Este documento presenta conceptos estadísticos como medidas de dispersión y variabilidad de datos, incluyendo el rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación. Explica cómo calcular estas medidas y sus propiedades. También incluye ejemplos prácticos para ilustrar el cálculo de estas medidas a partir de conjuntos de datos reales.

1. Probabilidad y Estadística
Fecha: del 11 al 15 de febrero de 2019
Bloque 3
Aplicas la estadística descriptiva

2. S2-COMPRENDIENDO LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE DISPERSIÓN
Medidas de dispersión para datos estadísticos.
Los estadísticos de tendencia central indican dónde se sitúa un grupo de datos; los de variabilidad o dispersión
indican si esas puntuaciones o valores están próximas entre sí, o al contrario, están muy dispersas. Entre las
medidas de dispersión o variación se abordará: el rango, la varianza, la desviación típica, la desviación media y el
coeficiente de variación.
El Rango.
Una medida razonable de la variabilidad es la amplitud o rango de variación, que se obtiene de la resta del dato
mayor y el dato menor. El rango se simboliza con R.
Su fórmula de cálculo es R = dato mayor – dato menor
Propiedades del rango
Es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable.
No utiliza todas las observaciones (sólo dos de ellas);
Se puede ver muy afectado por alguna observación extrema;

3. Varianza.
La varianza (S2), se define como la media de las diferencias cuadráticas de “n” valores respecto a su media
aritmética. Para efectuar su cálculo y en función de cómo se disponga de la información, se dispone de las
siguientes expresiones algebraicas:
Para una población de datos no agrupados Para una muestra de datos no agrupados.

4. Finalmente cuando se dispone de una agrupación de datos por intervalos:
Para distribuciones de frecuencias Para distribuciones de frecuencias
poblacionales agrupadas con intervalos muestrales agrupadas con intervalos
K en estos casos representa el número de intervalos de clase.
Esta medida es siempre una cantidad positiva, con propiedades para la realización de inferencia estadística.
mci

5. La desviación típica o desviación estándar.
Puesto que la obtención de la varianza conlleva a registros cuadráticos de las variaciones, se pierde o altera la
medición original, Por ejemplo al calcular la varianza de los pesos de algunas personas, la respuesta se expresa en
pesos cuadrados ¿qué significa esto? Por tal motivo y con el propósito de recuperar las unidades originales de
medición, se calcula la raíz cuadrada de la varianza, a la cual se le llama desviación típica o desviación estándar.
Propiedades de la varianza y de la desviación típica
•Ambas son sensibles a la variación de cada una de las puntuaciones, es decir, si una puntuación cambia, la
varianza se modifica. La razón es que si se toma en cuenta su definición, la varianza está en función de cada una de
las puntuaciones.
•La desviación típica tiene la propiedad de que en el intervalo se encuentra, al menos, el 75% de las
observaciones Incluso si se tienen muchos datos y estos provienen de una distribución simétrica unimodal, se
puede llegar al 95 % de los datos contenidos en tal intervalo.
•No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco lo sea el de la media como medida de tendencia central, de
distribuciones de frecuencias que presentan asimetría.

6. El Coeficiente de variación como medida estadística de comparación.
Se ha visto que las medidas de centralización y dispersión proporcionan información sobre una muestra. Se puede
preguntar si tiene sentido usar estas magnitudes para comparar dos poblaciones. Por ejemplo, si el objetivo de
investigación es comparar la variación de las estaturas de grupos de jóvenes de quinto semestre de un mismo Plantel.
Con el cálculo respectivo de la desviación estándar y una sencilla comparación de resultados, se responde al
planteamiento ¿Pero qué sucede si lo que se compara es la comparar estaturas con pesos?
El coeficiente de variación permite evitar estos problemas, pues elimina la dimensionalidad de las variables y tiene en
cuenta la proporción existente entre medias y desviación típica. Se define del siguiente modo:
Propiedades del coeficiente de variación.
•Sólo se debe calcular para variables con todos los valores positivos.
•Todo índice de variabilidad es esencialmente no negativo.
•Las observaciones pueden ser positivas o nulas, pero su variabilidad debe ser siempre positiva. De aquí que
sólo se debe trabajar con variables positivas, para la que se tiene con seguridad que x > 0.

7. Ejemplo 1.
Los siguientes datos representan la duración en segundos de 8 espacios comerciales televisivos, que fueron
elegidos al azar y transmitidos por Televisa.
18 25 30 20 15 25 28 15
a) Determine la media muestral.
b)Calcular la varianza:
c)Deducir el valor aproximado de la desviación estándar:

8. Ejemplo 2.
Los siguientes datos resumidos en una distribución de frecuencias corresponden a la antigüedad laboral del
total de 22 empleados de una empresa manufacturera:
Calcula la varianza poblacional.
1.Primero se agregan las cuatro columnas que permitan facilitar los cálculos. A continuación se muestra la
extensión de la tabla:
Antigüedad
Número de empleados
( fa )
[ 0, 3 ) 2
[ 3, 6 ) 5
[ 6, 9 ) 8
[ 9, 12 ) 4
[ 12, 15 ) 3
Total 22
Antiguedad
Número de
empleados( fa )
mc f(mc) (mc - x)2
f (mc - x)2
[ 0, 3 ) 2 1.5 3 (1.5 – 8)2
84.5
[ 3, 6 ) 5 4.5 22.5 (4.5 - 8)2
61.25
[ 6, 9 ) 8 7.5 60.0 (7.5 – 8)2
2.0
[ 9, 12) 4 10.5 42.0 (10.5- 8)2
9.0
[ 12, 15) 3 13.5 40.5 (13.5- 8)2
90.75
Total 22 168.0 247.5

9. a)Obtener la desviación estándar, se calcula la raíz cuadrada de la varianza y se toma la solución positiva.
b)Determinar el coeficiente de variación:
Se aplica la fórmula respectiva:

10. Realiza lo que se solicita.
1.El profesor de atletismo le pidió a cada uno de sus cinco alumnos de alto rendimiento, que realizaran el salto de
longitud y se comprometió a que aquellos quienes su distancia de salto superara la media más una desviación
estándar de los registros, le asignará una calificación de 100. Se realizan los saltos; la siguiente tabla muestra las
longitudes alcanzadas por cada competidor:
a)Calcula la longitud media alcanzada por los atletas.
b)Considera a estos datos estadísticos como una población y determina la desviación estándar.
c)¿Quién o quienes lograron el 100 de calificación?
Actividad 1
Alumno Jesús Carlos Alfredo Sergio Arturo
Longitud del salto (m) 4.4 5.2 4.5 5.3 4.6

11. 2. La empresa “La Dulce Vidal”, fabrica y vende jamoncillos en presentaciones de 50 gr. El inspector del control de
calidad de la empresa, elige de manera sistemática de la línea de producción, un jamoncillo cada 20 minutos
hasta completar una muestra de 8 piezas. Posteriormente traslada la muestra a pesaje, obteniendo los siguientes
registros:
53 50 44 51 53 50 55 49
La regla de aceptación es de todos los pesos caigan dentro de un intervalo que se construye sumando y restando a la
media muestral dos veces la desviación estándar muestral.
Esta muestra, ¿cumple con los requisitos del peso establecido? ¿Por qué?

12. 3.-En el Hospital “IMSS” han nacido el día de hoy 7 bebés, cuyas medidas en cm son: 49, 52, 47, 51, 52, 54 y
48. También se registraron sus pesos en kg que respectivamente son: 2.8, 3.5, 2.9, 4.7, 4.4, 3.9 y 3.3.
a)Determina para cada serie de datos la media y desviación estándar muestral.
b)Calcula el coeficiente de variación para cada conjunto de datos y establece cuál presenta mayor variabilidad.
c)Calcula el coeficiente de variación de cada muestra.
d)¿Cuál serie de datos presentó mayor variación?

13. Bibliografía.
Estadistica 3era Edicion McGrawHill
Autor: Lincoln L. Chao
Estadistica 4ª. Edicion Schaum
Autor : Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens