiendo es que nos detallen como es el terreno con sus accidentes naturales (ríos, lagos, quebradas, etc.) y sus accidentes artificiales (carreteras, canales, etc.); ya que todo esto corresponde al conjunto de particularidades de un terreno. b.- La recopilación de la información De dos manera:
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 2 Gráficos: http://maracaibo.olx.com.ve http://lanzamientos.wordpress.com A.-TOPOMETRÍA Se determina la forma y el relieve del terreno mediante mediciones de ángulos y distancias en el campo. Los equipos mas usados son: estaciones totales, teodolitos, niveles, winchas, brújulas. En el gráfico se observa un equipo llamado “estación total”, es uno de los equipos mas usados en topografía ya que además de medir ángulos, también mide distancias. Todo es nedido de manera electrónica y al instante. El teodolito es parecido a la estación total pero básicamente sólo sirve para medir ángulos con alta precisión. Los teodolitos mecánicos, muy usados durante el siglo pasado, tenían un mecanismo que permitía calcular las distancias teniendo en cuenta que un objeto se ve mas pequeño a medida que está mas lejos (taquimetría); este método era poco preciso. TOPOMETRÍA •Medicones llevadas a cabo directamente sobre el terreno. TELEDETECCIÓN •Mediciones llevadas a cierta distancia del terreno
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 3 En caso se requiera calcular desniveles es muy útil el uso de un equipo topográfico llamado “nivel de ingeniero” Por ejemplo si deseamos saber que diferencia de alturas hay entre dos puntos de mi terreno, sería muy conveniente usar este equipo debido a que ha sido creado para hallar desniveles. La cinta métrica, comúnmente llamada wincha, ha sido la forma mas común de medir distancias, actualmente está siendo desplazada por un equipo electrónico llamado “distanciometro”. Observad el distanciómetro de la foto, tiene el tamaño de una calculadora. Por ejemplo sin en este instante deseases saber la distancia que hay desde tu mesa de estudios hacia una de las paredes de tu habitación, bastaría con tener un distanciómetro encima de tu mesa, lo apuntarías a la pared requerida y presionarías el botón respectivo, entonces el equipo lanzaría un rayo de luz la cual chocaría con la pared con lo que el equipo nos indicaría la distancia recorrida por la luz desde nuestra posición hasta la pared. La brújula nos sirve para orientarnos respecto al norte magnético, es decir la brújula indica hacia el polo norte magnético de la tierra. Recordemos los apuntes del colegio cuando nos decían que la tierra era como un imán gigante. Nota: Fuentes de los gráficos anteriores www.solostocks.com http://topve06.blogspot.com http://www.comerciallaga.com http://seguridadcam.wikispaces.com Por ejemplo si tenemos un terreno de 5 lados, como se muestra en la planta anterior:
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 4 Si deseamos dibujar este plano deberíamos medir las distancias (con wincha) y ángulos (con teodolito). O con Estación total ambas: distancias y ángulos. Además, si queremos saber los desniveles que hay en el terreno tendríamos que usar un nivel de ingeniero.
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 5 B.-TELEDETECCIÓN En este caso el relieve del terreno se determina mediante observaciones realizadas a distancia. Es decir no se realiza las mediciones directamente en el campo sino que se realizan observaciones con instrumentos colocados sobre plataformas, las cuales pueden ser: aéreas y terrestres. Hay dos técnicas: la fotogrametría y el escaneado. ¿En que consiste la fotogrametría? Recuerda que tienes dos ojos para poder ver en profundidad (3 dimensiones), esta propiedad la aprovechas los productores de cine para sus películas 3D. La técnica es simple ya que ambos ojos ven los mismos objetos pero desde distintas posciones, el cerebro junta las dos imágenes capturadas por los ojos y nos da la sensación de profundidad. Esta misma técnica se puede usar para determinar el relieve del terreno. Imagínate que estamos sobre un avión tomando fotos del terreno, hay una parte de dicho terreno que se observa en las dos fotos. Llamemos a esta parte: zona de traslape. Dicha zona es la que se ve en profundidad y se puede determinar su relieve. PARA LA FOTOGRAMETRÍA AÉREA SE UTILIZAN AVIONES O SATÉLITES. PARA TERRESTRE SE USAN CÁMARAS CON 2 LENTES LOS CUALES SIMULAN SER LOS DOS OJOS HUMANOS. EL PROBLEMA QUE TIENE ES QUE CUANTO MAYOR ES LA DISTANCIA ENTRE LA CÁMARA Y EL TERRENO, MENOR SERA LA PRESICIÓN, ES DECIR SE OBSERVARÁN MENOS DETALLES DEL TERRENO. NOTA ADICIONAL: LA fotogrametría terreste es muy útil para vistas tridimensionales de los monumentos históricos ya sea para educación o para su restauración. El INC usaba esta técnica para realizar un inventario de sus monumentos históricos pero actualmente está usando el ESCANEADO. ¿Y que es la técnica del escaneado o LIDAR (Light Detection And Ranging)? Es una técnica que está revolucionando la topografía y posiblemente en el futuro sea utilizada en casi todos los trabajos topográficos. El problema es que es una técnica muy nueva y comprar el sistema completo está alrededor de 180 mil dólares, precio que posiblemente baje a medida que esta tecnología se masifique. La técnica es simple, sobre un trípode se coloca el equipo SCAN, se lo enciende y éste empieza a escanear tridimensionalmente todos los objetos que se encuentren alrededor del equipo.
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 6 Por ejemplo si deseamos escanear un auto de modo de verlo en la computadora en 3D, habrá que colocar el equipo SCAN en 3 posiciones¨: desde la posición A se escanea la parte lateral derecha del auto; desde B. la parte lateral izquierda; y desde C, la parte posterior. Nota: El equipo se coloca sobre un trípode. El equipo mostrado en la foto es fabricado por la empresa japonesa TOPCON. 1.2.- CIENCIAS AFINES A LA TOPOGRAFÍA Las más importantes son: ALGO MÁS SOBRE TELEDETECCIÓN MEDIANTE SATÉLITES El ojo humano sólo puede ver las ondas donde están todos los colores existentes pero, por ejemplo, no pueden ver la temperatura , ni la cantidad de agua que tienen las plantas, ni si las plantas tiene insecticidas, etc. Nada de eso podemos ver, pero los satélites sí debido a que pueden “ver” mas frecuencias de ondas que las del ojo humano. Por ejemplo que desees diseñar un centro poblado en una zona de vegetación con pasturas y árboles. Necesitas conocer que áreas le corresponden a la zonas de árboles debido a que según lo especificado tu diseño debe respetar en lo posible dichos árboles. Mediante la teledetección por satélites va a ser muy sencillo determinar dichas áreas sin necesidad de ir al campo a medir.
  • 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 7 a.- GEODESIA Estudia la forma y dimensiones de la tierra. Ubica puntos considerando la curvatura terrestre. La topografía sólo considera que la tierra es plana, esta es la diferencia fundamental con la geodesia. DIFERENCIAS ENTRE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA TOPOGRAFÍA: No considera la curvatura de la tierra. Mediciones menos de 1 km. Ya que distancias mayores ya se tiene que toma en cuenta la curvatura de la tierra. GEODESIA: Si considera la curvatura de la tierra. La geodesia aplicada usa el sistema global de navegación por satélite (NGSS)) para determinar la posición de puntos en el globo terráqueo. En la actualidad hay 3 sistemas: el estadounidense GPS, el ruso GLONASS y el europeo GALILEO. Existen receptores que tienen la posibilidad de recibir señales de los 3 satélites. Para poder realizar el trabajo requerimos que nuestro receptor NGSS esté al aire libre para que pueda recibir las señales de 4 satélites del sistema como mínimo. Entonces bastará con colocar el equipo, esperar que reciba las señales de 4 satélites y entonces nos dará la posición en la que nos encontramos. Fuente del gráfico:http://t2.gstatic.com B.- CARTOGRAFÍA Si se desea dibujar mapas de grandes extensiones de terreno (regiones, departamentos, países, continentes) se deberá recurrir a la cartografía, pues esta disciplina se encarga de proyectar un terreno curvo sobre una superficie plana. Se llaman proyecciones debido a que el procedimiento es muy similar a la proyección de una película sobre un ecrán. En el gráfico siguiente imagínate que tenemos un globo terráqueo de vidrio transparente con los continentes dibujados, colocamos una lámpara en el polo sur y un papel circular en el polo norte. Al encender la lámpara, veremos proyectado el globo sobre el papel de la manera siguiente:
  • 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 8 MAPA PROYECTADO Otro ejemplo de proyección cartográfica es la cilíndrica, con ésta se realizan los mapamundis. La lámpara se coloca en el centro del globo terráqueo, se envuelve el globo con un cilindro sobre el cual se proyecta el globo, luego se extiende el cilindro.
  • 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 9 Observa que en esta proyección cilíndrica a medida que nos acercamos a los polos las extensiones de tierra se ven mucho más grandes que lo que son realmente. ¿Porque crees que ocurre esta deformación? C.- GEOMÁTICA A partir de la información recopilada del terreno como son: características físicas, datos de la población, tipos de uso, etc; el especialista en Geomática las organiza y los presenta en el entorno de la computadora de manera sistemática y ordenada. Para entender mejor esta especialidad imagínate que eres un urbanista y deseas estudiar las características de un poblado serrano. Nuestro especialista nos mostrará en la computadora el plano del poblado, pero a diferencia de otros planos nuestro plano será iteractivo, podrás ver de manera gráfica las estadísticas de la población, fotografías, representaciones en 3D,etc. Todo dentro del propio plano, sin necesidad de ir a otro software. Los programas informáticos que realizan estas maravillas se llaman: sistemas de información. En el Perú los sistema de información más usados son: ArcGis y AutoCad Map. D.- AGRIMENSURA Determina los límites de una propiedad a partir de los análisis de los títulos, leyes, reglamentos y mediciones. 1.3.- ALGUNAS PRECISIONES. a.-La Carta Nacional
  • 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 10 La CARTA NACIONAL, es un mapa cartográfico de todo el Perú. realizado a partir de fotografías aéreas. La mayoría del territorio nacional está realizado a escala 1/100 000 , está representado todo el territorio nacional. Lo venden por hojas. El arquitecto puede usarla para determinar la ubicación aproximada de su proyecto, las coordenadas UTM, vías de acceso, accidentes topográficos cercanos, etc b.- LEVANTAMIENTO Y REPLANTEO Levantamiento: Es el proceso para ubicar (determinar la posición relativa de puntos) sobre la superficie de la tierra o a poca distancia vertical de la misma. Para el ejemplo, supongamos que nos solicitan levantar el punto P que se encuentra representada mediante una marca de pintura sobre el suelo. Es decir que lo que nos está pidiendo es conocer en que sitio se encuentra el punto respecto a los otros puntos del terreno (llamado también: posición relativa de un punto). La manera mas sencilla que se nos ocurre se medir dos distancias hacia 2 puntos conocidos (por ejemplo las esquinas de dos edificios). Entonces nuestro punto estará perfectamente ubicado y no habrá peligro que se nos pierda. Así como se ha levantado un punto, podemos levantar muchos mas puntos para luego dibujar un plano con los detalles naturales y artificiales que tiene el terreno. La manera de realizar un buen levantamiento es uno de los objetivos del presente curso y será explicado con mayor detalle en las siguientes clases. La topografía clásica divide el levantamiento topográfico en 2 partes: Trabajo de campo: Verificar el buen funcionamiento de los equipos. Planificar el trabajo. Ir al campo y realizar mediciones. Anotar en libreta de campo a lápiz. Trabajo de gabinete: Cálculos, dibujo de plano y presentación de informe. IMPORTANTE En la topografía moderna, con Estaciones Totales robotizadas, toma de datos de campo mediante notebooks, etc. , todos los cálculos y el dibujo del plano se realizan en paralelo con el trabajo de campo, dejando para el trábajo de gabiente sólo el ploteo. Replanteo: Es el proceso de ubicar puntos en el terreno ya estudiados o proyectados.
  • 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 11 Por ejemplo, si la marca de pintura del punto P, levantado anteriormente, se nos borró con el transcurso del tiempo, y deseamos volver a dibujar dicha marca; entonces lo que deberemos hacer es un replanteo de dicho punto, es decir con los datos de las distancias a los dos vértices de los edificios anteriormente medidas (puntos ya estudiados) volveremos a marcarlo en el piso. Observar en la figura que el punto en mención se encontrará en la intersección de los dos arcos formados por dichas distancias. Otro ejemplo de replanteo: se ha realizado un proyecto de un futuro colegio en Chaclacayo . El ir al terreno y ubicar dicho proyecto sobre el terreno para su construcción, es un replanteo. c.- PRINCIPALES TIPOS DE LEVANTAMIENTOS a) Levantamiento planimétrico: En este levantamiento no se toma en cuenta el relieve del terreno. Como las guias de calles de Lima en la que no nos dicen si La Molina está a mas altura que Chorrillos. b) Levantamiento topográfico: Levantamiento tomando en cuenta el relieve del terreno (cerros, quebradas, etc.). Generalmente el relieve se representa mediante curvas de nivel. c) Levantamiento longitudinal: El levantamiento se realiza a lo largo de un eje longitudinal. Por ejemplo para construir el Metropolitano se hizo previamente un levantamiento a lo largo de la via expresa del Paseo de la República. d) Levantamiento hidrográfico: Levantamiento topográfico en las orillas o sobre la superficie que se encuentra debajo una masa o corriente de agua. e) Levantamiento catastral: Similar a un levantamiento planimétrico, solo que se incluye información adicional con fines fiscales: vivienda o negocio, si tiene piscinas, etc. Es muy conveniente que este tipo de levantamientos tenga la Municipalidad. f) Levantamiento fotogramétrico: Levantamiento realizado con fotogrametría. D.-ESCALA Es la relación entre una longitud y su representación sobre un mapa o plano. Existen 2 tipos: Numérica y Gráfica. Escala Numérica: Es mostrada mediante un quebrado, donde en el denominador se coloca la longitud medida en el plano y en el denominador la longitud en el terreno. Así por ejemplo: 1/1000 significa que 1 unidad de longitud medida en el plano equivale a 1000 unidades de longitud en el terreno. Nota: Cuando presente un plano es muy conveniente hacerlo con las escalas del escalímetro o con sus múltiplos.
  • 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 12 Escala Gráfica: Está representada mediante un gráfico. La ventaja de esta escala respecto a la otra es que al realizar reducciones o ampliaciones al plano, la escala no se pierde. CABEZA CUERPO Las divisiones a la derecha del origen se enumeran en metros, decenas o centenas de metros o kilómetros y a la izquierda del cero van subdivisiones (4 o 5 o 10 subdivisiones) de uno de los segmentos de la derecha. En el gràfico del ejemplo observamos que en el cuerpo cada segmento representan 100 m., mientras que en la cabeza cada segmento representa 10 m. Ejercicio: Convertir la escala 1/1250 a escala gráfica si es que sólo se dispone de una regla centimétrica. Solución: Como 1/1250 es 1 cm. del papel es a 1250 cm. del terreno. Entonces 1 cm. en el papel es 12,5 m. del terreno, Ahora habrá que definir el tamaño de los segmentos del cuerpo, si deseamos 3 segmentos en 10 cm. entonces cada segmento será de aproximadamente 3 cm., como los segmentos del cuerpo deben ser valores enteros o múltiplos de 10 (1,10,100, etc.) entonces tomemos 40 m. para cada segmento del cuerpo (40 m. del terreno es 3,2 cm. del papel). Entonces la parte derecha de nuestra escala quedaría así. Solo nos falta agregar la cabeza la cual es una subdivisión del cuerpo, para nuestro ejemplo consideremos 10 subdivisiones (también podrían ser 5, 8, etc.). La numeración en la cabeza es opcional y puede ir en el medio y el extremo como en el ejemplo, o intercalado, etc. Nota: esta de más decir que si usa un escalímetro que tiene la escala 1/1250 entonces el procedimiento para dibujar la escala gráfica que la represente es mucho mas sencillo.
  • 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 13 e-APRECIACIÓN GRÁFICA Es la máxima en distancia que se puede medir un plano que está a una escala dada. Se ha establecido que el ojo humano puede apreciar detalles, en un plano, hasta 0,2 mm. Por ejemplo, se tiene un plano a escala 1/2000, la apreciación gráfica para dicho plano será: 2000x0,0002 m. = 0.4 m. Es decir cualquier detalle que tenga una distancia menor a 40 cm. no podrá ser observado en un plano a dicha escala. También quiere decir que cualquier error menor que 40 cm. cometido durante el levantamiento topográfico no podrá ser detectado a esta escala. Otro ejemplo. Si el plano de nuestra escala es 1/500 la apreciación gráfica es: 500x0,0002 = 0,1 m. Es decir valores menores a los 10 cm. no podrán ser medidas con el escalímetro a dicha escala. 1.4.- LA FORMA DE LA TIERRA a.-El geoide La forma de la tierra a nivel del mar en calma se le denomina geoide, un poco achatado en los polos y ensanchado en el ecuador. El problema del geoide es que no hay ninguna figura geométrica conocida que se parezca a un geoide. Por ejemplo el globo terráqueo que tenemos en nuestros hogares, adornando nuestros dormitorios, es una esfera. La esfera no es achatada en sus extremos. Los geodestas necesitan tener una figura geométrica matemática conocida que represente la forma de la tierra para que puedan hacer sus cálculos y sus mapas cartográficos. b.-El elipsoide La figura geométrica matemática que mas se parece a la forma de la tierra es el elipsoide. Esta figura es una elipse rotada alrededor de su eje vertical. Fuente del gráfico: http://enciclopedia.us.es 2.- PLANIMETRIA 2.1 Definición La planimetría es la parte de la topografía que se encarga de representar en terreno en un plano, prescindiendo de los desniveles o relieve del terreno. 2.2.- PUNTOS TOPOGRÁFICOS Para realizar un trabajo topográfico es necesario tener ubicados algunos puntos en el terreno para que a partir de dichos puntos se proceda a realizar las mediciones de ángulos y
  • 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 14 distancias a los puntos del terreno que se desea levantar. Estos puntos que sirven de base para hacer nuestras mediciones se llaman: puntos topográficos. Sobre un punto topográfico debe ser posible estacionar un teodolito o una estación total, tener la mayor visibilidad posible al terreno. Pueden ser de 2 tipos: a.-Puntos topográficos Temporales: Son puntos que solo son útiles mientras dura el trabajo topográfico que los usa. Estos puntos se dejan en el terreno con: estacas o marcas de pintura. Si son marcas de pintura, éstas deberán ser de color claro sobre el asfalto y de color oscuro si están pintadas sobre el concreto. b.-Puntos topográficos Permanentes: Son puntos que son usados por distintos trabajos topográficos y en distintas épocas. La colocación de un punto permanente se le denomina: Monumentación. Se encuentran en placas de bronce sobre una losa o en un hito de concreto. Por ejemplo los hitos que conforman los límites de un país. Si es que estos fueron ubicados mediante el sistema GPS, lo común es llamarlos: PUNTOS GEODÉSICOS y en los trabajos fotograméticos se los llama: PUNTOS DE CONTROL. Estos puntos de control permanente, generalmente, los colocan entidades oficiales para indicar con alta precisión: sus coordenadas UTM o su elevación respecto al nivel del mar, de modo que el topógrafo pueda empezar a realizar sus mediciones a partir de dichos puntos que son los datos oficiales.
  • 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 15 En el ejemplo de la fotografía el punto permanente en la UNI c.-Ubicación referencia de puntos Es necesario referenciar los puntos topográficos respecto a puntos notables del terreno, con la finalidad de ubicarlos fácilmente. También es conveniente hacer un croquis e inclusive una descripción de la ruta a recorrer con la finalidad de llegar al punto. Veamos mediante ejemplos las formas mas comunes de la ubicación referencial. a) Por dos distancias Desde nuestro punto medimos dos distancias hacia referencias conocidas. En nuestro ejemplo se ha medido distancias hacia una esquina de un edificio y un poste.
  • 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 16 b) Por ángulo y distancia En este caso nuestro punto estará referenciado si tenemos la distancia que hay entre un punto notable del terreno y nuestro punto topográfico y el ángulo formado por estas dos direcciones. Ejemplos: Tenemos dos veredas correspondientes a dos esquinas. Vamos a referenciar los puntos que se encuentran cerca a ambas veredas. Caso 1: Se toma un punto notable en la vereda (Punto A) y medimos la distancia hasta el punto P así como el ángulo(a) formado por la dirección de la vereda y la de la medición. Caso 2: Se toma un punto notable en la vereda (punto A), se determina con una brújula la dirección del norte, se mide la distancia del punto A al punto Q (d) y el ángulo comprendido (a) entre ambas direcciones. Caso 3: Desde nuestro punto topográfico R, trazamos una perpendicular a nuestra dirección notable y marcamos un punto en dicha intersección (punto A) y medimos la distancia entre ambos puntos. c) Por dos ángulos
  • 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 17 Se miden los ángulos desde dos puntos notables, para nuestro ejemplo: dos equinas. Este método es muy poco usado para ubicar puntos en topografía, mas no así en astronomía ya que se usa para determinar la ubicación y distancias a las estrellas. 2.4 MEDICIÓN DE DISTANCIAS Las distancias que interesan en planimetría son las distancias horizontales (en caso de altimetría son distancias verticales). Existen 2 sistemas de medición: Medición directa y medición indirecta a.-Medición directa: Se recorre la distancia a medir. Se va a estudiar: A pasos: usado en reconocimientos, medidas aproximadas. El método consiste en que conocida la longitud de nuestro paso, recorremos una distancia contando el número de pasos, la longitud recorrida es la longitud de cada paso por el número de pasos. Error aproximado: 1/100 . Significa que si la longitud a medir es de 100 metros, el valor que la midamos con wincha posiblemente esté entre 99 a 101 m. Cinta métrica o wincha: usado para levantamientos de precisión, Replanteo. Lotizaciones. Dificultades: muy lento, si el terreno es muy accidentado hay mayores errores, requiere de 2 a más trabajadores: su ventaja: económico, si el terreno es plano horizontal las distancias pueden ser medidas con buena precisión. Error aproximado 1/3000 Medición electrónica: usado para todo tipo de trabajos. El equipo mas usado es el distanciómetro electrónico. Se pueden encontrar distanciómetros como un aparato independiente o dentro de una estación total. Desventaja: costo del equipo; ventaja: rápido. Y preciso.Error aproximado: 1/100000 Este es un distanciómetro de mano. La manera mas común de usarlo es: se adosa el equipo a una pared y se lanza un rayo de luz láser hacia la otra pared. El equipo nos dará la distancia Esta es una estación total, el distanciómetro Entre pared y pared. Distancias cortas. se encuentra dentro del anteojo, generalmente la luz que envia rebota en un accesorio lla-
  • 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 18 mado prisma. Puede medir distancias largas. b.-MEDICIÓN INDIRECTA: No se recorre la distancia a medir. Se va a estudiar: Taquimetría: Usado en levantamientos y para calcular distancias aproximadas en altimetría. Desventaja: Requiere un equipo topográfico de precisión que tenga un anteojo. El fundamento es simple, cuanto mas cerca esté un objeto veremos menos porción de dicho objeto y visceversa. Error: 1/300 En el esquema se puede observar que si colocamos una regla delante de nuestra lente, cuanto mas cerca esté la regla del lente menor será la porción de esta que se ve. Si llamamos j a la longitud de la porción de la regla vista. Podemos inferir: a mayor valor de j es porque es mayor la distancia que hay entre la regla y la mira; y a menor j es porque es menor la distancia. La relación es: D = kxj Es decir que la distancia se podrá calcular multiplicando el valor j obtenido por la constante K. El valor de esta constante es 100 en todos los equipos topográficos. Cálculos trigonométricos: Generalmente usado cuando no es posible medir directamente una distancia. Desventaja: Su precisión depende del equipo utilizado. Ventaja: Permite medir cualquier distancia. Esto es muy útil cuando se miden distancias a otras estrellas.
  • 19. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 19 2.5 Trabajos con wincha a) Equipo y accesorios Wincha: La cinta métrica, llamada comúnmente en nuestro medio wincha. Existen de diferentes materiales: Fibra de vidrio, nilón, o de PVC con alma de fibra de vidrio, nilón con alma de acero. Las más precisas son las cintas de acero, pero su utilización está descontinuada debido al avance de la tecnología de los distanciómetros electrónicos. Jalón : Elementos cilíndricos metálicos o de madera con refuerzo metálico en su punto, de alrededor de 1” de espesor y 2 m. (o mas) de largo. Pintada con dos colores los cuales se intercalan cada medio metro. Se usa como ayuda para definir alineamientos, medir distancias inclinadas, levantar la cinta horizontal. b) Trabajos elementales con wincha Nota: todos los gráficos para estos trabajos están mostrados en planta. TRABAJO 1: De un punto P trazar una perpendicular a un alineamiento L . Método 1: Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q sobre el alineamiento L . Paso 2: Medir la distancia PQ (por ejemplo que PQ= d ) Paso 3: A la mitad de PQ, ubicar un punto R. Paso4: Del punto R ubicar un punto S sobre el alineamiento L . a una distancia d/2 del punto R.
  • 20. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 20 Entonces Método 2: Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q sobre el alineamiento L . Paso 2: Medir la distancia PQ (por ejemplo que PQ= d), Paso 3: Ubicar el otro punto R sobre el alineamiento L que también se encuentre a la distancia d del punto P. Paso 4: Medir la distancia QR. Paso 5: En la mitad de QR ubicar un punto S. TRABAJO 2: De un punto P de un alineamiento trazar una perpendicular a dicho alineamiento. Método 1: Paso 1: Marcar un punto cualquiera Q fuera del alineamiento L . Paso2: Medir la distancia PQ (Por ejemplo PQ=”d”) Paso3: Ubicar un punto R sobre el alineamiento L que se encuentre a la distancia “d” del punto Q. S R d/2 d/2 Q L P S R d d d P L Q L P
  • 21. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 21 Paso 4: Sobre la prolongación de RQ ubicar el punto S que se encuentra a la distancia “d” del punto S. Entonces; Método 2: Método del lazo La idea es formar con la cinta un triángulo rectángulo cuyas dimensiones sean: 3:4:5, del famoso triángulo notable. Paso 1: Tomando una longitud de 12 m. en la cinta se hace un lazo que modo que su valor en 12 m. coincide con el valor 0 de la cinta. Paso 2: El cero de este lazo se coloca en el punto P y sobre dicho alineamiento se extiende el lazo de la cinta hasta 3 m. como se ve en la figura. R d d d Q L P T d R d d Q L P
  • 22. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 22 Paso 3: En los 8 metros de la cinta tensionarla de modo que forme un triángulo. El triángulo formado tendrá uno de sus lados coincidiendo con el punto P y perpendicular al alineamiento L que es lo que se deseaba. c.-Trabajos especiales con wincha A.- De un punto, trazar una paralela a un alineamiento Por ejemplo del punto P trazar una paralela al alineamiento L Método 1: Paso 1: Desde P trazar una perpendicular al alineamiento L, ubicar un punto Q en la intersección de la perpendicular y el alineamiento. Paso 2: Medir la distancia PQ, por ejemplo que sea PQ = d Paso 2: Ubicar otro punto R sobre el alineamiento L, y desde R trazar una perpendicular al alineamiento L, y ubicar un punto S a la distancia d del punto R. Entonces: PS es paralelo a L
  • 23. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 23 Método 2: Paso 1: Ubicar un punto Q cualquiera sobre el alineamiento L. Sobre la prolongación de QP ubicar un punto cualquiera R. Paso 2: Medir PQ y PR Paso 3: Ubicar un punto S cualquiera sobre el alineamiento L. Medir la distancia RS. Paso 4: Hallar el valor D por semejanza de triángulos: D = PR . RS PQ+PR Entonces : D = RSxPR PQ+PR Paso 5: Ubicar un punto T a dicha distancia D del punto R, sobre la línea RS.
  • 24. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 24 PT es paralelo a L. B.- Medición de distancias existiendo obstáculos entre ambos. Método 1: Por ejemplo deseamos medir la distancia AB, existen un obstáculo entre ambas que es imposible medir directamente con Wincha. Paso 1: Ubicar un punto cualquier P fuera del obstáculo, de modo que defina el alineamiento AP al cual le vamos a llamar alineamiento L. Paso 2: De B trazar una perpendicular al alineamiento L. Y en la intersección de dicha perpendicular con el alineamiento L, determinar el punto C. Paso 3: Medir AC y BC.
  • 25. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 25 La distancia AB será: Método 2: Deseamos conocer la distancia AB, dicha distancia no es tan larga, pero no la podemos medir porque hay un obstáculo. Paso 1: Ubicar un punto C cualquiera, fuera del obstáculo y desde donde se pueda medir hacia A y hacia B. Paso2: Medir las distancias AC = d1 , y BC= d2 Paso 3: Sobre la prolongación de AC ubicar un punto A’ a la distancia d1 del punto C. Paso 4: Sobre la prolongación de BC ubicar un punto B’ a la distancia d2 del punto C. Paso 5: Medir A’B’. Entonces A’B’ = AB
  • 26. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 26 C.- Medición de distancias siendo uno de los puntos inaccesibles Se desea medir la distancia AB, pero el punto B es inaccesible. Paso 1: De A trazar una perpendicular al alineamiento AB. Y ubicar un punto C sobre dicha perpendicular. Paso 2: Desde C trazar una perpendicular al alineamiento CB. Y ubicar el punto D sobre dicha perpendicular y que interseque a la prolongación del alineamiento BA. Paso 3: Medir AC y DA. Entonces la distancia AB = (AC)2 / (AD) Nota: Tener en cuenta que si se desea una buena precisión, entonces AC no debe ser tan corta. TAREA: ¿Cómo podría determinar la distancia entre dos puntos, siendo ambos inaccesibles, usando sólo wincha y jalón?
  • 27. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 27 D.- MEDICION DE ANGULOS Este método no es muy preciso como si lo es la medición con un teodolito. Se puede conseguir mejores precisiones si los lados del triángulo a formar son grandes. Por ejemplo 10 m. o más. El procedimiento es sencillo: se mide una misma distancia “d” en cada uno de los lados del ángulo a a calcular, luego se mide la distancia “l” entre estos dos extremos, como se ha conseguido formar un triángulo isósceles se procede a calcular el ángulo por la trigonometría. Por triángulo rectángulo Ley de cosenos Tareas: 1) Para conocer el valor del ángulo a, se midieron las distancias: l =10 m y d = 7 m. Se pide calcular el ángulo de dos maneras: a) Usando la ley de senos o la de cosenos. b) Dibujar a escala y calcularla con un transportador o en AutoCad. Solución: a=40º 58’29” 2) Para conocer el valor del ángulo a, se midieron las distancias: l =12 m y d = 19 m. Se pide calcular el ángulo de dos maneras indicadas en la tarea anterior: Solución: a=104º 40’59”
  • 28. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 28 CAPITULO 3..-BREVE INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE ERRORES 4.1.- Definición del error: Es la pequeña diferencia entre una medición hecha a una magnitud y su verdadero valor. Por ejemplo: Distancia medida de A-B = 100,02 mts. Distancia verdadera de A-B = 100,00 mts. Error en la medición A-B = 100,02 – 100,00 4.2 Discrepancia: Es la diferencia entre dos mediciones hechas para una misma magnitud. Por ejemplo: Distancia medida de A-B = 100,02 mts Distancia medida de B-A = 100,06 mts. Discrepancia = 100,02 – 100,06 O Discrepancia = 100,06 – 100,02 4.3 Equivocación: : Es una diferencia muy grande entre una medición hecha a una magnitud y su verdadero valor. 4.4.-Fuentes de errores NATURALES: Debido a la naturaleza. Como por ejemplo: Cambios de temperatura, viento, etc. MATERIALES: Debido al error del equipo ya que todo equipo tiene un error. PERSONALES: Debido al error humano
  • 29. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 29 4.5 Tipos de errores a.-Errores sistemáticos: Son errores que se pueden corregir por una fórmula. Por ejemplo que durante años hemos trabajado con una cinta métrica que dice tener 30 mts. pero cuando la comparamos con otra cinta mas precisa, resulta que realmente mide 30,025 m. ya que con el tiempo nuestra cinta ha ido cediendo. Es decir que cuando nosotros medimos 30 mts. con nuestra cinta, realmente estamos midiendo 30,025 mts. ¿Cuál será la longitud correcta del lado A-B, si cuando la medimos con nuestra cinta, ésta nos indica que dicha longitud es 20 m.? Longitud nominal de la cinta: 30 mts. Longitud verdadera de la cinta: 30,025 mts. Error de la cinta cuando dice medir 30 mts = 30,000 –30,025 Error de la cinta cuando dice medir 30 mts = -0,025 Corrección a la medición hecha con la cinta a los 30 mts. = 0,025 Corrección a la medición hecha con la cinta a los 20 mts. = 0,025 Corrección a la medición hecha con la cinta a los 20 mts = 0,017 Longitud correcta del tramo A-B = 20 m. + 0,017 m. Longitud correcta del tramo A-B = 20,017 m. Observar: La corrección es sentido contrario al error. b,-Errores accidentales: Una vez corregidos los errores sistemáticos de una medición, esta continua teniendo errores que son imposibles de corregir ya que dependen del operador, la precisión del equipo o las condiciones variables de la atmósfera. Por estos errores es la razón por la cual resulta imposible determinar el verdadero valor de una magnitud. 4.6.- EL VALOR MÁS PROBABLE Como es imposible determinar el verdadero valor entonces lo que se determina es el valor más probable. 4.7.-DETERMINACIÓN DEL VALOR MÁS PROBABLE a) De una magnitud medida varias veces en igualdad de condiciones El valor mas probable es el promedio. Ejemplo: Se ha medido 5 veces la distancia P-Q. hallar el valor mas probable de dicha distancia.
  • 30. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 30 Datos: Vez medición 1 42,45 2 42,49 3 42,44 4 42,72 5 42,45 Solución: Se elimina la cuarta medición debido a que es muy diferente a las otras 4. Es obvio que si existieran mas mediciones que estén muy diferentes que las otras, entonces habrá que eliminarlas también. Promedio Promedio = 42,458 m. b) Con mediciones en igualdad de condiciones cuya suma exacta se conoce Ejemplo: Se han medido los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero en igualdad de condiciones: ángulo medición A 100º 15’ 10” B 30º 00’ 10” C 142º 37’ 30” D 87º 07’ 40” Solución: Sumatoria de los ángulos medidos = 360º 00’ 30” pero por condición geométrica dicha suma debe ser 360º . Entonces Error = 360º 00’ 30” - 360º = 30” Corrección a cada ángulo = 7.5” (redondeando a 7” o a 8”) corrigiendo ángulo medición corrección ángulos corregidos A 100º 15’ 10” - 8” 100º 15’ 02” B 30º 00’ 10” - 7” 30º 00’ 03” C 142º 37’ 30” - 8” 142º 37’ 22” D 87º 07’ 40” - 7” 87º 07’ 33” SUMA -30” 360º 00’ 00” Nota: Que ángulos corregir a 7” y cuales a 8” es indistinto, lo importante es que la suma de todas las correcciones sea igual al error total cambiado de signo.
  • 31. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 31 c) De varias magnitudes medidas en igualdad de condiciones cuya suma exacta ha sido medida Se determina la discrepancia que existe de la suma de las mediciones y la suma medida. La corrección por medición será: Corrección por medición = Discrepancia/número de mediciones (incluida la suma) Si a las mediciones se le suma la corrección, entonces a la suma medida se le resta dicha corrección y viceversa. Ejemplo: Se ha medido los tramos de la fachada de un edificio, primero se midió por partes y luego se midió la distancia total como se indica el gráfico. Se pide los valores mas probables de los ángulos. AB+BC+CD = 37,18 m. AD = 37,10 m. Discrepancia= 37,18-37,10 o Discrepancia= 37,10-37,18 Discrepancia = 0,08 Corrección a cada medida = 0,08/4 ------- > Corrección a cada medida = 0,02 Entonces a AB, BC y CD habrá que restarle dicha corrección ya que 37,18> 37,10, es decir estos 3 datos están medidos en exceso. Y a AD habrá que sumarle 0,02 ya que 37,10<37,18. Tramos Medición corrección Valor mas probable (en m.) AB 12,34 -0,02 12,32 BC 11,20 -0,02 11,18 AB 13,64 -0,02 13,62 AB 37,10 +0,02 37,12 Tarea: Se tiene un terreno rectangular de 100 m. x 50 m. si al medir el lado mas corto cometemos un error de 5 mm. ¿En cuanto aumentaría dicha área? ¿Qué conclusión práctica podría sacar de esta experiencia.
  • 32. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 32 Capítulo 4: NIVELACIÓN 4.1 Definiciones a.-Nivelación Nivelar es determinar la altura de un punto respecto a una superficie de referencia B.-Cota o elevación Como ya se vio anteriormente, es la distancia vertical de un punto desde una superficie de referencia. c--SUPERFICIE DE REFERENCIA Pueden ser de 2 tipos El nivel medio del mar Una superficie cualquiera d.-NIVELACIÓN ABSOLUTA Se usa cuando es necesario trabajar con cotas respecto al nivel medio del mar (cotas absolutas). Se trabaja a partir de puntos llamados Bench Mark. e.-NIVELACIÓN RELATIVA Se usa cuando solo es necesario conocer el desnivel existente, sin necesidad de tomar como referencia el nivel del mar. En este caso solo se trabajan con cotas relativas debido a que la superficie de referencia es una superficie cualquiera (o sea no es el nivel promedio del mar). f.-BENCH MARK Es un punto cuyo cálculo de su cota absoluta ha sido realizado con alta precisión. En el Perú el IGN, es el que se encarga de dar los BM. Físicamente es una placa de bronce de 10 cm. La información del BM lo da el IGN a pedido del interesado. Una hoja con dicha información. 3.2.-Clases de nivelación 1,- Nivelación Directa o Geométrica 2.- Nivelación Indirecta - Barométrica - Trigonométrica
  • 33. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 33 A continuación se va a detallar cada uno de ellos. 4.3.- Nivelación Geométrica Se miden directamente los desniveles en el terreno. Para esto se utilizan 2 equipos: Nivel y elemento vertical graduado. a.- Equipos y accesorios Nivel: Es el instrumento que define un plano horizontal, y permite realizar mediciones verticales con lo que corta dicho plano. Bajo esta definición podemos llamar nivel a: Nivel de manguera, nivel de mano, nivel de ingeniero. Nivel de mano Nivel de Ingeniero La fotografía del nivel de mano ha sido tomada del libro “Topografía práctica” del Ing. Jorge Mendoza D. Nivel de manguera Elemento vertical graduado: Si se va a trabajar con nivel de manguera o de mano, posiblemente sea suficiente usar como dicho elemento vertical: una wincha. Sin embargo si se utiliza nivel de ingeniero entonces habrá una regla graduada de madera llamada: MIRA.
  • 34. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 34 La MIRA, es una regla graduada, con marcas hasta el centímetro y agrupadas de 10 en 10 cm. Si la mira es de madera, se encuentra protegida en sus bordes por un elemento metálico que evita el desgaste. Mira de código: esta mira tiene códigos de barras en vez de graduación métrica ya que el nivel usado es el electrónico que permite leer estos códigos. Mira parlante: es la clásica mira con graduación cada cm. y agrupadas de 10 cm. en 10 cm. b.-Forma de realizar una lectura en mira b.1) Con el ocular del nivel aclarar los hilos del retículo, b,2) con la puntería del nivel visar aproximadamente la mira, b.3) bloquear el anteojo para que no se mueva (si es que el equipo tiene bloqueos), b.4) con el enfoque aclarar la imagen que estamos viendo. b.5) con el tangencial del equipo visar exactamente al medio de la mira como se observa en el gráfico, b.6) realizar la lectura: por ejemplo observamos que estamos en 14 decímetros y algo menos de 2 centímetros, aproximando los milímetros, la lectura será: 14 decímetros, 1 centimetro y 8 milímetros. En metros leeremos: 1,418 m
  • 35. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 35 Retículo: es el círculo de vidrio que se ve en el antejo. Cruz filiar: es una cruz que se encuentra en el centro de la visión y hacia donde debemos leer en la mira. Tarea: averiguar que lectura tenemos en esta mira: Tarea: marcar en la mira las siguientes lecturas: 3,408 y 3,500 4.4 Tipos de nivelación geométrica - Nivelación geométrica simple - Nivelación geométrica compuesta
  • 36. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 36 4.5 Nivelación geométrica simple Se calcula la cota de uno o más puntos del terreno, teniendo la cota de un punto conocido y colocada el nivel en una sola estación. a-EJEMPLO 1: perfil planta VISTA ATRÁS ( L+): Lectura en la mira que se encuentra sobre un punto de cota conocida. Por ejemplo que la cota de A sea 100,000 m.s.n.m. y la vista atrás sea: 1,855 mts. VISTA ADELANTE (L-) : Lectura en la mira que se encuentra sobre un punto de cota por conocer. Por ejemplo que se desea conocer la cota de B, entonces la vista delante de B será: 0,721 mts. Del gráfico del perfil se puede observar que: COTA DE B = COTA DE A + VISTA ATRÁS DE A - VISTA DELANTE DE B Ojo La cota conocida + su vista atrás = Altura instrumental
  • 37. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 37 Cota de B = 100,000 + 1,855-0,721 Cota de B = 101,855 - 0,721 En libreta se anotará así ( las flechas no se indican) b.-Ejemplo 2: También se puede calcular las cotas de varios puntos, si tenemos conocida la cota del punto A, podemos calcular las cotas de otros puntos (B, C,D), si es que podemos estacionar el nivel en una posición desde la cual se puedan ver todos los puntos (A,B,C,D). c.-Ejemplo 3 La cota del punto Q es 123,432 m. a partir de dicha cota se pide determinar las cotas de los puntos P,R y S. Para lo que se coloca el nivel en un sitio desde donde se ven todos los puntos. A continuación se muestra un perfil de los puntos donde las lecturas en la mira que se obtuvieron se muestran al costado de la línea de visual. Todos los datos están en metros. Se pide: llenar los datos en el formato de libreta de campo y calcular las cotas de todos los puntos.
  • 38. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 38 Solución: Observar que la vista atrás es a la lectura en el punto Q ya que tiene cota conocida, las demás lecturas son vistas adelante ya que ninguno de los puntos tiene cota conocida. Además desde una posición del nivel, sólo puede haber una sola vista atrás y puede tener una o más vista adelante como en nuestro caso. Punto Distancia V.atrás V.adelante cota Q 1,404 124,836 123,432 P 0,798 124,038 R 1,321 123,151 S 0,796 124.040 d.- Recomendaciones * Es preferible que el nivel se coloque aproximadamente equidistante a los puntos a nivelar. Esto para eliminar los pequeños errores por curvatura terrestre y refracción atmosférica. * Colocar la mira en completa verticalidad. Dicha verticalidad se puede conseguir con una plomada o un nivel de mano. Si no se dispone de dichos accesorios, se puede bascular ligeramente la mira de atrás a adelante y viceversa. Cuando en el anteojo se ve la menor lectura, dicho valor es el que se anota. * Evitar colocar distancias muy largas entre el nivel y la mira, preferiblemente como máximo 50 mts. Para evitar demasiados errores. 3.6 Nivelación geométrica compuesta Es una serie de nivelaciones geométricas simples relacionadas entre sí. Se utiliza cuando la distancia entre 2 puntos a nivelar es demasiado, o cuando tienen mucho desnivel o cuando se desea conocer el error de la nivelación o cualquier combinación de las 3 anteriores. a.-Ejemplo 1 Se desea calcular el desnivel ente A y B, pero no existe ningún sitio donde se pueda colocar en nivel, desde donde se vean ambos puntos. Entonces de procederá a realizar una nivelación geométrica compuesta.
  • 39. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 39 En este ejemplo, ya que no podemos nivelar directamente entre A y B debido a que están muy lejos y tienen muchos obstáculos; procederemos a nivelar entre A y 1. (el punto 1 está mas cerca de B, que el punto A). En esta nivelación se tiene como dato la cota de A y lo que se desea conocer es la cota del punto 1. Punto Distancia V.atrás V.adelante cota A 2,540 100,000 1 90 1,420 Luego se procede a nivelar entre otro par de puntos, por ejemplo entre 1 y 2, donde por la nivelación anterior se puede conocer la cota de 1 y mediante esta nivelación se determina la cota de 2. Punto Distancia V.atrás V.adelante cota 1 0,560 2 102 2,530 Luego entre 2 y 3
  • 40. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 40 Luego entre 3 y B. Punto Distancia V.atrás V.adelante cota 3 2,659 b 76 1,822 De esta manera podemos calcular la cota de B. La libreta de campo será llenada de la siguiente manera. Punto Distancia parcial(m.) Vista atras Vista adelante Cota A 2.540 100,000 1 90 0,560 1.420 2 102 1,443 2,530 3 102 2,659 0.543 B 1.822 Punto Distancia V.atrás V.adelante cota 2 1,443 3 102 0,543
  • 41. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 41 Y las cotas se determinaran mediante un trabajo de gabinete. Punto Distancia parcial(mts) Vista atras Vista adelante Cota A 2.540 102.540 100,000 1 90 0,560 101,680 1.420 101,120 2 102 1,443 100,593 2,530 99,150 3 102 2,659 102,709 0,543 100,050 B 76 1.822 100.887 Ahora, si deseamos determinar el error de nuestra nivelación, procedemos de manera inversa. O sea conocida la cota de B, determinamos la cota de A, la cual nos debería dar el mismo valor .( es decir 100,000 ). Se puede volver por los mismos puntos anteriores o por otros. FINALMENTE EL CUADRO LLE- NADO CON LOS PUNTOS DE VUELTA Y DETERMINANDO LA COTA DE A, PARA VERIFICAR CON LOS DATOS: Punto Distancia parcial(mts) Vista atras Vista adelante Cota A 2.540 102.540 100,000 1 90 0,560 101,680 1.420 101,120 2 102 1,443 100,593 2,530 99,150 3 102 2,659 102,709 0,543 100,050 B 76 1,732 102.619 1.822 100.887 4 125 1,705 102,381 1,943 100,676 5 120 0.900 101.481 1,800 101,581 A 86 1.471 100,010 SUMA 701 11,539 11,529
  • 42. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 42 Ahora deberemos determinar el error de la nivelación en esta NIVELACIÓN CERRADA DE CIRCUITO (Se llama cerrada porque termina en un punto que tiene cota y se llama “de circuito” porque el punto de llegada es el mismo que el de partida). Hay dos maneras conocer este error de nivelación: 1) ERROR DE NIVELACIÓN =SUMA DE V. ATRÁS – SUMA DE V. ADELANTE ERROR EN NIVELACION = 11,539 – 11,529 ERROR EN NIVELACIÓN = 0,010 2) ERROR DE NIV. = COTA DE UN PUNTO (CALCULADA) – COTA DEL MISMO PUNTO (DATO). ERROR EN NIVELACIÓN = 100,010 – 100,000 ERROR EN NIVELACIÓN = 0,010 Este error deberá ser comparado con la tolerancia máxima permitida para ver si no nos excedemos de dicha tolerancia. Si deseamos una nivelación ordinaria que es la más común, entonces la tolerancia es: Tolerancia en niv. Ordinaria = 0,02 0,701 Tolerancia en niv. Ordinaria = 0,017 Observamos que: 0,010 < 0,017 estamos bien. O sea podemos compensar. Si el error hubiese sido mayor que la tolerancia, entonces hubiese sido necesario volver a realizar la nivelación. COMPENSACIÓN DEL ERROR : Si el error está dentro de lo permisible procedemos a compensar las cotas: La compensación se basará en los criterios de la teoría de las observaciones o sea : A mayor distancia medida, mayor error. A mayor error, mayor corrección Los errores se comenten en la misma dirección y sentido. Todas las mediciones fueron realizadas en igualdad de condiciones Corrección de la cota de un punto = - error de nivelación * Distancia acumulada hasta el punto Distancia total nivelada Por lo que observamos tendremos que calcular las distancias acumuladas para todos los puntos. El cuadro con las distancias acumuladas, las correcciones y las cotas corregidas, se muestran a continuación:
  • 43. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 43 Punto Distancia acumulada Cota sin corregir Corrección Cota corregida A 100,000 -0,000 100,000 1 90 101,120 -0,001 101,119 2 192 99,150 -0,003 99,147 3 294 100,050 -0,004 100,046 B 370 100.887 -0,005 100,882 4 495 100,676 -0,007 100,669 5 615 101,581 -0,009 101,572 A 701 100,010 -0,010 100,000 b.-Tolerancias permisibles La tolerancia está dada por la expresión : e K mts. Donde e = error kilométrico (mts) Depende del tipo de nivelación compuesta que se requiera. K = distancia nivelada en Kilómetros. TIPOS: Nivelación aproximada: e = 0,10 Se usa para levantamientos preliminares. Nivelación ordinaria : e = 0,02 Se usa en trabajos de ingeniería y arquitectura. Proyectos definitivos, etc. Los puntos donde se coloque la mira no deben tener asentamiento, como por ejemplo no pararse sobre tierra suelta. Nivelación precisa: : e = 0,01 Se usa para trabajos de desagüe y canales. Los puntos donde se coloque la mira deben estar fijos. Nivelación de alta precisión : e = 0,004 Se usa para determinar BM. Tiene muchas especificaciones, entre las que se menciona que los niveles deben ser de alta precisión como lo son los niveles geodésicos, colocar sombrilla al nivel si hace mucho sol, etc. c.-Puntos de cambio y puntos intermedios Puntos de cambio : Son puntos que tienen vista atrás y vista adelante. Para efectos de cálculo los puntos: inicio y fin de una nivelación son considerados como puntos de cambio. Puntos intermedios: Son puntos que solo tienen vista adelante.
  • 44. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 44 d.- Ejemplo 1 por ejemplo: COTA DE A = 102,000 Vista atrás de A = 1,323 Vista adelante de B = 1,456 Vista adelante de C = 1,544 Vista adelante de D = 0,454 Vista atrás de D = 0,349 Vista adelante de E = 1,654 Vista adelante de F = 1,432 LA LIBRETA DE CAMPO SE DEBERÁ LLENAR ASÍ: PUNTO DIST. PARCIAL VISTA ATRAS VISTA ADEL. COTA A 1,323 103,323 102,000 B 20 1,456 101,867 C 20 1,544 101,779 D 20 0,349 103,218 0,454 102,869 E 20 1,654 101,564 F 20 1,432 101,787 Si queremos saber si nuestra nivelación está dentro de la tolerancia permitida habrá que comparar nuestra cota obtenida con el “verdadero” valor de dicha cota. Si la cota “verdadera” de F fuese 101,793, entonces: Error en nivelación = 101,787 -101,793 Error en nivelación = -0,006
  • 45. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 45 Tolerancia en nivelación ordinaria = 0,02 0,100 = 0,006 0,006 0,006 Si cumple, entonces se procede a corregir PUNTO DISTANC. ACUMULADA COTA SIN CORREGIR CORRECCIÓN COTA CORREGIDA A 102,000 0,000 102,000 B 20 101,867 0,001 100.868 C 40 101,779 0,002 101.78| D 60 102,869 0,004 102.873 E 80 101,564 0,005 101.569 F 100 101,787 +0,006 101,793 4.6 PERFIL LONGITUDINAL Es la representación del relieve del terreno a lo largo de un trazo longitudinal como una poligonal, camino, ferrocarril, etc. Se toman las cotas de puntos a lo largo del trazo, gene-ralmente cada 20 m. en tramos rectos ,cada 10 m. en tramos curvos y en puntos notables como: cada cambio importante de pendiente, al inicio y al final, en los cambios de dirección, principio de curva (PC) y final de curva (PT). Para una mejor visualización del perfil, la escala vertical es mayor que la horizontal. Generalmente se utiliza 10 veces mayor la vertical que la horizontal. Por ejemplo: Si la escala horizontal es 1/500, la vertical será 1/50 EJE LONGITUINAL
  • 46. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 46 Capítulo 5: ORIENTACIÓN Y MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALES TODO TRABAJO REQUIERE DE UNA ORIENTACIÓN RESPECTO A UNA LÍNEA DE REFERENCIA. ES DECIR EL ÁNGULO HORIZONTAL EN SENTIDO HORARIO DE LA LÍNEA DE REFERENCIA HACIA UNA LÍNEA DE NUESTRO TRABAJO. 5.1 Tipos de referencia a) RELATIVA b) NORTE CONOCIDO a) ORIENTACIÓN RELATIVA: En este caso se toma como línea de orientación una conocida. Por ejemplo el borde de una propiedad, el borde de una pista, etc. Se usa cuando no es necesario conocer el norte exacto. En estos casos también a la orientación relativa se le llama NORTE RELATIVO. PUNTOCOTA TERRENOCOTA RASANTE0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24 24+9,1420,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 9,1420,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 200,00 210,00 249,14122120118116116,851 117.145 118,298 117,208 116,555 117,188 118,408 118,800 118,904 118,994 119,258 119,895 120,943 121,512
  • 47. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 47 Un ejemplo claro del uso del norte relativo es en los planos arquitectónicos de viviendas, las cuales se orientan con la dirección de la calle o con uno de los bordes de la vivienda. b) ORIENTACIÓN RESPECTO A UN NORTE CONOCIDO: En este caso existen 3 tipos de norte conocido: b.1) Norte magnético: Lo determina la brújula. La aguja de la brújula indica el polo norte magnético. La tierra es como un imán gigante con dos polos, las agujas imantadas terrestres apuntan siempre a dichos polos. El problema es que estos polos cambian de posición en el transcurso de los años, por lo tanto cuando se orienta con brújula es necesario indicar cual fue la fecha del trabajo. En los planos este norte se indica mediante una flecha donde en su punta se indica: N.M. Brújula Fuente del gráfico: El Calatífico, periódico científico Buenos Aires, Argentina. b.2) Norte geográfico o Norte verdadero: Se orienta con la línea que indica hacia el polo norte geográfico. El Norte geográfico y el Sur geográfico pertenecen al eje alrededor del cual gira la tierra.
  • 48. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 48 Si estamos estacionados sobre un punto y queremos saber en que dirección está nuestro norte geográfico, bastará con encontrar un punto que está mas hacia el norte pero que tiene la misma longitud (l) que nuestro punto. Así por ejemplo si tenemos 2 puntos cuyas coordenadas geográficas son: Punto A Latitud : 12º 34’23,00” sur Longitud: 77º 33’12,50” Oeste Punto B Latitud: 12º 32’44,00” sur Longitud: 77º 33’12,50 oeste Entonces la dirección A-B indica el norte geográfico. Generalmente el norte geográfico se indica con una flecha que en la parte superior se indica: NG o NV o el dibujo de una estrella de 5 puntas. b.3) Norte UTM o norte de cuadrícula: indica una dirección paralela al meridiano central de su zona. Los puntos que se encuentran a lo largo de dicha dirección tendrán las mismas coordenadas en el eje ESTE (X). El eje vertical de la carta nacional indica el norte de cuadrícula. Por ejemplo Si A tiene coordenadas 8680400 NORTE, 493000 ESTE Y C tiene coordenadas 8682400 NORTE, 493000 ESTE Observamos que el punto C está más al norte que el A, la dirección A-C está indicando el Norte UTM o norte de cuadrícula. Generalmente está representado con una flecha que en la parte superior indica: NC. Mayor información respecto al norte de cuadrícula la va a ver en el curso de extensión: GPS o Geodésia. 5.2 AZIMUT DE UNA LÍNEA Es el ángulo horizontal en sentido horario formado por dos direcciones: La dirección Norte con la dirección de la Línea cuyo azimut se desea saber. El azimut se encuentra entre los siguientes valores: Observar que el azimut de AD es mucho mayor que el azimut de AB. ¿Y existe azimut negativo? Los azimuts son expresados en sentido horario y son positivos, entonces un azimut en sentido anti horario sería negativo como es observa en el gráfico
  • 49. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 49 siguiente: Azimut de P-Q = -33º (es negativo porque está en sentido antihorario) Deberemos convertirlo a horario sumándole 360º. Azimut de P-Q = 327º (se obtiene así: -33º+360º) 3.3 RUMBO DE UNA LÍNEA O ALINEAMIENTO Es el menor ángulo formado por la línea Norte- Sur con una dirección dada. Rumbo de PQ = N 54º E = 54º noreste Rumbo de PR = S 73º O o S 73º W (*) = 73º suroeste (*) A veces se prefiere escribir W de west en vez de O de oeste. La razón de esto es que la letra O se puede confundir con el número cero. Tarea: Si en el gráfico siguiente se sabe los azimuts, determinar los rumbos:
  • 50. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 50 5.4 Azimut directo y Azimut inverso Veamos el gráfico siguiente: AZIMUT DE A-B AZIMUT DE B-A Al azimut de AB también se le llama AZIMUT DIRECTO DE A-B. Al azimut de BA también se le llama AZIMUT INVERSO DE A-B LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS AZIMUTS ES O 180 Por ejemplo si el Azimut de AB es 60º 30’. ¿Cuál será el azimut inverso de A-B, llamado también el azimut de B-A? Solución: Azimut de B-A = 60º 30’ + 180º, en este caso si se le resta 180º el resultado saldría negativo y el azimut no puede ni ser negativo ni mayor de 360º ). Azimut de B-A = 240º 30’ Además se observa que los valores absolutos de ambos rumbos deben ser iguales pero con dirección contraria, asi: Rumbo de AB = 60º 30’ NORESTE Rumbo de BA = 60º 30’ SUROESTE
  • 51. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 51 ATRACCIÓN LOCAL La brújula en su aguja magnética suele sufrir desviaciones o atracciones, debidas a objetos cercanos o también relativamente cercanos que ejercen una atracción magnética llamada atracción local sobre ella. Esto se debe a la existencia de alguna acumulación de metales en el terreno, torres de transmisión, rieles de un ferrocarril, radios, etc. Si las mediciones de azimut directo e inverso no difieren en 180º ( o si sus valores absolutos no son iguales) es porque posiblemente hay atracción local. Ejemplo: Observar que el imán hace que el norte que indica la brújula en A, no sea paralela al norte que indicia en B, por lo que la diferencia de azimuts no será 180º. 5.5 MEDICIÓN DE ÁNGULOS TENIENDO LOS AZIMUTS DE LAS DOS DIRECCIONES QUE COMPRENDEN EL ÁNGULO. En estos casos lo mejor es hacer un croquis para ver que operación aritmética voy a realizar. Por ejemplo, para calcular el ángulo ABC. Habrá que restar los azimuts: Azimut de BC- Azimut de BA. Ángulo A-B-C = ZBC - ZBA Por ejemplo, si deseo el ángulo CBA. Habrá que calcular cuanto vale el ángulo C-B-NORTE. Y luego sumarle el Azimut de BA. Entonces: Ángulo C-B-A = ( 360- ZCB)+ ZB Tarea: Hallar el ángulo R-S-T Azimut de ST = 43o 10’ y Azimut de SR = 291o 20’ Nota: También se puede calcular el ángulo mediante la resta del azimut de llegada menos el azimut de partida. Solo que si éste resulta negativo, entonces se le suma 360º para tener un ángulo positivo. Ejemplo: El ángulo R-S-T se calculará así:
  • 52. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 52 Azimut de llegada: S-T y azimut de partida S-R entonces el ángulo se calcularía así: ángulo R-S-T = 43º 10’ – 291º 20” ángulo R-S-T = -248o10’ (como el ángulo es negativo se le suma 360º ) ángulo R-S-T = 111º 50’ CAPITULO 6.0 COORDENADAS RECTANGULARES A todo punto de la superficie de la tierra se le puede asignar coordenadas rectangulares. Asignando a la dirección Oeste- Este, el eje X, y a la dirección Sur- Norte, el eje Y. Al eje X también se le llama eje ESTE, y al eje Y también se le llama eje NORTE. Respecto al origen de estos ejes coordenados estos pueden ser: Absolutos: Si es que el origen de coordenadas es UTM (Universal Transversa Mercator). Relativos: Si es que el origen de coordenadas lo determina el usuario de acuerdo a su critero o asigna coordenadas a un punto del trabajo para que todos los demás puntos tengan posición relativa a dicho punto. Por ejemplo si al punto A se asigna las coordenadas = (500 ESTE; 600 NORTE), entonces si el punto B tiene coordenadas = ( 800 Este; 800 Norte) significa que el punto B se encuentra 300 metros al este de A y 200 metros al norte de B. Hacer un gráfico para darse cuenta. a.- CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE UN PUNTO Se puede conocer las coordenadas de un punto teniendo las coordenadas de otro punto, el azimut y la distancia entre ambos puntos. Como se muestra en la figura. XA-BYA-BYAXAABZA-B DHA-B
  • 53. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 53 Los datos son: DHA-B = Distancia horizontal de A a B ZA-B = AZIMUT de A-B XA = Coordenada Este del punto A YA = Coordenada Norte del punto A se pide conocer las coordenadas del punto B: XB= Coordenada Este del punto A YB = Coordenada Norte del punto A procedimiento: Paso 1: Cálculo de proyecciones en ambos ejes: DXA-B= proyección en ESTE de la distancia horizontal A-B; DYA-B= proyección en NORTE de la distancia horizontal A-B. DXA-B= DHA-B SENO (ZA-B) DYA-B= DHA-B COSENO (ZA-B) Paso 2: Si se tiene como dato las coordenadas de A y los valores de las proyecciones DXA-B , DYA-B, se puede calcular fácilmente las coordenadas de B. Mediante XB = XA + DXA-B ^ YB = YA + DYA-B Así por ejemplo si las coordenadas de A son: ( 400 m. Este; 500 m. Norte) el azimut de A-B es 46º 23’ 40” y la distancia horizontal A-B es 203 m. Para calcular las coordenadas del punto B procederemos de la siguiente manera: Cálculos de DXA-B , DYA-B DXA-B = 203 seno (46o 23’ 40”) DXA-B = 146,99 DYA-B = 203 coseno(46o 23’ 40”) DYA-B = 140,01 Cálculo de las coordenadas de B. XB = 400+146,99 XB = 546,99 mts. YB = 500+ 140,01 YB = 640,01 mts. Ejemplo 1: El gráfico en planta de la derecha muestra una poligonal en la que se tiene los azimuts y las distancias horizontales de todos los lados como se muestra en el cuadro siguiente:
  • 54. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 54 Lado Azimut Distancia horizontal (m.) A-B 64º 120,00 B-C 152º 88,88 C-D 225º 91,50 D-E 112º 100,00 Además se sabe que las coordenadas del punto A son: 500,00 Este; 600 Norte. Se pide: a) calcular las coordenadas de todos vértices de la poligonal, b) calcular los rumbos de todos los lados de la poligonal. Solución: a) Para calcular las coordenadas de todos los vértices tenemos como dato las coordenadas del punto A y los respectivos azimuts y distancias de los lados. Entonces vamos a calcular las proyecciones en Este y Norte de todos los lados, ver el siguiente cuadro: Lado Azimut Distancia horizontal (m.) Proyección en X (DX) Proyección en Y (DY) A-B 64º 120,00 107,86 52,60 B-C 152º 88,88 41,73 -78,48 C-D 225º 91,50 -64,70 -64.70 D-E 112º 100,00 92,72 -37.46 Luego calculamos las coordenadas de los vértices. Primero calculamos las coordenadas del punto B de la siguiente manera: XB = XA + DXA-B ------> XB= 500,00+107,86 ------> XB= 607,86 m. YB = YA + DYA-B ------> YB= 600,00+ 52,60 ------> YB= 652,60 m. Ahora hallamos las coordenadas del punto C (observar el gráfico de esta página): XC = XB + DXB-C ------> XC= 607,86+41,73 ------> XC= 649,59 m. YC = YB + DYB-C ------> YC= 652,60+(-78.48) ------> Yc= 574,12 m. De igual manera hallamos las siguientes coordenadas: XD = XC + DXC-D ------> XD= 649,59+(-64.70) ------> XD= 584.89 m.
  • 55. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 55 YD = YC + DYC-D ------> YD= 574.12+(-64.70) ------> YD= 509,42 m. XE = XD + DXD-E ------> XE= 584,89+92.72 ------> XE= 677,61 m. YE = YD + DYD-E ------> YE= 509.42+(-37.46) ------> YE= 471,96 m. b) Cálculo de los rumbos Ejemplo 2: Desde un punto A de una poligonal se levantaron por radiación los puntos: 1; 2; 3 y 4. Los datos a los puntos levantados fueron: Azimut y distancia desde el punto A hasta cada uno de los puntos. El croquis y los datos de campo se muestran a continuación: Punto Punto levanta- do Distancia horizontal m. (DH) Azimut (Z) A 1 30 30º 00’ 00’ 2 40 120º 30’ 30” 3 35 200º 20’ 30” 4 29 300º 30’ 50”
  • 56. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 56 Se pide las determinar las coordenadas de los puntos levantados, con dos decimales de precisión. Solución: a) Hallar las proyecciones en X e Y para cada una de las distancias. lado DX (DH SEN Z) DY (DH COS Z) A-1 15,00 25.98 A-2 34.46 -20.31 A-3 -12.17 -32.82 A-4 -24.98 14.72 b) Cálculo de coordenadas Observar que todas las mediciones han sido medidas a partir del punto A. Punto Este ( m.) Norte (m.) 1 231,00+ 15,0 = 246,00 438,00+ 25.98 = 463,98 2 231,00+34.46 = 265,46 438,00+(-20.31)= 417,69 3 231,00+(-12.17)= 218,84 438,00+(-32,82)= 405,18 4 231,00+(-24,98)=206,02 438,00+ 14.72 = 452.72 Tarea: Se tienen los siguientes datos: Coordenadas del punto P = (540,00 m. Este; 400,00 Norte) Azimut de Q-P = 143º 10’ 30” Distancia horizontal de P-Q = 439 m. Se pide: calcular las coordenadas del punto Q Respuesta: XQ = 276,88 m. YQ= 751.41 m. Cálculo de la distancia horizontal teniendo las coordenadas de 2 puntos Sean A = ( XA ; YA ) y B = (XB ; YB) las coordenadas de los dos puntos.
  • 57. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 57 Se realizan los siguientes cálculos: DXA-B = XB – XA DYA-B = YB – YA Con lo que finalmente: DH = DX2 A-B + DY2 A-B Cálculo de azimut de la línea conociendo las coordenada Sean los puntos A y B cuyas coordenadas se conocen y se desea saber cual es el azimut de A-B (ZA-B) DXA-B = XB- XA DYA-B = YB- YA Caso 1: Si el azimut se encuentra en el primer o segundo cuadrante: Es decir si YB>YA Entonces el azimut de A-B será: ZA-B = Ejemplo 1.a: Si XA = 490 ; YA = 600 y XB = 560 ; YB = 700 ZA-B =
  • 58. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 58 ZA-B = ArcoTangente (0,70) ZA-B = 34º 59’ 31 Ejemplo 1.b Si XA = 520 ; YA = 560 y XB = 230 ; YB = 800 ZA-B = ZA-B = arcotangente (-1,2083333) ZA-B = -50º 23’ 22” El azimut sale negativo, es decir el ángulo no está indicado del norte a la izquierda sino del norte a la derecha. Pero como se dijo en clase es mejor expresar el azimut en valores entre 0° y 360º, por lo que el azimut calculado se expresará en: ZA-B = 360º -50º 23’ 22” ZA-B = 309º 36’ 38” Caso 2: Si el azimut se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante: Es decir si YB<YA El azimut se calculará de la siguiente manera: a = y luego; ZA-B = 180o + a
  • 59. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 59 Ejemplo 2.a: Si XA = 540 ; YA = 700 y XB = 610 ; YB = 610 a = a = arcotangente (-0,777777777) a = -37º 52’ 30” Entonces ZA-B = 180o + (-37º 52’ 30”) ZA-B = 142º 07’ 30” Ejemplo 2.b: Si XA = 450 ; YA = 720 y XB = 200 ; YB = 610 a = a = arcotangente (2,2727272) a = 66º 15’ 02” Entonces ZA-B = 180o + (66º 15’ 02”) ZA-B = 246o 15’ 02” Ejemplo 2.c XA = 430 ; YA = 710 y XB = 430 ; YB = 190 a = a = arcotangente (0) a = 00º 00’ 00” Entonces: ZA-B = 180o + (00º 00’ 00”) ZA-B = 180o 00’ 00”
  • 60. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 60 Caso 3: Si YB=YA, entonces el azimut es: Si XB>XA, entonces ZA-B = 90º 00’ 00” Si XB<XA, entonces ZA-B = 270º 00’ 00” CAPÍTULO 7: RED DE APOYO Es la forma como se encuentran relacionados los puntos topográficos entre si de modo que sirvan de apoyo para un levantamiento. Existen 3 tipos: a.- TRIANGULACION Se forman triángulos entre los puntos topográficos. Se miden los ángulos de los tríangulos y sólo se mide uno de los lados, generalmente el más largo. Observar que midiendo estos 3 ángulos y una distancia la red está totalmente determinada. Si sólo se hubiesen medido los ángulos, la red no estaría determinada ya que existen infinitos triángulos de diferentes tamaños que tienen dichos tres ángulos. Claro que si hay más puntos topográficos se procede de manera similar, por ejemplo: En este ejemplo hay 6 puntos topográficos, se han formado triángulos, se ha medido un lado y los 15 ángulos. La figura está perfectamente definida. La red de triangulación era muy usada el siglo pasado debido a que sólo se medía una distancia. Sin embargo ha pasado al desuso con los distanciómetros electrónicos.
  • 61. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 61 b.- TRILATERACION Al igual que triangulación, se forman triángulos entre los puntos topográficos. Luego se miden todas las distancias de los triángulos, es decir ya no es necesario medir los ángulos. Y al igual que el caso anterior, si hay más triángulos se miden más lados. Con sólo medir las longitudes de los lados, la figura está perfectamente determinada. c.-POLIGONACION La poligonación en la Red de apoyo más usada en la actualidad. Se forma un polígono con los puntos topográficos y se miden los ángulos y las distancias de dicha poligonal. El trabajo de campo de la poligonal puede realizarse de 2 maneras: Mediante mediciones: en el campo se miden ángulos y distancias y luego con estos datos en el gabinete se procede a calcular las coordenadas de la poligonal y de los puntos levantados. Mediante coordenadas: las coordenadas de los puntos del terreno son calculadas directamente en el campo. Para esto se usan los equipos llamados “estaciones totales” ya que estos tienen programas informáticos que permiten realizar cálculos de coordenadas durante el levantamiento. En el gráfico se muestran dos poligonales, observar que pueden ser figuras irregulares y que los puntos topográficos son representados mediante dos círculos. Los ángulos medidos pueden ser interiores como en el gráfico de la izquierda o exteriores con en el gráfico de la derecha. - Condición geométrica
  • 62. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 62 Si los ángulos son interiores se debe cumplir que: Suma de los ángulos internos = 180(n-2) Si los ángulos son exteriores se debe cumplir que: Suma de los ángulos exteriores =180(n+2) tolerancias permisibles Para ángulos Tolerancia = Error del equipo * n El error del equipo en los equipos mecánicos en la menor graduación. Por ejemplo en la brújula que se sacó al campo, su error era de 5º . En el caso de equipos electrónicos su error es el Error probable de la medición (es un valor estadístico). Este valor lo dan los catálogos del equipo. Tarea: Revisar algunos catálogos de equipos topográficos que miden ángulos e indicar su error angular. Para distancias El error se llama error lineal y la tolerancia está expresada en error relativo, o sea: Error relativo = M 1 Donde M = Perímetro/Error lineal Tolerancia Clase de levantamiento 1/800 Levantamiento en terrenos de muy poco valor. Generalmente rurales. 1/1000 a 1/3000 Levantamientos mediante taquimetría en terrenos de mediano valor. Generalmente rurales. 1/3000 a 1/6000 Levantamientos urbanos y rurales con cierto valor. 1/6000 en adelante Levantamientos en ciudades y terrenos con valor considerable.
  • 63. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 63 7.3.- LEVANTAMIENTO DE DETALLES Como se explicó al principio, la poligonal se realiza para que a partir de ésta se levanten los detalles del terreno. Existen múltiples maneras de realizar un levantamiento de los detalles. C.1.a. Por intersecciones de distancias (Resección) Los detalles se ubican con dos distancias a puntos conocidos. C.1.b Por radiación Este es el tipo de levantamiento mas usado.
  • 64. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 64 Por perpendiculares Se trazan perpendiculares a los lados de la red de apoyo y se miden las distancias. 7.4 Trabajos con las redes de apoyo a) Levantamiento con wincha. En los levantamientos con wincha es preferible usar la red de apoyo llamada trilateración, ya que en esta red no se miden ángulos. Por ejemplo, deseamos realizar el levantamiento de un parque de forma irregular con bancas, veredas y una pileta central. a.1) Primero deberemos realizar una red de apoyo. Como se explicó, se usará la trilateración. El número de triángulos dependerá de la extensión del terreno, además se recomienda lo siguiente:
  • 65. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 65 a-2) Los lados de los triángulos deben coincidir con algunos lados notables de la triangulación. En nuestro ejemplo, el lado A-C coincide con un borde de una vereda. a-3) Medir las distancias de los lados. Durante este proceso es conveniente dejar marcados algunos puntos sobre dichos lados y cuya distancia sea conocida. Ejemplo: Se midió la distancia A-E, pero además se dejo una estaca a la mitad de la distancia, como se observa en el gráfico el punto 1. Si se puede dejar marcados dichos puntos sobre detalles notables del levantamiento, mucho mejor. Por ejemplo al medir A-C se dejó 3 puntos notables: a la mitad de la vereda, al final de la vereda y en la intersección con la pileta central.
  • 66. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 66 Una vez medidas todas las distancias y marcados puntos importantes, entonces el croquis sería algo similar a lo indicado abajo. a.4) Después se procede a realizar el levantamiento de los detalles. * Cada detalle se puede ubicar a partir de 2 puntos marcados anteriormente. Ejemplos: El punto 11 que es el vértice de una banca puede ser ubicado mediante dos distancias: de 8 a 11 y de E a 11 (método de resección).
  • 67. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 67 De igual manera, el vértice 12 puede ubicarse mediante las distancias hacia los mismos puntos: E y 8. Otra manera de ubicar puntos es mediante perpendiculares partiendo de un punto y una dirección conocida. Por ejemplo como los puntos 11 y 12 definen uno de los lados del paralelogramo que se desea levantar, bastará con medir la longitud del otro lado y por perpendiculares se podrá dibujar el paralelogramo. Otro ejemplo de trazar perpendiculares es el siguiente: como ya se tiene medida la vereda A-3, entonces desde el punto 3 se puede trazar una perpendicular a dicha vereda y medir la distancia que hay hasta la otra vereda, como se muestra en el gráfico. Una curva irregular se puede levantar ubicando varios puntos a lo largo de dicha curva referenciados a puntos ya levantados. Por ejemplo los puntos 15 y 16 se levantaron midiendo las distancia hacia los puntos 1 y A; el punto 16, midiendo hacia los puntos 1 y E.
  • 68. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 68 Una curva se puede también levantar mediante perpendiculares tomados a partir de una línea sobre la cual se encuentran puntos conocidos. Por ejemplo, se tiene la línea F-G sobre el cual se han medido las distancias indicadas, entonces se puede trazar perpendi- culares sobre los puntos marcados y medir las distancia hasta donde intersecan con la curva a levantar. a) También se debe medir el azimut de un lado de la red de apoyo para poder orientar nuestro levantamiento. b.- Cálculo de los azimuts de los lados de la poligonal teniendo como dato el azimut de un ángulo y los ángulos en sentido horario de todos los vértices. Este cálculo se puede realizar de manera gráfica o analítica. El método analítico es mas rápido pero hay mas riesgo de equivocarse si es que no se sabe aplicar bien la fórmula. Método gráfico: Veamos este método mediante un ejemplo: Tenemos los lados: A-B y B-C. Los datos son los siguientes y a su izquierda se ha hecho un croquis para entenderlo mejor. AZIMUT DE A-B (ZA-B) = 121º 02’48” Angulo A-B-C ( ) = 109º 47’ 42” Incognita: Azimut del lado siguiente (ZB-C)
  • 69. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 69 Si desde el punto B se prolongan los lados: A-B y C-B. Entonces el ángulo que forma la dirección B-Norte con la prolongación de A- B es: ZA-B (propiedad de ángulos correspondientes). Además el ángulo que forman la prolongación de A-B con la prolongación de C-B es el ángulo: B (propiedad de ángulos opuestos por el vértice). Entonces del gráfico observamos que: ZB-C = 121º 02’48”+109º 47’42”-180º ZB-C = 50º 50’ 30” Método analítico Para conocer el azimut de un lado, conociendo el azimut del lado anterior y el ángulo comprendido entre ambos lados se procede así: al azimut del lado anterior se le suma el ángulo comprendido entre ambos lados y a dicha suma se le resta 180º. Es decir la fórmula es la siguiente: ZLADO = ZLADO ANTERIOR + – 180º Donde: Z = azimut = ángulo comprendido entre ambos lados Nota: está de más decir que si el azimut resulta negativo habrá que sumarle 360º para convertirlo en positivo. Ejemplo 1: Se tiene la poligonal A-B-C-D-E donde el azimut del Lado A-B es: 45º y los ángulos a la derecha (en sentido horario) son: B = 262º C = 209º D = 51º
  • 70. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 70 Se pide: * realizar un croquis de la poligonal (asumir que cada lado mide 100 m), * los azimuts de los lados: B-C,C-D y D-E Solución: Croquis Primero deberá dibujar el punto A y la dirección del norte en la vertical luego a partir de dicha vertical con un transportador ubicar la dirección del lado A-B para luego en dicha dirección medir la distancia A-B. y así continuar con los demás lados. Cálculo de los azimuts de los lados de la poligonal Sabemos que Azimut de A-B = 45º , entonces: Azimut de B-C = 45º + 262º -180º Azimut de B-C = 127º Azimut de C-D = 127º +209º -180º Azimut de C-D = 156º. Azimut de D-E = 156º+51º -180º Azimut de D-E = 27º
  • 71. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 71 Ejemplo 2: Se tiene una poligonal cerrada A-B-C-D-E-A , se tiene como datos: el azimut del lado A-B y los ángulos internos. Los datos han sido medidos con un teodolito cuya menor lectura es al minuto (1’). Los datos se muestran a continuación: Azimut de A-B (ZA-B) = 48º 30’ A = 101º 21’ B = 111º 20’ C = 100º 22” D= 115º 43’ E = 111º 12’ Se pide: verificar si cumple con la condición geométrica, hallar el error angular y verificar si cumple con la tolerancia angular, corregir los ángulos, calcular los azimuts de los lados: B-C,C-D, D-E, E-A. Solución Verificando si cumple con la condición geométrica: A+B+C+D+E = 539º 58’ Condición geométrica: Suma de los ángulos = 180 (5-2) Suma de los ángulos = 540º Observamos que entonces no cumple con la condición geométrica. El error angular es: 539º 58’ – 540º Error angular = - 0o 02’ Tolerancia angular = 1’ (1’ es la precisión del equipo y 5 es el número de lados) Tolerancia angular = 2,2’ Observamos que: si cumple con la tolerancia angular, entonces podemos proceder a corregir los ángulos. Corrección a cada ángulo = 2’/5 Corrección a cada ángulo = 24”
  • 72. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 72 Corrigiendo los ángulos: A = 101º 21’+ 0o 00’ 24” ………. A = 101º 21’ 24” B = 111º 20’+ 0o 00’ 24” ………. B = 111º 20’ 24” C = 100º 22” + 0o 00’ 24” ……… C = 100º 22’ 24” D= 115º 43 ’+ 0o 00’ 24” …….. D = 115º 43’ 24” E = 111º 12’+ 0o 00’ 24” …….. E = 111º 12’24” Cálculo de azimuts de todos los lados de la poligonal partiendo del azimut de AB. Azimut de B-C = 48º 30’ + 111º20’24” -180º Azimut de B-C = -20º 09’36” Azimut de B-C = 339º50’24” (como salió negativo se le sumó 360º para tenerlo como positivo) Azimut de C-D = 339º50’24”+ 100º 22”24” -180º Azimut de C-D = 260º 12’48” Azimut de D-E = 260º 12’48”+115º 43’24”-180º Azimut de D-E= 195º 56’12” Azimut de E-A= 195º 56’12”+111º 12’24”-180º Azimut de E-A= 127º 08’36” Ya tenemos todos los azimuts, pero si deseamos verificar nuestros cálculos, hallaremos el azimut de A-B y comparar si es que es el mismo que en la partida. Azimut de A-B = 127º 08’36” +101º 21’24”-180º Azimut de A-B = 48º 30’ Resolver el siguiente ejemplo: Tarea Si el azimut del Lado A-B es: 50º 33’ y los ángulos exteriores son:
  • 73. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 73 A = 252º 22’ B = 262º 20’ C = 240º 10” D= 250º 49’ E = 254º 19’ Se pide: realizar un croquis, verificar si los ángulos cumplen con la condición geométrica requerida, hallar los azimuts de los lados B-C, C-D, D-E y E-A. Respuestas: Azimut de B-C = 132º 53` Azimut de C-D = 193º 03’ Azimut de D-E = 263º 52’ Azimut de E-A = 338º 11 Levantamiento con brújula y wincha Realizar un levantamiento completo (Poligonal y relleno topográfico) con sólo brújula y wincha es utilizado cada vez menos debido a la poca precisión que tiene. Sin embargo para efectos de enseñanza es muy útil para poder ver en el campo como es que se realiza el levantamiento y sus respectivos los cálculos en gabinete Veamos esto con un ejemplo. Tenemos una poligonal de 4 lados, vamos a calcular el azimut de todos los lados con una brújula de 5º de precisión. ESTACIÓN DIRECCIÓN DISTANCIA AZIMUT A D 73º B 80,82 165º B A 343º C 72,31 71º C B 251º D 63,32 333º D C 151º A 72,63 254º c1.- Hallando los ángulos medidos y verificando si cumple con la condición geométrica A = 165º -73º ……………………………….….. A = 92º B = 71º -343º ………….. B= -272º ……….. B = 88o (-272o + 360o) C = 331o-251o ……………………………………..C = 80o D = 254o -151o ……………………………………D = 103º SUMA……………………………………………………….. 363º No cumple con la condición geométrica ya que la suma de los ángulos no es 360º , por lo tanto habrá que hallar su error angular. c2.- Hallando el error angular y su tolerancia.
  • 74. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 74 Error angular = 363º-360º Error angular = 3º Tolerancia angular = 5º (5º es la precisión del equipo y 4 es el número de lados) Tolerancia angular = 10º Observamos que: si cumple con la tolerancia angular, entonces podemos proceder a corregir los ángulos. Corrección a cada ángulo = -3º/4 Corrección a cada ángulo = - 45’ Entonces los ángulos corregidos serán: A = 91º 15’ B = 87º 15’ C = 79º 15’ D = 102º 15’ c3.- Hallando el lado que tiene menor atracción local ZAB – ZBA = 165-343 ………… ZAB – ZBA = -178 ZBC – ZCB = 71-251 ………… ZBC – ZCB = -180 ZCD – ZDC = 333-151 ………… ZCD – ZDC = 182 ZDA – ZAD = 254-73 ………… ZDA – ZAD = 181 De todas las restas de azimut directo y azimut inverso, el que tiene menor atracción local es aquel que es 180 o el más cercano a este valor. En nuestro caso el lado B-C es el de menor atracción local. c4.- Cálculo de los azimuts con los ángulos corregidos Para calcular los azimuts de todos los lados se parte del lado que tiene menor atracción local. En caso hubiese varios lados que tiene la menor atracción local, entonces se escoge cualquier lado. En nuestro caso partimos de lado B-C cuyo azimut es: 71º . A partir de este azimut y con el ángulo C calculamos el azimut de C-D y así sucesivamente. ZC-D = ZB-C + – 180º ZD-A = ZC-D + – 180º
  • 75. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 75 ZA-B = ZD-A + – 180º y finalmente para verificar ZB-C = ZA-B + – 180º reemplazando valores: ZC-D = 71º00’ + 79º 15’– 180º ------- ZC-D = -29º 45’ (como resulta negativo, sumarle 360º) ZC-D = 330º 15’ ZD-A = 330º15’ +102º 15’– 180º ZD-A = 252º 30’ ZA-B = 252º30’ + 91º 15’– 180º ZA-B = 163º 45’ Ya están calculados los azimuts, vamos a verificar el azimut de partida: ZB-C = 163º45’ + 87º 15’– 180º ZB-C = 71º 00’ Con los azimuts y distancias ya se puede dibujar la poligonal y si hay detalles se los pueden dibujar luego. Así primero marcamos el punto B y una línea vertical que indica el norte y con su azimut y a una escala dada ubicamos el punto C, y con los ángulos interiores o con los azimuts se dibujan los otros puntos. Es decir primero se traza el lado B-C, luego el C-D, después el D-A y finalmente el A- B. El último punto a dibujar será el punto B del lado A-B. que no necesariamente debe coincidir con el punto B de partida ya que existen los errores al medir las distancias y los ángulos.
  • 76. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Topografía y Vías de Transporte Centro de Extensión Universitaria TOPOGRAFÍA BÁSICA Ing. Pablo Barreto Ruiz Página | 76 En el gráfico no se observa bien que hay un error de cierre lineal en B, pero si hacemos un acercamiento al círculo que se ha dibujado en B podremos ver este error. Esta pequeña diferencia se llama error lineal, que es la que sirve para hallar el error relativo visto anteriormente. ¿Debemos dejar la poligonal abierta? No. Si el error es pequeño deberemos corregirlo para que nuestra poligonal cierre perfectamente. A continuación se verá cómo se corrige este error.