Semana 2 ejercicios cap 2

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico
tengaEJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2
EJERCICO 1:
Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos:
a) ¿qué es la tendencia central y qué es la variabilidad de un proceso o unos
datos?
La tendencia central es una característica descriptiva de una muestra de
observaciones que son interpretados como valores que permiten resumir
a un conjunto de datos dispersos, adopta un valor representativo para
todo un conjunto de datos predeterminados.
MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL: PERMITEN OBSERVAR SI UN
PROCESO SE ENCUENTRA CENTRADO
La variabilidad son cambios que modifican un proceso o un conjunto de
datos, que posteriormente afectan al producto o al análisis de los datos.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: PERMITEN OBSERVAR LA
VARIABILIDAD DE UN PROCESO
b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos
procesos con la misma variabilidad pero diferente tendencia central.
310300290280270260250240
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
X
Densidad
250
300
Media
Gráfica de distribución
Normal, Desv.Est.=3

c) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente
dispersión.
320310300290280
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
X
Densidad
3
6
Desv.Est.
Normal, Media=300
d) Represente dos procesos cuya forma de distribución sea diferente.
350325300275250
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
Densidad
Poisson 300
Distribución Media
Normal 300 6
Distribución Media Desv.Est.
e) ¿qué significa que un proceso sea capaz?
Significa que los valores que obtuvieron han caído dentro de las
especificaciones inferiores y superiores. Un proceso es aquel que cumple las
especificaciones decimos que es un proceso de CALIDAD esta asociada al
cumplimiento de los requisitos del cliente….q cumplir las especificaciones que
señalamos….

Ejemplo:
Supongamos una botella de agua mineral de ½ litro contenido debe ser 500
ml±5 ml.
Entonces:
Especificación superior=505 ml
Especificación Inferior= 495 ml
Toda botella se encuentra en ese rango va cumplir con las especificaciones de
calidad del atributo: Contenido Volumen.
Nota.- La calidad de un producto la medimos en función de sus distintas
variables:
- Diámetro del envase de acuerdo al diseño
- Peso del envase
- Características físicas y químicas: color, sabor, ph, temperatura etc
- Material de la tapa
- Etc…
PROCESO ES CAPAZ SI CUMPLE LAS ESPECIFICACIONES
EN LOS SERVICIOS TODO DE CARACTERISTICAS….
EJERCICIO 2:
Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es µ =
29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones?
Si se tiene una buena calidad porque está entre la tolerancia permitida. No hay muchos
valores o casi nada de valores extremos que haga que pierda representatividad la
media. Para tener una mejor respuesta es necesario conocer la variabilidad.

3332313029282726
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Densidad
28 32
0.5
1
Desv.Est.
Normal, Media=29.9
Superior
Especificación
Inferior
Especificación
Cumple especificaciones
NO Cumple especificaciones
EJERCICIO 3:
¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta.
Estos valores muy extremos hacen que la media pierda representatividad. Es decir; el
valor obtenido sea muy inferior o superior a lo real.
EJERCICIO 4:
Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de
los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite
más es la de 4. La edad de las tres maestras es de aproximadamente 30 años. Con
base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para
la media, la moda y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus
propuestas.
Media = 11, esté valor estimado es porque al ver 3 valores muy extremos como 30
años con 4 y 8 años, esto condiciona a la media a perder representatividad.
Moda = 4, es el valor que más se repite.
Mediana = 5, es el valor medio. Es decir; que el 50% tiene un valor inferior a 5 años
y el otro 50% tiene un valor superior a 5 años a pesar que las 3 maestras tienen un
aproximado de 30 años. Esto es porque la mayor cantidad de paseantes son

menores de 5 años y las 3 maestras de 30 años aproximadamente no influyen en la
mediana.
EJERCICIO 5:
En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la
media es de 4 y la mediana de 6.
a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número
reportaría? ¿por qué?
Reportaría el n° 6, porque me da el valor medio de fallas que ocurrieron en
cada mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es
superior a 6.
b) ¿la discrepancia entre las media y la mediana se debió a que durante
varios meses ocurrieron muchas fallas?
Si, por que al ver varias fallas en unos meses y en otros meses no. Esto
nos proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos,
perdiendo representatividad el valor de la media.
EJERCICIO 9:
La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establece la relación entre la media y
la desviación estándar. Explique esta situación y explique si sr aplica para el caso
muestral, poblacional o para ambos.
Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que
la mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la
probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo
alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una
desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una
área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique
una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin
embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su
área cercana a µ.
Esta desigualdad de chebyshev es aplicada para ambos casos (muestral y
poblacional).

EJERCICIO 10
Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de
hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final del turno
un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones.
A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas.
199.2 199.7 201.8 202.0 201.0 201.5 200.0 199.8
200.7 201.4 200.4 201.7 201.4 201.4 200.8 202.1
200.7 200.9 201.0 201.5 201.2 201.3 200.9 200.7
200.5 201.2 201.7 201.2 201.2 200.5 200.1 201.4
200.2 201.0 201.4 201.4 201.1 201.2 201.0 200.6
202.0 201.0 201.5 201.6 200.6 200.1 201.3 200.6
200.7 201.8 200.5 200.5 200.8 200.3 200.7 199.5
198.6 200.3 198.5 198.2 199.6 198.2 198.4 199
199.7 199.7 199.0 198.4 199.1 198.8 198.3 198.9
199.6 199.0 198.7 200.5 198.4 199.2 198.8 198.5
198.9 198.8 198.7 199.2 199.3 199.7 197.8 199.9
199.0 199.0 198.7 199.1 200.3 200.5 198.1 198.3
199.6 199.0 198.7 198.9 199.2 197.9 200.3 199.6
199.4 198.7 198.5 198.7 198.6 198.5
a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la
tendencia central del proceso es adecuada.
Estadísticas descriptivas: C1
N para
Variable Media Mediana Modo moda
C1 200.00 200.10 199, 200.5, 201.4 6
Todas las medidas de tendencia central nos indica que latendencia es adecuada, porque
esta dentro de los limites permitidos.
b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a
partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable.
Variable Desv.Est. Varianza
C1 1.16 1.34
Limites Reales: µ±3 Desv.Estandar
c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad,
acantilados, sesgos, etcétera).

203202201200199198197
12
10
8
6
4
2
0
C1
Frecuencia 203.468196.532
Media 200.0
Desv.Est. 1.156
N 110
3
4
10
7
8
7
10
5
4
66
5
11
8
9
4
2
1
Histograma de C1
Normal
la derecha
tendencia hacia
curva tiene una
indica que la
es negativo, nos
Como el sesgo
d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado
o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que
representan las mediciones.
Las longitudes de las tiras se encuentran en el rango permitido, así que
podemos decir que las tiras cumplen las especificaciones requeridas y el
lote es aceptado.
EJERCICIO 11:
En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por
renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo
siguiente.
a) Evalúe las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con
respecto a la longitud ideal (200).
Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2
N para

Maquina 1 200.08 200.20 199 5
Maquina 2 199.91 200.10 200.3, 200.6, 201.2, 201.4 3
La máquina 2 es más exacta que la máquina 1.
b) Analice la dispersión de ambas máquinas utilizando la desviación estándar y
la regla empírica.
Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2
Variable Desv.Est. Varianza Q1 Q3 Sesgo Kurtosis
Maquina 1 1.16 1.36 199.00 201.20 0.09 -1.43
Maquina 2 1.15 1.32 198.80 200.90 -0.17 -1.20
De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero
la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a
la de la máquina
c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos.
203202201200199198197
12
10
8
6
4
2
0
203202201200199198197
10
8
6
4
2
0
Maquina 1
Frecuencia
203.595196.605

La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son
superiores e inferiores.
e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y
determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el
inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas
causas.
Causas:
• Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté
revisándola constantemente, ya que la máquina puede ser muy
antigua y se descontrole fácilmente.
• El operario no ha sido capacitado correctamente.
Precauciones:
- Revisar constantemente la máquina.
- Evaluar al operario.
f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior
y vea si de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis
realizados en este ejercicio.

El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con
los datos históricos se tiene que µ = 318 yσ = 4. ¿El proceso de envasado funciona bien
en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.
EJERCICIO 23:
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
X
Densidad
310 326318
306 310 330
330
Normal, Media=318, Desv.Est.=4
la izquierda.
una variabilidad hacia
especificaciones tiende
segun las
distribuidos, pero
correctamente
reales los datos esta
Respecto a los limites
Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un
componente que influye en esta es la cantidad de arenas que se utilizan en su
elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por
medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin
embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es
necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se
decide investigar cuanta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se
toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales).
EJERCICIO 16:

Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran
adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los
costales de arena son de 20± 0.8 kg.
a) de acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado?
b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados.
c) obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones e
interprete con detalle.
d) de su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso
especificado.
e) haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y
gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes.
f) ¿las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma de
inciso c)?
g) obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.
Estadísticas descriptivas: Lote 1, Lote 2, Lote 3
Variable Media Desv.Est. Varianza Mediana Sesgo Kurtosis
Lote 1 19.350 0.555 0.308 19.250 1.01 1.39
Lote 2 19.297 0.690 0.476 19.350 0.06 -0.26
Lote 3 20.040 0.401 0.161 20.000 0.29 0.46
Histograma de Total de Lotes
LOTE PESO DE COSTALES DE LA MUESTRA
1 18.6 19.2 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.3 20.0
19.1 18.6 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.6 19.6 19.0
19.6 19.4 19.8 19.1 20.0 20.4 18.8 19.3 19.1 19.1
2 18.6 19.9 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 20.7 19.6
19.5 19.1 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.8 19.2 20.6
20.0 18.4 18.9 19.7 17.8 19.4 18.9 18.4 19.0 19.7
3 20.1 20.2 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 19.6 20.6
20.0 19.7 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 20.0
20.2 19.7 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3 20.4 20.2

Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3
En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un
indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta
a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas
mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de
EJERCICIO 17:
21.521.020.520.019.519.018.518.0
14
12
10
8
6
4
2
0
Total de Lotes
Frecuencia
21.51317.607
Media 19.56
Desv.Est. 0.6511
N 90
Histograma de Total de Lotes
Normal
Lote 3Lote 2Lote 1
21.0
20.5
20.0
19.5
19.0
18.5
18.0
Datos
Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3

en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando
apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6
horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se
aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del
año (65 datos).
Los 65 datos
5.0 5.4 7.1 7.0 5.5 4.4 5.4 6.6 7.1 4.2
4.1 3.0 5.7 6.7 6.8 4.7 7.1 3.2 5.7 4.1
5.5 7.9 2.0 5.4 2.9 5.3 7.4 5.1 6.9 7.5
3.2 3.9 5.9 3.6 4.0 2.3 8.9 5.8 5.8 6.4
7.7 3.9 5.8 5.9 1.7 3.2 6.8 7.0 5.4 5.6
4.5 6.5 4.1 7.5 6.8 4.3 5.9 3.1 8.3 5.4
4.7 6.3 6.0 3.1 4.8 - - - - -
a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en estas, ¿cree que se
cumple con la meta?
b) Aplique la regla empírica, interprete y diga que tan bien se cumple la meta.
c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes.
d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿Qué recomendaciones daría para
ayudar a cumplir mejor la meta?
N para
C1 5.366 5.500 5.4 5
9.07.56.04.53.01.5
12
10
8
6
4
2
0
C1
Frecuencia
0.51 10.22
Media 5.366
Desv.Est. 1.618
N 65
Histograma de C1
Normal
caso.
analisis de este
se toma en el
los tiempos que
ala variación de
esto es debido
multimodales,
caracteristicas
presenta
El histograma

Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres
líneas de producción.
EJERCICIO 18:
a) analice los datos para cada línea y anote las principales características de la
distribución de los datos.
b) compare las tres líneas, ¿nota alguna diferencia importante?
SEMANA LINEA 1 LINEA 2 LINEA 3
1 7.7 6.6 7.5
2 6.8 5.2 8.1
3 8.5 7.2 6.2
4 8.6 9.2 7.4
5 5.7 6.7 8.2
6 7.9 6.2 6.0
7 8.1 7.1 8.2
8 7.6 8.1 8.1
9 7.1 6.4 6.7
10 7.3 6.3 8.0
11 7.8 8.2 8.1
12 6.1 8.4 8.1
13 6.3 7.4 7.0
14 6.3 6.5 8.5
15 7.8 7.7 8.0
16 6.7 7.4 7.7
17 7.3 6.1 7.5
18 5.7 6.2 8.2
19 6.2 7.3 7.7
20 7.3 6.9 7.0
21 5.0 6.1 6.5
22 5.0 6.9 6.2
23 5.4 8.4 6.0
24 7.5 5.0 6.1
25 6.0 7.4 5.8
Estadísticas descriptivas: Linea 1, Linea 2, Linea 3
N para
Variable Media Desv.Est. Varianza Q1 Mediana Q3 Modo moda
Linea 1 6.872 1.050 1.102 6.050 7.100 7.750 7.3 3
Linea 2 6.996 1.001 1.001 6.250 6.900 7.550 7.4 3

Linea 3 7.312 0.878 0.770 6.350 7.500 8.100 8.1 4
Variable Sesgo Kurtosis
Linea 1 -0.23 -0.94
Linea 2 0.13 0.01
Linea 3 -0.46 -1.35
De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20L se le permitía
una discrepancia de 0.2L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para
evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (EL = 19.8, ES = 20.2).
De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular,
la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente.
De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba cumple con la norma?
Argumente su respuesta.
EJERCICIO 8:
4
3
2
1
0
X
Densidad
19.7 20.119.9
19.6 20.219.8
20.2
Normal, Media=19.9, Desv.Est.=0.1
alas especificaciones
izquierda, respecto
inadecuado por la
el proceso es
on la norma porque
La bomba no cumple

12. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una
encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de
satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en 10 preguntas, y cada
una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. La respuesta
para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de
los resultados obtenidos se suma los puntos obtenidos de las 10 preguntas para
cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50
cuestionarios.
Solución:
Puntos Obtenidos de los cuestionarios
Media 59.8
Error típico 2.987593394
Mediana 58.5
Moda 78
Desviación estándar 21.12547548
Varianza de la muestra 446.2857143
Curtosis -1.802931906
Coeficiente de asimetría -0.015244434
Rango 62
Mínimo 29
Máximo 91
Suma 2990
Cuenta 50
- Los puntos promedio obtenidos del cuestionario es 59.
- El 50% de los puntos obtenidos tiene una igualdad o inferior de 59.
- 78 puntos, es el puntaje que con mayor frecuencia se repite.

1089072543618
12
10
8
6
4
2
0
resultado de Encuestas
Frecuencia
Media 59.8
Desv.Est. 21.13
N 50
Histograma (con curva normal) de resultado de Encuestas
Interpretación
Se nota que los 50 resultados de las encuestas están divididos en dos grupos, en
un grupo donde conlleva la nota más baja esta entre 26.92 a 51.02 y el segundo
grupo está entre 62.81 a la nota más alta que es 92.8
Lo que más resalta del histograma es que los resultados que mayor se repite esta
con un puntaje inferior del 50 %
Son muy poco lo que llegaron a la nota más alta
13. En una fábrica de piezas de asbesto de una característica importante de la
calidad es el grosor de las laminas. Para cierto tipo de lamina el grosor óptimo es
de 5mm y se tiene una discrepancia tolerancia de 0.8 mm, ya que si la lamina
tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgado y no reunirá
las condicione de resistencia exigida por el cliente. Si la lamina tiene un grososr
mayor que 5.8 mm, entonce se gastara demasiado m,aterial para su elaboración y
elevaran lo costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las
laminas con el grosor óptimo, y en el peor de lo casos dentro de la tolerancia
epecifica deacuerdo con los registro s de las medidas realizadas en los ultimo 3
meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable , el grosor medio es µ
= 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar σ = 0.45.

a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso es
acuerdo? Argumente.
b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decir si el proceso cumple
con la especificaciones? Explique.
c) Calcule los limites reales, haga la grafica de capacidad y señale si el
proceso cumple con especificaciones. Argumente su respuesta.
14. En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en
cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la
metodología Seis Sigma varios de los cambios implementados fueron relativos a
mejora del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de
manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días
se muestran a continuación:
Solución:
Grosor
Media 4.889166667
Mediana 4.9
Moda 5
Curtosis -0.121132286
Coeficiente de asimetría -0.209923329
Rango 1.6
Mínimo 4.1
Máximo 5.7
Suma 586.7
Cuenta 120

- La medición promedio para el grosor es de 4.8mm
- El 50% de las láminas tiene una igualdad o inferior de 4.9.
- 5mm es el dato que con mayor frecuencia se repite.
5.75.45.14.84.54.2
20
15
10
5
0
grosor de laminas
Frecuencia
Media 4.889
Desv.Est. 0.3170
N 120
Histograma (con curva normal) de grosor de laminas

15. en la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para
la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para
cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 +- 0.5g. a continuación
se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para
esta variable.
Solución:
peso
Media 27.97482143
Mediana 27.955
Moda 27.94
Curtosis -0.24915051
Coeficiente de asimetría 0.203109269
Rango 0.76
Mínimo 27.63
Máximo 28.39
Suma 3133.18
Cuenta 112
- El peso promedio es de 28g.
- El 50% de los datos obtenidos mediante una carta de control tiene una
igualdad o inferior de 27.95.
- 27.94 es el dato que con mayor frecuencia se repite.

28.5028.3528.2028.0527.9027.7527.60
20
15
10
5
0
medicion
Frecuencia
28.527.5
Media 27.97
Desv.Est. 0.1431
N 112
Histograma (con curva normal) de medicion
Media del
Error
Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo
Medición 112 0 27.975 0.0135 0.143 0.0205 0.51 27.630
N para
Variable Q1 Mediana Q3 Máximo Rango Modo moda Sesgo
Medición 27.872 27.955 28.080 28.390 0.760 27.94 7 0.20
Variable Kurtosis
Medición -0.25
24. en la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2
(gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes
115 datos.

Solución:
Porcentaje de CO2
Media 2.624956522
Mediana 2.6
Moda 2.61
Curtosis 105.8378446
Coeficiente de asimetría 10.08166048
Rango 3.04
Mínimo 2.48
Máximo 5.52
Suma 301.87
Cuenta 115
- El porcentaje promedio de CO2 para las bebidas es de 2.62%.
- El 50% de las bebidas tiene una igualdad o inferior es de 2.6% de CO2.
- El 2.61% de CO2 es el dato que con mayor frecuencia se repite.

5.55.04.54.03.53.02.52.0
80
70
60
50
40
30
20
10
0
% de Co2
Frecuencia
2.5 3
Media 2.625
Desv.Est. 0.2779
N 115
Histograma (con curva normal) de % de Co2
Media del
Error
Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo
% de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 0.0772 10.59 2.4800
N para
Variable Q1 Mediana Q3 Máximo Rango Modo moda Sesgo
% de Co2 2.5600 2.6000 2.6400 5.5200 3.0400 2.61 11 10.08
Variable Kurtosis
% de Co2 105.84
Ay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad (falta agregar más
Co2

EJERCICIOS DEL CAPITULO 3
EJERCICIO 7:
El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para
lo cuál toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor
asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así suponiendo el
peor de los casos según el vendedor, p=0.05, responde lo siguiente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de defectuosos sea
mayor al 10%?
X: número de piezas defectuosas
Distribución Hipergeométrica porque su tamaño de población es finita
N=500 finita
n=20
M=5%*500=25
10%20 = 2
Probabilidad ( X>2)=???? Variable discreta
P(X>2)= P(X≥3) =???
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas?
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
3
0.0716
0
Hipergeométrico, N=500, M=25, n=20

EJERCICIO 8:
Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de
defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se
prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse.
a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de
muestreo.
X: Número de artículos defectuosos Variable aleatoria discreta
sigue una distribución Binomial ~ B( n, p)
p=0.05
n=18
P(proceso se detenga)=P(X>1)=P(X>=2)=0,226
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
1
0.736
4

0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Probabilidad
2
0,226
0
Binomial. n=18. p=0,05
b) De acuerdo con lo contestado en a) ¿Considera que el esquema de muestreo
es adecuado o generara demasiadas interrupciones?
El tipo de muestreo ya que el nivel de calidad exigido en un lote de 18 artículos el 5% debe
ser 1 o menos

EJERCICIO 9:
Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de
unidades defectuosas producidas para ello toma una muestra aleatoria de 250 y
encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje
de calculadoras defectuosas que se produce es de 10% ¿Es real esta afirmación?
Argumente su respuesta.
EJERCICIO 10:
Un fabricante de galletas que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al
menos una pasa. ¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la
masa como mínimo? ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga mas de
seis pasas? Apóyese en la distribución de Poisson.
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
X
Probabilidad
0
0.0622
7
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
1
0.632
0
Poisson, Media=1

EJERCICIO 11:
En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se recibe, para
ello se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de
piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran
más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar
un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes
antes de rechazar el primero del día?
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
7
0.0000832
0
Poisson, Media=1

EJERCICIO 12:
Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan
dos artículos al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno?
X: ARTICULOS EN BUEN ESTADO
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
0 9
Binomial, n=100, p=0.01
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
4
0.0184
0

SI CONOCE TAMAÑO POBLACION ES UNA DISTRIBUCION
HIPERGEOMETRICA
N=12
n=2
M: 8
P(X>=1)=0,909
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Probabilidad
1
0,909
0
Hipergeométrico. N=12. M=8. n=2
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo (buenos o
malos)?
P(los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)=
P(X=2)+P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.485=0,515

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Probabilidad
1
0,485
0 2
Hipergeométrico. N=12. M=8. n=2
c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos?
VALOR ESPERADO= np=n*M/N=2*8/12=0,833
EJERCICIO13:
Un gerente de producción de cierta compañía esta interesado en probar los
productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría
retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están
defectuosos en la muestra.
Entonces decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabajar el
lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es este un procedimiento
razonable? Argumente su respuesta.
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
1
0.689
0

EJERCICIO 15:
En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un
mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20
reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 ó 12 reservaciones no hayan
cambiado?
X: N° de reservaciones canceladas o modificadas.
n=20
Binomial (se asume pob infinita)
p= 0.4 (éxito)
a) Conteste usando la distribución binomial.
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
X
Probabilidad
10
0.224
122 15
1-0.224=0.776

b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de
la binomial considerando el rango de 9.5 a 12.5.
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
X
Densidad
9.5
0.227
12.58
Normal, Media=8, Desv.Est.=2.19
EJERCICIO 16:
Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los
siguientes datos: 138.62, 37, 62,25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30,
323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.
a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad, una distribución continua que
se ajuste de manera adecuada a los datos.

b) Considere una distribución exponencial con parámetro
x
−= 1λ y
obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas.
EJERCICIO 17:
5004003002001000-100-200-300
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
C1
Porcentaje
Media 101.6
Desv.Est. 110.6
N 17
AD 1.333
Valor P <0.005
Gráfica de probabilidad de C1
Normal - 95% de IC
4003002001000-100-200
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
C1
Porcentaje
Media 101.6
Desv.Est. 110.6
N 17
KS 0.257
Valor P <0.010
Gráfica de probabilidad de C1
Normal

Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con
media µ=40,1 cm y una desv estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe
ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución
normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones
X: medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2
)
Especificación inferior = 39,5
Especificación Superior = 40,5
Valor objetivo = 40
Z= (X-µ)/σ
P( 39,5 < X <40,5)= P[( 39,5-40,1)/0,2 < Z < ( 40,5-40,1)/0,2]=???
P[-3< Z< 2]=0,976
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
-3
0,976
20
Normal. Media=0. Desv.Est.=1

EJERCICIO 18:
Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal.
2.51 2.29 2.31 2.19 2.09 2.48 2.65
2.50 2.48 2.27 2.26 2.86 3.73 2.98
1.08 2.25 2.10 3.30 3.15 2.27 2.23
2.61 2.11 5.70 2.31 2.00 2.35 1.76
2.91 1.84 2.09 2.78 2.32 2.59 1.87
2.59 2.07 3.10 2.32 2.59 2.42 2.04
2.13 1.98 2.02 2.18 2.26 2.10 2.69
2.60
654321
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
datos
Porcentaje
Media 2,446
Desv.Est. 0,6388
N 50
KS 0,179
Valor P <0,010
Prueba de bondad de ajuste curva normal
Ha: Los datos NO siguen una distribución normal
Ho: Los datos siguen una distribución normal
alfa=0,05
Es decir los datos no siguen una distribución normal
Rechaza Ho
alfa > valor p

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