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Técnicas Modernas
JORGE MENDOZA DUEÑAS

Generalidades
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Concepto de topografía
Es una rama de la ingeniería que se propone determinar la posición relativa de los puntos, mediante
la recopilación y procesamiento de las informaciones de las partes físicas del geoide, considerando
hipotéticamente, que la superficie terrestre de observación es una superficie plana horizontal. En
términos simples: La topografía se encarga de realizar mediciones en una porción de tierra relativa-
mente pequeña. Las informaciones se obtienen de instituciones especializadas en cartografía y/o a
través de las mediciones realizadas sobre el terreno (“levantamiento”), complementando esta infor-
mación con la aplicación de elementales procedimientos matemáticos.
En realidad la existencia de la topografía obedece a varias razones, a continuación citaremos algunas
de ellas.
Con ayuda de la topografía, es posible representar en un plano una o varias estructuras artificiales de acuerdo a una
escala establecida.
La Topografía se encarga de representar en un plano, una porción de tierra relativamente pequeña de acuerdo a una
escala determinada.

Generalidades
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Con la topografía podemos determinar la posición de un punto sobre la superficie de la tierra, respecto a un sistema de
coordenadas.
Apoyándonos en la topografía podemos replantear un punto desde un plano en el terreno.
Gracias a la topografía se puede realizar el trazo de los ejes de una futura construcción.

Generalidades
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BREVE RESEÑA HISTÓRICA
Ciertamente la topografía no apareció como ciencia ni como ingeniería, ni siquiera con el nombre
que hoy conocemos “topografía”, sino más bien surgió como consecuencia de la necesidad de nues-
tros antepasados de realizar mediciones sobre la superficie de la tierra.
Es fácil entender entonces que la medición de la tierra, sobre el globo terráqueo apareció cuando el
hombre pasó de un sistema de vida errante a sedentario; paralelo a ello también evolucionó el proce-
so biológico y mental del ser humano, así como su ambición de extender sus propiedades de tierra.
Es por ello que la propia necesidad obligó al hombre a tomar medidas sobre porciones de tierra
¿Pero medidas respecto a que unidades? Cuenta la historia, que fueron los egipcios y babilónicos los
primeros en medir distancias, tomando como unidades las partes de sus cuerpos, como el codo, el pie,
el pulgar, la cuarta, etc.
Como es de suponer cada parte del cuerpo de una persona difiere de las demás, así por ejemplo, el
codo de un individuo puede ser más grande o más pequeño que otro, fue entonces que se optó por
homogenizar el codo (por ejemplo); Allá por el año 3 000 a.c. en Egipto se acordó tomar un codo
patrón de aproximadamente 52,3 cm; fue así que en adelante aparecieron diversas unidades conven-
cionales que rigieron a la vez en varias ciudades.
Por otro lado no se puede negar que los griegos dieron un gran aporte a la geometría (palabra que
en ese entonces significaba: medida de la tierra) así podemos citar a Tales de Mileto, Pitágoras,
Arquímedes, Euclides, entre otros; tal es así que Eratóstenes, 220 a.c. calculó la circunferencia
media de la Tierra (40 000 km).
Años atrás la civilización suponía que la Tierra era una superficie plana, sin embargo esta hipótesis
empezaba a desvanecerse al ver desaparecer los, barcos cuando se alejaban al navegar y entonces el criterio
lógico asociado con la matemática hacia suponer que en realidad la Tierra era curva y no plana.
Acriteriodelosautores,lagranrevolucióndelaerapasadafueconlaaparicióndelaDIOPTRÍA,enelsiglo
II a.c. que en términos simples podemos afirmar que viene a ser el teodolito de hoy en día sin la vista
telescópica, este mismo principio se continúa usando en la actualidad con el eclímetro; la descripción
detalladadelmencionadoinstrumentoaparecióenlaobratitulada:Dioptría, escritaporHeróndeAlejandría.
Ese mismo siglo apareció el astrolabio, gracias al ingenio de Hiparco.
Desde el nacimiento de Cristo hasta la aparición de Galileo, La Topografía no tuvo aporte poderoso
excepto por la invención de la brújula por parte de los chinos en el año 1 100 d.c.
El escaso avance de la topografía en dicha época se debió a las ideas radicales de la Iglesia Católica de
sentenciar y ejecutar a aquellos hombres que contradijeran los principios del filósofo Aristóteles y
seguidores.
Fue en 1 609 que se produce la segunda revolución de la Topografía con la aparición del TELESCOPIO,
graciasalagenialidaddeGalileo; talesasíqueen1720JonathanSissonconstruyeelprimerTEODOLITO,
posteriormente aparece la plancheta, el nivel, etc.
Desde entonces hasta fines de la segunda guerra mundial, el estudio de la topografía quedó prácticamen-
te paralizada.
El uso del radar en la segunda guerra mundial, trajo consigo la solución de un gran problema: La
medición de distancias(con ayuda de ondas electromagnéticas).
Fue así que a mediados del siglo pasado, se dió inicio a la tercera revolución y hoy por hoy tanto nosotros
como de ustedes tenemos la suerte de estar inmersos dentro de esta gran revolución tecnológica.

Generalidades
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Losequiposymétodosdelasegundarevolución,continúanusándosemasivamentedadoquelosprincipios
nocambian,sinembargoseestánconvirtiendoentecnologíadeprocesolentoycostoso.
Ennuestrosdías,losequiposymétodosparalatopografíaestánprogresandonotoriamente;losequiposde
mediciónelectrónica,lafotogrametríaaérea,lossensoresremotos,lasobservacionessatelitales,lamediciónde
distanciasconrayos,laestacióntotal,elniveldeautonivelación,lacomputadora,lossoftwares,lasmáquinas
ploteadoras,etc.hacenposiblelaobtencióndeunagrancantidaddedatosenuncortotiempo.
Sin embargo ello no significa que los principios y conceptos que rigen la disciplina clásica entren al recuer-
do, sino más bien servirán como base o cimiento para poder comprender y optimizar los equipos y
metodologías en el desarrollo de la topografía.
INSTRUMENTOS IMPORTANTES EN LA TOPOGRAFÍA
La cinta métrica La calculadora La libreta de campo El equialtímetro
La brújula El teodolito El jalón La mira
El eclímetro La estación total El criterio humano

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La pintura La radio
El cordel
La comba
La plomada La estaca de madera
o fierro
INSTRUMENTOS COMPLEMENTARIOS EN LA TOPOGRAFÍA
DIVISIÓN BÁSICA DE LA TOPOGRAFÍA
Para el mejor desarrollo de la topografía, ésta se divide en tres partes:
A) PLANIMETRÍA
Se encarga de representar gráficamente una porción de tierra, sin tener en cuenta los desniveles
o diferentes alturas que pueda tener el mencionado terreno.
Para esto es importante proyectar a la horizontal todas las longitudes inclinadas que hayan de
intervenir en la determinación del plano.

Generalidades
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B) ALTIMETRÍA
Se encarga de representar gráficamente las diferentes altitudes de los puntos de la superficie
terrestre respecto a una superficie de referencia.
C) TOPOGRAFÍA INTEGRAL
Se encarga de representar gráficamente los diferentes puntos sobre la superficie terrestre, teniendo
presente su posición planimétrica y su altitud.
IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA EN LA INGENIERÍA
La importancia de la topografía,radica en que éste interviene en todas las etapas de la ingeniería. Es fácil
entender que la realización de una obra civil pasa por varias etapas; sin embargo dos de ellas tienen
relación directa con la topografía, estas son:
A) ESTUDIO
Llamado también proyecto; realizado por el ingeniero consultor o empresa consultora. Consiste
en llevar a cabo los planos y el expediente técnico de una futura obra.
Obviamente para ello, lo primero que debe hacer el ingeniero es representar en un plano el
terreno o porción de tierra donde se va a proyectar la futura obra; ello significa el apoyo obliga-
torio de la topografía.
De un plano topográfico preciso y una correcta representación de los linderos, es posible proyectar
una adecuada obra.

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Consiste en realizar el proceso constructivo de la obra de acuerdo al plano elaborado por el consultor.
Es el proceso por el cual se realiza un conjunto de operaciones y métodos para representar gráﬁcamente en
unplanounaporcióndetierra,ubicandolaposicióndesuspuntosnaturalesy/oartiﬁcialesmásimportantes.

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CLASES DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS MÁS COMUNES
Cuadro Esquemático: Etapas de un levantamiento topográfico
Cuadro Esquemático: Etapas de un levantamiento topográfico
A) Levantamientos catastrales
Son los que se realizan con el objeto de definir y fijar los límites de áreas y propiedades, como
también para la identificación de estos límites.

Generalidades
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B) EL TOPÓGRAFO
Es el técnico que ejecuta los trabajos de campo dirigido a su vez por un ingeniero topógrafo.
Lógicamente un buen topógrafo también debe cumplir ciertos requisitos, así tenemos:
• Debe ser una persona honesta y honrada, debe ser el personal de confianza del ingeniero.
• Debe tener facilidad en el manejo de personal de campo.
• Debe tener conocimientos de álgebra, geometría y trigonometría, sobre todo debe tener amplio
criterio.
• Debe estar en constante actualización.
• Debe ser cauteloso y muy celoso con los equipos topográficos.
• Debe ser leal.
C) LOS EQUIPOS TOPOGRÁFICOS
Se puede lograr un excelente levantamiento topográfico, siempre y cuando se cumpla con tener:
Un eficiente ingeniero, un buen topógrafo y equipos topográficos en aceptables condiciones.
Es obvio suponer que para obtener un levantamiento topográfico de alta precisión se requiere
de equipos de alta tecnología.
Sin embargo puede usarse equipos topográficos tradicionales para trabajos de precisión, siempre
y cuando estos se encuentren en perfecto estado, para ello será necesario un adecuado y periódi-
co mantenimiento de los aparatos.
Por tal motivo, el topógrafo antes de iniciar el trabajo de campo, deberá comprobar el perfecto
estado del equipo a usar.
EL PUNTO DE CONTROL EN LA TOPOGRAFÍA
Punto de control o punto topográfico, es aquel punto a partir del cual se realiza las mediciones
lineales y/o angulares.
En ocasiones estos puntos sirven de referencia para definir la dirección de un alineamiento.
Los puntos topográficos se dividen en dos:
A) Puntos topográficos permamentes.- Son puntos de referencia fijos, creados antes y al margen del
levantamiento topográfico, así tenemos por ejemplo: Los faros, las astas de las plazas, las antenas,
los pararrayos, los hitos, etc.
B) Puntos topográficos temporales.- Son puntos creados especialmente para la realización de un
proyecto, generalmente estos puntos deben desaparecer finalizado el levantamiento.
Estos puntos se marcan con estacas de madera o fierro y se recomienda pintarlas para poder
ubicarlas fácilmente, asi mismo, éstas deben estar referidos a una estructura cercana.

Generalidades
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IMPORTANCIA DE LOS PUNTOS TOPOGRÁFICOS
En matemática cuando se quiere determinar la po-
sición de un punto, basta ubicar sus coordenadas
respecto a un origen.
Ahora, bien, es posible ubicar un sub-sistema de
coordenadas; así.
En topografía cada punto topográfico representa el origen de un sub-sistema de coordenadas y gracias
a él se podrá determinar la posición de otros puntos.
La posición del punto “A” es: (x,y) La posición del punto P se puede de-
terminar gracias al subsistema (x' – y')
Gracias al punto topográfico “A”, se podrá determinar la posición de los puntos 1,2,3 y 4.

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Fig. c : Con los ángulos planos se hace uso de la trigometría
plana.
Fig. d : Con los ángulos esféricos se hace uso de la trigo-
nometría esférica.
La topografía tiene la aplicación en una porción pequeña de tierra, vale decir en un plano.
EXTENSIÓN DEL USO DE LA TOPOGRAFÍA

20
hectómetro
decámetro
Hm
Dm
100
10
hectómetro cuadrado
decámetro cuadrado
Hm
Dm

21
Una escala de 1/1000, nos indica que 1 metro en plano representa 1000 metros en
el Terreno y 3 cm en el plano representa 30 metros en el terreno.
30
m
3
cm
Terreno Plano

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LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA
Método Práctico
=
=
ESCALA LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA
1 / 50 50 x 0,2 / 1 000 = 0,01 m = 1 cm
1 / 100 100 x 0,2 / 1 000 = 0,02 m = 2 cm
1 / 200 200 x 0,2 / 1 000 = 0,04 m = 4 cm
1 / 500 500 x 0,2 / 1 000 = 0,10 m = 10 cm
1 / 1 000 1 000 x 0,2 / 1 000 = 0,20 = 20 cm
1 / 2 000 2 000 x 0,2 / 1 000 = 0,40 = 40 cm
1 / 5 000 5 000 x 0,2 / 1 000 = 1,00 m
1 / 10 000 10 000 x 0,2 / 1 000 = 2,00 m
1/20 000 20 000 x 0,2/1000 = 4,00 m
1/50 000 50 000 x 0,2/1000 = 10,00 m
1/100 000 100 000 x 0,2/1000 = 20,00 m

Teoría de observaciones
24
24
24
24
24
En el gráfico:
Coordenada de A = (3; 3)
Coordenada de B = (6; 2)
En el gráfico:
Coordenada de A = (2,4; 30°)
Coordenada de B = (3,6; 52°)
SISTEMA DE COORDENADAS
Sistema que nos permite indicar la posición relativa de un punto de la superficie terrestre y
pueden ser ortogonales (rectangulares), polares, entre otros.
A) Coordenadas ortogonales
Las coordenadas ortogonales de un punto corresponden a las distancias perpendiculares entre éste y
dos ejes perpendiculares entre si . El eje “Y”, hacia el norte (hacia arriba) es positivo; hacia el sur (hacia
abajo) es negativo; el eje “X”, hacia el oriente (hacia la derecha) es positivo, hacia el occidente (hacia
la izquierda) es negativo; los cuadrantes se numeran en el sentido de las manecillas del reloj (sentido
horario).
B) Coordenadas Polares
Las coordenadas polares de un punto están definidas por la distancia radial y el ángulo de dirección (θ),
medidos desde el punto inicial (punto polar) y la línea de recta fija que es la dirección de partida (eje
polar) en el sentido de la rotación de las agujas del reloj (sentido horario).

25
N
Norte
Contenido
Gráﬁco
Localización
Leyenda Membrete
Cuadro de
datos Técnicos
Sistema y
tipo de
proyección
cartográfica
Escala
Gráfica
N
Norte
Contenido
Gráﬁco
Localización
Leyenda
Membrete
Cuadro de
datos Técnicos
Escala
Gráfica
Sistema y tipo de
proyección cartográfica
Mostrando otro formato de plano
Componentes de un Plano Topográfico
Un plano puede tener diversos componentes, sin embrago los más importantes se mues-
tran a continuación.

26
A
efectos
de
ilustrar
nuestros
formatos
presentamos
a
continuación
un
ejemplo.
Esacala gráﬁca 1/200

Medición de distancias
229
229
229
229
229
Hace algunos años, medir la distancia entre dos puntos, era labor de especialistas, dado su
característica tediosa en cuanto al proceso de medición.
Generalmente el topógrafo realizaba la medición tan sólo de algunas distancias, dejando el
saldo al cálculo trigonométrico.
Hoy en día, la tecnología nos ofrece equipos sofisticados y métodos muy simples tanto así que
solo basta oprimir un botón para medir la distancia requerida y en cuestión de segundos obtener
digitalmente el resultado buscado.
En topografía, las distancias que se miden corresponden a líneas rectas, no obstante que la
superficie terrestre no es plana.
Si consideramos a la Tierra como una esfera; la longitud tomada en cuenta
en esta rama es ab, la cual pertenece a una superficie plana imaginaria; sin
embargo la medida real que debería ser considerada es AB.
¿Es preciso realizar alguna corrección?
Dado que la diferencia e = ab – AB, es insignificante para las distancias que se suelen medir en
topografía; no es necesario efectuar corrección alguna.
En realidad el valor de “e” se puede calcular con la siguiente expresión:
( )
=
3
2
AB
e
12R

234
Si consideramos el radio de la Tierra R ; 6 370 km:
Distancia AB (km) e (mm)
1 0,01
5 0,26
10 2,05
15 6,93
20 16,43
25 32,09
30 55,45
Del gráfico se observa que el error e, crece lentamente hasta d = 15 km, con lo cual la
diferencia “e” es aproximadamente 7 mm y por tanto el error relativo de 1/ 2 140 000,
considerada de muy elevada precisión. No obstante, los equipos topográficos actuales
tienen un alcance mucho menor a 10 km lo cual induce a despreciar la influencia de la
esfericidad terrestre en la medición de distancias.
Reducción de la distancia medida al nivel medio del mar
En la actualidad es característica común en las cartas, referenciar las distancias al nivel medio.
del mar.
Así pues, si se mide una distancia de 6 000,00 m en un lugar donde la altitud es 4 500 m.s.n.m.;
la distancia referida en la carta tendrá que ser: 5 996,71 m. Viceversa; si tenemos según carta,
una distancia de 8 200 m y se quiere replantear, en un lugar donde la altitud es 2 000 m.s.n.m.;
la distancia a replantear es: 8 202,57 m.
 
= ×  
+
 
M
R
D D
R H

235
TIPOS DE DISTANCIAS
1. La distancia inclinada.- Es la longitud de la línea recta que une dos puntos del terreno.
2. Distancia topográfica.- Es la longitud de la proyección de la distancia inclinada sobre la
horizontal; se le llama también distancia reducida al horizonte.
ALINEAMIENTO
Es la línea resultante de la intersección del terreno con un plano vertical que pasa por dos puntos
establecidos.

236
Procedimientos para realizar alineamientos en el campo
1. Alineación entre dos puntos A y B visibles entre sí usando jalones
– Se instala un jalón en posición vertical en cada punto A y B. La vista del observador en A debe
apuntar hacia B; lo cual se consigue cuando éste confunde los jalones con uno solo (el de “A”).
– Con ayuda de un tercer jalón se ubica en un punto tal como “1” con la condición que el
observador ubicado detrás del jalón en “A” tan solo vea uno solo.
El punto 1, se encuentra en el alineamiento AB.

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2. Alineación entre dos puntos A y B visibles entre sí, usando teodolito y jalón
– Se instala el teodolito en uno de los puntos y el jalón en el otro; dirigir la visual hacia la parte
inferior del jalón, para luego bloquear el movimiento de la alidada.
– Se traslada el jalón hacía un punto tal como 1; con la condición que el eje de colimación del
teodolito contenga al jalón (no se debe girar la alidada).
El punto 1, se encuentra en el alineamiento AB.

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MEDIDA DE DISTANCIAS
1. Medición a pasos
La distancia entre dos puntos correspondientes a un terreno plano se mide aproximada-
mente mediante el número de pasos normales que realiza una persona entre ellos.
Este método se utiliza para verificar o comprobar aproximadamente las mediciones de ma-
yor precisión o también para reconocimiento de terrenos y levantamientos preliminares.
Si la persona efectuó 80 pasos en su recorrido de A y B; podemos afirmar que la distancia AB es 80 pasos
respecto a dicho individuo.
En la práctica es usual convertir el número de pasos a unidades convencionales; para tal efecto es
imprescindible conocer la longitud promedio del paso de la persona que va a medir la distancia.
Determinación de la longitud promedio de un paso
A este proceso se le llama cartaboneo de paso; el procedimiento es el siguiente:
– Se elige un terreno aproximadamente horizontal.
– Se localiza dos puntos de longitud conocida (L).
– Se recorre con pasos normales ida y vuelta la longitud L.
– Sumar el número total de pasos.
 
=  
°
 
paso
2L
L
N total de pasos
dAB = (N° pasos)×(longitud de cada paso)

239
Ilustración
2. Medición con cinta
Se puede aplicar en levantamientos de detalles así como en redes de apoyo; para este último caso,
es conveniente usar por lo menos cintas de acero y con metodologías apropiadas y rigurosas.
A continuación se explican los métodos más importantes.
A) Cuando la superficie es plana
A-1) Sobre una losa o pavimento.- Para medir AB; se realiza medidas parciales de longi-
tud estándar, tal como 20 metros.
Es conveniente conservar apoyada la cinta sobre la losa y hacer coincidir la marca de
los 20 metros en el punto de partida (para cada tramo parcial) manteniendo la alinea-
ción correcta y la tensión más o menos constante y apropiada; cada puesta de cinta se
marca con pintura.
– En un terreno con pendiente, los pasos son en promedio más cortos cuando se sube y
más largos cuando se baja; por tanto se recomienda que el topógrafo realice el
cartaboneo de su paso en pendientes, tanto de subida como de bajada.
– Existe un instrumento que cuenta el número de pasos que recorre una persona (podó-
metro), ésta se instala al estilo llavero en una de las piernas de la persona; no obstan-
te no es imprescindible su uso.
Observaciones

240
Se recomienda repetir la operación por lo menos dos veces por cada tramo.
Para mayor precisión y no obstante que la losa es aproximadamente plana, se debe
llevar a cabo una nivelación geométrica entre A y B para luego proyectar la longitud
total medida sobre la horizontal real.
A-2) Sobre Terreno Natural.- El procedimiento es similar al anterior con la diferencia que
en cada puesta de cinta se coloca una estaca de madera realizando sobre la misma una
marca con pintura o similar.

241
B-2) Cuando la pendiente del terreno es mayor del 5%.- Cuando el terreno es muy
inclinado, cada puesta de cinta deberá ser tal que el relieve de la superficie lo permi-
ta pero conservando siempre la longitud estándar (en nuestro caso 20 m) y por
supuesto la horizontalidad de la cinta.
B) Cuando la superficie es inclinada
B-1) Cuando la pendiente del terreno es menor del 5%.- La medida se debe iniciar en el
punto más elevado, para que así, el operador pueda presionar la marca de la longitud
estándar (en este caso 20 m) sobre la estaca. En el otro extremo (marca del cero), el
operador se ayudará de una plomada y siguiendo las recomendaciones de los casos
anteriores, se monumenta una estaca realizando en ella una marca con pintura o
similar. Es importante conservar la estandarización de cada medida parcial así como
la horizontalidad de la cinta con ayuda de un nivel de mano.

242
B-3) Cuando el terreno es irregular o cubierto con vegetación.- Se aplica casi el mismo procedi-
miento que en los casos anteriores, pero empleando plomadas en embos extremos de la cinta.
3. Medición con estadía
Consiste en medir distancias geométricas usando los hilos estadimétricos del teodolito
conjuntamente con una mira.
El principio se basa en la proporción que guarda la separación de los hilos estadimétricos y
la longitud del eje de colimación respectiva.
4. Medición electrónica de distancia (MED)
Este método mide directamente la distancia que hay entre dos puntos, gracias a la propaga-
ción de la energía electromagnética (ida y vuelta) desde su punto de emisión hasta un
receptor ubicado en otra posición.
El principio inicial se basa en la ley correspondiente al movimiento rectilíneo uniforme.

243
2d = vt
Donde:
d : Distancia entre A y B.
v : Velocidad de luz.
t : Tiempo que emplea el rayo en el tramo
de ida y vuelta.
Explicación del fenómeno Físico
De la expresión: 2d = vt
d : Es la distancia por calcular.
v : Velocidad de la onda portadora que viene estar dada por el valor de la velocidad de la luz,
ya que las ondas emitidas son electromagnéticas; no es difícil enetender que dicha veloci-
dad varía con las condiciones atmosféricas (presión y temperatura); sin embargo, esto no
es problema, dado que se pueden realizar las correcciones respectivas (dato).
t : Tiempo que demora la onda en recorrer la distancia 2d, ello significa la presencia de un
reloj de alta precisión capaz de medir tiempos muy pequeños, lo cual implicaría un costo
muy alto en el equipo, sin embargo es posible medir dicho tiempo.
En la actualidad los equipos que usan MED, emplean el mismo principio (ondas
electromagnéticas) pero miden el desfase final o fracción de onda repitiéndose esta
operación para ondas de diferentes frecuencias (menor a mayor); obteniendo como
resultado la distancia buscada.
Los detalles respectivos se analizarán en la pág. 265
5. Sistema de posicionamiento global (GPS)
El GPS; nos determina las coordenadas geodésicas y planas de acuerdo al sistema de refe-
rencia elegido de un punto de la superficie terrestre.
El principio se basa en el método de Pothenot y la ley del movimiento rectilíneo uniforme,
gracias a los satélites artificiales que circulan nuestra atmósfera.
Teniendo dos puntos sobre la superficie terrestre y determinando sus coordenadas bajo el
mismo sistema referencial, es simple calcular la distancia de cuadrícula entre ellos y por
ende la distancia topográfica.
No obstante su alta precisión, el elevado costo que implica su uso hace que hoy en día
todavía la estación total sea el preferido de los topógrafos.

244
Precisión en la medición de distancias
Geodesta de la Universidad Nacional de Ingeniería,
haciendo uso del GPS diferencial.
La distancia planimétrica entre A y B se calcula gracias a las
coordenadas de cada una.
A pasos.
Método Precisión relativa Uso Instrumento
1/100 a 1/200 Reconocimiento, levantamientos a escala pequeña,
comprobación de mediciones de mayor precisión.
Podómetro.
Estadía.
Medición ordina-
ria con cinta.
Medición preci-
sa con cinta.
Medición electró-
nica de distancia.
1/300 a 1/1 000
1/3 000 a 1/5 000
1/1 000 a 1/30 00
±(10 mm + 10 ppm) a
±(0,2 mm + 0,2 ppm)
±(10 mm + 10 ppm) a
±(3 mm + 0,01 ppm)
Levantamiento de detalles, comprobación de
mediciones de mayor precisión.
Poligonales para levantamientos de terrenos y le-
vantamientos topográficos de control de ruta y cons-
trucción.
Poligonales de levantamientos en ciudades, líneas
de base para triangulación de baja precisión y le-
vantamientos de construcción que requieren alta
precisión.
Se emplea en todo tipo de levantamientos desde
taquimetría, poligonales de precisión, medición de
deformaciones, replanteos de precisión hasta en re-
des geodésicas básicas.
Redes de alta precisión, medición de control
geodinámico, geodesia de alta precisión.
Teodolito y mira.
Cinta de acero, estacas
y plomadas.
Sistema de posicio-
namiento global.
Cinta de acero calibra-
da, temómetro, dina-
mómetro, nivel de
mano y plomada.
Distanciómetros o es-
tación total y prisma.
Receptor GPS dife-
rencial.

245
TRABAJOS ELEMENTALES CON JALONES Y CINTA
1. Levantar una perpendicular a un alineamiento
1° Paso.- Sobre el alineamiento AB se fija un punto “a” distante 3 metros de “b”.

246
2° Paso.- Con centro en “b”, se traza un arco de 4 metros de radio.
3° Paso.- Con centro en “a”, se traza un arco de 5 metros de radio, interceptando al primero
en el punto “C”.

247
4° Paso.- La perpendicular buscada pasa por la línea cb .
2. Bajar una perpendicular a un alineamiento

248
1° Paso.- Con centro en “C” se traza un arco, lo suficiente grande como para bisecar la cuerda AB.
2° Paso.- Se ubica el punto medio de la recta 1 2
d d (D). La perpendicular buscada pasa por la línea CD.

249
3. Trazar desde un punto dado, una paralela a un alineamiento.
1° Paso.- Desde el punto “C”, se baja una perpendicular al alineamiento AB; para luego medir
la longitud “l”.

250
2° Paso.- Desde un punto del alineamiento AB, se levanta una perpendicular al mismo; luego
se ubica un punto “D” a una distancia “l” del mencionado alineamiento.
3° Paso.- La paralela buscada es la línea recta que pasa por CD.

251
4. Alinear dos puntos no visibles entre sí
Sean A y B puntos pertenecintes a un alineamiento que nos interesa trazar; sin embargo
entre ellos se presenta un obstáculo que impide la visibilidad mútua.
1° Paso.- Se traza una línea auxiliar fuera del obstáculo.

252
2° Paso.- Se baja una perpendicular desde el punto “B” a la línea auxiliar para luego medir la
longitud BB' y AB'
3° Paso.- Sobre el alineamieto AB', se ubica un punto C' para luego medir la longitud AC '.
=
C 'C AC '
B' B AB'
Aplicando el teorema de Thales, se calcula la distancia C'C

253
4° Paso.- Desde C' se levanta una perpendicular a la línea AB’ hasta ubicar con la cinta el punto C.
5° Paso.- Se repite el 3° y 4° paso tantas veces como sea necesario, ubicando los puntos D, E, F, etc.
La línea recta que une A, B, C, D, E. F; será el alineamiento buscado.

254
5. Prolongar un alineamiento a través de un obstáculo
Dado AB; se quiere prolongar dicho alineamiento a través del obstáculo.
1° Paso.- Por “A” se levanta una perpendicular AC de longitud conveniente.

255
2° Paso.- Por “C” se levanta una perpendicular CD, y por “D” otra perpendicular DE, tal
que DE = CA
3° Paso.- Por “E” se levanta una perpendicular EF, el cual será la prolongación de AB.

256
6. Intersección de alineamientos
El ayudante (oscuro) provisto de un jalón debe moverse en la dirección del alineamiento
AC hasta que el operador ubicado en B lo ubique simultáneamente. El punto visible para
ambos operadores es la intersección buscada.
7. Medir la distancia entre dos puntos accesibles con interferencia de
obstáculo
Se quiere medir la distancia entre dos puntos A y B separados por un obstáculo intermedio.

257
1° Paso.- Se elige un punto “C” accesible desde A y desde B; luego se prolonga la alineación
BC y AC (fig. a).
2° Paso.- Se ubica un punto “b” tal que BC = Cb; de igual modo se fija “a” con la condición
que AC = Ca. La distancia ab es la longitud buscada dado que AB = ab (fig. b).
8. Medir la distancia entre dos puntos, siendo uno de ellos inaccesible
Se quiere medir AB, siendo el punto “B” inaccesible.
Fig. a Fig. b

258
1° Paso.- Se alinea AB; desde el punto “A” se levanta una perpendicular al alineamiento y se
fija un punto C lo más lejos posible de “A”.
2° Paso.- Se alinea CB; desde el punto “C” se levanta una perpendicular al alineamiento y se
fija un punto D en la línea AB.
3° Paso.- Se mide la distancia AD y AC ; finalmente se calcula AB con la siguiente fórmula:
=
2
AC
AB
AD

259
9. Medir la distancia entre dos puntos inaccesibles
Se quiere medir la distancia entre A y B, siendo estos inaccesibles.
1° Paso.- Se elige un punto “C” con la condición que desde él sean visibles A y B. Desde
dicho punto se calcula L1
y L2
aplicando el método anterior (distancia entre dos puntos,
siendo uno de ellos inaccesible).

Equipos en la medición de distancias
260
3° Paso.- Aplicando el teo-
rema de Thales, se calcula la
distancia Cb (y)
=
2 1
y x
L L
 
=  
 
2
1
L
y x
L
4° Paso.- Sobre el alineamiento CB, se replantea el punto “b”.
2° Paso.- Sobre el alineamiento AC , se ubica un punto “a”, lo
más lejos posible de “C”, para luego medir aC (x).
5° Paso.- Se procede a me-
dir la longitud ab y se calcula
AB con la siguiente expresión.
 
=  
 
ab
AB AC
x

257
257
257
257
257
CINTAS DE MEDICIÓN
No obstante la masificación del uso de equipos: MED; las cintas están en vigencia; no con la
importancia de hace algunos años, pero nadie puede negar que todo topográfo cuenta en su
equipaje con una cinta de medición.
Se encuentra en el mercado tanto en el Sistema Métrico como en el Ingles, sin embargo es
preciso acotar la tendencia universal del uso del primer sistema mencionado.
Respecto al material, se pueden presentar cintas de fibra de vidrio, de lona, de acero y de invar.
Posición cero
Existen tres formas diferentes de parte del fabricante en ubicar el cero:
El cero comienza aproximadamen-
te a 10 cm. del extremo de la cinta.
El cero comienza en el extremo
de la cinta.
El cero comienza en el extremo
del collarín de la cinta.
Reglamentación técnica según la Comunidad Europea
En Europa toda cinta debe cumplir con las normas de la Comunidad Europea (CE) y en tal
sentido debe tener grabado datos obligatorios tal como se muestra a continuación.
Clase Longitud en metros / tolerancia en mm
de precisión 1 2 3 5 8 10 20 30 50 100
I ±0,2 ±0,3 ±0,4 ±0,6 ±0,9 ±1,1 ±2,1 ±3,1 ±5,1 ±11,0
II ±0,5 ±0,7 ±0,9 ±1,3 ±1,9 ±2,3 ±4,3 ±6,3 ±10,3 ±20,3
III ±1,0 ±1,4 ±1,8 ±2,6 ±3,8 ±4,6 ±8,6 ±12,6 ±20,6 ±40,6

262
Cinta de fibra de vidrio
Está constituida por millares de filamentos ex-
traídos de la fibra de vidrio, recubierto con
cloruro de polivinilo (PVC).
Es ligera, flexible y resistente al estiramiento
proveniente generalmente del cambio de tem-
peratura y/o humedad.
Tiene la ventaja de ser un material no conduc-
tor de la electricidad.
Se usa generalmente para mediciones cortas,
así como en levantamientos de detalles.
La foto muestra una cinta de fibra de vidrio de 30 metros
de longitud grabada por ambos lados.
Uno de los lados posee graduaciones correspondien-
tes al Sistema Métrico. La cinta total está dividida en
metros; cada metro en centímetros (100 cm); cada
centímetro en 5 partes de 2 mm cada uno.
El otro lado posee graduaciones correspondientes al Siste-
ma Ingles. La cinta total está dividida en pies (100 pies); cada
pie en pulgadas y cada pulgada compuesta en 8 partes.
Cinta de fibra de vidrio de 100 pies de longitud, graba-
da por ambos lados. Por un lado grabado en pies,
decimos de pie, en ths y 100 ths.
Por el otro lado en pies, pulgada y 8 ths.
Fuente: Forestry Suppliers, INC.
Cinta de fibra de vidrio de 100 pies de longitud, graba-
da por un lado (en pie y pulgadas).
Fuente: Forestry Suppliers, INC.

263
Cinta de tela o lona
Está compuesto por un tejido impermeable
que lleva entrelazadas hilos de bronce o co-
bre en sentido longitudinal con el fin de
darle consistencia e impedir su alargamien-
to excesivo; por tal motivo se debe evitar el
uso de cintas simples de lona. Por ser un
material conductor de la electricidad no se
recomienda su uso cerca de dispositivos
eléctricos y/o campos electromagnéticos.
Es recomendarle verificar su longitud, usando como patrón una cinta de acero, dado que
producto del uso, la cinta de lona generalmente se estira.
La foto muestra una cinta de lona de 20 metros de
longitud grabada por ambos lados
Cinta de acero
Usualmente se emplean (aunque han sido desplazadas por los equipos MED) en levantamientos
importantes tales como redes de apoyo.
Comercialmente en el sistema métrico se venden en longitudes de 50 y 100 m; aunque las cintas
mayores a 50 metros son poco manejables y se rompen con facilidad.
La mayor parte (sistema métrico)
vienen graduadas en metros, decí-
metros, centímetros, con el primer
decímetro dividido en milímetros.
Las cintas totalmente graduadas en
milímetros son muchos más cos-
tosos que las ordinarias.
Es recomendable verificar su lon-
gitud, usando como patrón una cin-
ta de invar. ó equipos: MED. Por
ser un buen conductor de la electri-
cidad, se debe restringir su uso cer-
ca de dispositivos eléctricos y/o
campos electromagnéticos.
Uno de los lados posee graduaciones correspondien-
tes al Sistema Métrico. La cinta total está dividida en
metros y cada metro en centímetros.
El otro posee graduaciones correspondientes al Siste-
ma Ingles. La cinta total está dividida en pies; cada pie
en pulgadas y cada pulgada en 4 partes.
La foto muestra una cinta de acero de 30 metros de longitud, grabada por
un solo lado.

264
La Cinta invar
Está compuesta por una aleación: 65% de niquel y 35% de acero.
Su coeficiente de dilatación térmica: 0,5×10
-6
es tan pequeño
que puede considerarse despreciable.
Este coeficiente en promedio es del orden de 1/30 del co-
rrespondiente al acero comercial.
El invar es un metal suave, por lo que se puede doblar o
romper fácilmente, por tal razón debe manipularse con mu-
cho cuidado. Se emplea (mejor dicho, se empleaba, dado
que ha sido relegado por los equipos MED) en levantamien-
tos geodésicos de alta precisión. El costo de una cinta invar.
es 10 veces mayor que una cinta de acero.
Por ser un buen conductor de la electricidad, se debe res-
tringir su uso cerca de dispositivos eléctricos y/o campos electromagnéticos.
Algunas firmas europeas las fabricaban tal que los extremos de la cinta en una longitud de
11 cm poseían escalas graduadas de mm en mm.
Respecto a la cinta de la fotografía anterior, podemos mencionar:
- Las graduaciones corresponden al sistema métrico.
- El trazo que indica el cero, se ubica a 10 cm del extremo de la cinta.
- La cinta de 30 metros está dividida en metros, y el metro en centímetros.
- En los 10 primeros centímetros, cada centímetro está dividido en milímetros.
Cuando se desarrolla la cinta se debe transportar en alto y con toda su longitud
extendida mientras se avanza. No se debe permitir nunca que se golpee ó
friccione contra el suelo u otro objeto. Fuente: C&GS Season’s Report Hodeson

265
Errores en las medidas con cinta de acero
1. Cinta de longitud errada
La longitud de la cinta no tiene exactamente la indicada.
El error se determina, gracias a la ayuda de otros métodos e instrumentos más precisos.
El error puede ser positivo o negativo.
2. Alineamiento imperfecto
Se presenta cuando el ayudante delantero no conserva el alineamiento, y realiza las marcas
en uno u otro lado.
Si bien es cierto, este error no puede ser eliminado; si es posible reducirlo a límites aceptables.
El error resultante siempre es positivo.
3. Cinta no horizontal
Es muy difícil apreciar a simple vista la horizontalidad de una cinta, pero con la práctica se
consigue hacerlo con mucha precisión, y si el caso lo requiere, se puede utilizar un nivel de mano.
4. Cinta floja o torcida
Este error se presenta cuando se realizan mediciones en terrenos cubiertos por vegeta-
ción alta o cuando soplan fuertes vientos.
Si se presenta vegetación alta, realizar cortes para obtener senderos que determinen los
alineamientos perfectos.
Si se presentan vientos fuertes, esperar que los vientos se calmen o colocar pantallas
para reducir al máximo el movimiento de la cinta.
5. Defectos de observación
El error por observación y marca es aproximadamente 2 mm por medida; el error total no
tiene mayormente influencia por ser compensable.
6. Cambio de temperatura
Las cintas de acero, comúnmente se dilatan o contraen por efectos del cambio de temperatura.
El error tiene gran importancia cuando se mide con tiempo demasiado caluroso o
extremadamente frío. Los errores que se cometen por cambio de temperatura pueden
ser positivos o negativos.
7. Tensión de cintas variables
La cinta por ser elástica, sufre un estiramiento cuando es sometido a una tensión, modifi-
cando así su longitud real.
Este error se puede controlar mediante el dinamómetro dado que pertenece a la familia de
los errores sistemáticos.

266
8. Cinta con catenaria
Cuando la cinta no se encuentra apoyada en toda su longitud sino únicamente entre los
extremos, toma una curva debido a su peso que se le denomina catenaria.
Este tipo de error sistemático es fácilmente calculable.
Corrección de la medida con cinta graduada
1. Corrección por estándar
Consiste en determinar la verdadera longitud de la cinta a usar, comparándola con una
longitud patrón, a la temperatura y tensión especificada en la cinta de acero.
Esta operación se realiza generalmente en cintas reparadas.
Las comparaciones se realizan en instituciones acreditadas para tal efecto a cambio de una
retribución económica; el resultado final está representado por un certificado de calibración.
Tener presente: Ln : Longitud nominal o grabada en la cinta.
Lv : Longitud verdadera de la cinta.
CE : Corrección por estándar = Lv – Ln
Ejemplo
Según un certificado de calibración se tiene: Ln = 30,000 m; Lv = 30,008 m. Con dicha cinta se
mide una longitud, obteniéndose como resultado 16,250 m.
Para determinar la longitud verdadera de dicha medición basta realizar un regla de tres simple:
 
= ×
 
 
30, 008
x 16, 250
30, 000
2. Corrección por temperatura
Cuando la temperatura ambiente es mayor o menor que la especificada en la cinta, se produce una
dilatación o contracción; el valor algebraico de la corrección se determina con la siguiente expresión:
CT = L0 ⋅ α (TF – T0)
CT : Corrección por temperatura.
L0 : Longitud medida en cada cintada.
α : Coeficiente de dilatación lineal de la cinta.
TF : Temperatura ambiente.
T0 : Temperatura según especificaciones.
Ln Lv
30 m 30,008 m
16,250 m x Longitud verdadera = 16,254 m

267
Ejemplo
Sí tenemos una cinta de acero con las siguien-
tes especificaciones de fabricación:
Longitud = 50 m
Temperatura = 20° C
Tensión = 5 kg
α = 1,2×10
–5
°C
–1
y se mide una longitud obteniendo 34,632 m como
resultado, siendo la temperatura ambiente 15° C;
la corrección será:
C
T
= 34,632×1,2×10
–5
(15 – 20)
C
T
= –0,002 m
Finalmente la longitud verdadera:
L = 34,632 + (–0,002) = 34,630 m
Nótese que el signo de la corrección proviene
directamente de la fórmula (puede ser positiva o
negativa).
3. Corrección por horizontalidad
La medida de una longitud se expresa siempre en función de una distancia horizontal.
Si la diferencia de altura entre dos puntos es h, y la distancia medida corresponde a la
distancia inclinada L, la distancia reducida al horizontal “D” se puede obtener con ayuda de
la siguiente expresión.
D = L + Ch
Donde:
−
=
2
h
h
C
2L
Ch : Corrección por horizontalidad
Ejemplo
Sí la longitud de una distancia inclinada es 27,30 m y la diferencia de nivel entre sus extremos es
2,00 m se tendrá:
D = 27,30 +
( )
( )
 
−
 
 
 
2
2
2 27,30
⇒ D = 27,23 m
4. Corrección por tensión
Cuando la tensión con que se aplica a la cinta es mayor o menor que la indicada en las
especificaciones, la cinta se alarga o se acorta.
La corrección, se puede calcular con la siguiente expresión.
( )
−
= ⋅
⋅
0
p
P P
C L
A E

268
Cp = Corrección por tensión.
P = Tensión aplicada.
P0 = Tensión según especificaciones.
L = Longitud de la cintada.
A = Área de la sección transversal de la cinta.
E = Módulo de elasticidad del metal.
Ejemplo
Se cuenta con una cinta de acero, cuyas especi-
ficaciones se muestran a continuación:
A = 2 mm
2
E = 2×10
6
kg/cm
2
P0 = 5 kg
L = 50 m
W = 0,020 kg/m (peso por metro lineal)
Sí se ha medido una longitud, obteniéndose
27,212 m aplicando una tensión de 8 kg, la
corrección por tensión será:
( )
( ) ( )
−
−
= ⋅
× ⋅ ×
p 2 6
8 5
C 27, 212
2 10 2 10
Cp = 0,002 m
Por tanto la longitud corregida será
Lc = 27,212 + 0,002
Lc = 27,214 m
Nótese que el signo de la corrección obedece
al valor algebraico proveniente de la fórmula.
5. Corrección por catenaría
Cuando la cinta es suspendida sólo en sus extremos, toma la forma de catenaria debido al
peso de la misma.
Su corrección se determina mediante la siguiente expresión.
( )
−
=
2 3
2
W L
Cc
24 P
W : Peso de la cinta por metro lineal
L : Longitud medida entre apoyos
P : Tensión aplicada
Ejemplo
Si se utiliza la cinta del ejemplo anterior y se mide cierta longitud apoyada sólo en sus extremos
con una tensión de 8 kg obteniendo como resultado L = 42,367 m
Se tendrá: ( ) ( )
( )
−
= = −
2 3
2
0, 020 42,367
Cc 0, 020
24 8
Por tanto la longitud corregida será: Lc = 42,367 + (–0,020) = 42,347 m
Nóte Ud. que el signo de la corrección es siempre negativa.

269
EL DISTANCIÓMETRO
Es un instrumento que se utiliza en la medición
de distancias haciendo uso del MED.
Comúnmente estos equipos van montados en un
teodolito, mientras que en el extremo por medir
se ubica un reflector (prisma), es posible obviar el
uso de estos prismas, siempre y cuando la superfi-
cie reflectante sea de color claro para que así la
reflexión no se vea afectada; sin embargo no se
puede esperar una precisión igual o mejor que el
medido con prisma. Es importante resaltar que
entre distanciómetro y prisma (en el recorrido de la onda) no debe existir obstáculo alguno tales
como hojas o ramas de árboles, dado que la onda en su recorrido se refleja en el primer cuerpo
que encuentra mostrando por ende una distancia falsa.
Distanciómetro a punto de ser instalado sobre
un teodolito óptico mecánico.
Distanciómetros montados en diversos tipos de
teodolitos.
Distanciómetro en operación.
Análisis de la onda portadora
En realidad la distancia entre dos puntos se puede calcular teniendo como unidad de medida la longitud
de onda (λ).

270
En el caso del distanciómetro:
El distanciómetro emite ondas
de una frecuencia determinada
y por tanto de longitud de onda
λ conocida, ésta llega al prisma,
se refleja y regresa al
distanciómetro donde auto-
máticamente se detiene la emi-
sión de dicho tipo de ondas.
La longitud L:
λ +
=
n x
L
2
n : Número de ondas
x : Fraccióndeλ
Según la ley del movimiento rectilíneo uniforme: L = (C)⋅(t)
Donde: L : Longitud recorrida por la onda
C : Velocidad de la onda electromagnética
t : El Tiempo transcurrido en el viaje de la onda
Para efectos de evitar el uso de un reloj atómico, se puede expresar el tiempo
∆θ ∆θ
= =
ω π
t
2 f
∆θ
 
= ⋅ 
π
 
L C
2 f
∆θ : Ángulo de fase
f : Frecuencia de transmisión de la onda
De lo analizado, es fácil deducir que sí tenemos conocido el ángulo de fase, podemos calcular el
desplazamiento L, dado que la frecuencia de la onda se supone conocida.
En el siguiente gráfico:
L = 2λ + x
x : Fracción de λ

271
Cuando la onda viaja λ, el ángulo de fase medido por el distanciómetro será 0°, de igual modo
cuando la onda viaja 2λ, 3λ, 4λ, nλ, el equipo siempre medirá un ángulo de fase 0°; sin
embargo, siempre existirá una fracción de λ(x) al cual le corresponderá un ángulo de fase θ que
por medio de un detector de fase elctrónico convierte dicho ángulo en un número, éste es
enviado a un microprocesador interno donde dicho valor es convertido en distancia.
Así por ejemplo: Sí el ángulo de fase es θ = 65°.
Para una frecuencia de 10
7
Hz y una longitud de onda λ = 10 m; la porción “x” será:
( )
θ °
   
= ⋅λ = ⋅
   
° °
   
65
x 10
360 360
⇒ x = 1,8 m
En conclusión, los distanciómetros detectan directamente la fracción de longitud de onda (x), pero no
cuentan los ciclos completos por los que ha pasado la energía que regresa después de su doble recorrido.
Sin embargo este problema se soluciona con la emisión de ondas de diferentes frecuencias.
Al respecto creemos conveniente presentar el espectro electromagnético.
Espectro electromagnético
Por su frecuencia (Hz) Por su longitud de onda (m)

272
Espectro electromagnético es el conjunto de ondas electromagnéticas que se encuentran ordenados de
acuerdo a su frecuencia (f) y longitud de onda (λ), si bien todas las ondas electromagnéticas son iguales
por su naturaleza, los efectos que ocasionan no son siempre las mismas, razón por la cual a cada grupo
de ondas electromagnéticas que dan lugar a efectos similares se les ha asignado un nombre.
La luz visible forma parte del espectro electromagnético, teniendo como límites el violeta de 4 100 A°
y el rayo de 7 000 A°.
Para nuestro estudio:
– Frecuencia baja:Ondas de radio, 10
4
a 10
6
Hz con λ desde 10
4
a 10
2
m
– Frecuencia mediana: Ondas de radio FM y microondas, 107
a 1012
Hz con λ desde 101
a 10–3
m.
– Frecuencia alta: Rayos infrarrojos, 10
13
a 10
14
Hz con λ desde 10
–4
a 10
–5
m.
En realidad un distanciómetro emite varias ondas de diferentes frecuencias (empezando por las
ondas de frecuencia baja), este proceso es controlado totalmente por un procesador interno el cual es
capaz incluso de corregir el error por presión y temperatura en tiempo real.
La onda de frecuencia alta, se usa para obtener los dígitos de alta precisión, mientras que las ondas de
frecuencia media o baja se emplean para obtener los dígitos medianos o gruesos respectivamente.
Supongamos que se midió una longitud y se obtuvo como resultado (en la pantalla digital)
346,431 m; la medición respectiva pudo haberse realizado del siguiente modo:
– Primero: El distanciómetro emitió una onda de λ = 1 000 m, con lo que se obtuvo un desfase
346,1 m; de donde se rescata la cifra más significativa (3).
– Segundo: El distanciómetro emitió otra onda, ahora de λ = 100 m, con lo cual se obtuvo un
desfase 46,2 m; de donde se rescata la cifra más significativa (4).
– Tercero: El distanciómetro emitió una tercera onda, ahora de λ = 10,000 m, con lo cual se
obtuvo un desfase 6,431 m; de donde se rescatan todos los dígitos.
Finalmente el resultado final está compuesto por la unión de todas las cifras más significativas;
en nuestro caso: 346,431 m
Los rayos infrarrojos tienen la ventaja de poder modular directamente la frecuencia; sin embar-
go tienen la desventaja que su alcance está restringido a unos cuantos kilómetros, por ello en
algunos casos se usan rayos láser, los cuales son capaces incluso de realizar mediciones en plena
noche. Mientras que las ondas de rayo infrarrojo tienen un alcance de hasta 7 km, las ondas de
rayos láser pueden alcanzar distancias de hasta 60 km.

273
Errores en la medición electrónica de distancia
- Partes por millón (ppm)
Expresa la precisión o error relativo de una medición.
±1 ppm = ±
1 mm
1 km
; significa que por cada kilómetro de distancia puede existir un error de
±1 mm.
• Para ±1 ppm; el error relativo será:
ER =
1 mm
1 km
=
1 mm
1 000 000 mm
=
 
 
 
1
1 000 000 mm
1 mm
ER =
1
1 000 000
• Para ±5 ppm; el error relativo será:
ER =
5 mm
1 km
=
5 mm
1 000 000 mm
=
 
 
 
1
1 000 000 mm
5 mm
ER =
1
200 000
• Deducimos que ±1 ppm es más preciso respecto a ±5 ppm.
- Análisis General
Según la clasificación de errores visto en el capítulo teoría de observaciones, éstas se divi-
den en: propios, sistemáticos y accidentales.
Si los valores medidos son almacenados en una libreta electrónica tal como sucede en una
estación total, la probabilidad de la existencia de errores propio es casi nula; motivo por el
cual tan sólo se toma en cuenta los otros dos tipos de errores.
- Análisis de los errores sistemáticos
Sabemos que éstos generalmente aparecen debido a la influencia de agentes externos tales
como la presión atmosférica, temperatura, humedad etc. En distanciómetros electroópticos
y láser, los dos primeros tienen mayor incidencia; no obstante que éstos afectan nuestros
resultados, es posible su corrección mediante leyes matemáticas.
El valor de las correcciones atmosféricas es obtenido fácilmente con el siguiente Nomograma,
para una húmedad relativa de aire de 60%.

274
Nomograma: Presión atmosférica – ppm
Ejemplo de aplicación
Se ha medido una distancia, obteniéndose como resultado 537,26 m; sí en el momento de la medi-
ción, la temperatura es 26° C y la presión atmósferica 500 mm Hg; calcular la medida corregida.
• La distancia corregida:
d = 537,26 m + 102,4
mm
km
×0,53726 km
d = 537,26 m + 55 mm ⇒ d = 537,32 m
Solución:
• Según el nomograma:
Para T = 26 °C y
Presión = 500 mm Hg = 666,61 mb
Se obtiene +102,4 ppm
Las líneas horizontales representan la temperatura y las verticales la presión atmosférica; las líneas diagonales representan
el valor de la corrección en ppm. Con una temperatura de 15°C y una presión de 1 atmósfera (760 mm Hg ó 1 013,25 mb)
se obtendrá cero ppm.

275
En la actualidad, la mayor parte de los distanciómetros se encuentran integradas en la estacio-
nes totales; y en ellos se presentan dos opciones para para definir la correción atmosférica: una
manera es medir en campo las lecturas de temperatura y presión para luego introducir los
valores al equipo, éste calcula el ppm; otra forma es digitar el valor de la corrección directamen-
te al instrumento, para lo cual será necesario hacer uso del nomograma.
Después de haber sido ingresado el ppm correspondiente, las distancias medidas con posterio-
ridad se autocorregirán automáticamente, dándonos distancias corregidas.
Relación: Altitud – presión atmosférica
Altura sobre el nivel Presión atmosférica Altura sobre el nivel Presión atmosférica
del mar en metros mmHg mbar del mar en metros mmHg mbar
0 760 1 013,25 2 500 560 746,61
100 751 1 001,25 2 600 553 737,27
200 742 989,25 2 700 546 727,94
300 733 977,25 2 800 539 718,61
400 725 966,59 2 900 532 709,28
500 716 954,59 3 000 526 701,28
600 707 942,59 3 100 519 691,94
700 699 931,92 3 200 512 682,61
800 690 919,92 3 300 506 674,61
900 682 909,26 3 400 500 666,61
1 000 674 898,59 3 500 493 657,28
1 100 666 887,93 3 600 487 649,28
1 200 658 877,26 3 700 481 641,28
1 300 650 866,60 3 800 474 631,95
1 400 642 855,93 3 900 468 623,95
1 500 634 845,26 4 000 462 615,95
1 600 626 834,60 4 100 456 607,95
1 700 618 823,93 4 200 450 599,95
1 800 611 814,60 4 300 444 591,95
1 900 604 805,27 4 400 439 585,29
2 000 596 794,60 4 500 433 577,29
2 100 589 785,27 4 600 427 569,29
2 200 581 774,60 4 700 422 562,62
2 300 574 765,27 4 800 416 554,62
2 400 567 755,94 4 900 410 546,62
2 500 560 746,61 5 000 405 539,96
- Análisis de los errores accidentales
Los errores accidentales en estos equipos suelen expresarse con una desviación estándar
mediante la siguiente expresión:
E = ±(a + b⋅D)

276
Donde:
a : Es un valor constante en mm.
b : Es un valor proporcional a la distancia medida; se expresa en ppm (partes por millón).
D : Distancia medida en km.
Numéricamente se puede expresar un error como:
E = ±(3 mm + 3 ppm)
En este caso para 500 metros de distancia se tendrá:
E = ±(3 mm + 3
mm
km
×0,5 km) = ±(3 mm + 1,5 mm)
E = ± +
2 2
3 (1,5) = 3,4 mm (error más probable)
Traducido a error relativo:
Error relativo = ;
1 1
500 000 147 000
3, 4
En distancias cortas, el error constante se hace importante; mientras que en distancias largas el
error variable es considerable.
La precisión de un distanciómetro está definido por el error accidental; así un
distanciómetro de ±(1 mm + 1 ppm), constituye un equipo de alta precisión.
La mayor parte poseen un error de ±(3 mm + 3 ppm); no obstante también se puede encontrar
equipos de ±(5 mm + 5 ppm); los cuales siguen siendo de precisión respetable, muestra de ello
es que para una distancia de 1 km se obtiene un error relativo de 1 / 141 000
Prisma
Es aquel instrumento constituido básicamente por
un cristal de varias caras planas donde llegan los
rayos del distanciómetro, para luego reflejarse en
la misma dirección pero en sentido contrario.
Generalmente los fabricantes usan un prisma de
vidrio en forma de cubo truncado por uno de los
vértices y formado por tres espejos internos.

277
En planta:
La capacidad de medida se incrementa cuando se utiliza una batería de prismas.
No todos los distanciómetros tienen el mismo alcance; no obstante, para efectos de ejemplo, se
mostrará el correspondiente a uno específico.
Condiciones
1 Prisma 3 Prismas
Atmosféricas
1 1 500 m 2 000 m
2 5 000 m 7 000 m
3 > 5 000 m > 9 000 m
1 : Muy brumoso, visibilidad 5 km o mucho sol con
fuerte centelleo por el calor.
2 : Poco brumoso, visibilidad 20 km o parcialmente
soleado y poco centelleo de aire.
3 : Cubierto, sin bruma, visibilidad 40 km, sin cente-
lleo del aire.
Sistema de prismas (Fuente: Topcon)
Existe la posibilidad de variar la composición de los juegos de acuerdo con sus necesidades.
Bastón-2
(no se usa con 9 prismas)
Prisma-2
Bastón-2
Adaptador-A
Porta prisma
Porta prisma
1 prisma
Porta prisma-2
Un sólo prisma
Porta prisma-2
Tres prismas
Porta prisma-1
Tres prismas
Porta prisma-2
9 prismas
Adaptador para
base nivelante-2
Adaptador para
base nivelante S-2
Bastón Adaptador-F2 Base nivelante con plomada
Base nivelante

278
Correcciones instrumentales en la medición de distancias
Puede cambiar la combinación de acuerdo a sus necesidades
Utilice los juegos de prismas después de ponerlos a la misma altura que el instrumento. Para ajustar la altura de los
juegos de prismas, cambie la posición de los 4 tornillos de fijación.
1. Constante del instrumento (K)
Se le llama también constante aditiva y viene
a ser la distancia existente entre la vertical
que pasa por el punto de estación y su similar
que pasa por el centro de emisión de ondas.
En la mayoría de los equipos, la constante K
es del orden de 1 mm si es que lo hubiese.
Comúnmente el valor de dicha constante lo
ingresa el fabricante, por lo que el usuario
no tiene necesidad de digitarlo en el equipo.
Sin embargo, es preciso comprobar la vera-
cidad de dicho valor y en el caso extremo
ajustarla.
Unidad para colocar 1 prisma Unidad para colocar 3 prismas Unidad para colocar 9 prismas

279
Comprobación y ajuste de la constante del instrumento (Fuente: Topcon)
Generalmente, la constante del instrumento no debe presentar discrepancias. Se recomien-
da efectuar la medición comparándola con una distancia de la que ya se conozca su longitud
exacta. Si no dispone de un lugar con dichas características, establezca una base de 20 m (al
adquirir el instrumento) y compare los datos medidos con el instrumento recién adquirido.
En ambos casos, tenga en cuenta que la precisión de la comprobación estará determinada
por el desplazamiento de la posición del instrumento sobre el punto, el prisma, la precisión
de la línea de base, la calidad de la colimación, la corrección atmosférica y la corrección de
la refracción y curvatura terrestre. Por favor, téngalo en cuenta.
Además cuando sitúe la base en un edificio, recuerde que las diferencias de temperatura
afectan notablemente.
Si el resultado es igual o superior a 5 mm, puede seguir el procedimiento mostrado a
continuación para modificar la constante del instrumento.
a. Determine un punto C sobre una línea recta AB, prácticamente horizontal y de 100 m de
longitud, Mida las líneas rectas AB, AC, BC.
Nótese que “b”, no se encuentra en la dirección de la distancia buscada.
a + b + c = 2t
b. Calcule la constante del instrumento repitiendo varias veces la operación arriba indicada.
Constante del instrumento = AC + BC – AB
c. Mida de nuevo la base calibrada y compare los resultados.
2. Constante del prisma (k)
Para efectos de realizar una explicación didáctica, citaremos a continuación algunos
conceptos fundamentales.
A) Recorrido de la onda dentro del prisma.- El recorrido del rayo dentro del prisma está
determinado por la siguiente expresión:

280
B) Equivalente del viaje en el aire de la onda dentro del prisma.- Es posible reemplazar el
recorrido de la onda dentro del prisma por su equivalente en el aire.
La zona sombreada representa el supuesto prisma de aire; el rayo incide, llega al punto “D”
y se refleja recorriendo en su trayectoria de ida y vuelta: 2(1,517 t).
C) Constante del prisma (k).- Es la excentricidad o distancia que hay entre el punto de re-
flexión “D” y el punto de estación del porta prisma.
Generalmente los fabricantes prefieren usar prismas de constante k = 0; sin embargo las
hay en el mercado, diferentes medidas: –30 mm; +30 mm; +17,5 mm; +34,5 mm; etc.
El signo depende de la posición del punto de estación.
El signo y valor se deben ingresar al equipo antes de dar inicio al trabajo.
Comprobación de la constante del prisma
Se repite la operación pero reemplazando el
prisma por una placa reflectante (k = 0).
La diferencia: d1 – d2; viene a ser aproximada-
mente el valor de la constante k.
Se elige dos puntos A y B separados una dis-
tancia corta (puede ser aproximadamente 20
m) y en lo posible plano.
Se estaciona el distanciómetro en A y el prisma en
B, para luego medir la distancia; obteniendo d1.

281
LIBRETA ELECTRÓNICA
Llamada también colectora de datos; generalmen-
te va conectada a un teodolito electrónico y/o un
distanciómetro; puede registrar automáticamente
los valores medidos correspondientes a los pun-
tos previamente codificados en dicha colectora.
Con ello se obvia la tradicional libreta de campo
y se anulan los posibles errores que se puedan
cometer en dicho proceso.
En el post-proceso, es posible conectar dicha
colectora a una computadora, con lo cual se consi-
gue ingresar los datos de campo en forma automá-
tica a un software preferido por el usuario. Como
verá Ud. no es necesario escribir los datos en el
campo, ni mucho menos copiar a la computadora
para realizar el cálculo respectivo.
Sin embargo es necesario resaltar que la codifica-
ción realizada en la colectora de datos obedece a algún croquis realizado por el operador en el
campo, dibujo que será una herramienta imprescindible en la transferencia y cálculo de datos.
En la actualidad las Libretas Electrónicas o colectoras de datos no sólo puedan registrar
datos de campo, sino también pueden realizar cálculos básicos tales como las correcciones
de distancia, la reducción de distancia al horizonte e incluso la determinación de las coor-
denadas de los puntos topográficos.
Para ello el operador introduce los códigos de los puntos topográficos en la libreta electrónica, dicha
colectora almacena las medidas tomadas con un archivo previamente establecido para luego calcu-
lar los parámetros básicos y almacenarlos con el mismo archivo pero con diferente extensión.
ESTACIÓN TOTAL
Es aquel instrumento topográfico constituido por un teodolito electrónico unido solidariamente
con un distanciómetro, estos a su vez llevan en su interior una libreta electrónica y un microprocesador,
el cual le permite registrar los datos de campo, obviando la libreta tradicional, así como compensar
y procesar los datos obtenidos para registrarlos en un archivo de su memoria.
La estación total nos permite obtener trabajos de alta precisión y un gran ahorro de tiempo; no
obstante es preciso aceptar que la presencia de este equipo no cambia en absoluto los principios
básicos de la topografía.

282
Con la estación total, podemos medir ángulos horizontales y verticales así como distancias
inclinadas; su procesador interno le permite calcular y mostrarnos inmediatamente la proyec-
ción horizontal y vertical de la distancia medida, así como las coordenadas de los puntos
medidos, dependiendo del caso.
La estación total permite medir y calcular la altura de ciertas estructura así como replantear
puntos en el terreno con gran precisión.

283
USB, luego copiarlo a una computadora, o caso
inverso, los datos de un proyecto ubicados en una
memoria USB pueden ser transferidos a la estación
total para el posterior replanteo de los puntos.

284
Cortesía: Leica Geosystems
Estación Total Leica TPS-403
Descripción TPS-403
Ampliación 30x
Imagen Derecha
Distancia mínima de enfoque 1,70 m
Medida electrónica de ángulo
Método Absoluto contínuo
Lectura mínima 1"
Precisión 3"
Plomada
Tipo Láser
Sensibilidad del nivel
Nivel tubular Electrónico
Nivel circular 6'/2 mm
Compensador
Sistema Dual
Rango de trabajo ±4'
Medida de distancia con prisma
Precisión ±(2 mm + 2 ppm)
1 prisma 3 500 m
Medida de distancia sin prisma
Alcance de medición 80 m
Otros
Capacidad Bluetooth No
DATOS TÉCNICOS
EstaciónTotalRobóticoTOPCONGPT-8201 DATOS TÉCNICOS
Medida de distancia con prisma GPT-8201
Gamma w/prisma de la medida 7 000 m
Distancia mínima de enfoque
Medida de distancia (no prisma) GPT-8201
Gamma de la medida Modo normal: 3 m - 120 m
Modo de gamma larga:
100 m - 1 200 m
Precisión Modo normal:
±(3 mm + 2 ppm)
Modo de gamma larga:
±(10 mm + 10 ppm)
Medida del ángulo
Método Absoluto contínuo
Precisión 1"
Entrada - salida
Puerto serial 9-pin RS.232C
Tarjeta de memoria Tipo 1 de destello/2 de ATA
(hasta 32 Mb)
El seguir robótico
Velocidad que da vuelta del máximo 50°/sec
Velocidad que sigue del máximo 12°/sec
Seguir la gamma 800 m
Cortesía: Geincor SAC

285
CONTROLADOR DE CAMPO
Con la aparición de la estación total, se pronosticaba el fin de la colectora de datos portátil, dado
que la estación la incluía dentro de su propio sistema.
Sin embargo con la miniaturización de los circuitos integrados, dichas colectoras han recobrado im-
portancia, pues hoy se presentan como potentes computadoras que almacenan, procesan datos, reciben
y proporcionan información via tarjetas, cables, ondas, etc.; por tal razón muchos los llaman controladores
de campo, pues incluso el topógrafo puede manejar la estación total o cualquier equipo topográfico
digital desde el controlador, siempre y cuando ambos se encuentren conectados.
Esto significa que para efectos de realizar la transferencia de información, ya no es necesario
llevar el equipo al lugar de transmisión, pues ello se limita solo el traslado del controlador.
Incluso, hoy en día muchos se inclinan por usar el sistema bluetooth.
Bluetooth proporciona una vía de interconexión inalámbrica entre diversos aparatos que tengan
dentro de sí esta tecnología, usando por supuesto una conexión segura de radio de muy corto alcance.
El alcance que logran tener estos dispositivos es de 10 metros. Para mejorar la comunicación es
recomendable que nada físico (como una pared) se interponga.
Manejo de la estación total mediante un controlador
de campo, haciendo uso del sistema Bluetooth.
Manejo de la estación total mediante un controlador
de campo, haciendo uso de un cable de conexión.

286
Descripción Topcon FC-100 Topcon FC-2000 Trimble TS C2
Microprocesador IntelPXA255Z-scale IntelPXA255Z-scale IntelPX270X-scale
VelocidaddelCPU 400MHz 400MHz 520MHz
Sistemaoperativo WindowsCE.NET WindowsCE.NET WindowsMobileparaPockerPC
Memoria 64MbSDRAM 64MbSDRAM 128MbSDRAM
Tarjetadedatos 1Compactflash CompactFlashextraíble 1Compactflash(CF)tipoI
1SDMediacard 1Compactflash(CF)tipoII
Tarjetadememoriasecuredata(SD)
CapacidadBluetooth Si Si Si
Pantalla 320×240QVGA 320×240QVGA 320×240QVGA
Serial Puerto serial RC 232C (9 pines) Puerto serial RS 232 (9 pines) Puerto serial RS 232C (9 pines)
USB USB USB
PuertoserialRS232(6pines) PuertodealimentacióndeDC
Temperaturadeoperación –20 °C a + 50 °C –20 °C a + 60 °C –20 °C a + 60 °C
Operacióndebatería 20 hr 6 hr 30 hr
Dimensiones 182×103×583mm 255×130×61.5mm 266×131×48mm
Peso 580g(conbatería) 800g(conbatería) 950g(conbatería)
Controlador Topcon FC-100
Controlador Topcon FC-200
Controlador Trimble TS C2

287
CINTA LÁSER
Es un dispositivo pariente del distanciómetro. El objetivo de este pequeño equipo, es medir distan-
cias en los interiores y exteriores adyacentes de las estructuras, con ayuda de los rayos láser que se
emiten de él.
La cinta láser contiene un pequeño microprocesador capaz de realizar cáculos simples, tales
como áreas, volúmenes, hipotenusas, etc. E incluso algunos modelos pueden almacenar los datos
obtenidos en el campo para luego tranferirlos al disco duro de una computadora.
Este diminuto pero potente equipo obedeciendo a la tendencia de la miniaturización, se convierte en
un elemento preciso, fiable, manuable y permite medir distancias con precisión milimétrica con tan
sólo una persona.
Su tamaño es muy similar al de un teléfono celular.
Las características más importantes de los modelos LEICA DISTO, se muestran a continuación:
DATOS TÉCNICOS PLUS A5 A3
Precisión ±1,5 mm ±2 mm ±3 mm
Alcance 0,20 m a 200 m 0,05 m a 200 m 0,05 m a 100 m
Bluetooth Sí No No
Fuente: Leica Geosystems

Redes de apoyo planimétricos
288
Medición de superficies rápida y sencilla
Medición de alturas: tan fácil como apretar un botón
Medición de volúmenes: pemite cacular el volumen
de una habitación o la superficie de paredes y techos
con sólo pulsar un botón.
Medición indirecta de alturas: la función Pitágoras per-
mite medir la altura de fachadas.

25
25
25
25
25
INTRODUCCIÓN
Las operaciones topográficas, se realizan fundamentalmente para determinar mediciones ya sean lineales
y/o angulares. Estas mediciones se efectúan bajo el control de la vista humana u observación, que
evidentemente, como cualquiera de los demás sentidos, tiene un límite de percepción, más allá del cual
no se aprecian perfectamente las magnitudes que se observan, originando una observación aproximada
de la medida, sin embargo mediante la estadística inductiva o inferencia se logra establecer ciertos límites
detolerancia,esdecirelgradodeprecisióndelaobservaciónquesemanifiestacualitativaycuantitativamente
a través de ese error de apreciación.
1. Clases de medición
A) Medición directa
Es aquella en la cual se obtienen la medida
“exacta” mediante un proceso visual, a partir
de una simple comparación con la uni-
dad patrón.
B) Medición indirecta
Es aquella medida que se obtiene mediante
ciertos aparatos o cálculos matemáticos ya que
se hace imposible medirla mediante un
proceso visual simple.
Unidad patrón: 1 metro
Ejemplo ilustrativo; Magnitud: Longitud Ejemplo ilustrativo:
En la figura, es fácil notar que la longitud AB mide
3 veces un metro: 3 metros (medición directa).
Fórmula: A = (largo)(ancho) = (3 m) (2 m)
A = 6 m
2
Se recurrió al uso de una fórmula matemática.
Se quiere medir el área del rectángulo.

2. Errores en la medición
La medición es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especiali-
zado para dicho efecto.
En toda medición hay que admitir, que por más calibrado que se encuentre el instrumento a usar,
siempre el resultado obtenido estará afectado de cierto error; ahora, en el supuesto de que existiendo
un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemáticamente con la realidad física,
nunca llegaríamos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o
de leer exactamente una escala.
A) Valor verdadero
Esaquelvalorquenotieneningunaclasedeerror.Noobstanteesprecisoanotarqueelverdaderovalorno
seconoceniseconocerájamás.
B) Error
Es la incerteza en la determinación del resultado de una medición.
C) Exactitud
Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar.
Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados o desplazados.
D) Precisión
Es el grado de perfección de los instrumentos y/o procedimientos aplicados. La precisión de un
instrumento está determinado por la mínima división de la misma (sensibilidad).
Ejemplo
– un cronómetro es más preciso que un reloj de pared.
– una balanza de joyería es más preciso que una de camiones pesados.
La sensibilidad o precisión con que se fabrican los aparatos de medida dependen de los fines a los que se
destina. No tendría sentido fabricar una balanza que aprecie el miligramo para usarla como balanza para
camiones.
28

29
Ilustración: Exactitud - precisión
Los valores medidos son:
• Poco precisos
• Pocos exactos
• Poco precisos
• Más exactos
• Muy precisos
• Pocos exactos
• Muy precisos
• Muy exactos
3. Causa de los errores
A) Naturales
Son aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorológicas (lluvia, viento, temperatura,
humedad, etc.). Ver fig. a.
B) Instrumentales
Son aquellos que se presentan debido a la imperfección de los instrumentos de medición (fig. b).
C) Personales
Son aquellos ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones
(vista, tacto, etc). Ver fig. c.
4.- Clases de errores
A) Propios
Son aquellos que provienen del descuido, torpeza o distracción del observador, éstas no entran
en el análisis de la teoría de errores.
Fig. b: Las agujas de un cronómetro
son susceptibles al retraso o adelanto
debido al mecanismo del mismo instru-
mento, luego se cometerá un error de
medición.
Fig. c: La vista de una persona puede
no permitir observar correctamente
las agujas de un reloj, se cometerá
entonces un error personal en la me-
dida del tiempo.
Fig. a: Al medir la longitud entre dos
puntos, en días calurosos, la cinta mé-
trica se dilata debido a la fuerte tem-
peratura, luego se cometerá un error
de medición.
Es posible que el operador lea en la cinta métrica
15,40 metros y al momento de anotar escriba por
descuido L = 154 metros.

30
Probabilidad
Es la relación que define el número de veces que un resultado debe
ocurrir respecto al número total de posibilidades.
En el ejemplo de la figura se observa que el círculo está dividido
en 10 triángulos; El color negro tendrá entonces una probabili-
dad de dos a diez (2/10) de ser el ganador en el juego de la ruleta,
el plomo: 3/10 y el blanco 5/10 como se aprecia.
Para analizar la teoría de probabilidades en la topografía se
tomará un ejemplo ilustrativo, con el cual se explicará los
conceptos fundamentales así como su respectivo significado.
TEORÍA DE PROBABILIDADES
Son entes matemáticos que sirven para aproximar una cantidad a un rango permisible (de los errores
accidentales); en esta teoría se supone que:
• Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes.
• No se cometen errores muy grandes.
• Los errores pueden ser positivos o negativos.
• El verdadero valor de una cantidad es la media de un número infinito de observaciones análogas.
B) Sistemáticos
Son aquellos que aparecen debido a una imperfección de los aparatos utilizados; así como también a
la influencia de agentes externos como viento,calor humedad, etc.
Estos errores obedecen siempre a una ley matemática o física, por lo cual es posible su corrección.
Suponga Ud. que se quiere medir la longi-
tud AB, pero al usar la cinta métrica, ésta
se pandea como se muestra, la lectura que
se toma en estas condiciones no será la
verdadera, habrá que corregir.
L = L' – corrección
2
W L
Corrección =
24 F
En este caso la corrección se determina mediante la siguiente fórmula:
Donde:
W, L y T son parámetros conocidos.
C) Accidentales o fortuitos
Son aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede
aplicarse corrección alguna, sin embargo estos errores suelen obedecer a as leyes de las
probabilidades; por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medición
pues generalmente estas suelen ser diferentes.

31
Ejemplo ilustrativo
Se ha medido la longitud en milímetros que exis-
te entre dos puntos, para ello se han realizado 100
mediciones, los valores que se presentan carecen
de errores sistemáticos. La tabla muestra los va-
lores medidos y el número de veces.
Valor medido (mm) Número de veces
692,00 1
693,00 1
694,00 1
694,20 1
695,00 1
695,20 2
695,70 2
696,00 3
696,80 2
697,00 4
697,40 2
697,90 2
698,00 5
698,20 4
698,70 3
699,00 6
699,10 3
699,60 2
700,00 10
700,40 2
700,70 2
701,00 8
701,30 2
701,90 3
702,00 5
702,20 3
702,80 4
703,00 4
704,00 4
704,40 1
704,70 1
705,00 2
706,00 2
707,00 1
708,00 1
La media aritmética X; será:
X = 700,00 mm
Calculando la desviación entre cada valor y la
media:
Xi (mm) Número de veces Vi (mm)
692,00 1 –8,00
693,00 1 –7,00
694,00 1 –6,00
694,20 1 –5,80
695,00 1 –5,00
695,20 2 –4,80
695,70 2 –4,30
696,00 3 –4,00
696,80 2 –3,20
697,00 4 –3,00
697,40 2 –2,60
697,90 2 –2,10
698,00 5 –2,00
698,20 4 –1,80
698,70 3 –1,30
699,00 6 –1,00
699,10 3 –0,90
699,60 2 –0,40
700,00 10 0,00
700,40 2 0,40
700,70 2 0,70
701,00 8 1,00
701,30 2 1,30
701,90 3 1,90
702,00 5 2,00
702,20 3 2,20
702,80 4 2,80
703,00 4 3,00
704,00 4 4,00
704,40 1 4,40
704,70 1 4,70
705,00 2 5,00
706,00 2 6,00
707,00 1 7,00
708,00 1 8,00
V = X – X
i i

32
Llamaremos “marca de clase” a la mínima di-
visión constante que puede variar en todas las
mediciones; en nuestro caso “1 milímetro”
Tabulando y teniendo presente:
f = Frecuencia absoluta
f = Número de desviaciones en el intervalo
Se presenta a continuación al histograma de fre-
cuencias absolutas que viene a ser la representa-
ción discreta de la frecuencia con que se repiten las
desviaciones en cada intervalo de marca de clase.
Intervalo del histograma (mm) Frecuencia absoluta
–8,5 a –7,5 1
–7,5 a –6,5 1
–6,5 a –5,5 2
–5,5 a –4,5 3
–4,5 a –3,5 5
–3,5 a –2,5 8
–2,5 a –1,5 11
–1,5 a –0,5 12
–0,5 a +0,5 14
+0,5 a +1,5 12
+1,5 a +2,5 11
+2,5 a +3,5 8
+3,5 a +4,5 5
+4,5 a +5,5 3
+5,5 a +6,5 2
+6,5 a +7,5 1
+7,5 a +8,5 1
Si se unen mediante líneas rectas los puntos su-
periores centrales de las barras del histograma,
se obtendrá el “polígono de frecuencia”
Si se aumentara el número de mediciones tanto
como se quisiera y se ajusta aún más la preci-
sión, se obtendría una marca de clase bastante
pequeña al punto que el polígono de frecuencia
pasaría a ser una línea contínua curva, simétrica
respecto al centro y en forma de campana.
Se observará en la curva la existencia de dos
puntos de inflexión (cambio de concavidad).
Matemáticamente es posible representar dicha curva
mediante modelos probabilísticos de variable aleatoria
contínua; el más usado es el Modelo Normal Estándar.

33
En la curva típica de probabilidad se ubican dos puntos de inflexión cuyas abcisas correspondien-
tes toman el nombre de: Desviación Típica o Estándar (σ)
Observaciones de igual precisión
Se considera que las observaciones son tomadas en idénticas condiciones, vale decir con los
mismos instrumentos, la misma brigada, las mismas condiciones climatológicas, etc.
A) Media (X )
Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud.
Es la media aritmética de un conjunto de datos.
X X X ... + X
1 2 3 n
X =
n
+ + +
B) Desviación (Vi)
Se le llama también error aparente de una medición, es la diferencia entre la media y el valor
correspondiente a una medición.
En realidad la desviación es el error aproximado para cada medición, dado que no se conoce el
verdadero valor.
V = X – X
i i
C) Error medio cuadrático de una observación (Desviación típica o estándar): σ
σ
σ
σ
σ
Corresponde al valor del error del punto de inflexión de la curva típica de probabilidad.
En el caso de nuestro ejemplo ilustrativo (pag. 29)
X = 700,00
Veáse ejemplo ilustrativo (pag. 29)
El área achurada indica que entre los límites –σ y +σ se puede esperar que estos errores
ocurran el 68,27% de veces.
Como se aprecia, el área encerrada por la curva de
probabilidad limitado por los valores de la desvia-
ción típica (σ) corresponde al 68,27% del área total
bajo la misma curva.

34
Matemáticamente:
σ : Desviación típica o estándar
V : Desviación de cada medición
n : Número de mediciones
Estadísticamente, la primera expresión (2 ≤ n ≤ 30) es porque el valor resultante representa
un mejor estimador de la desviación típica de una población de la que se ha tomado una
muestra. Prácticamente si n = 30, no hay diferencia entre las dos expresiones.
Σ
σ ±
2
V
=
n
2 ≤ n ≤ 30 n > 30
Σ
σ ±
2
V
=
n – 1
n = Σ = 100 Σ = 930,14
Xi (mm) Número de veces Vi (mm) V
2
Σ
Σ
Σ
Σ
ΣV
2
692,00 1 –8,00 64,00 64,00
693,00 1 –7,00 49,00 49,00
694,00 1 –6,00 36,00 36,00
694,20 1 –5,80 33,64 33,64
695,00 1 –5,00 25,00 25,00
695,20 2 –4,80 23,04 46,08
695,70 2 –4,30 18,49 36,98
696,00 3 –4,00 16,00 48,00
696,80 2 –3,20 10,24 20,48
697,00 4 –3,00 9,00 36,00
697,40 2 –2,60 6,76 13,52
697,90 2 –2,10 4,41 8,82
698,00 5 –2,00 4,00 20,00
698,20 4 –1,80 3,24 12,96
698,70 3 –1,30 1,69 5,07
699,00 6 –1,00 1,00 6,00
699,10 3 –0,90 0,81 2,43
699,60 2 –0,40 0,16 0,32
700,00 10 0,00 0,00 0,00
700,40 2 0,40 0,16 0,32
700,70 2 0,70 0,49 0,98
701,00 8 1,00 1,00 8,00
701,30 2 1,30 1,69 3,38
701,90 3 1,90 3,61 10,83
702,00 5 2,00 4,00 20,00
702,20 3 2,20 4,84 14,52
702,80 4 2,80 7,84 31,36
703,00 4 3,00 9,00 36,00
704,00 4 4,00 16,00 64,00
704,40 1 4,40 19,36 19,36
704,70 1 4,70 22,09 22,09
705,00 2 5,00 25,00 50,00
706,00 2 6,00 36,00 72,00
707,00 1 7,00 49,00 49,00
708,00 1 8,00 64,00 64,00
Analizando el ejemplo ilustrativo de la página 31

35
Dado que n = 100 > 30
2
V 930,14
=
n 100
Σ
σ ± = ± ⇒ σ = ±3,05 mm
Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas es probable que 68 de ellas queden
dentro de los límites de error [–3,05 mm; +3,05 mm].
Veamos la tabla, para un intervalo de error [–3,50 mm; +3,50 mm], tenemos 76 mediciones
que caen dentro de dicho rango (analice Ud. en el intervalo [–3,05 mm; +3,05 mm]).
Intervalo del histograma Frecuencia absoluta
(mm)
–8,5 a –7,5 1
–7,5 a –6,5 1
–6,5 a –5,5 2
–5,5 a –4,5 3
–4,5 a –3,5 5
–3,5 a –2,5 8
–2,5 a –1,5 11
–1,5 a –0,5 12
–0,5 a +0,5 14
–0,5 a +1,5 12
+1,5 a +2,5 11
+2,5 a +3,5 8
+3,5 a +4,5 5
+4,5 a +5,5 3
+5,5 a +6,5 2
+6,5 a +7,5 1
+7,5 a +8,5 1











76 mediciones
D) Error probable de una observación (E50)
Es aquel intervalo, dentro de cuyos límites exis-
te la probabilidad de que el 50% del total de
mediciones integren dicho rango.
En la actualidad se usa poco este error.
± σ
50
E = 0, 6745
En el ejemplo ilustrativo:
± σ ±
50
E = 0,6745 = 0,6745( 3, 05)
±
50
E = 2, 06 mm
Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas, es probable que 50 de ellas queden

36
E) Ecuación general del índice de precisión
La probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad se determina por la siguien-
te expresión:
= σ
p
E K
Ep : Porcentaje de error
K : Factor numérico que corresponde al porcentaje de error
Expresiones usuales en topografía: E90 = 1.6449 σ
E95 = 1.9599 σ
E99,73 = 3 σ
Comúnmente en topografía se usa con mayor frecuencia: E95, en nuestro ejemplo ilustrativo:
E95 = 1,9599 (±3,05)
E95 = ± 5,98 mm
Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas es probable que 95 de ellas queden
Por otro lado es preciso anotar que la curva de probabilidad en el eje de las X es una asíntota, luego;
no se puede evaluar el error de 100%, razón por la cual debe considerarse que estas tres expresio-
nes (E90; E95; E99,73) nos dan los valores máximos que se presentan en la práctica. Errores mayores
que ±3σ ya no se consideran errores accidentales sino equivocaciones.
F) Error de la media (Em)
Está visto que la media, también está sujeto a error.
Error de la media a cualquier porcentaje de probabilidad es aquel intervalo (–Em; +Em) dentro de
cuyos límites puede caer el verdadero error accidental de la media con una probabilidad de p%.
Ep
Em
n
=
=
+ + + +
1 2 3 n
x x x ... x
X
n
Si hacemos: E = Ep
2 2
E nE
suma p
=
E n E
suma p
= ...(2)
(2) en (1): =
p
m
E
E
n
...demostrado
Demostración:
Luego:
Esuma
Em
n
= ...(1)
Pero: 2 2
E E
suma = Σ

37
En el ejemplo ilustrativo (si p = 95%)
E
95
= ±5,98 mm
= ⇒ = ±
95
m m
E
E E 0,60 mm
100
G) Valor más probable (V.M.P.)
Es aquel valor que se acerca más al verdadero valor pero que no lo es. Comúnmente se
considera a la media como el valor más probable de varias mediciones.
V.M.P. = X
En el ejemplo ilustrativo: V.M.P. = 700,00 mm; como quiera que el V.M.P. nunca será el
valor verdadero, se deduce que existirá un error y que dicho valor exacto estará ubicado
dentro del rango de ciertos limites: [V.M.P. –Em; V.M.P. +Em] con una probabilidad de
p%. En el ejemplo ilustrativo, el valor verdadero estará contenido en el rango de [700 –
0,60 ; 700 + 0,60], lo que es [–699,40 mm ; 700,60 mm] con una probabilidad del 95%.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Se midió una base cinco veces, obteniéndose:
115,334 m; 115,326 m; 115,315 m; 115,336 m;
115,335 m. Calcular el error probable de una
observación con el 95% de probabilidad de
que sea cierto.
Solución
Número Valor (m) Vi Vi
2
1 115,334 0,005 2,5×10-5
2 115,326 -0,003 0,9×10-5
3 115,315 -0,014 19,6×10-5
4 115,336 0,007 4,9×10-5
5 115,335 0,006 3,6×10-5
X = 115,329 ΣVi
2
= 31,5×10
-5
Σ ×
± = ±
×
σ
σ
2 -5
i
-3
V 31,5 10
=
4
= 8,874 10 m
n – 1
El error probable de una observación con el
95% de probabilidad de que sea cierto es:
E95= 1,9599σ = 1,9599(±8,874×10
-3
)
E95= ±0,017 m
Nótese que ningún valor referente a V so-
brepasa el correspondiente a 3σ = 0,027, con
el cual no hay motivo de depuración.
2. Se ha efectuado la medición de una distan-
cia y los resultados obtenidos son:
1° Medición: 800, 213 m
2° Medición: 800,220 m
Se pide calcular el verdadero valor con una
probabilidad del 50%

38
Solución
En primer lugar, si analizamos el valor de
cada medición, respecto a los demás, será fá-
cil detectar que la tercera medición tiene un
valor muy lejano a las otras, lo cual hace de-
ducir que en el proceso de medición se debió
cometer un error propio(en la 3° medición),
por tal motivo no se tomará en cuenta en los
cálculos.
Luego: 1° Medición: 800,213 m
• n = 3
800, 213 800, 220 800, 218
X =
3
+ +
2 400, 651
X =
3
X = 800, 217 m
• Tabulando
Medida (m) V = X – X
i i V2
800,213 –0,004 16×10
-6
800,220 +0,003 9×10
-6
800,218 +0,001 1×10-6
ΣV
2
= 26×10
-6
Σ ×
± = ±
±
σ
σ
2 -6
i
V 26 10
=
= 0, 0036 m
n – 1 3 – 1
Nótese que ningún valor referente a V, so-
brepasa el correspondiente a 3σ = ±0,011,
con lo cual no hay motivo de depuración.
• El error de una observación para una pro-
babilidad de 50%.
E = ±0,6745σ =±0,0024 m
• El error de la media para una probabilidad
de 50%.
Em =
E
3
= ±0,0014 m
• El verdadero valor está comprendido en el
siguiente intervalo:
L = 800,217 m ± 0,0014 m
3. Se presentan una serie de n Lecturas de
estadal (mira); que se tomaron con un nivel
en condiciones idénticas. Responder si el
valor 2,260 está dentro del intervalo co-
rrespondiente al 50% de probabilidad si:
L1 = 2,250 m ; L4 = 2,257 m ; L7 = 2,250 m
L2 = 2,253 m ; L5 = 2,259 m ; L8 = 2,260 m
L3 = 2,258 m ; L6 = 2,251 m
Solución
Analizando la totalidad de mediciones:
Número L Vi Vi
2
1 2,25 –0,005 2,5×10
-5
2 2,253 –0,002 0,4×10
-5
3 2,258 +0,003 0,9×10-5
4 2,257 +0,002 0,4×10
-5
5 2,259 +0,004 1,6×10
-5
6 2,251 –0,004 1,6×10-5
7 2,250 –0,005 2,5×10
-5
8 2,260 +0,005 2,5×10-5
L = 2,255 m ΣV
2
= 12,4×10
-5

39
2 -5
i
V 12, 4 10
=
= 0, 0042
n – 1 7
Σ ×
± = ±
±
σ
σ
Vmax = 3σ = ±0,013
La varianza de ninguna medición sobrepasa
el máximo, por lo cual no hay motivo de de-
puración de valores:
E50 = 0,6745σ = ±0,003 m
El verdadero valor con el 50% de probabili-
dad está dentro del siguiente intervalo:
L = L ± E50
L = 2,255 ± 0,003 = [2,252; 2,258] m
El valor 2,260 no está dentro del intervalo
correspondiente al 50% de probabilidad.
4. Se llevó a cabo una nivelaciónentre los puntos
A, B y C. Realizados por los grupos 1, 2 y 3
obteniéndoselossiguientesdatos,(enmetros).
Grupo 01
Pto V(atrás) V(adelante) Cota D(m)
A 0,251 100,00
1 1,424 2,423 50,00
B 0,923 1,212 40,10
2 1,726 0,632 48,30
A 0,08 31,80
B 1,22
1 2,42 1,22 35,10
2 1,824 0,472 44,20
C 0,223 0,414 50,70
3 0,523 1,425 34,60
4 1,032 2,453 48,90
B 1,248 46,50
Grupo02
A 0,257
1 0,832 1,070 20,00
2 1,253 1,724 30,00
3 2,426 1,232 40,00
4 2,102 0,342 40,00
5 1,834 0,723 35,00
C 0,264 2,200 20,00
6 0,102 2,432 30,00
7 1,234 1,263 45,00
8 2,620 1,264 70,00
A 0,660 30,00
Grupo03
• Las cotas de B y C son:
Cota B = 98,051 ; Cota C = 101,400
Dicho grupo también midió el ángulo ver-
tical que forma el horizonte con la línea
recta que une B y C.
Obteniéndose: θ = 01° 30' 20"
θ = 01° 30' 45"
θ = 01° 30' 40"
Se pide: El valor más probable de la dis-
tancia topográfica.

40
Solución
• Analizando la nivelación del grupo 01
Pto V(atrás) V(adelante) Cota Ci Cota Compensada
A 0,251 100,251 100,00
1 1,424 99,252 2,423 97,828 0,001 97,829
B 0,923 98,963 1,212 98,040 0,002 98,042
2 1,746 100,077 0,632 98,331 0,002 98,333
A 0,08 99,997 0,003 100,00
Cota B = 98,042
B 1,22 99,262 98,042
1 2,42 100,462 1,22 98,042 -0.001 98,041
2 1,824 101,814 0,472 99,99 -0.003 99,987
C 0,223 101,623 0,414 101,40 -0.005 101,395
3 0,523 100,721 1,425 100,198 -0.006 100,192
4 1,032 99,3 2,453 98,268 -0.008 98,26
B 1,248 98,052 -0.01 98,042
Cota C = 101,395
A 0,257 100,257 100,00 100,000
1 0,832 100,019 1,070 99,187 -0.001 99,186
2 1,253 99,548 1,724 98,295 -0.002 98,293
3 2,426 100,742 1,232 98,316 -0.003 98,313
4 2,102 102,502 0,342 100,400 -0.005 100,395
5 1,834 103,613 0,723 101,779 -0.006 101,773
C 0,264 101,677 2,200 101,413 -0,007 101,406
6 0,102 99,347 2,432 99,245 -0,008 99,237
7 1,234 99,318 1,263 98,084 -0,010 98,074
8 2,620 100,674 1,264 98,054 -0,013 98,041
A 0,660 100,014 -0,014 100,000
Cota C = 101,406

41
Por dato: Cota B = 98,051
Cota C = 101,400
• Calculando el valor más probable: Cota B;
Cota C
Cota B = = 98,047
Cota C =
Cota C = 101,400
• Calculando el valor más probable del án-
gulo de elevación:
θ =
θ = 01° 30' 35"
• Procediendo a calcular el V.M.P. de la dis-
tancia topográfica BC (D)
∆h = Cota C – Cota B
∆h = 3,353 m
D = ∆h ctg θ = (3,353) ctg(01° 30' 35")
D = 127,221 m
5. Tres alumnos A, B y C; integrantes del gru-
po #3 del curso de topografía, tienen que
medir una longitud muy extensa, turnán-
dose por tramos, el alumno A mide el 40%
de la longitud equivocándose 1 cm por cada
50 metros; el alumno B hace el 30% pero se
equivoca 1 cm por cada 10 m y C que mide
el tramo final se equivoca 1 cm por cada 20
metros. Si el profesor del curso mide con
estación total cada tramo que le correspon-
de a cada alumno y se dá cuenta que hubo
un error de 1 cm. ¿Cuál es el alumno más
probable de cometer el error?
Solución
A1 = A mide la longitud ç P(A) = 0,40
A2 = B mide la longitud ç P(B) = 0,30
A3 = C mide la longitud ç P(C) = 0,30
E: se equivocó al medir:
Según los datos: P(E/A1) = 1/50
P(E/A2) = 1/10
P(E/A3) = 1/20
Se pide: P(Ak/E) = ? ; k = 1; 2; 3 ....
Como: P(E) = ΣP(Ai)P(E/Ai)
P(E)=P(A1)P(E/A1)+P(A2)P(E/A2)+P(A3)P(E/A3)
P(E)=(0,40)(1/50)+(0,30)(1/10)+(0,30)(1/20)
P(E) = 0,053
P(A1/E) = = 0,151
P(A2/E) = = 0,566
P(A3/E) = = 0,283
El más probable de cometer el error es el
integrante B debido a que su probabili-
dad es mayor que el resto.
3 3
P(A )P(E/A ) (0,30)(1/20)
=
P(E) 0,053
101, 395 + 101, 406 + 101, 400
3
2 2
P(A )P(E/A ) (0,30)(1/10)
=
P(E) 0,053
98, 042 + 98, 051
2
1 1
P(A )P(E/A ) (0,40)(1/50)
=
P(E) 0, 053
01°30'20"+ 01°30'45"+ 01°30'40"
3

42
Observaciones de diferente precisión
En algunas ocasiones, la medida de una magnitud se realiza en diferentes días, con diversos equipos e
incluso con cambio de operadores (en el peor de los casos); cada uno de ellos constituye una circunstan-
cia particular. Cada circunstancia tiene cierta precisión el cual se puede cuantificar mediante el peso.
Peso
Es un parámetro que mide el grado de precisión que debe aplicarse a cada una de las observaciones.
• El peso puede estar dado por el número de mediciones de cada observación.
Ejemplo de aplicación:
Observación A Observación C
120° 30' 16" 120° 30' 36"
120° 30' 40" 120° 30' 10"
120° 30' 40"
Observación B 120° 30' 38"
120° 30' 22"
120° 30' 32" ⇒ θ2 = 120° 30' 22" (Peso = 3)
120° 30' 12"
• El peso puede estar dado por el error probable de cada observación.
= =
2 2 2
P E P E P E
1 1 2 2 3 3
Ejemplo de aplicación:
Observación A :120° 30' 28" ± 10"
Observación B :120° 30' 22" ± 5"
Observación C :120° 30' 31" ± 2"
= =
1 2 3
2 2 2
P (10) P (5) P (2)
Haciendo P1 = 1
Se tiene: P1 = 1 ; P2 = 4 ; P3 = 25
De lo cual se deduce que la observación C tiene mayor precisión.
A) Media ponderada ( )
La media ponderada de varias observaciones de diferente precisión, está determinada por la
siguiente expresión.
⇒ θ1 = 120° 30' 28" (Peso = 2)
⇒ θ3 = 120° 30' 21" (Peso = 4)
+ + +
+ + +
1 1 2 2 3 3 n n
1 2 3 n
P X P X P X ... + P X
X =
P P P ... + P
X

43
B) Error probable de la media (Em)
Es aquel intervalo [–Em ; +Em], dentro de cuyos límites puede caer el verdadero error
accidental de la media con una probabilidad de p%.
2
m
(PV )
E K
( P)(n – 1)
Σ
= ±
Σ
Em : Error de la media para p%
K : Factor número que corresponde al porcentaje de error
P : Peso
V : Desviación
n : Número de observaciones
Obteniendo: p = 50% ⇒ K = 0,6745
p = 90% ⇒ K = 1,6449
p = 95% ⇒ K = 1,9599
C) Valor más probable (V.M.P.)
Comúnmente se considera a la media como el valor más probable.
V.M.P. = X
Errores en las operaciones matemáticas
Hasta el momento se han analizado los errores accidentales para una operación simple.
Sin embargo existen ocasiones en las cuales es necesario realizar una operación compuesta; así
por ejemplo, supongamos que se desea medir la distancia que hay entre dos puntos del orden de
100 metros, con una cinta métrica de 20 metros; en este caso el valor final vendrá afectado de un
error que será la resultante de los errores de las mediciones elementales.
A) Error de una suma
L = L1 + L2 + L3
= ± + +
2 2 2
suma 1 2 3
E E E E

44
=
± +
=
∂ ∂
=
± × + ×
∂ ∂
= =

45
1. Determine el error probable de una línea
de longitud de masa igual a 3 500 m. Sí el
error probable al medir la longitud de una
cinta de 35 m es de ±0,02 m.
Solución
• El error de la suma de una serie de cantidades:
= ± + +
= ±

!
2 2 2
S
n
S
E E E ... + E
E E n
• Elnúmerodeobservaciones:
3 500
n = =100
35
• El error probable:
S
S
E 0, 02 100
E 0, 2 m
= ±
= ±
2. Se ha realizado observaciones, midiendo tres
ángulos formados alrededor de un punto
“O” en las mismas condiciones con el si-
guiente resultado:
X1 ± E1 = 150° 20' 30 ± 05
X2 ± E2 = 140° 30' 35 ± 03
X3 ± E3 = 069° 09' 30 ± 01
Determinar los valores más probables de di-
chos ángulos.
Solución
• Dado que los ángulos están formados alre-
dedor de un punto:
ΣX = 360° ............ (teórico)
En nuestro caso:
ΣX = 360° 00' 35
Ecierre= +35
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Luego: C1 + C2 + C3 = 35
• Distribución del error:
3
1 2
2 2 2
1 2 3
3
1 2
2 2 2
C
C C
= =
E E E
C
C C
= =
5 3 1
Si: C3 = 1 ç C2 = 9 ; C1 = 25
• Finalmente:
X1 = 150° 20' 30 – 25 ç X1 = 150° 20' 05
X2 = 140° 30' 35 – 09 ç X2 = 140° 30' 26
X3 = 069° 09' 30 – 01 ç X3 = 069° 09' 29
3. Corregir cada uno de los ángulos
Solución
• Σ θ = 180° 00' 14 ⇒ Ecierre = +14
C1 + C2 + C3 = 14 ...(a)
• 3
1 2
2 2 2
C
C C
2 4 6
= =
3
2
1
C
C
C
4 9
= = ...(b)
• De (a) y (b): C1 = 1 ; C2 = 4 ; C3 = 9
• Ángulos corregidos
X
1 = 42° 20' 10 – 1 ⇒ X
1 =42°20'09±02
X
2 = 83° 16' 12 – 4 ⇒ X
2 =83°16'08±04
X
3 = 54° 23' 52 – 9 ⇒ X
3 =54°23'43±06

46
4. Se ha realizado la medición de una línea
de ferrocarril, empleando diferentes equi-
pos, obteniéndose los siguientes resulta-
dos de campo (en metros).
X1 ± E1 = 1000,10 ± 0,01
X2 ± E2 = 1000,20 ± 0,02
X3 ± E3 = 1000,30 ± 0,03
Calcular el valor más probable de la línea
medida.
Solución
• Calculando el peso en cada caso:
2 2 2
2 2 3 3
P E = P E = P E
P1(0,01)
2
= P2(0,02)
2
= P3(0,03)
2
Si hacemos: P1 = 1
Se tendrá: P2= 1/4 ; P3 = 1/9
• El valor más probable es el media ponderada:
1 2 2 3 3
2 3
P X P X P X
X =
P P P
+ +
+ +
1 1
(1)(100,10) (100, 20) (100, 30)
4 9
X =
4 9
   
+ +
   
   
+ +
X = 100,135 m
5. Se ha realizado una nivelación entre P y Q
siguiendo tres recorridos diferentes como
muestra la tabla.
Recorrido Longitud (km) Cota Q
Primero 10 164,321 m
Segundo 25 164,300 m
Tercero 80 164,242 m
Calcular el verdadero valor referido a la
cota del punto “Q”
Solución
En una nivelación, a mayor longitud en el reco-
rrido del itinerario, mayor será el error probable
de la media y por tanto menor su peso. Como
quiera que en topografía se trabaja con incre-
mentosodecrementoslineales;seconcluyeque
el peso de un itinerario será inversamente pro-
porcional a la longitud recorrida:
P1 =
10
; P2 =
25
; P3 =
80
1 2 2 3 3
2 3
P X P X P X
X =
P P P
+ +
+ +
1 1 1
(164,321) (164,300) (164,242)
10 25 80
X=
10 25 80
     
+ +
     
     
+ +
X = 164, 309 m
Además:
X(m) Peso V V2
PV2
164,321 1/10 0,012 1,44×10-4
1,44×10-5
164,300 1/25 –0,009 0,81×10-4
0,32×10-5
164,242 1/80 –0,067 44,89×10-4
5,61×10-5
ΣPV2
= 7,37×10-5
Σ ×
± =
Σ
±
σ
σ
2 -5
V 7, 37 10
=
= 0, 0155 m
P
( P)(n – 1) (0,1525)(3 – 1)
Se quiere el error para k = 50% de probabilidad
E= kσ =0,6745×0,0155
E50 = 0,0105 m
Luego el error de la media para k = 50%
de probabilidad:
50
m
E
E 0, 006 m
3
= =

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