Practicas2

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Practicas2

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matem´tica a ´EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DEL PROBLEMA DE BRINKMAN. ´ SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA IIAlumno: Soto Rivera, Joel RichardC´digo: 20071155A o Nota:Asesor: Dra. Irla Mantilla N. ´ LIMA-PERU 2012
  2. 2. ResumenLa presente informe simula num´ricamente mediante el M´todo del Elemento Finito, las e ecargas radiales a las que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contactoentre sus componentes s´lidos. Asimismo, se considera el fen´meno de la cavitaci´n, el o o ocual se modela mediante la inecuaci´n variacional de Reynolds. Se considera un r´gimen o eestacionario, un lubricante incompresible e isoviscoso y dos grados de libertad en el des-plazamiento del eje. Este ultimo resulta desconocido una vez que al sistema se le imponen ´cargas, cuesti´n que manifiesta junto a la determinaci´n de las presiones en el lubricante. o oSu resoluci´n num´rica constituye el principal aporte. Se concluye, que para el problema o etratado, la excentricidad es el principal factor que influye en el modelo f´ısico.Palabras claves:2010 Mathematics Subject Classification:35A15-37A01-35A02
  3. 3. ´Indice general1. Conceptos Preliminares. 4 1.1. Nociones de Lubricaci´n en cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4 1.1.1. Excentricidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Ecuaciones de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Definici´n del Modelo Matem´tico. o a 6 2.1. Problema F´ısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Condiciones del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1. Sobre su dominio y frontera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2. Sobre el fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Resoluci´n Num´rica. o e 8 3.1. Formulaci´n Variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8 3.2. Resoluci´n Num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 9Referencias 16 1
  4. 4. ´Indice de figuras 1. Componentes de un cojinete deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Posicionamiento relativo entre piezas mec´nicas con distintas excentricidades. a 5 2.1. Geometr´ (mu˜on cil´ ıa n´ ındrico) que muestra la direcci´n de la velocidad con o flechas negras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1. Mallado por elementos triangules sobre el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.02, H=0.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.04, H=0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.7. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.8. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.9. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.10. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.11. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.12. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para o R=0.03, H=0.05 y ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.13. Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . 15 2
  5. 5. Introducci´n oDesde la antig¨edad, el hombre se ha preocupado por la p´rdida de potencia en las u em´quinas y el desgaste de las piezas en movimiento relativo. Tal es el caso que a´n, en a unuestros d´ la investigaci´n de estos fen´menos tiene gran vigencia dada su complejidad ıas, o omultifactorial. La maquinaria moderna se proyecta para trabajar a velocidades y tensionescada vez mayores, lo cual obliga a una cuidadosa consideraci´n de los fen´menos que o ose presentan en las superficies con movimiento relativo,espec´ ıficamente en los nudos defricci´n. Un caso especial lo constituyen los cojinetes, como elementos de m´quinas cuya o afinalidad es servir de apoyo a los ´rboles(d´ a ıcese de una barra sujeta a torsi´n.) y ejes que ogiran en el espacio, de manera que estos puedan rotar libremente y soportar as´ las cargas ıque act´an sobre ellos. El t´rmino cojinete deslizante hace referencia al conjunto formado u epor el eje, el casquillo y el lubricante, tal y como muestra la figura en un corte transversalpracticado a este tipo de elemento. De manera general, permiten el movimiento relativode los componentes s´lidos en una o dos direcciones con un m´ o ınimo de fricci´n. Adem´s, o aprev´n el movimiento en el sentido de la carga aplicada. e Figura 1: Componentes de un cojinete deslizante. Journal Bearing: Es un dispositivo de antifricci´n en el que un eje cil´ o ındrico, al que se llama mu˜on, se apoya en una pieza estacionaria, a la que se llama cojinete. se utilizan n´ para llevar cargas radiales, por ejemplo, para soportar un eje giratorio. Un cojinete simple consta de dos cilindros r´ ıgidos. El cilindro exterior (cojinete) envuelve el mu˜´n nointerno giratoria (eje). Normalmente, la posici´n del centro del mu˜on es exc´ntrico con o n´ e el centro del rodamiento. Un lubricante llena el peque˜o espacio anular u holgura entre n el mu˜´n y el rodamiento. La cantidad de excentricidad de la revista est´ relacionada no a con la presi´n que se genera en el cojinete para equilibrar la carga radial. o 3
  6. 6. Cap´ ıtulo 1Conceptos Preliminares.A continuaci´n presentamos las definiciones y conceptos f´ o ısicos usados a lo largo delpresente trabajo.1.1. Nociones de Lubricaci´n en cilindros. oEl desgaste es la mayor causa de p´rdida de materiales, por lo que cualquier reducci´n e odel mismo puede aportar grandes beneficios.La fricci´n o rozamiento es una de las principales causas de disipaci´n de energ´ por lo o o ıa,que su control puede traducirse en un importante ahorro energ´tico. eLa lubricaci´n es el modo m´s efectivo de reducir la fricci´n y controlar el desgaste. o a oEl proposito de la lubricaci´n o engrase es el interponer una pel´ o ıcula de un materialf´cilmente cizallable, de modo que el deslizamiento se realice en su seno, entre movimiento ade m´quinas con movimiento relativo y cargados. a1.1.1. Excentricidad:La excentricidad se define como la no coincidencia entre el eje de rotaci´n y el eje de osimetr´ La excentricidad puede tener lugar en diferentes tipos de elementos mec´nicos, ıa. acomo son las poleas, las ruedas dentadas y en el posicionamiento relativo entre dos piezasconc´ntricas, caso del rotor y el est´tor de un motor. e a 4
  7. 7. Figura 1.1: Posicionamiento relativo entre piezas mec´nicas con distintas excentricidades. a1.1.2. Ecuaciones de Reynolds.Las variaciones de la velocidad pueden concebirse como las desviaciones de la velocidadcon respecto a su valor medio temporal; de tal manera que las variaciones de la veloci-dad se vean como una variable aleatoria de media nula. En tanto la presi´n, tambi´n, o epuede descomponerse en una forma similar, ecuaci´n (1.1). Esta variable aleatoria es es- otacionaria, en amplio sentido, porque su media o esperanza matem´tica es constante, aindependiente de su par´metro ´ a ındice, el tiempo; y la funci´on de correlaci´n depende o os´lo de las variaciones de este par´metro, o a ∂vi = vi − vi , ∂pi = pi − pi . (1.1)Por tanto, cuando la velocidad y la presi´n se descomponen en la media m´s las desvia- o aciones, para luego expandir la ecuaci´n de Navier-Stokes, y tamizarla con el promedio otemporal sobre la base de la hip´tesis erg´dica, entonces se obtienen las ecuaciones de o oReynolds, ( ) ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂ ρ vi + ⟨vi vj ⟩ = − p + ρν 2 vi − ρ ⟨∂vi ∂vj ⟩. (1.2) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xjEn la construcci´n del modelo se supone que la velocidad angular es constante, se des- oprecian los efectos de la tensi´n supercial y se asume que el aire se comporta como un ogas perfecto, en el sentido de que la densidad es proporcional a la presi´n. Se considera oque la anchura de la capa del fluido es muy peque˜a comparada con las otras dimensio- nnes. Adem´s, se desprecian las fuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a la aviscosidad. 5
  8. 8. Cap´ ıtulo 2Definici´n del Modelo Matem´tico. o a2.1. Problema F´ ısico. La presi´n en el lubricante (SAE 10 a 70◦ C.) se rige por la ecuaci´n de Reynolds. o oPara un fluido incompresible con condici´n de ausencia de deslizamiento, la ecuaci´n de o oReynolds estacionaria en el rango continuo est´ dada por: a ∇T · −ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) = 0. (2.1)En esta ecuaci´n, ρ es la densidad en Kg , h es el espesor de lubricante (m), η es la o m3viscosidad (P a · s), p es la presi´n (P a), a es la ubicaci´n (m) de la base del canal, va es la o ovelocidad tangencial ( m ) de la base del canal, b es la ubicaci´n (m) de la pared s´lida, y s o o mvb es la velocidad tangencial ( s ) de la pared s´lida. Aqu´ el mu˜on giratorio se considera o ı nque es la pared s´lida. La figura siguiente muestra la pared y el mu˜on giratorio en el o nque se resuelve la ecuaci´n de Reynolds. Debido a que la presi´n es constante a trav´s del o o eespesor de la pel´ ıcula lubricante, COMSOL utiliza la proyecci´n tangencial del operador ogradiente. Notar que en este caso el t´rmino ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) es igual a cero de aqui ese simplifica la ecuaci´n (1.1) de la siguiente forma: o ( ) −ρh3 ρh ∇T · ∇T p + (va + vb ) = 0. (2.2) 12η 2El espesor de lubricante, h, se define como: h = c(1 + ε cos θ)Donde c ≡ RB − RJ es la diferencia entre el radio y el radio de rodamiento del mu˜´n, ε noes la excentricidad, y θ es la coordenada polar angular de un punto sobre el lubricante. 6
  9. 9. Figura 2.1: Geometr´ (mu˜on cil´ ıa n´ ındrico) que muestra la direcci´n de la velocidad con oflechas negras.2.2. Condiciones del Problema.Ahora enunciaremos que propiedades f´ ısicas y que condiciones sobre su contorno posee elproblema.2.2.1. Sobre su dominio y frontera:Consideremos un cilindro de altura H y radio R con su base centrada en el punto (0,0,0),con una excentricidad de 0.03mm (la cual variaremos despu´s para observar como influye ela excentricidad en el problema). La presi´n en los extremos del mu˜on cil´ o n´ ındrico se suponeque es similar a la presi´n del ambiente. Por lo tanto, las condiciones de frontera son: o p=0 para z=0,L. (2.3)Donde L es la longitud del mu˜´n cilindrico. Adem´s de ello gira a una velocidad angular no ade 50π rad/s,2.2.2. Sobre el fluido:Consideremos un fluido incompresible con una viscosidad din´mica de 0.01 P a · s y una a 3densidad de 860 Kg/m . 7
  10. 10. Cap´ ıtulo 3Resoluci´n Num´rica. o e Para abordar la resoluci´n num´rica del problema, primeramente realizamos un algo- o eritmo para su resoluci´n num´rica, que incluye una discretizaci´n mediante el m´todo de o e o ecaracter´ ısticas combinado con elementos f´ ınitos, para la cual se debe hallar su formulaci´n ovariacional para luego a partir de ella se aproxime su soluci´n mediante M.E.F. o3.1. Formulaci´n Variacional. o La formulaci´n variacional del denominado problema de lubricaci´n consiste en encon- o otrar p ∈ Va tal que: ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ (γh ∇p + h p∇p)∇φ + 6η 2 3 (ph)φ + 6η (ph)φ = 0, ∀φ ∈ V0 (3.1) Ω Ω ∂x Ω ∂yDonde Ω = (0, H) × (0, H), representa el dominio rectangular bidimensional de nuestroproblema() y los espacios y conjuntos funcionales son: Va = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = pa en ∂Ω}. V = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = 0 en ∂Ω}.Bajo ciertas hip´tesis, se puede probar la existencia y unicidad de soluci´n de nuestro o oproblema hidrodin´mico, as´ como la existencia de cotas de la misma[1]. a ıEl presente trabajo persigue como objetivo general desarrollar una aplicaci´n, basada en oel M´todo del Elemento Finito, para la simulaci´n num´rica de las cargas radiales a las e o eque puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto entre sus com-ponentes s´lidos y considerando la posible ocurrenciade la cavitaci´n. El alcance de esta o oinvestigaci´n se limita a un r´gimen estacionario y se contemplan unicamente dos grados o e ´de libertad en la funci´n de holgura h. Como la variaci´n de la densidad con la presi´n en o o olos aceites m´s usuales es muy peque˜a, se supondr´ un lubricante incompresible (ρ=cte). a n aEn adici´n, se asume un lubricante isoviscoso. Debido a lo fina que resulta la pel´ o ıcula deaceite en estos dispositivos, dicha suposici´n puede hacerse sin una p´rdida considerable o een la precisi´n de los resultados [2, p´g. 25]. Se consideran sin rugosidades las superficies o as´lidas del cojinete deslizante as´ como un r´gimen de lubricaci´n hidrodin´mica. o ı e o a 8
  11. 11. 3.2. Resoluci´n Num´rica. o eVeamos los resultados para los siguientes parametros R=0.03m y H=0.05m, utilazandoesos parametros y considerando el siguiente mallado: Figura 3.1: Mallado por elementos triangules sobre el cilindro.A partir de aquel mallado mediante una aproximaci´n con elemtos finitos se obtiene: oFigura 3.2: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 . 9
  12. 12. Ahora si consideramos variar la altura(H) y el radio(R) del cilindro observaremos que sucomportamiento es similar que el caso previo.Veamos para R=0.02, H=0.07.Figura 3.3: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.02, H=0.07 .Veamos para R=0.04, H=0.04.Figura 3.4: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.04, H=0.04 .Claramente el comportamiento de la soluci´n es el mismo en los tres cilindros solo que oestos se expande o contrae seg´n la dimensi´n del cilindro. u o 10
  13. 13. Pero veremos que ese comportamiento difiere un poco si variamos el parametro deexcentricidad(ε) considerando como el caso original R=0.03, H=0.05 y para este casoε variando desde 0 hasta 0.99 veremos como cambia el comportamiento de la presi´n a olo largo se la superficie del cilindro: Empecemos con una excentricidad de 0.99 y luego lairemos disminuyendo gradualmente hasta llegar a 0.Figura 3.5: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,99 .Figura 3.6: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,9 . 11
  14. 14. Figura 3.7: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,8 .Figura 3.8: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 .Observamos que mientras disminuye la los puntos donde se concentra la presi´n tienden oalejarse entre si proporcional a la excentricidad. 12
  15. 15. Figura 3.9: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,5 .Figura 3.10: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,3 . 13
  16. 16. Figura 3.11: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0,1 .Figura 3.12: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para oR=0.03, H=0.05 y ε = 0 .Hay que tener en cuenta que para el caso ε = 0 se tiene un espesor de lubricante hconstante la cual origina soluciones periodicas a lo largo de la superficie. 14
  17. 17. Figura 3.13: Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 .De manera similar se comportan los otros casos a partir de aqui podemos que la excen-tricidad es el principal factor que influye en el comportamiento de la presi´n. o 15
  18. 18. Bibliograf´ ıa [1] Hass´n Lombera Rodr´ a ıguez Simulaci´n Num´rica de un Cojinete Deslizante o e Radial con Desplazamiento Desconocido. Inc.(2011) [2] Hannukainen, Petri Non-linear journal bearing model for analysis of superhar-monic vibrations of rotor systems. Tesis doctoral, University of Technology, Lappeen-ranta, Finland, 2008. [3] Dowson, D., Higginson, G. R Elasto-Hydrodynamic Lubrication. 1983. pp. 409-430 Printed in Great Britain [4] Pinkus, O., Sternlicht, B., Theory of Hydrodynamic Lubrication . McGraw Hill Book Company, 1961. pp. 41 -46-New York [5] Irla Mantilla, Salom´ Gonz´les Simulaci´n num´rica de la cavitaci´n en co- e a o e o jinetes mediante elementos finitos y el algoritmo de Uzawa. UPGC- Espa˜a. n (2010) 16

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