Dinamica español

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Dynamics
SeventhEdition
© 2009 –Ing.Ítalo Mendoza, UNEMI
Vectoresmecánicos para Ingenieros: Dinámica
11 - 1
DINÁMICA

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11 - 2
DINÁMICA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: Dinámica
•NÚMERODEHORASSEMANALES:3Horas
•PROFESOR:Ing.MecánicoItaloMendozaHaro,Mba
•HORARIO:Jueves,de18H00-21H00(3Horas)
BIBLIOGRAFÍA:
1.MecánicavectorialparaingenierosdeFerdinandP.BeeryE.RussellJohnston
2.MecánicaparaingenierosdeFerdinandL.Singer
3.DinámicadeJ.L.Meriam

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Presentación del profesor
•ItaloMendozaH.Ingenieromecánico,ESPOL.Año1986.
•Mba.enAdministraciónyDireccióndeEmpresas.-UTEG. UniversidadTecnológicaEmpresarialdeGuayaquil.Año2008
•SupervisordefabricaenSociedadAgrícolaeIndustrialSanCarlos.(1986-1991)
•JefedeplantaenfabricadecaramelosygalletasGuayaquilLoorRigaíl(1991-1993)

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Presentación del profesor
•DirectordemantenimientoenfabricadeCompañíaAzucareraValdezS.A.desdeelaño1993.
•CatedráticoenelSECAP(1985)
•CatedráticoenlaEscuelaSuperiorNaval(1984- 1993)
•CatedráticoenlaUNEMIdesdeelaño2006

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PROCEDIMIENTO DE EVALUACIONES
Laspruebasdeaportesyespecialmentelasevaluacionesfinalestienenqueserdocumentadas;esdecir,escritasabasedepreguntasyrespuestasvalorativascuantificables.
MECANICA TEORICA I INGENIERÍA INDUSTRIAL MENCIÓN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.
Se tomaran 2 evaluaciones/30 puntos en el semestre = 60 puntos
Se calificaran trabajos de investigación 20 puntos en el semestre = 20 puntos
Se calificaran Gestión en el aula 20 puntos en el semestre= 20 puntos
Total …………………………………………………….. = 100 puntos
Las evaluaciones sobre gestión en el aula 20 puntos están divididas: 50% puntos de asistencia a clases; 50 puntos por actuación y participación en clases
Alumnos con puntajes < 34/100 puntos pierden el semestre
Alumnos con puntajes (35-70)/100 puntos con opción recuperación
Alumnos con puntajes (70-100)/100 aprobados
DINÁMICA

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11 - 6
EVALUACIONES
•LAS EVALUACIONES SOBRE 15 PUNTOS TIENEN LA SIGUIENTE PLANIFICACIÓN
•EvaluaciónsobrecinemáticaycinéticadepartículasSegundaLeydeNewton;fecha:Jueves,26deJun./14
•Evaluaciónsobrecinéticapartículasmétododelaenergíaycantidaddemovimiento;fecha:Jueves,31deJulio/14.
•Evaluaciónsobrecinemáticadeloscuerposrígidos,movimientogeneralenelplano;Fecha:Jueves,28deAgosto/14
•Evaluaciónsobremovimientogeneralenelplanométododelaenergíaycantidaddemovimiento;Fecha:Jueves,25Sept./14

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11 - 7
OBJETIVOS DEL CURSO
Liderarlainvestigaciónylaenseñanza.Ademásdeproducirlosfuturoslideresdelaindustria,universidad, gobiernoylasociedadcuyaperspectivasesustenteenelconocimientofundamental,lascapacidades,creatividad, laamplituddemirasyética.Intentamosdesarrollarlacienciaycombinarelconocimientobásicoconlaaplicacióninnovadoradelosprincipiosdeingeniería, tratamosdeenriquecernuestrosprogramaseducativos. Nuestramisiónprepararestudiantesparaunastrayectoriasprofesionalesquerequieranaltatecnologíayliderazgo.

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SILABO
•SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA II.pdf
11 - 8

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11 - 9
MECANICAPARA INGENIEROS
MECANICA DE SÓLIDOS
MECANICA DE LOS FLUÍDOS
CUERPOS RIGÍDOS
FLUÍDOS DEFORMABLES
FLUÍDOS VISCOSOS
FLUÍDOS COMPRESIBLES
CUERPOS DEFORMABLES
ESTÁTICA.
DINÁMICA
RESISTENCIA DE MATERIALES
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
TEORÍA DE LA PLASTICIDAD
CINEMÁTICA
CINÉTICA

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11 - 10
PRESENTACIÓNINICIAL.
Unadelascaracterísticasdelplanteamientoqueseutilizaenestecursoesquelamecánicadepartículasestáseparadaclaramentedelamecánicadecuerposrígidos.
Estática.-Enestáticasetrataprimerolaestáticadepartículas,yelprincipiodeequilibriodeunapartículaseaplicadeinmediatoasituacionesprácticasqueimplicanúnicamentefuerzasconcurrentes.
Laestáticadecuerposrígidosseconsideradespués,momentoenqueseintroducenlosproductosvectorialesyescalaresdedosvectoresqueseutilizaronparadefinirelmomentodeunafuerzaalrededordeunpuntoyuneje.
Dinámica.-Seobservalamismadivisión.Losconceptosbásicosdefuerza,masayaceleración,detrabajoyenergíaeimpulsoycantidaddemovimientoseintroducenyaplicanprimeroaproblemasqueimplicanúnicamenteapartículasasí,losestudiantespuedenfamiliarizarseconlostresmétodosbásicosutilizadosendinámicayconocersusrespectivasventajasantesdeenfrentarsealasdificultadesasociadasconelmovimientodecuerposrígidos.

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11 - 11
Introducción
•La dinámica incluye:
•Las cinemáticas: el estudio de la geometría de movimiento. La cinemática se usa para relacionar desplazamiento, velocidad, aceleración, y tiempo sin la referencia a la causa de movimiento.
•Las cinética: el estudio de las relaciones que existen entre las fuerzas que actúan en un cuerpo, la masa del cuerpo, y el movimiento del cuerpo. Se usan las cinética para predecir el movimiento causado por las fuerzas dadas o para determinar las fuerzas exigidas producir un movimiento dado.
•El movimiento rectilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una partícula como él siguen una línea recta.
•El movimiento curvilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una partícula como él siguen una línea encorvada en dos o tres dimensiones.

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CAPITULO # 1
•CINEMATICADELAPARTÍCULA
11 - 12

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11 - 13
Contenidos
La introducción
El Movimiento rectilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración
La determinación del Movimiento de una Partícula
Pruebe Problema 11.2
El Rectilíneo-movimiento uniforme
El Rectilíneo-movimiento uniformemente Acelerado
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento relativo
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento dependiente
La Solución gráfica de Problemas del Rectilíneo-movimiento
Otros Métodos Gráficos
El Movimiento curvilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración
Los derivado de Funciones del Vector
Los Componentes rectangulares de Velocidad y Aceleración
El Pariente del movimiento a un Marco en la Traducción
Los Componentes tangenciales y Normales
Los Componentes radiales y Transversos

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© 2009 – Ing. Ítalo Mendoza, UNEMI
Vectores mecánicos para Ingenieros: Dinámica
11 - 14
El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración
• Se dice que partícula que sigue una línea
recta está en el movimiento rectilíneo.
• La coordenada de la posición de una
partícula se define por positivo o la distancia
negativa de partícula de un origen fijo en la
línea.
• El movimiento de una partícula es conocido
si la coordenada de la posición para la
partícula es conocida por cada valor de
tiempo t. el Movimiento de la partícula puede
expresarse en el formulario de una función,
por ejemplo, 2 3 x  6t t
o en el formulario de un gráfico x contra t.

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11 - 15
• La velocidad instantánea puede ser positiva
o negativo. La magnitud de velocidad está
llamado la velocidad de la partícula.
• Considere partícula que ocupa la posición P
en momento t y P ' al t+Dt,
t
x
v
t
x
t 

 



 0
lim
La media velocidad
La velocidad instantánea
• De la definición de un derivado,
dt
dx
t
x
v
t




 0
lim
e.g.,
2
2 3
12 3
6
t t
dt
dx
v
x t t
  
 

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11 - 16
• Considere la partícula con la velocidad v en
momento t y v ' al t+Dt,
Aceleración Instantánea
t
v
a
t 

 
 0
lim
t
dt
dv
a
v t t
dt
d x
dt
dv
t
v
a
t
12 6
e.g. 12 3
lim
2
2
2
0
  
 
 



 
• De la definición de un derivado,
•La aceleración instantánea puede ser:
- positivo: la velocidad positiva creciente o
la velocidad negativa decreciente
- el negativo: la velocidad positiva
decreciente o la velocidad negativa
creciente.

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11 - 17
• Considere la partícula con movimiento
dado por
2 3 x  6t t
2 12t 3t
dt
dx
v   
t
dt
d x
dt
dv
a 12 6
2
2
   
• at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

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11 - 18
•Revoque, el movimiento de una partícula es conocido si la posición es conocida por todo el tiempo t.
•Típicamente, las condiciones de movimiento son especificadas por el tipo de aceleración experimentado por la partícula. La determinación de velocidad y posición requiere dos integraciones sucesivas.
•Tres clases de movimiento pueden definirse para:
•aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t)
•-aceleración dada como una función de posición, un = el f(x)
•-aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v)

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11 - 19
• Aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t):
   
 
     
   
 
        
  
    
     
x t t t
x
v t t t
v
v t dx v t dt dx v t dt x t x v t dt
dt
dx
a f t dv f t dt dv f t dt v t v f t dt
dt
dv
0
0
0
0
0
0
0
0
• Aceleración dada como una función de posición, un = el f(x):
 
 
 
            
    
x
x
x
x
v x
v
v dv f x dx v dv f x dx v x v f x dx
f x
dx
dv
a v
dt
dv
a
v
dx
dt
dt
dx
v
0 0 0
2
2 0
2 1
2
1
or or

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11 - 20
•Aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v):
                     tvvtvvtxxtvvttvvvfdvvxtxvfdvvdxvfdvvdxvfadxdvvtvfdvdtvfdvdtvfdvvfadtdv0000000

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11 - 21
Determine:
la velocidad y elevación sobre la tierra en momento t,
la elevación más alta alcanzó por la pelota y el tiempo correspondiente, y
tiempo cuando la pelota pegará la velocidad molida y correspondiente.
La pelota echó con 10 m/s la velocidad vertical de la ventana 20 m sobre la tierra.
LA SOLUCIÓN:
Integre para encontrar el v(t dos veces) y y(t).
•Resuelva para t a que la velocidad iguala ceros (tiempo para la elevación máxima) y evalúa la altitud correspondiente.
•Resuelva para t a que la altitud iguala ceros (tiempo para el impacto de tierra) y evalúa la velocidad correspondiente.

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11 - 22
 
dv dt vt  v t
a
dt
dv
v t t
v
9.81 9.81
9.81m s
0
0
2
0
    
  
 
  t t v 



 
2 s
m
9.81
s
m
10
 
    2
2
1
0
0
10 9.81 10 9.81
10 9.81
0
dy t dt y t y t t
v t
dt
dy
y t t
y
    
  
 
  2
2 s
m
4.905
s
m
10 m 20 t t t y 



 



 
LA SOLUCIÓN:
Integre para encontrar el v(t dos veces) y y(t).

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11 - 23
• Resuelva para t a que la velocidad iguala ceros y
evalúa la altitud correspondiente.
  0
s
m
9.81
s
m
10
2
 





v t   t
t 1.019s
• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y evalúa la
velocidad correspondiente.
 
   2
2
2
2
1.019s
s
m
1.019s 4.905
s
m
20m 10
s
m
4.905
s
m
20m 10






 





 






 





 
y
y t t t
y  25.1m

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11 - 24
• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y
evalúa la velocidad correspondiente.
  0
s
m
4.905
s
m
20m 10 2
2
 





 





y t   t t
 
3.28s
1.243s meaningles s

 
t
t
 
  3.28s
s
m
9.81
s
m
3.28s 10
s
m
9.81
s
m
10
2
2






 






 
v
v t t
s
m
v  22.2

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Edition
11 - 25
El mecanismo del freno reducía que el
retroceso del arma consiste en pistón atado
para embarrilar entrando el cilindro fijo
llenado del aceite. Cuando los retrocesos
del barril con el v0 de velocidad inicial, el
pistón mueve y se fuerza el aceite a través
de los orificios en el pistón, mientras
causando pistón y cilindro para disminuir
la velocidad a la proporción proporcional
a su velocidad.
Determine el v(t), x(t), y v(x).
a  kv
LA SOLUCIÓN:
Integre a = el dv/dt = - el kv para
encontrar el v(t).
• Integre el v(t) = el dx/dt para
encontrar el x(t).
• Integre a = el dv/dx de v = - el kv
para encontrar el v(x).

Seventh
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11 - 26
LA SOLUCIÓN:
Integre a = el dv/dt = - el kv para encontrar el v(t).
   
kt
v
v t
k dt
v
dv
kv
dt
dv
a
v t t
v
        
0 0
ln
0
  kt v t v e  0
• Integre el v(t) = el dx/dt para encontrar el x(t).
 
 
 
t
kt
t
kt
x t
kt
e
k
dx v e dt x t v
v e
dt
dx
v t
0
0
0
0
0
0
1




  
 
 

 
   kt  e
k
v
x t   0 1

Seventh
Edition
11 - 27
• Integre un = el dv/dx de v = - el kv para
encontrar el v(x).
v v kx
kv dv k dx dv k dx
dx
dv
a v
v x
v
  
        
0
0 0
v  v0  kx
• Alternativamente,
 
 
 


 


 
0
0 1
v
v t
k
v
x t
v  v0  kx
 
 
0
0 or
v
v t
v t v e e kt kt    
   kt  e
k
v
x t   0 1 con
y
entonces

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11 - 28
El Movimiento Rectilíneo uniforme
Para la partícula en el movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración es el cero y la velocidad es constante.
vtxxvtxxdtvdxvdtdxtxx      0000constant

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Edition
11 - 29
El Movimiento Rectilíneo uniformemente Acelerado
For particle in uniformly accelerated rectilinear motion, the acceleration of
the particle is constant.
v v at
a dv a dt v v at
dt
dv v t
v
 
      
0
0
0 0
constant
 
2
2
1
0 0
2
2
1
0 0
0
0 0
0
x x v t at
v at dx v at dt x x v t at
dt
dx x t
x
  
        
   
  0
2
0
2
0
2
0
2
2
1
2
constant
0 0
v v a x x
a v dv a dx v v a x x
dx
dv
v
x
x
v
v
  
       

Seventh
Edition
11 - 30
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento relativo
• Para partículas que siguen la misma línea,
tiempo debe grabarse del mismo momento de
arranque y deben medirse los desplazamientos
del mismo origen en la misma dirección.
xB A  xB  xA  la posición relativa de B
con respecto a A
xB  xA  xB A
vB A  vB  vA  la velocidad relativa de B
con respecto a A
vB  vA  vB A
aB A  aB  aA  la aceleración relativa de
B con respecto a A
aB  aA  aB A

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11 - 31
Pelota tirada verticalmente de 12 m nivela en el pozo de elevador con la velocidad inicial de 18 m/s. Al mismo momento, el ascensor de la abrir-plataforma les pasa la mudanza nivelada hacia arriba a 5 m a 2 m/s.
Determine (a) cuando y donde el ascensor de golpes de pelota y (b) la velocidad relativa de pelota y ascensor al contacto.
LA SOLUCIÓN:
Suplente la posición inicial y velocidad y aceleración constante de pelota en las ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
•Suplente la posición inicial y la velocidad constante de ascensor en la ecuación para el movimiento rectilíneo uniforme.
•Escriba la ecuación para la posición del pariente de pelota con respecto al ascensor y resuelva para cera posición relativa, es decir, impacto.
•Tiempo de impacto de suplente en la ecuación para la posición de ascensor y velocidad del pariente de pelota con respecto al ascensor.

Seventh
Edition
11 - 32
LA SOLUCIÓN:
Suplente la posición inicial y velocidad y aceleración
constante de pelota en las ecuaciones generales para el
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
2
2
2
2
1
0 0
0 2
s
m
4.905
s
m
12m 18
s
m
9.81
s
m
18
y y v t at t t
v v at t
B
B






 





    






   
• Suplente la posición inicial y la velocidad constante
de ascensor en la ecuación para el movimiento
rectilíneo uniforme.
y y v t t
v
E E
E




   

s
m
5m 2
s
m
2
0

Seventh
Edition
11 - 33
• Escriba la ecuación para la posición del pariente de pelota
con respecto al ascensor y resuelva para cera posición
relativa, es decir, impacto.
12 18 4.905  5 2  0 2 yB E   t  t   t 
 
3.65s
0.39s meaningles s

 
t
t
• Tiempo de impacto de suplente en las ecuaciones para la
posición de ascensor y velocidad del pariente de pelota con
respecto al ascensor.
yE  5 23.65
yE 12.3m
 
16 9.813.65
18 9.81 2
 
vB E   t 
s
m
vB E  19.81

Seventh
Edition
11 - 34
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento dependiente
• La posición de una partícula puede depender de la
posición de uno o más otras partículas.
• La posición de bloque que B depende de la posición de
bloque A. Desde que la soga es de longitud constante,
sigue esa suma de longitudes de segmentos debe ser
constante.
xA  2xB  constante (un grado de libertad)
• Las posiciones de tres bloques son dependientes.
2xA  2xB  xC  constante (dos grados de libertad)
• Para las posiciones linealmente relacionadas, las
relaciones similares sostienen entre las velocidades y
aceleraciones.
2 2 0 or 2 2 0
2 2 0 or 2 2 0
     
     
A B C
A B C
A B C
A B C
a a a
dt
dv
dt
dv
dt
dv
v v v
dt
dx
dt
dx
dt
dx

SeventhEdition
11 - 35
La polea Dse ata a un cuello en que se tira abajo a las 3. / s. At t= 0, agarre por el cuello Asalidas que bajan de Kcon la aceleración constante y cera velocidad inicial. Sabiendo que la velocidad de cuello Aes 12 en. / s como él pasa L, determine el cambio en la elevación, velocidad, y aceleración de bloque Bcuando bloquea Aestá a L.
LA SOLUCIÓN:
Defina el origen que se extiende hacia abajo a la superficie horizontal superior con el desplazamiento positivo.
•Agarre por el cuello Aha acelerado el movimiento rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la aceleración y tiempo tpara localizar L.
•La polea Dtiene el movimiento rectilíneo uniforme. Calcule cambio de posición en momento t.
•El bloque el movimiento de Bes dependiente en los movimientos de cuello Ay polea D. Escriba la relación del movimiento y resuelve para el cambio de bloque que Bposicionan en momento t.
•Diferencie la relación del movimiento dos veces para desarrollar las ecuaciones para la velocidad y aceleración de bloque B.

Seventh
Edition
11 - 36
LA SOLUCIÓN:
Defina el origen que se extiende hacia abajo a la
superficie horizontal superior con el desplazamiento
positivo.
• Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento
rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la
aceleración y tiempo t para localizar L.
     
 
2
2
0
2
0
2
s
in.
2 8in. 9
s
in.
12
2
  





  
A A
A A A A A
a a
v v a x x
 
1.333 s
s
in.
9
s
in.
12
2
0
 
 
t t
vA vA aAt

Seventh
Edition
11 - 37
• La polea D tiene el movimiento rectilíneo uniforme.
Calcule cambio de posición en momento t.
 
  1.333s 4 in.
s
in.
3 0
0
 



 
 
D D
D D D
x x
x x v t
• El bloque el movimiento de B es dependiente en los
movimientos de cuello A y polea D. Escriba la
relación del movimiento y resuelve para el cambio
de bloque que B posicionan en momento t.
La longitud total de restos del cable constante,
     
           
8in. 24in.     0
2 0
2 2
0
0 0 0
0 0 0
   
     
    
B B
A A D D B B
A D B A D B
x x
x x x x x x
x x x x x x
  16in. 0 xB  xB  

Seventh
Edition
11 - 38
• Diferencie la relación del movimiento dos veces para
desarrollar las ecuaciones para la velocidad y
aceleración de bloque B.
0
s
in.
2 3
s
in.
12
2 0
2 constant
  





 





  
  
B
A D B
A D B
v
v v v
x x x
s
in.
vB 18
0
s
in.
9
2 0
2
  





  
B
A D B
v
a a a
2 s
in.
aB  9

SeventhEdition
11 - 39
•Dado los x-tencorvan, la curva del v-tes igual a la cuesta de curva de x-t.
•Dado los v-tencorvan, el a-tla curva es igual a la cuesta de curva de v-t.

SeventhEdition
11 - 40
•Dado el a-tla curva, el cambio en la velocidad entre el t1y el t2es igual al área bajo el a-tla curva entre el t1y t2.
•Dado los v-tencorvan, el cambio en la posición entre el t1y el t2es igual al área bajo la curva del v-tentre el t1y t2.

Seventh
Edition
11 - 41
• El método del momento-área para determinar la
posición de la partícula directamente en momento t
del a-t la curva:
     
  
1
0
0 1 1
1 0 area under curve
v
v
v t t t dv
x x v t
usando dv = a dt,
      
1
0
1 0 0 1 1
v
v
x x v t t t a dt
    
1
0
1
v
v
t t a dt
primero el momento de área bajo a-t
la curva con respecto a t = la línea
del t1.
  
t C
x x v t a-t t t
abscissa of centroid
1 0 0 1 area under curve 1

   

Seventh
Edition
11 - 42
• El método para determinar la aceleración de
la partícula de la curva del v-x:
 


BC
AB
dx
dv
a v
tan
subnormal a la curva del v-x

Seventh
Edition
11 - 43
• Partícula que sigue una curva de otra manera que una
línea recta está en el movimiento curvilíneo.
• Posición vector de una partícula en momento t se
define por un vector entre el origen O de una
referencia fija idean y la posición ocupó por la
partícula.
• Considere partícula que ocupa la posición P
definida por en momento t y P ' definieron por
a t + t,
r

r 











 
 
dt
ds
t
s
v
dt
dr
t
r
v
t
t
0
0
lim
lim
 

la velocidad instantánea (el vector)
la velocidad instantánea (el escalar)

Seventh
Edition
11 - 44





  dt
dv
t
v
a
t
 

0
lim
la aceleración instantánea (el vector)
• Considere la velocidad de partícula en momento t
y velocidad a t + t,
v

v


• En general, el vector de aceleración no es
tangente al camino de la partícula y vector de
velocidad.

Seventh
Edition
11 - 45
Los derivados de las Funciones del Vector
  u P

• Permita sea una función del vector de escalar variable
u,    
u
P u u P u
u
P
du
dP
u u 
  




   
   
0 0
lim lim
• Derivativo de suma del vector,
 
du
dQ
du
dP
du
d P Q
   
 

 
du
dP
P f
du
df
du
d f P



 
• Derivativo de producto de escalar y vector funciona,
• Derivativo de producto del escalar y producto del vector,
 
 
du
dQ
Q P
du
dP
du
d P Q
du
dQ
Q P
du
dP
du
d P Q

 
  

 
  
   

   


Seventh
Edition
11 - 46
Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración
• Cuando posiciona el vector de partícula que P se
da por sus componentes rectangulares,
r xi y j zk
   
  
• El vector de velocidad,
v i v j v k
k xi y j zk
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
x y z
  






   
  
     
• El vector de aceleración
a i a j a k
k xi y j zk
dt
d z
j
dt
d y
i
dt
d x
a
x y z
  






   
  
     
2
2
2
2
2
2

Seventh
Edition
11 - 47
Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración
• Los componentes rectangulares particularmente
eficaz cuando pueden integrarse las aceleraciones del
componente independientemente, por ejemplo,
movimiento de un proyectil,
ax  x  0 ay  y  g az  z  0
con las condiciones de la inicial,
0   ,   ,   0 x0  y0  z0  vx 0 vy 0 vz 0 
Integrando los rendimientos dos veces
   
    0
0
2
2
1
0 0
0 0
   
   
x v t y v y gt z
v v v v gt v
x y
x x y y z
• Haga señas en la dirección horizontal es uniforme.
• Haga señas en la dirección vertical se acelera
uniformemente.
• El movimiento de proyectil podría reemplazarse por
dos movimientos rectilíneos independientes.

Seventh
Edition
11 - 48
El Pariente del movimiento a un Marco en la Traducción
• Designe un marco como el marco fijo de referencia.
Todos los otros marcos ataron no rígidamente al
marco de la referencia fijo es marcos mudanza de
referencia.
• Posicione los vectores para las partículas A y B con
respecto al marco fijo de referencia Oxyz son rA and rB.
 
• Vector uniendo A y B define la posición de B
con respecto al marco mudanza Ax'y'z ' y
A Br

rB rA rB A
  
 
• Diferenciando dos veces,
vB A 
 la velocidad de pariente de
B a A.
vB vA vB A
  
 
aB A 

la aceleración de pariente
de B a A.
aB aA aB A
  
 
• El movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el
movimiento de A con el movimiento del pariente de B con respecto a
marco de la referencia mudanza atado a A.

Seventh
Edition
11 - 49
• El vector de velocidad de partícula es tangente al
camino de partícula. En general, el vector de
aceleración no es. Desee expresar el vector de
aceleración por lo que se refiere a los
componentes tangenciales y normales.
• es los vectores de la unidad
tangenciales para el camino de la partícula a P y
P '. Cuando arrastrado con respecto al mismo
origen, y es el ángulo entre
ellos.
et et
 
 and
et et et
  
    
 
 





 
d
de
e
e e
e
e
t
n
n n
t
t


 








  
    2
sin 2
lim lim
2sin 2
0 0

Seventh
Edition
11 - 50
v vet
 
 • Con el vector de velocidad expresado como
la aceleración de la partícula puede escribirse como
dt
ds
ds
d
d
de
e v
dt
dv
dt
de
e v
dt
dv
dt
dv
a t t








    
pero
v
dt
ds
e d ds
d
de
n
t     



Después de sustituir,
 
2 2 v
a
dt
dv
e a
v
e
dt
dv
a  t  n t  n 
  
• El componente tangencial de aceleración refleja
que el cambio de velocidad y el componente
normal refleja cambio de dirección.
• El componente tangencial puede ser positivo o
negativo. El componente normal siempre
apunta hacia el centro de curvatura del camino.

Seventh
Edition
11 - 51
 
2 2 v
a
dt
dv
e a
v
e
dt
dv
a  t  n t  n 
  
• Las relaciones para la aceleración tangencial y
normal también solicitan partícula que sigue la
curva del espacio.
• Avión que contiene los vectores de la unidad
tangenciales y normales se llama el avión
besando.
eb et en
  
 
• Normal al avión besando se encuentra de
e binormal
e principal normal
b
n




• La aceleración no tiene ningún componente a lo
largo del binormal.

Seventh
Edition
11 - 52
• Cuando la posición de la partícula se da en las
coordenadas polares, es conveniente expresar
velocidad y aceleración con los componentes
paralelos y perpendicular a OP.
r
r e
d
de
e
d
de 



  
 


dt
d
e
dt
d
d
de
dt
der r  



 
 
dt
d
e
dt
d
d
de
dt
de
r
 

  
 
  
 




r e r e
e
dt
d
e r
dt
dr
dt
de
e r
dt
dr
re
dt
d
v
r
r
r
r r
  

 

  
 
    
• El vector de velocidad de partícula es
• Semejantemente, el vector de aceleración de
partícula es
    

 

  
  

r r e r r e
dt
de
dt
d
e r
dt
d
e r
dt
d
dt
dr
dt
de
dt
dr
e
dt
d r
e
dt
d
e r
dt
dr
dt
d
a
r
r
r
r
      

 


  
2 2
2
2
2
2
   
    




 
r rer
 


Seventh
Edition
11 - 53
• Cuando la posición de la partícula se da en las
coordenadas cilíndricas, es conveniente expresar
la velocidad y vectores de aceleración que usan
los vectores de la unidad eR, e , and k.
  

• Posición del vector,
r Re R z k
  
 
• Velocidad del vector,
Re R e z k
dt
dr
v R


   


     
• Aceleración del vector,
R R e R R e z k
dt
dv
a R


      


       2    2

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11 - 54
Un motorista está viajando en la sección encorvada de carretera a 60 mph. El motorista aplica frenos que causan una proporción de desaceleración constante.
Sabiendo que después de 8 s la velocidad se ha reducido a 45 mph, determina la aceleración del automóvil inmediatamente después de que los frenos son aplicados.
LA SOLUCIÓN:
Calcule componentes tangenciales y normales de aceleración.
•Determine magnitud de aceleración y dirección con respecto a la tangente encorvar.

Seventh
Edition
11 - 55
45mph 66ft/s
60mph 88ft/s


LA SOLUCIÓN:
Calcule componentes tangenciales y normales de
aceleración.
 
 
2
2 2
2
s
ft
3.10
2500ft
88ft s
s
ft
2.75
8 s
66 88 ft s
  
 






v
a
t
v
a
n
t
• Determine magnitud de aceleración y dirección
con respecto a la tangente encorvar.
2 2  2 2 a  at  an   2.75  3.10 2 s
ft
a  4.14
2.75
3.10
tan tan 1 1  
t
n
a
a
   48.4

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11 - 56
La rotación del brazo sobre O se define por q = 0.15t2dónde q está en los radianes y t en segundos. El cuello las diapositivas de B a lo largo del brazo tal ese r = 0.9 - 0.12t2 dónde r está en los metros.
Después de que el brazo ha girado a través de 30o, determine (un) la velocidad total del cuello, (b) la aceleración total del cuello, y (c) la aceleración relativa del cuello con respecto al brazo.
LA SOLUCIÓN:
Evalúe tiempo tpara= 30o.
•Evalúe las posiciones radiales y angulares, y primero y segundos derivado en momento t.
•Calcule velocidad y aceleración en las coordenadas cilíndricas.
•Evalúe la aceleración con respecto al brazo.

Seventh
Edition
11 - 57
LA SOLUCIÓN:
Evalúe tiempo t para  = 30o.
30 0.524rad 1.869 s
0.15 2
   

t
 t
• Evalúe las posiciones radiales y angulares, y
primero y segundos derivado en momento t.
2
2
0.24m s
0.24 0.449m s
0.9 0.12 0.481 m
 
   
  
r
r t
r t


2
2
0.30rad s
0.30 0.561rad s
0.15 0.524rad

 
 




 t
t

Seventh
Edition
11 - 58
• Calcule velocidad y aceleración.
  
r
r
r
v
v
v v v
v r
v r s





2 2 1 tan
0.481m 0.561rad s 0.270m s
0.449m
   
  
  


v  0.524m s   31.0
  
     
r
r
r
a
a
a a a
a r r
a r r




 

2 2 1
2
2
2
2 2
2
tan
0.359m s
0.481m 0.3rad s 2 0.449m s 0.561rad s
2
0.391m s
0.240m s 0.481m 0.561rad s
   
 
  
 
 
  
 
  
 
a  0.531m s   42.6

SeventhEdition
11 - 59
•Evalúe la aceleración con respecto al brazo.
•El movimiento de cuello con respecto al brazo es rectilíneo y definió por la coordenada r.
2sm240.0raOAB

SeventhEdition
CAPITULO #12
•CINETICA DE PARTÍCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTÓN
11 - 60

SeventhEdition
12 - 61
CINETICA DE LA PARTICULA
LEYES DE NEWTON.
PRIMERA LEY DE NEWTON:
Todo cuerpo sigue en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, salvo que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo; y tiene lugar en la dirección en que se aplica la fuerza.
TERCERA LEY DE NEWTON
A cada acción se le opone una reacción igual, a, las acciones mutuas entre dos cuerpos siempre son iguales, y dirigidas en sentidos opuestos.

SeventhEdition
Bibliografía ser Sir Isaac Newton
•IsaacNewtonnacióenlasprimerashorasdel25dediciembrede1642(4deenerode1643,segúnelcalendariogregoriano), enlapequeñaaldeadeWoolsthorpe,enelLincolnshire.Supadre,unpequeñoterrateniente,acababadefalleceracomienzosdeoctubre,trashabercontraídomatrimonioenabrildelmismoañoconHannahAyscough,procedentedeunafamiliaenotrotiempoacomodada.CuandoelpequeñoIsaacacababadecumplirtresaños,sumadrecontrajodenuevomatrimonioconelreverendoBarnabasSmith,rectordeNorthWitham,loquetuvocomoconsecuenciaunhechoqueinfluiríadecisivamenteeneldesarrollodelcarácterdeNewton:HannahsetrasladóalacasadesunuevomaridoysuhijoquedóenWoolsthorpealcuidadodesuabuelamaterna.
•DelodioqueellolehizoconcebiraNewtoncontrasumadreyelreverendoSmithdabuenacuentaelqueenunalistade «pecados»delosqueseautoinculpóalosdiecinueveaños,elnúmerotrecefueraelhaberdeseadoincendiarlessucasaconellosdentro.CuandoNewtoncontabadoceaños,sumadre, otravezviuda,regresóaWoolsthorpe,trayendoconsigounasustanciosaherenciaquelehabíalegadosusegundomarido(ydelaqueNewtonsebeneficiaríaalamuertedeellaen1679), ademásdetreshermanastrosparaIsaac,dosniñasyunniño.
1 - 62

SeventhEdition
12 - 63
Introducción
•Las primero y terceras leyes de Newton son en reposo suficientes para el estudio de cuerpos (las estáticas) o cuerpos en el movimiento sin la aceleración.
•Cuando un cuerpo acelera (los cambios en magnitud de velocidad o dirección), la segunda ley de Newton se exige relacionar el movimiento del cuerpo a las fuerzas que actúan en él.
•La segunda ley de Newton:
-Una partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la fuerza del resultante que actúa en él y en la dirección de la fuerza del resultante.
-El resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es igual a la proporción de cambio de velocidad adquirida lineal de la partícula.
-La suma de los momentos sobre O de las fuerzas que actúan en una partícula es igual a la proporción de cambio de velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.

SeventhEdition
12 - 64
•Un carro de una montaña rusa puede viajar sobre una trayectoria recta, una trayectoria curva en un plano horizontal, o en una trayectoria curva en un plano vertical. En cada caso deben considerarse la fuerza de la gravedad y las fuerzas que ejerce sobre el carro, así como la aceleración de este último, como se estudió en el capitulo anterior. La relación que existe entre fuerza, masa y aceleración se estudiará en este capitulo.
•La primera y tercera ley de Newton fueron utilizadas ampliamente en el estudio de la estática de los cuerpos en reposo y las fuerzas que actuaban sobre ellos, estas dos leyes son suficiente para estudiar el movimiento de los cuerpos que no tienen aceleración. Sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es, cuando cambia la magnitud o la dirección de su velocidades necesario recurrir a la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.

Seventh
Edition
12 - 65
La Segunda Ley de Newton de Movimiento
• La segunda ley de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente
experimento: una partícula se somete a una fuerza F1 de dirección
constante y magnitud constante F1. bajo la acción de esa fuerza se
observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la
fuerza
• Considerar a la particula sometida a distintas fuerzas.
m
a
F
a
F
a
F
constant mass,
3
3
2
2
1
1    
• Cuando sobre la particula de masa m actúa una
fuerza la celeración de la partícula viene dada por:
, F

F ma
 

• La aceleración debe evaluarse con respecto a un marco de
Newtonian de referencia, es decir, uno que no está
acelerando o está girando.
• Si fuerza que actúa en la partícula es el cero, la partícula
no acelerará, es decir, permanecerá estacionario o
continuará en una línea recta a la velocidad constante.

Seventh
Edition
12 - 66
La Velocidad adquirida lineal de una Partícula
• Reemplazando la aceleración por la derivada de la
velocidad tenemos:
 
 linear momentum of the particle
 
 
L
dt
dL
mv
dt
d
dt
dv
F m



 
• Princio de la conservación del momentun lineal:
Si el resultado de la fuerza sobre la partícula es cero,
el momentun linel de la particula se mantiene
constante en dirección y sentido..

Seventh
Edition
12 - 67
Los sistemas de Unidades
• De las unidades para las cuatro dimensiones primarias (la
fuerza, masa, longitud, y tiempo), pueden escogerse tres
arbitrariamente. El cuarto debe ser compatible con la 2
Ley de Newton.
• El Sistema internacional de Unidades (las Unidades de
SI): las unidades bajas son las unidades de longitud (m),
masa (el kg), y tiempo (segundo). La unidad de fuerza se
deriva,
 
2 2 s
kg m
1
s
m
1N 1kg 1

 






• Las Unidades De costumbre americanas: las unidades
bajas son las unidades de fuerza (el lb), longitud (m), y
tiempo (segundo). La unidad de masa se deriva,
ft
lb s
1
1ft s
1lb
1slug
32.2ft s
1lb
1lbm
2
2 2

  

Seventh
Edition
12 - 68
Las ecuaciones de Movimiento
• La segunda ley de Newton proporciona
F ma
 
 
• La solución para el movimiento de la partícula se
facilita resolviéndose la ecuación del vector en las
ecuaciones de componente de escalar, el ej., para los
componentes rectangulares,
   
F mx F my F mz
F ma F ma F ma
F i F j F k m a i a j a k
x y z
x x y y z z
x y z x y z
  
     
  
  
    
  
  

• Para los componentes tangenciales y normales,

2 v
F m
dt
dv
F m
F ma F ma
t n
t t n n
 
 
 
 

Seventh
Edition
12 - 69
El Equilibrio dinámico
• La expresión alternada de la segunda ley de Newton,
ma inertial vector
F ma
0
 
  

 
• Con la inclusión del vector inercial, el sistema de
fuerzas que actúan en la partícula es equivalente
poner a cero. La partícula está en el equilibrio
dinámico.
• Pueden aplicarse métodos desarrollados para las
partículas en el equilibrio estático, por ejemplo,
pueden representarse las fuerzas de coplanar con un
polígono del vector cerrado.
• Se llaman a menudo los vectores de inercia las fuerzas
inerciales cuando ellos miden la resistencia que las
partículas ofrecen a los cambios en el movimiento, es
decir, cambios en velocidad o dirección.
• Las fuerzas inerciales pueden ser conceptualmente
útiles pero no pueden estar como el contacto y las
fuerzas gravitatorias encontraron en las estáticas.

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12 - 70
Un 200-lb restos del bloque en un avión horizontal. Encuentre la magnitud de la fuerza que P exigió dar una aceleración o 10 ft/s2 al bloque al derecho. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el avión es el mk = 0.25.
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el bloque en dos ecuaciones del componente rectangulares.
•Los desconocidos consisten en la fuerza aplicada Py la reacción normal Ndel avión. Las dos ecuaciones pueden resolverse para estas desconocidas.

Seventh
Edition
12 - 71
N
F N
g
W
m
k
0.25
ft
lb s
6.21
32.2ft s
200lb
2
2




 

x
y
O
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el bloque
en dos ecuaciones del componente rectangulares.
Fx  ma :
  
62.1lb
cos30 0.25 6.21lb s ft 10ft s2 2

P   N  
: 0  y F
N  Psin30 200lb  0
• Los desconocidos consisten en la fuerza aplicada
P y la reacción normal N del avión. Las dos
ecuaciones pueden resolverse para estas
desconocidas.
cos30 0.25 sin30 200lb 62.1lb
sin30 200lb
    
  
P P
N P
P 151lb

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12 - 72
Los dos bloques mostrados la salida del resto. El avión horizontal y la polea son la fricción menos, y se asume que la polea es de masa despreciable. Determine la aceleración de cada bloque y la tensión en el cordón.
LA SOLUCIÓN:
Escriba las relaciones de la cinemática para los movimientos dependientes y aceleraciones de los bloques.
•Escriba las ecuaciones de movimiento para los bloques y polea.
•Combine las relaciones de la cinemática con las ecuaciones de movimiento resolver para las aceleraciones y tensión del cordón.

Seventh
Edition
12 - 73
• Escriba ecuaciones de movimiento para los bloques
y polea.
Fx  mAaA :
  T1  100kg aA
Fy  mBaB :
    
  B
B
B B B
T a
T a
m g T m a
2940N- 300kg
300kg 9.81m s 300kg
2
2
2
2

 
 
Fy  mCaC  0 :
T2  2T1  0
LA SOLUCIÓN:
Escriba las relaciones de la cinemática para los
movimientos dependientes y aceleraciones de los
bloques. yB xA aB aA
2
1
2
 1 
x
y
O

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Edition
12 - 74
 
2 1680N
100kg 840N
4.20m s
8.40m s
2 1
1
2
2
1
2
 
 
 

T T
T a
a a
a
A
B A
A
• Combine las relaciones de la cinemática con las ecuaciones
de movimiento resolver para las aceleraciones y tensión del
cordón.
yB xA aB aA
2
1
2
 1 
  T1  100kg aA
 
   A
B
a
T a
2
1
2
2940N- 300kg
2940N- 300kg


2940N 150kg 2100kg 0
2 2 1 0
  
 
aA aA
T T
x
y
O

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12 - 75
El 12-lb bloque B empieza del resto y diapositivas en la 30-lb cuña A que se apoya por una superficie horizontal.
La fricción descuidando, determine (a) la aceleración de la cuña, y (b) la aceleración del pariente del bloque a la cuña.
LA SOLUCIÓN:
El bloque se reprime para resbalar abajo la cuña. Por consiguiente, sus movimientos son dependientes. Exprese la aceleración de bloque como la aceleración de cuña más la aceleración del pariente del bloque a la cuña.
•Escriba las ecuaciones de movimiento para la cuña y bloque.
•Resuelva para las aceleraciones.

Seventh
Edition
12 - 76
LA SOLUCIÓN:
El bloque se reprime para resbalar abajo la cuña. Por
consiguiente, sus movimientos son dependientes.
aB aA aB A
  
 
• Escriba ecuaciones de movimiento para la cuña y
bloque.
x
y
Fx  mAaA :
  A A
A A
N W g a
N m a

 
1
1
0.5
sin30
Fx  mBax  mB aA cos30 aB A:
  
   
    
cos30 sin30
sin30 cos30
a a g
W W g a a
B A A
B B A B A
Fy  mBay  mB aA sin30:
N1 WB cos30  WB gaA sin30

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12 - 77
  0.5N1  WA g aA
• Resuelva para las aceleraciones.
 
   
  
    


 


    
    
2 30lb 12lb sin30
32.2ft s 12lb cos30
2 sin30
cos30
2 cos30 sin30
cos30 sin30
2
1
A
A B
B
A
A A B B A
B B A
a
W W
gW
a
W g a W W g a
N W W g a
2 aA  5.07ft s
       
   
5.07ft s cos30 32.2ft s sin30
cos30 sin30
2 2
B A
B A A
a
a a g
2 aB A  20.5ft s

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12 - 78
El cogote de un 2-m péndulo describe un arco de un círculo en un avión vertical. Si la tensión en el cordón es 2.5 veces el peso del cogote para la posición mostrada, encuentre la velocidad y aceleración del cogote en esa posición.
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el cogote en los componentes tangenciales y normales.
•Resuelva las ecuaciones del componente para las aceleraciones normales y tangenciales.
•Resuelva para la velocidad por lo que se refiere a la aceleración normal.

Seventh
Edition
12 - 79
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el cogote
en los componentes tangenciales y normales.
• Resuelva las ecuaciones del componente para las
aceleraciones normales y tangenciales.
Ft  mat :
 
 
sin30
sin30
a g
mg ma
t
t
2 at  4.9m s
Fn  man :
   
  
2.5 cos30
2.5 cos30
a g
mg mg ma
n
n
2 an 16.03m s
• Resuelva para la velocidad por lo que se refiere a la
aceleración normal.
  2 
2
n  v  an  2m 16.03m s
v
a 

v  5.66m s

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12 - 80
Determine la velocidad tasada de una curva de la carretera de radio r = 400 pies amontonaron a través de un ángulo q = 18o. La velocidad tasada de una curva de la carretera amontonada es la velocidad a que un automóvil debe viajar si ninguna fuerza de fricción lateral será ejercida a sus ruedas.
LA SOLUCIÓN:
El automóvil viaja en un camino redondo horizontal con un componente normal de aceleración dirigido hacia el centro del camino. Las fuerzas que actúan en el automóvil son su peso y una reacción normal de la superficie del camino.
•Resuélvase la ecuación de movimiento para el automóvil en los componentes verticales y normales.
•Resuelva para la velocidad del vehículo.

Seventh
Edition
12 - 81
LA SOLUCIÓN:
El automóvil viaja en un camino
redondo horizontal con un componente
normal de aceleración dirigido hacia el
centro del camino. Las fuerzas que
actúan en el automóvil son su peso y
una reacción normal de la superficie
del camino.
• Resuélvase la ecuación de
movimiento para el automóvil en los
componentes verticales y normales.
: 0  y F


cos
cos 0
W
R
R W

 
Fn  man :




2
sin
cos
sin
v
g
W W
a
g
W
R n


• Resuelva para la velocidad del vehículo.
    

32.2ft s 400ft tan18
tan
2
2 v g 
v  64.7ft s  44.1mi h

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Edition
12 - 82
La Velocidad adquirida angular de una Partícula
• el momento de velocidad adquirida o
la velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.
HO  r mV 
  
• Derivativo de velocidad adquirida angular con respecto
a tiempo,



 
       
O
O
M
r F
H r mV r mV V mV r ma


      
  
• Sigue de la segunda ley de Newton que la suma de los
momentos sobre O de las fuerzas que actúan en la
partícula es igual a la proporción de cambio de la
velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.
x y z
O
mv mv mv
x y z
i j k
H
  


• es perpendicular allanar conteniendo O H

r mV
 
and



2 
sin
mr
rmv
HO rmV




Seventh
Edition
12 - 83
Equalidades de Movimiento en Radial & los Componentes Transversos
 
   

 
  
 
F ma m r r
Fr mar m r r
2
2
  
  


• Considere la partícula a r y , en las coordenadas
polares,
 
 
   
 




  
  


F m r r
m r rr
mr
dt
d
r F
HO mr
2
2 2
2
2
 
 




• Este resultado también puede derivarse de la
conservación de velocidad adquirida angular,

Seventh
Edition
12 - 84
La conservación de Velocidad adquirida Angular
• Cuando sólo fuerza que actúa en la partícula se
dirige hacia o fuera de un punto fijo O, se dice
que la partícula está moviendo bajo una fuerza
central.
• Desde la línea de acción de los pasos de fuerza
centrales a través de O, MO  HO  0 and  

r mV  HO  constant
  
• Posición que el vector y movimiento de partícula
están en un perpendicular plano a . O H

• La magnitud de velocidad adquirida angular,
0 0 sin 0
sin constant


r mV
HO rmV

 
unit mass
angular momentum
constant
2
2
  
 
r h
m
H
H mr
O
O



or 

Seventh
Edition
12 - 85
La conservación de Velocidad adquirida Angular
• El vector del radio OP barre el área infinitesimal
dA r d 2
2
 1
• Define    
 2 
2
2 1
2
1 r
dt
d
r
dt
dA
Velocidad
areal
• Revoque, para un cuerpo que mueve bajo una
fuerza central,
constant 2    r h
• Cuando una partícula mueve bajo una fuerza
central, su velocidad areal es constante.

Seventh
Edition
12 - 86
La Ley de Newton de Gravitación
• Fuerza gravitatoria ejercida por el sol en un planeta o
por la tierra en un satélite un ejemplo importante de
fuerza gravitatoria está.
• La ley de newton de gravitación universal - dos
partículas de masa M y m nos atraen con el igual y la
fuerza opuesta dirigidas a lo largo de la línea que
conecta las partículas,
4
4
9
2
3
12
2
lb s
ft
34.4 10
kg s
m
66.73 10
constant of gravitation

 

 


 
G
r
Mm
F G
• Para la partícula de masa m en la superficie de la tierra,
2 2 2 s
ft
32.2
s
m
  mg g  9.81 
R
MG
W m

Seventh
Edition
12 - 87
Un bloque B de masa que m puede
resbalar libremente en una fricción
menos brazo OA que gira en un avión
horizontal a una proporción constante . 0 
a) el componente vr de la velocidad de
B a lo largo de OA.
b) la magnitud de la fuerza horizontal
ejerció en B por el brazo OA.
Sabiendo que B se suelta a una distancia
r0 de O, exprese como una función de r
LA SOLUCIÓN:
Escriba las ecuaciones radiales y
transversas de movimiento para el
bloque.
• Integre la ecuación radial para
encontrar una expresión para la
velocidad radial.
• Suplente la información conocida en
la ecuación transversa para encontrar
una expresión para la fuerza en el
bloque.

Seventh
Edition
12 - 88
LA SOLUCIÓN:
Escriba las ecuaciones radiales y
transversas de movimiento para el
bloque.
:
:
F ma
Fr mar



  
   

  
 
F m r r
m r r
2
0 2
 
 
• Integre la ecuación radial para encontrar
una expresión para la velocidad radial.
  
 
   
r
r
v
r r
r r
r
r
r r
r
v dv r dr
v dv r dr r dr
dr
dv
v
dt
dr
dr
dv
dt
dv
r v
r
0
2
0
0
2
0
2

 

 
 
dr
dv
v
dt
dr
dr
dv
dt
dv
r v r
r
r r
  r   
 2 
0
2 2
0
2 vr  r  r
• Suplente la información conocida en la
ecuación transversa para encontrar una
expresión para la fuerza en el bloque.
  2 1 2
0
2 2
F  2m 0 r  r

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12 - 89
Un satélite se lanza en una dirección paralelo a la superficie de la tierra con una velocidad de 18820 mi/h de una altitud de 240 mi. Determine la velocidad del satélite como él lo alcanza la altitud máxima de 2340 mi. El radio de la tierra es 3960 mi.
LA SOLUCIÓN:
Desde que el satélite está moviendo bajo una fuerza central, su velocidad adquirida angular es constante. Iguale la velocidad adquirida angular a A y B y resuelve para la velocidad a B.

Seventh
Edition
12 - 90
LA SOLUCIÓN:
Desde que el satélite está moviendo bajo
una fuerza central, su velocidad adquirida
angular es constante. Iguale la velocidad
adquirida angular a A y B y resuelve para la
velocidad a B.
 
 
3960 2340mi
3960 240 mi
18820mi h
sin constante





 
B
A
B A
A A B B
O
r
r
v v
r mv r mv
rmv  H
vB 12550mi h

Seventh
Edition
12 - 91
La trayectoria de una Partícula Bajo una Fuerza Central
• Para partícula que mueve bajo la fuerza central dirigida hacia el centro de fuerza,
   2  0 2 m r  r  Fr  F m r  r  F 
    
• Segunda expresión es equivalente a c o n s t a n t e ,de que, 2   h r  




  
d r
d
r
h
r
r
h 1
y 2
2
2
2
2 
 
• Después de sustituir en la ecuación radial de movimiento y simplificar,
r
donde u
mh u
F
u
d
d u 1
2 2 2
2
  

• Si F es una función conocida de r o u, entonces la trayectoria de la
partícula puede encontrarse integrando para u = f(), con las
constantes de integración determinadas de las condiciones de la
inicial.

Seventh
Edition
12 - 92
La aplicación para Espaciar las Mecánicas
constant
1
where
2 2
2
2
2 2 2 2
2
  
    
h
GM
u
d
d u
GMmu
r
GMm
F
r
u
mh u
F
u
d
d u


• Considere satélites de tierra sujetados a sólo tirón gravitatorio
de la tierra,
• La solución es ecuación de sección cónica,
  scentricidad
GM
Ch
h
GM
r
u 1 cos e
1 2
2       
• El origen, localizado al centro de tierra, es un enfoque de la
sección cónica.
• La trayectoria puede ser la elipse, parábola, o hipérbola que
dependen del valor de excentricidad.

Seventh
Edition
12 - 93
1 cos  eccentricity
1 2
2
   
GM
Ch
h
GM
r
  
• La trayectoria de satélite de tierra se define por
• la hipérbola,  > 1 o C > GM/h2. El vector del radio se
pone infinito para








   





      
2
1 1
1 1 cos
1
1 cos 0 cos
C h
GM

  
• la parábola,  = 1 or C = GM/h2. El vector del radio se
pone infinito para
1 cos 2  0  2 180
• la elipse,  < 1 or C < GM/h2. El vector del radio es finito
para  y es constante, es decir, un círculo, para  < 0.

Seventh
Edition
12 - 94
• La integración el C constante está determinado por las
condiciones en empezar de vuelo libre,  =0, r = r0 ,
 2
0 0 0
2
0
2
2
0
1 1
1 cos0
1
r v
GM
h r
GM
r
C
GM
Ch
h
GM
r
   








  
 
0
0
2
0 0
2
2
1 or
r
GM
v v
C GM h GM r v
esc  
   
• El satélite escapa la órbita de tierra para
• La trayectoria es elíptica para v0 < vesc y se pone
redondo para  = 0 or C = 0,
r0
GM
vcirc 

Seventh
Edition
12 - 95
• Revoque que para una partícula que mueve bajo una
fuerza central, la velocidad areal es constante, es
decir,
constante 2
2 1
2
 1 r  h 
dt
dA
 
• Tiempo periódico o tiempo requeridos para un
satélite para completar una órbita son iguales al
área dentro de la órbita dividida por la velocidad
areal,
h
ab
h
 ab 

2
2
 
where  
0 1
2 0 1
1
b r r
a r r

 

Seventh
Edition
12 - 96
Determine:
a) la altitud máxima alcanzada por el
satélite.
b) el tiempo periódico del satélite.
Un satélite se lanza en una dirección
paralelo a la superficie de la tierra
con una velocidad de 36,900 km/h a
una altitud de 500 km.
LA SOLUCIÓN:
La trayectoria del satélite se describe por
cos
1
2
C
h
GM
r
 
Evalúe C que usa las condiciones
iniciales a  = 0.
• Determine la altitud máxima
encontrando r a  = 180o.
• Con las altitudes al perigeo y apogeo
conocido, el tiempo periódico puede
evaluarse.

Seventh
Edition
12 - 97
LA SOLUCIÓN:
La trayectoria del satélite se describe por
cos
1
2
C
h
GM
r
 
Evalúe C que usa las condiciones
iniciales a  = 0.
 
  
  
12 3 2
2 2 6 2
9 2
6 3
0 0
3
0
6
0
398 10 m s
9.81m s 6.37 10 m
70.4 10 m s
6.87 10 m 10.25 10 m s
10.25 10 m s
3600s/h
1000m/km
h
km
36900
6.87 10 m
6370 500 km
 
  
 
   
 
 
 
 
GM gR
h r v
v
r
 
9 -1
2 2
12 3 2
6
2
0
65.3 10 m
70.4m s
398 10 m s
6.87 10 m
1
1
  




 
h
GM
r
C

Seventh
Edition
12 - 98
• Determine la altitud máxima encontrando r1 a 
= 180o.
 
66.7 10 m 66700 km
m
1
65.3 10
70.4m s
1 398 10 m s
6
1
9
2 2
12 3 2
2
1
  
 

   
r
C
h
GM
r
altitud máxima  66700-6370km 60300 km
• Con las altitudes al perigeo y apogeo conocido, el
tiempo periódico puede evaluarse.
   
  
70.4 10 m s
2 36.8 10 m 21.4 10 m
h
2
6.87 66.7 10 m 21.4 10 m
6.87 66.7 10 m 36.8 10 m
9 2
6 6
6 6
0 1
6 6
2
1
2 0 1
1

 
 
     
      
 

ab
b r r
a r r
70.3 10 s 19h 31min 3    

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12 - 99
Las Leyes de Kepler de Movimiento Planetario
•También pueden aplicarse resultados obtenidos para las trayectorias de satélites alrededor de la tierra a las trayectorias de planetas alrededor del sol.
•Las propiedades de órbitas planetarias alrededor del sol eran las observaciones astronómicas determinadas por Johann Kepler(1571- 1630) antes de que el Newton hubiera desarrollado su teoría fundamental.
1)Cada planeta describe una elipse, con el sol localizado a uno de su focos.
2)El vector del radio deducido del sol a un barridos planetarios las áreas iguales en tiempos del igual.
3)Los cuadrados de los tiempos periódicos de los planetas son proporcionales a los cubos de las hachas mayores de sus órbitas.

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Vectoresmecánicos para Ingenieros: DINÁMICA
12 - 100
Hay cuatro volúmenes de tapa dura, todos del mismo tamaño y con el mismo numero de pagina. Las cubiertas y los lomos están hechos de una tira de 0.4 cm. de ancho. Las paginas de cada uno de los cuatro libros ocupan exactamente 5 cm. de ancho.
¿SI UN GUSANO DE PAPEL COMIENZA A COMER EN LA PAGINA UNO DEL PRIMER VOLUMEN Y TERMINA EN LA ULTIMA PAGINAS DEL VOLUMEN 4. CUANTO A VIAJADO?
D.O
D.O
D.O
D.OEl sistema de informaciones y el mantenimiento

SeventhEdition
CAPITULO #13
•CINETICADEPARTÍCULAS: MÉTODOSDELAENERGÍAYLACANTIDADDEMOVIMIENTO
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Contenidos
Introducción
El trabajo de una Fuerza
El principio del trabajo & Energía
Las aplicaciones del Principio del trabajo & Energía
Poder y Eficacia
La Energía potencial
Las Fuerzas conservadoras
La conservación de Energía
Haga señas Bajo una Fuerza Central Conservadora
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
El Movimiento impulsivo
El impacto
El Impacto Central directo
El Impacto Central oblicuo
Problemas que Involucran Energía y Velocidad adquirida
Pruebe Problemas 13.16
Pruebe Problema !3.17

Seventh
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13 - 103
Introducción
• Previamente, se resolvieron problemas que tratan con el
movimiento de partículas a través de la ecuación fundamental de
movimiento,
El capítulo actual introduce dos métodos adicionales de análisis.
F ma.
 

• El método de trabajo y energía: directamente relaciona fuerza,
masa, velocidad y desplazamiento.
• El método de impulso y velocidad adquirida:
directamente relaciona fuerza, masa, velocidad, y tiempo.

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13 - 104
• El vector diferencial es el desplazamiento de la
partícula.
r d

• El trabajo de la fuerza es
F dx F dy F dz
F ds
dU F dr
 x  y  z

 
cos
 
• El trabajo es una cantidad del escalar, es decir, tiene
la magnitud y firma pero no la dirección.
• Las dimensiones de trabajo son length  force.Las unidades
son 1 J  joule  1 N1 m 1ft  lb 1.356 J

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• El trabajo de una fuerza durante un
desplazamiento finito,
 
  
 

  
 
  
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
1 2
A
A
x y z
s
s
t
s
s
A
A
F dx F dy F dz
F ds F ds
U F dr

 
• El trabajo se representa por el área bajo la
curva de Ft trazado contra s.

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13 - 106
• El trabajo de una fuerza constante en el movimiento
rectilíneo,
U12  F cos  x
• El trabajo de la fuerza de gravedad,
Wy y  W y
U W dy
W dy
dU F dx F dy F dz
y
y
x y z
     
 
 
  
 
2 1
1 2
2
1
• El trabajo del peso es igual al producto de
peso W y el desplazamiento vertical y.
• El trabajo del peso es positivo cuando y <
0, es decir, cuando el peso baja.

Seventh
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13 - 107
• La magnitud de la fuerza ejercida por una
primavera es proporcional a la desviación,
 spring constant N/m or lb/in.

k
F kx
• El trabajo de la fuerza ejerció por primavera,
2
2 2
2 1
2 1
1
1 2
2
1
U kx dx kx kx
dU F dx kx dx
x
x
   
   
 
• El trabajo de la fuerza ejercido por primavera es positivo
cuando el x2 < x1, es decir, cuando la primavera está
devolviendo a su posición del no deformado.
• El trabajo de la fuerza ejercido por la primavera es igual
negar de área bajo la curva de F trazó contra x,
U    F1  F2  x 2
1
1 2

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13 - 108
El trabajo de una fuerza gravitatoria (asuma la partícula M ocupa la posición fija O mientras la partícula m sigue camino mostrado),
12221221rMmGrMmGdrrMmGUdrrMmGFdrdUrr   

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Vectoresmecánicos para Ingenieros: DINÁMICA
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•LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON
Es la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre un planeta o por parte de la Tierra sobre un Satélite el órbita.
En su Ley de Gravitación Universal, Newton Postulo que dos partículas de masa M y m a una distancia r una de otra se atraen con fuerzas iguales y opuestas Fy –Fdirigida a lo largo de la línea que las une.
Ges una constante universal llamada constante de gravitación y los experimentos indican G= (66.73±0.03)X 10ˉ¹² m³/Kg.s²
2rGMmF

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13 - 110
•LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON
Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par de cuerpos, pero su efecto sólo es apreciable cuando uno de los cuerpos tiene una masa muy grande. El efecto de las fuerzas de las fuerzas gravitacionales es evidente en los casos de movimiento de un planeta alrededor del Sol, de satélites que orbitan alrededor de la tierra o de cuerpos que caen sobre la superficie de la Tierra.
W=mg=
g=GM/r²
2rGMm

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Fuerzas que nohacetrabajan (ds= 0 o cos  0:
•el peso de un cuerpo cuando su centro de movimientos de gravedad horizontalmente.
•la reacción a un rodillo que sigue su huella, y
•A reacción a la fricción menos superficie cuando el cuerpo en los movimientos del contacto a lo largo de la superficie,
•La reacción a la fricción menos alfiler apoyando que gira el cuerpo,

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13 - 112
La partícula la Energía Cinética: El principio del Trabajo & Energía
F ds mv dv
ds
dv
mv
dt
ds
ds
dv
m
dt
dv
F ma m
t
t t

 
 
• Considere una partícula de masa que m actuó en por la fuerza F

• Integrando de A1 a A2 ,
U T T T mv kinetic energy
F ds m v dv mv mv
v
v
s
s
t
   
  

 
2
2
1
1 2 2 1
2
2 1
2 1
2 2
1
2
1
2
1
• El trabajo de la fuerza es igual al cambio en la
energía cinética de la partícula.
F

• Las unidades de trabajo y la energía cinética son el mismo:
m N m J
s
m
kg
s
m
kg
2
2
2
2
1    




 




T  mv 

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13 - 113
Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía
• Desee determinar velocidad de cogote del
péndulo a A2. Considere el trabajo & la
energía cinética.
• La fuerza los actos normal al camino y no
hace el trabajo.
P

v gl
v
g
W
Wl
T U T
2
2
1
0
2
2
2
1 1 2 2

 
  
• La velocidad encontró sin determinar la
expresión para la aceleración e integrar.
• Todo las cantidades son los escalares y
pueden agregarse directamente.
• Se eliminan fuerzas que no hacen el trabajo
del problema.

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13 - 114
Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía
• El principio de trabajo y energía no puede
aplicarse para determinar la aceleración del
cogote del péndulo directamente.
• Calculando la tensión en el cordón requiere
complementando el método de trabajo y
energía con una aplicación de la segunda ley
de Newton.
• Como los pasos del cogote a través de A2
,
W
l
gl
g
W
P W
l
v
g
W
P W
Fn man
3
2
2
2
  
 
 
v2  2gl

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13 - 115
Poder y Eficiencia
• tase a que el trabajo se hace.
F v
dt
F dr
dt
dU
Power
 
 
 

 

• Las dimensiones de poder son el trabajo / tiempo o fuerza
* la velocidad. las Unidades para el poder son
746W
s
ft lb
or 1 hp 550
s
m
1 N
s
J
1 W (watt) 1 

   
poder de entrada
poder de salida
trabajo de entrada
trabajo de salida
eficiencia


 

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13 - 116
Un peso automovilístico que 4000 lb se maneja abajo una 5o cuesta a una velocidad de 60 mi/h cuando los frenos son los causando aplicados una fuerza de la ruptura total constante de 1500 lb.
Determine que la distancia viajada por el automóvil como él viene a una parada.
LA SOLUCIÓN:
Evalúe el cambio en la energía cinética.
•Determine la distancia requerida para el trabajo para igualar el cambio de energía cinético.

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13 - 117
LA SOLUCIÓN:
Evalúe el cambio en la energía cinética.
4000 32.288 481000ft lb
88ft s
3600 s
h
mi
5280 ft
h
mi
60
2
2
2 1
2 1
1
1
1
   
 


















T mv
v
481000ft lb 1151lb 0
1 1 2 2
  
  
x
T U T
x  418 ft
• Determine la distancia requerida para el trabajo
para igualar el cambio de energía cinético.
    
 x
U x x
1151lb
1 2 1500lb 4000lb sin5
 
    
v2  0 T2  0

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13 - 118
Dos bloques son unidos por un cable improrrogable como mostrado. Si el sistema se suelta del resto, determine la velocidad de bloque A después de que ha movido 2 m. Asuma que el coeficiente de fricción entre el bloque A y el avión es el mk = 0.25 y que la polea es ingrávida y fricción menos.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía separadamente a los bloques Ay B.
•Cuando las dos relaciones se combinan, el trabajo del cable fuerza la cancelación. Resuelva para la velocidad.

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13 - 119
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía
separadamente a los bloques A y B.
  
 
   
       2
2
1
2
2
1
1 1 2 2
2
2m 490N 2m 200kg
0 2m 2m
:
0.25 1962N 490N
200kg 9.81m s 1962N
F v
F F m v
T U T
F N W
W
C
C A A
A k A k A
A
 
  
 
   
 

 
  
   
       2
2
1
2
2
1
1 1 2 2
2
2m 2940N 2m 300kg
0 2m 2m
:
300kg 9.81m s 2940N
F v
F W m v
T U T
W
c
c B B
B
  
  
 
 


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13 - 120
• Cuando las dos relaciones se combinan, el trabajo del
cable fuerza la cancelación. Resuelva para la
velocidad.
       2
2
F 2m 490N 2m 1 200kg v C  
       2
2
F 2m 2940N 2m 1 300kg v  c  
       
  2
2
1
2
2
1
4900 J 500kg
2940N 2m 490N 2m 200kg 300kg
v
v

  
v  4.43 m s

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13 - 121
Una primavera se usa para detener un 60 kg paquete que está resbalando en una superficie horizontal. La primavera tiene un k constante = 20 kN/m y se sostiene por los cables para que sea el 120 mm. inicialmente comprimido que El paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición mostrada y la desviación máxima de la primavera es 40 mm.
Determine (un) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y superficie y (b) la velocidad del paquete como él atraviesa la posición mostrada de nuevo.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía entre la posición inicial y el punto en que la primavera está totalmente comprimida y la velocidad es el cero. El único desconocido en la relación es el coeficiente de fricción.
•Aplique el principio de trabajo y energía para el rebote del paquete. El único desconocido en la relación está la velocidad en la último posición.

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13 - 122
LA SOLUCIÓN:
Aplique principio de trabajo y energía entre la posición de la
inicial y el punto en que primavera está totalmente comprimida.
60kg2.5m s 187.5J 2 0
2
2
2 1
2 1
1
T1  mv   T 
 
      k k
f k U W x
 

60kg 9.81m s 0.640m 377J 2
1 2
   
  
  
    
   
2400N 3200N0.040m 112.0J
20kN m 0.160m 3200N
20kN m 0.120m 2400N
2
1
2 min max
1
1 2
max 0
min 0
    
   
    
  
U  P P x
P k x x
P kx
e
12   12  f   12 e  377J k 112J U U U 
187.5J - 377 J 112J 0
1 1 2 2 :
 
  
k
T U T
 k  0.20

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Edition
13 - 123
• Aplique el principio de trabajo y energía para el rebote
del paquete.
  2
2 3
2 1
2 3
1
T2  0 T3 mv  60kg v
     
36.5J
2 3 2 3 2 3 377J 112J
 
   f   e   k  U U U 
  2
2 3
1
2 2 3 3
0 36.5J 60kg
:
v
T U T
 
  
v3 1.103m s

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