Redes cristalinas

G. Romero Paredes. SEES Departamento de Ing. Eléctrica. CINVESTAV FISICA DE SEMICONDUCTORES Parte I 1
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CAPÍTULO 1: CRISTALOGRAFÍA
─ DEFINICIÓN DE UN CRISTAL
Sólido.- Sustancias elásticas rígidas, tienen un comportamiento elástico cuando se someten a fuerzas
hidrostática y esfuerzos de tensión y cortantes. Existen materiales cuyo comportamiento es tanto elástico
como plástico ó viscoso, por lo que esta definición no es del todo rigurosa, sin embargo se adopta como
criterio. Los sólidos, de acuerdo con esta definición se dividen en dos grupos. Los amorfos y cristalinos.
Amorfos: Los átomos ó moléculas pueden estar enlazados con bastante fuerza entre si, pero poseen
poca regularidad ó periodicidad geométrica en la forma en que los átomos están dispuestos ó acomodados
en el espacio, y se pueden considerar como líquidos sobre enfriados, es decir al enfriar un material de su
estado líquido no muestra cambios discontinuos, pero llega a ser más rígido a través de un incremento
progresivo en su viscosidad. Materiales con una viscosidad superior a 1012 Ns/m2 se le llama vidrio. Los
materiales amorfos ó vidrios poseen un orden atómico únicamente sobre rangos del orden de una
separación interatómica, fig. 21.
Cristales: Los materiales cristalinos se caracterizan por una periodicidad regular en el arreglo
geométrico de los átomos ó moléculas, fig. 22.

Fig. 21Materiales amorfos ó vidrios. Fig. 22 Materiales cristalinos.
1

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Policristales : Los materiales sólidos no siempre se componen de un solo cristal, sino que a menudo
están formados por un conjunto ó conglomerado de pequeñas unidades de cristal, cada una con diferente
orientación, separadas entre si por fronteras de grano, a estos materiales se les conoce como policristales.

Red cristalina: Un cristal ideal esta compuesto de átomos acomodados en una red cristalina, definido por
r r r r
los vectores fundamentales a , b , c , tal que el arreglo atómico es el mismo visto en el punto r como desde
r
otro punto cualquiera r , :
r, r r r r
r = r + u a + vb + w c (6)

donde u, v, y w son enteros arbitrarios.
r
El conjunto de puntos r , para todos los valores de
u, v, y w definen una red cristalina, fig. 23, es decir
una red se puede definir como un arreglo periódico
r
regular de puntos en el espacio definidos por r , ,
siendo de esta forma una red, una abstracción
matemática.
Una estructura cristalina se forma cuando una base
de átomos ó moléculas es ubicada idénticamente
en cada punto de la red, con lo que: Fig. 23 Red cristalina.

Cristal = red + base

Red unitaria, celda unitaria: La celda unitaria es una región de la red definida por medio de los tres
r r r
vectores de translación a, b, c por lo que queda definido por un paralelogramo, que al ser repetido
indefinidamente en sus tres dimensiones a través de sus vectores forman una red, fig. 24.

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Vectores base ó vectores unitarios: El conjunto
de vectores de translación linealmente
r r r
independientes a, b, c que se pueden usar para
definir una red unitaria, la cual contiene todos los
elementos de simetría de la red, fig. 24.

Celda unitaria primitiva: Una celda unitaria se
dice que es primitiva cuando tiene el volumen mas
pequeño ó bien cuando contiene únicamente
puntos en cada vértice de la celda, ó un solo punto
equivalente, tomando en cuenta que cada punto se
comparte entre 8 celdas vecinas.

Por lo tanto una red unitaria puede ser primitiva
pero no todas las celdas son primitivas, fig. 24.
Fig. 24 Celdas y Vectores unitarios.
Vectores base primitivos. Los vectores base
primitivos definen a la celda unitaria primitiva, fig.
24.
Los parámetros de la celda unitaria lo constituyen
tanto la magnitud de los vectores como los ángulos
interfaciales α, β y γ entre vectores, fig. 25.

En vista de lo anterior, la celda unitaria y la celda
unitaria primitiva se pueden definir, para la red
cristalina, de muchas formas, fig. 24.
Fig. 25 Parámetros de la celda unitaria;
magnitud de los vectores unitarios y ángulos
interfaciales α, β y γ.
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─ ESTRUCTURAS CRISTALINAS, REDES DE
BRAVAIS.
Basados en consideraciones geométricas
existen 14 formas de acomodar puntos en las
redes cristalinas, conocidas como redes de
Bravais. Estas redes se pueden agrupar en 7
sistemas cristalinos en función de la relación
directa de la magnitud de los vectores, a, b, c y de
los ángulos entre ellos, α, β, γ, fig. 25. Estos
sistemas y las redes de Bravais están dados en la
tabla I y esquematizados en la fig. 26.

Elementos de simetría: Los cristales contienen
diferentes simetrías ó elementos de simetría, los
cuales se describen bajo ciertas operaciones. Una
operación de simetría sobre un cristal deja al cristal
y a su entorno invariante, con respecto a su
configuración inicial.
Los elementos de simetría se agrupan en dos
categorías:
1) Simetría de grupo puntual, cuando las
operaciones se realizan alrededor de un punto ó
eje.
2) Simetría de grupo espacial, cuando se
realiza una operación por medio de una
translación.

Fig. 26 Redes de Bravais.
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Tabla I Los siete sistemas cristalinos

Sistema Elemento Red de Bravais Características de
Característico de la celda Unitaria
Simetría
Triclínico Ninguno Simple a≠b≠c
o
α ≠ β ≠ γ ≠ 90
Monoclínico Un eje de rotación Simple a≠b≠c
doble Centrada en la base o
α = β = 90 ≠ γ
Ortorrómbico Tres ejes de rotación Simple a≠b≠c
doble mutuamente Centrada en la base o
perpendiculares Centrada en el cuerpo α = β = γ = 90
Centrada en la cara

Tetragonal Un eje de rotación Simple a=b≠c
cuádruple o un eje de Centrada en el cuerpo o
rotación-inversión α = β = γ = 90
cuádruple

Cúbico Cuatro ejes de Simple a=b=c
rotación triple Centrada en el cuerpo o
(diagonales cúbicas) Centrada en la cara α = β = γ = 90

Hexagonal Una eje de rotación Simple a=b≠c
séxtuple o
α = β = 90
γ = 120
Trigonal Un eje de rotación Simple a=b=c
(Rombohédrico) triple o
α = β = γ ≠ 90

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Los cristales exhiben ambos tipos de simetría independientemente y en combinaciones compatibles. Las
principales operaciones de simetría son:
1.- Simetría de rotación de orden n: rotación alrededor de un eje a un ángulo 2π/n, n = entero.
2.- Simetría de reflexión: Una mitad del cristal reflejado en un plano de simetría que pasa por algún
punto de la red reproduce la otra mitad.
r r
3.- Centro de simetría ó centro de inversión: un punto de la red alrededor del cual la operación r → − r ,
r
donde r es un vector a cualquier otro punto de la red, deja la estructura sin cambio.
4.- Simetría rotación-inversión: combinación secuencial de las dos operaciones.

Sistema cúbico
En el sistema cúbico existen tres redes de Bravais: cúbico simple (cs), cúbico centrado en el cuerpo (bcc) y
cúbico centrado en las caras (fcc).
La red cúbica simple es una celda unitaria primitiva (1 solo punto) con 1 punto en cada vértice el cual es
compartido entre 8 celdas vecinas.

La red cúbica centrada en el cuerpo contiene 8 puntos correspondientes a los 8 vértices compartidos entre 8
celdas vecinas y un punto en el centro correspondiendo a un total de (1/8)8 + 1 = 2 puntos en la red.
La red cúbica centrada en las caras contiene 8 puntos de los vértices compartidos por 8 celdas y 6 puntos
centrados en las caras, los cuales son compartidos por 2 celdas cada uno, dando un total de 8(1/8) + 6(1/2)
= 4 puntos.
Las dos últimas redes no son por consiguiente primitivas. Una celda primitiva de la red cúbica centrada en el
cuerpo es mostrada en la fig. 27a, al igual que sus vectores de translación primitivos, esta corresponde a la
red rombohedrica (trigonal) con vectores primitivos:

r a $ $ $ r a $ $ $ r a
a, = ( x + y − z) b, = ( − x + y + z) c, = ( x − y + z)
$ $ $
2 2 2

a 3
Cada lado tiene una magnitud de
2
6

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Fig. 27a Vectores primitivos y celda primitiva de la red cúbica centrada en el cuerpo.

Una celda primitiva de la red cúbica centrada
en las caras, fig. 27b, es un caso especial de una
estructura trigonal en el que α = β = γ = 60o con los
vectores primitivos:

r a $ $ r a r a
a, = ( x + y) b, = ( y + z)
$ $ c, = ( x + z)
$ $
2 2 2

a
Cada lado tiene una magnitud de
2

Fig. 27b Vectores y celda primitiva de la red
cúbica centrada en las caras.
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Empaquetamiento y número de coordinación, estructuras cristalinas metálicas.
Para la representación de estructuras metálicas los iones ó átomos pueden ser representados por
esferas rígidas. El empaquetamiento está relacionado directamente con el número de vecinos más cercanos
que rodean a cada átomo, llamado el número de coordinación del cristal. Mientras mayor sea el número de
coordinación mayor es el empaquetamiento.
El factor de empaquetamiento es definido como la fracción del espacio ocupado por átomos en una
celda; es decir es la razón del volumen del átomo ocupando una celda al volumen de la celda unitaria
relativa a la estructura.
La distancia entre vecinos cercanos es la distancia entre centros de dos átomos vecinos mas cercanos
(2r).
El radio del átomo es definido como 1/2 de la distancia entre vecinos cercanos en un cristal de un solo
elemento (r).

Estructura cúbica simple. En esta estructura hay un átomo en cada vértice de la celda, sí uno elige
como centro un átomo en un vértice, se observa que este átomo es rodeado por 6 átomos vecinos y por
consiguiente el numero de coordinación es 6. El número de átomos en la celda es 1 ya que 8(1/8) = 1. La
distancia entre vecinos cercanos es 2r = a. El volumen ocupado por átomo ν = (4/3)πr3 = (1/6)πa3. El
volumen de la celda unitaria V = a3. El factor de empaquetamiento ó densidad de empaquetamiento es:

ν 1x(1 / 6)πa
3
π
PF = = = = 0.52
V a3 6

el cual corresponde a un empaquetamiento abierto, fig. 28
Red cúbica de cuerpo centrado, fig. 29 corresponde a un empaquetamiento relativamente cerrado con
un factor de PF = 0.68, y un numero de coordinación de 8.

8

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Fig. 28 Empaquetamiento abierto de la red cúbica simple.

Fig. 29 Empaquetamiento de la Red cúbica de cuerpo centrado.

Fig. 30 Empaquetamiento de la red cúbica de caras centradas.
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Empaquetamiento cerrado ó compacto.
Existen dos formas de arreglar esferas
equivalentes en un arreglo regular para minimizar
el volumen intersticial, uno conduce a la estructura
cúbica de caras centradas, fig. 30 y el otro al
sistema hexagonal, el cual es llamado estructura
hexagonal de empaquetamiento compacto, hcp. La
fracción de volumen llenado por las esferas, PF =
0.74, con un numero de coordinación de 12 en
ambas estructuras.

Las esferas pueden ser acomodadas en una
capa de empaquetamiento compacto colocando
cada esfera en contacto con otras 6, fig. 31. Esta
capa será la capa basal de una estructura hcp ó el
plano (111) de la estructura fcc, capa (A). La
segunda capa (B) es asignada colocando cada
esfera en contacto con tres esferas de la capa (A).
La 3a. Capa puede ser acomodada en dos
formas: en la estructura fcc las esferas en esta
capa son ubicadas sobre los huecos de la 1a. no
ocupados por la 2a. capa (C); en la estructura hcp
las esferas son ubicadas directamente sobre las
esferas de la 1a. Capa, capa (A). De esta forma en
fcc la secuencia de capa es ABCABC, mientras
que en hcp es ABAB, fig. 31

En la tabla II se dan las características de las
redes cúbicas:
Fig. 31 Empaquetamiento cerrado o compacto.
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Tabla II Características de la red cúbica

SIMPLE BODY-CENTERED FACE- CENTERED
Volume, conventional cell a3 a3 a3

Lattice points per cell 1 2 4

Volume, primitive cell a3 a3/2 a3/4

Lattice points per unit volume 1/a3 2/a3 2/a3

Number of nearest neighbors 6 8 12

Nearest-neighbor distance a a / 2 = 0.866a
3 a / 2 = 0.707a
Number of second neighbors 12 6 6

Second neighbor distance 2a a a

Packing fraction π/6 π 3 /8 π 2 /6
= 0.524 = 0.680 = 0.740

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Estructura del diamante. La red espacial del
diamante es la fcc con la base compuesta por dos
átomos ubicados en las coordenadas (000)y el otro
en (1/4 1/4 1/4) asociados con cada punto de la
red, el enlace tetraedral es mostrado en la fig. 32,
una proyección en un plano bidimensional se da en
la fig. 33.
Cada átomo tiene 4 vecinos más cercanos y 12 de
segundos vecinos.
El número total de átomos en una celda unitaria es
de:

8(1/8) + 6(1/2) + 4 = 8. Fig. 32 Enlace tetragonal de la estructura del
La distancia entre vecinos más cercanos es: diamante.
3a
2r = .
4

El volumen ocupado por un átomo es: ν = (4/3)πr3 =
3
πa3 .
8 × 16

El factor de empaquetamiento es:

3 3
8× πa
ν 8 × 16 3π
= = = 0.34
V a
3 16
Fig. 33 Proyección en un plano bidimensional de la
estructura del diamante.
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Estructura del sulfuro de zinc. La estructura
del diamante puede ser visto como dos estructuras
fcc desplazadas una de otra por 1/4 de la diagonal
del cubo.
La estructura del sulfuro de zinc (zincblenda)
resulta cuando los átomos de zinc son colocados
en una red fcc y los átomos de azufre en la otra fig.
34.
La red unitaria es una red fcc existiendo 4
moléculas por celda. Por cada átomo, hay cuatro
átomos igualmente distantes de clase opuesta
acomodados en un tetraedro regular.
Fig. 34 Enlace tetragonal de la estructura del
Sulfuro de Zinc.

─ ÍNDICES DE MILLER, PLANOS CRISTALINOS, DISTANCIA ENTRE PLANOS

Un cristal puede tratarse como formado por un
conjunto de planos equidistantes paralelos que
pasan a través de los puntos de la red, los cuales
se les conoce como planos de la red. Para una red
dada, los planos pueden ser elegidos de diferentes
modos como se observa en la fig. 35 y el problema
central es la designación de este conjunto infinito
de planos.
La posición y orientación de un plano en
general pueden ser determinadas por tres puntos
en el plano, asegurando que estos puntos no sean
colineales.
Fig. 35 Planos de la red cristalina
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En cada punto cae un eje del cristal. El plano
puede ser especificado por medio de la posición de
los puntos a lo largo de los ejes en términos de las
constantes de red. Sin embargo Miller desarrollo un
proceso a partir del cual se especifica el plano por
medio de índices (hkl) conocidos como índices de
Miller, los cuales están relacionados con la
ecuación del plano y el vector normal unitario del
plano.
Las etapas en la designación de los índices de
Miller son dados con ayuda de la fig. 36:

i) Se determinan las coordenadas de la
intersección del plano a lo largo de los 3 ejes
r r r
cristalográficos a, b, c en función de las constantes
de red, de la figura, estas intersecciones son:
x y z Fig. 36 Intersección de un plano con los ejes
2a 3b c de coordenadas.

ii) Se expresan estas intersecciones en función de múltiplos de las constantes de red a lo largo de los ejes:
2 3 1

iii) Se determina el reciproco de estos números:
1/2 1/3 1

iv) Se reducen estos tres recíprocos al conjunto de números enteros más pequeños y se encierran en un
paréntesis:
6(1/2) 6(1/3) 6(1)

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3 2 6

Índices de Miller: (326)

Los cuales son denotados en general por (hkl).

Características importantes de los índices de
Miller.

i) Los índices (hkl) pueden denotar un solo
plano ó un conjunto de planos paralelos
ii) Los planos paralelos a algún eje de
coordenadas tienen una intersección en el infinito y
Fig. 37 Índices de Miller de algunos planos en el
su correspondiente índice es cero.
sistema cúbico.
iii) Si los índices de Miller de 2 planos tienen la misma razón (p.E. (844), (422), 211)) entonces los
planos son paralelos entre sí.

iv) Si un plano corta a un eje en el lado negativo del origen, el índice correspondiente es negativo,
indicándolo por un signo menos arriba del índice ( (hkl) .

Los índices de alguno de los planos, en particular en el sistema cúbico son dados en la fig. 37

a) Las caras en el sistema cúbico son denotados por los índices (100), (010), (001), ( 1 00 ),
( 0 1 0 ), y ( 00 1 ).
b) Planos equivalentes por simetría son denotados por paréntesis {hkl} por lo que las caras del
cubo tendrán los índices {100}.
c) Sí uno habla del plano (200) entonces se trata de un plano paralelo al plano (100) pero que
corta al eje en (1/2)a.
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En la fig. 38 se indica la formación del plano
(111) de una estructura fcc partiendo del plano de
átomos (100).

Dirección Cristalina.- Los índices [hkl] de una
dirección cristalina son el conjunto de enteros que
tienen la razón de las componentes de un vector en
la dirección deseada referente a los ejes, así el eje
r
r
a es la dirección [100] el eje −b es la dirección
r
[ 010 ] etc.
En un sistema cristalino con vectores
ortogonales, . el sistema cúbico, la dirección [hkl]
es perpendicular al plano (hkl) teniendo los mismos
índices; es decir, la dirección de los planos
corresponde al vector normal a la superficie del
plano, pero en general en sistemas cristalinos no Fig. 38 Formación del plano (111) de una
ortogonales esto no sucede. Las direcciones estructura fcc partiendo del plano de átomos (100).
equivalentes se especifican por medio de hkl .

Ecuación del plano y vector normal.- En un sistema ortogonal la ecuación de un plano (hkl) con
) )
intersecciones a/h, b/k y c/l es dado a través de la expresión de un vector normal a la superficie Nn donde n
es el vector unitario, la ecuación del plano es dado por la expresión:
) r
ζ( x, y, z) = Nn ⋅ r (7)
r r
Donde r es el vector de posición, r = x ) + y y + z z , y ζ(x,y,z) es una constante para toda x, y, z, eligiéndose
x
) )

) h) k) l )
por lo general igual a 1. Con Nn = x + y + z , la ecuación del plano con índices (hkl) es:
a b c

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h k l
ζ= x+ y + z= 1 (8a)
a b c

Para el sistema cúbico con a = b = c:

1
ζ=
a
(hx + ky + lz) = 1 (8b)

El vector unitario normal a la superficie es dado
por:

) ∇ζ (h / a)) + (k / b)y + (l / c)z
x
) )
n= = (9a)
∇ζ (h / a)2 + (k / b)2 + (l / c)2

Para el sistema cúbico: Fig.39 Distancia y ángulo entre planos

) h) + k y + lz
x
) )
n= (9b)
h2 + k 2 + l 2

Distancia y ángulo entre planos.- La distancia ó separación entre planos (hkl) adyacentes se puede
calcular, teniendo cualquier punto reticular de un plano como origen, encontrando la distancia perpendicular
existente entre este origen y el plano (hkl), cuyas intersecciones con cada eje son a/h, b/k y c/l. En referencia
a la fig. 39 donde α, β y γ son los ángulos que hace el vector normal con cada uno de los ejes:
d
c o s d d
α = a / h , cos β = , cos γ =
b/k c/l

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) r
a cos α = n ⋅ a etc
) r ) r ) r
n⋅a n⋅b n⋅c
d= = = (10)
h k l

Haciendo uso de la expresión para el vector normal unitario ec. (9a).

1
d= (11a)
(h / a)2 + (k / b)2 + (l / c)2
a
Para el sistema cúbico: d = (11b)
h2 + k 2 + l 2
) )
Para el sistema cúbico el ángulo entre direcciones (planos) [h1k1l1] y [h2k2l2] es dado por: cos θ = n1 ⋅ n2
) )
donde n1 y n2 son los vectores normales unitarios característicos de cada plano, dados por la ec. (9b)
obteniéndose:

h1h2 + k 1k 2 + l1l2
cos θ = (12)
(h12 + k 12 + l12 )(h2 2 + k 2 2 + l2 2 )

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─ DIFRACCIÓN DE RAYOS X; LEY DE BRAGG, RED RECÍPROCA, ESFERA DE EWALD, CONDICIONES DE
VON LAUE, FACTOR DE ESTRUCTURA.

El estudio de la estructura cristalina se lleva a cabo a través de la difracción de fotones, neutrones y
electrones. La difracción depende de la estructura cristalina y de la longitud de onda. En el rango visible de
longitud de onda (500 nm) la superposición de ondas dispersadas elásticamente por los átomos individuales
de un cristal da lugar a la refracción óptica. Cuando la longitud de onda de la radiación es comparable ó mas
pequeña con la constante de red, se puede obtener haces difractados en direcciones muy diferentes a la
dirección incidente.

La energía de un fotón de rayos X esta relacionada con su longitud de onda por: E = hν = hc/λ. El
estudio de cristales requiere energías del fotón en el rango de 10 a 50 KeV. Los rayos X son generados por
la desaceleración de electrones en blancos metálicos y por la excitación de la nube de electrones de los
átomos del blanco. El primer proceso da lugar a un amplio espectro continuo; y el segundo a líneas bien
definidas. Al ser bombardeado un blanco de cobre por electrones, da lugar a una línea intensa CuKα a
1.5418 Å.

En 1912 von Laue predijo que los átomos de un cristal producirían la difracción de un haz cuyas
direcciones e intensidades dependerían de la estructura cristalina y la composición química. Estas
predicciones se verificaron poco tiempo después por Friederich y Knipping. La ubicación de los máximos de
difracción fue explicada por W. L. Bragg.

Ley de Bragg.- Bragg presento un modelo simple en el que supone que las ondas incidentes de R-X se
reflejan en forma especular de planos (hkl) paralelos sucesivos de átomos en el cristal, donde cada plano
refleja una pequeña fracción de la radiación.

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Los haces difractados solo se encuentran
cuando la reflexión de los planos paralelos
interfieren en forma constructiva., fig. 40, es decir
con diferencias de fase de 2πn.

Considerando planos paralelos con separación
d, la diferencia de trayectoria para reflexiones
sucesivas de planos adyacentes es 2dsenθ, donde
θ es el ángulo de incidencia medido a partir del
plano. La interferencia constructiva se presenta
cuando esta diferencia de trayectoria es igual a un
número entero n de longitudes de onda λ:

nλ = 2dsenθ (13) Fig. 40 Condición de difracción, ley de Bragg

La cual es conocida como la ley de Bragg. Esta ley es una consecuencia de la periodicidad de la red. La ley
no da referencia respecto al arreglo de átomos en la base asociada con cada punto de la red. La
composición de la base determina la intensidad relativa de las diferentes difracciones de orden n de un
conjunto dado de planos paralelos. La reflexión de Bragg puede ocurrir únicamente para longitudes de onda
λ ≤ 2d , esta es la razón por la que no es posible utilizar luz visible.
r r r r r r
Red recíproca.- Si a, b, c son los vectores primitivos de translación de una red cristalina A,B, C son los
vectores primitivos de la red recíproca, los cuales se pueden definir mediante:
r r r r r r
A ⋅ a = 2π B ⋅ b = 2π C ⋅ c = 2π (14)
r r r r r r r r r r r r
Mientras que: A ⋅ b = A ⋅ c = B ⋅ a = B ⋅ c = C ⋅ a = C ⋅ b = 0

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r r r r r r
Por lo que A es perpendicular a b, c y paralelo al producto: b × c , pudiéndose definir A de la forma:
r r r
A = R(b × c ) donde R es un escalar, el cual debe cumplir con la ec. (14), es decir:
r r r r r
A ⋅ a = R (b x c ) ⋅ a = 2π

Con lo que:

2π
R= r r r
a ⋅ (b × c )

De tal forma que:
r r
r b×c
A = 2π r r r (15a)
a ⋅ (b × c )

De igual manera:

v r r r r
c×a r a×b
B = 2π v r r C = 2π r r r (15b)
a ⋅ (b × c) a ⋅ (b × c )
r
Cualquier vector G de la forma:
r r r r
G = hA + kB + lC (16)

se le denomina vector de la red recíproca.

21

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Cada estructura cristalina tiene asociada 2 redes; la red cristalina y la red recíproca.

Un patrón de difracción de un cristal es un mapa de puntos de la red recíproca. Los vectores en la red
cristalina tienen dimensiones de longitud y en la red recíproca tienen dimensiones de (longitud)-1.

Red recíproca de la red cúbica.- La celda primitiva de la red cúbica centrada en las caras tiene sus
vectores primitivos dados en la fig. 27b, donde a es la constante de la red cúbica, los vectores primitivos de
la red recíproca son dados por:
r r
r b×c (a 2 / 4)( y + z) × ( x + z )
ˆ ˆ ˆ ˆ
A = 2π r r r = 2π 3 =
a ⋅ (b × c ) (a / 8)( x + y ) ⋅ ( y + z) × ( x + z)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2π ˆ ˆ ˆ
= ( x + y − z)
a

r 2π
B= ( − x + y + z)
ˆ ˆ ˆ
a
Fig. 27b Celda primitiva de la red cúbica
r 2π centrada en las caras.
C= ( x − y + z)
ˆ ˆ ˆ (17)
a

Estos vectores tienen las direcciones de los vectores primitivos de la estructura cúbica centrada en el
cuerpo, fig. 41, la separación reticular de la red recíproca es 2(2π/a).

22

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Fig. 41 Red reciproca de la red cúbica centrada en las caras, correspondiente, a una red cúbica
centrada en el cuerpo con separación reticular de 2(2π/a).

De forma análoga se puede demostrar que la red recíproca de la estructura cúbica centrada en el
cuerpo, fig. 27a, es una red cúbica centrada en las caras con dimensión reticular de 2(2π/a), fig.42.

Fig. 42 Red reciproca de la red cúbica centrada en el cuerpo, correspondiente a una red cúbica centrada en
las caras con separación reticular de 2(2π/a).
23

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esfera de Ewald y condiciones de difracción.- Una de las propiedades de la red recíproca es que un
r r r r
vector G = h' A + k ' B + l' C desde el origen, ubicado en algún punto reticular, a cualquier otro, es normal al
a
plano (hkl), donde h’, k’ y l’ son un múltiplo entero de h, k y l; h’/h = k’/k = l’/l = n. Consideremos el plano (hkl)
r r h r r b
a c B A
de la fig. 43, en el cual cae el vector AC = − + al igual que el vector =+ − k ,
h l

r r r r r r
a c h' l'
G ⋅ ( AC) = (h' A + k' B + l' C) ⋅ ( − + ) = +2π( − + ) = 0
h l h l
r r r r
Con A ⋅ a = C ⋅ c = 2π y h’/h = k’/k = l’/l = n
rG B A 0
De igual modo ⋅ =
︵

︶

r
Por lo tanto G es perpendicular a los dos
vectores linealmente independientes AC y BA, que
r
se encuentran en el plano (hkl), por lo que G debe
ser perpendicular al plano mismo. De esta forma un
vector unitario normal al plano puede ser definido
por:
r
$ G
n= (18)
G
Fig. 43 Plano (hkl)

Si d es la separación entre planos adyacentes (hkl), entonces de ec (10):

24

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

r r r r r r r
a⋅n $ a ⋅ G a ⋅ (h' A + k ' B + l' C) h' 1 1
d= = = = 2π = 2πn
h hG hG h G G

2 πn
Por lo que: G = (19)
d
r
El conjunto de vectores de la red recíproca G determinan las posibles reflexiones de rayos X. La
condición de refracción de Bragg se puede expresar como una relación entre vectores de propagación de
onda y vectores de la red recíproca.

r 2π
Dibujando el vector de propagación k= $
k
λ
de la onda incidente de rayos X dentro de la red
recíproca, trazado en la dirección del haz incidente
y terminando en el origen, punto reticular, con el
r
origen de k , no necesariamente ubicado en un
punto reticular, se construye una esfera de radio
r
k = 2π/λ, alrededor del punto A, fig. 44.
Consideremos que este esfera intercepta el
punto (h’k’l’) de la red reciproca en B, por lo tanto el
r
vector de propagación del rhaz difractado k' cae en
este punto. Un vector G de la red recíproca
conecta el origen con el punto (h’k’l’) y es, por lo
tanto, normal al plano (hkl) de la red cristalina.
r r r r
Si el haz incidente eik ⋅ r presenta una fase k ⋅ r Fig. 44 Esfera de Ewald y condición de difracción
y larfase del haz refractado por los planos de la red de RX
r
es k '⋅r , la diferencia de fase es dada por
25

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

r r r
φ r = (k '−k ) ⋅ r (20)
r r r r r r
El cambio en el vector de onda por efecto de la dispersión es Δk = k '−k , o bien k ' = Δk + k . En una
dispersión elástica la energía del fotón hν se conserva, así que la frecuencia ω’ = ck’ delr hazrrefractado se
conserva y es igual a la frecuencia del haz incidente y por lo tanto las magnitudes de k y k' son iguales.
r
Cuando se cumple la condición de difracción, el vector Δk es un vector de la red reciproca y por o tanto
r r r r r
Δk = G , fig. 44. De esta forma k ' = G + k
r r r r r r r r
(k + G) ⋅ (k + G) = k '⋅k ' = k ⋅ k

r r2
k + G = k2

O bien:
r r r r r r
k ⋅ k + 2k ⋅ G + G ⋅ G = k 2

y la condición de difracción en forma vectorial es dada por:
r r 2
2k ⋅ G + G = 0 (21)
r r
Si G es un vector de la red reciproca - G lo es también por lo que la ec. 21 puede ser escrita como:
r r 2
2k ⋅ G = G
De acuerdo con la construcción de la fig. 44 y la ec. 19 se tiene:

26

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

r r 2
2k ⋅ G = 2k G sen θ = G , con la ecuación 19:

2π 2πn
2k sen θ = G ó bien: 2 sen θ = dando la condición de Bragg ec. (13): 2dsenθ = nλ.
λ d

De acuerdo con esta construcción geométrica, esfera de Ewald, es evidente que la condición de Bragg
se satisfacerá para una longitud de onda (constante de propagación k) dada por cada intersección de la
superficie de la esfera de radio 2π/λ, trazada alrededor de A, con un punto de la red recíproca. Elrángulo
r
apropiado de Bragg, θ, estará dado por el ángulo comprendido entre el vector k y un plano normal a G. r
r
v
Cuando la condición de Bragg se satisface k y k' constituyen un triángulo isósceles con el vector G de
la red recíproca.
r r
Condiciones de Laue. La condición Δk = G puede expresarse de otra forma para dar las ecuaciones
r r r
de Laue. Tomando el producto escalar, de ambos lados sucesivamente con a, b, c de la red cristalina se
obtienen las tres condiciones de Laue sobre el vector de dispersión:
r r r r r r
a ⋅ Δk = 2πh b ⋅ Δk = 2πk c ⋅ Δk = 2πl (22)
r
Estas ecuaciones tienen un interpretación geométrica. La primera expresión dice que Δk cae en un
r
r
cierto cono en la dirección de a . Así para cada una de las ecuaciones. En tres dimensiones Δk en una
reflexión debe satisfacer las tres ecuaciones y por lo tanto los tres conos se interceptan para formar un haz
común.

Factor de estructura.- Si se desea predecir las características de la radiación difractada desde cristales
con celdas unitarias que contienen mas de un átomo por celda como el caso de fcc y bcc, se pueden
explicar las interacciones de los haces que se difractan desde los diversos planos de átomos. Para la

27

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

reflexión (h’k’l’) se representa la relación de la amplitud de radiación que dispersa toda la celda unitaria en
función a la que dispersa un electrón de un punto en el origen por medio de:

F(h ' k ' l') = ∑ f j e iφ j (23)
j

Donde fj es el factor de dispersión atómico para el j-esimo átomo de la celda unitaria y φj es la diferencia
de fase relacionada con el j-esimo átomo. La suma se obtiene tomando en cuenta todos los átomos de la
celda unitaria. Haciendo uso de la ec. 20 esta se puede expresar como:

( )
r r
F(h ' k ' l') = ∑ f j exp iΔk ⋅ rj
j

r
rj
Donde es el vector desde el origen hasta el j-esimo átomo de la celda unitaria y se puede escribir
como:
r
rj x r a y r
b z v c
j j j
= + +

r r r r r r r r
Por lo que rj ⋅ Δk = x j a ⋅ Δk + y j b ⋅ Δk + z j c ⋅ Δk y por medio de la ec. 22 se tiene:

[ ]
F(h ' k ' l') = ∑ f j exp 2πi(h ' x j + k ' y j + l' z j ) (24)
j

F h' k 'l f S h' k'l
Cuando todos los átomos son idénticos se simplifica la expresión, con fj=f: se tiene = ,

︵

︶
︵

︶
donde:

28

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[ ]
S(h ' k ' l') = ∑ exp 2πi(h ' x j + k ' y j + l' z j ) (25)
j

La amplitud total dispersada esta dada por el producto del factor de dispersión atómica y el factor S, el
cual depende de la disposición geométrica de los átomos dentro de la celda unitaria y se conoce como factor
geométrico estructural.

La intensidad del haz difractado es proporcional al cuadrado de la magnitud de F, o bien por: F*F, donde
F* es el complejo conjugado de F. Con F = α + iβ,
F 2 F * F 2 2
= =α +β (26)

Estructura cúbica centrada en el cuerpo.- En esta estructura se tienen dos átomos dentro de la celda
1 1 1
unitaria: un átomo del vértice con coordenadas (000) y otro en el centro del cuerpo con coordenadas ( 2 2 2 ) .
Para esta estructura la amplitud de difracción para la dirección de difracción (h’k’l’) es:

[
F(h´k´l´) = f 1 + e π i( h´ +k´ +l´) ] (27)

En general la asignación de los átomos que pertenecen a la celda unitaria puede hacerse en cualquier
forma arbitraria, siempre que se le asigne a ésta el número correcto de átomos de cada ubicación (vértice,
cara ó cuerpo).
De acuerdo a la ec. (27) el factor geométrico de la estructura 1+exp[iπ(h’+k’+l’)] es cero para cualquier
reflexión para la que h’+k’+l’ sea un numero impar, ya que exp(nπi)=-1 cuando n es impar. Por lo tanto en la
estructura cúbica centrada en el cuerpo no se presentan algunas reflexiones (h’k’l’) que se presentan en la
estructura simple. no existe la reflexión (100) aunque si se presenta la (200), del mismo modo la (111) se
cancela pero se tiene la (222), etc.

29

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Esto se puede comprender físicamente para el caso de la reflexión (100). Para una estructura cúbica
simple los haces reflejados de las caras superior e inferior difieren 2π en fase para la dirección de difracción
(100).
Mientras que en la estructura cúbica centrada
en el cuerpo existe otro plano de átomos (centros
de cuerpo), ubicados paralelamente y a la mitad
entre los planos de las caras superior e inferior del
cubo, fig. 45. La densidad de átomos en este plano
intermedio es la misma que la de los planos
superior e inferior, y por lo tanto dan origen a haces
difractados con la misma intensidad que los
producidos por los planos superior e inferior, pero
están fuera de fase con estos haces por π.
Los haces difractados, desde el plano superior
y el del centro del cuerpo, interfieren en forma
destructiva en pares, no produciéndose un haz
difractado neto.
Fig. 45 Difracción en planos paralelos (100) y (200)
No obstante, la reflexión (200) se presenta debido a que, en este caso, los planos superior e inferior dan
origen a haces que están 4π fuera de fase. Los planos del centro de cuerpo contribuyen con haces que
difieren 2π en fase de las reflexiones obtenidas de los planos superior e inferior, presentándose interferencia
constructiva y por lo tanto reforzándose. Las otras reflexiones ausentes para la estructura cúbica centrada en
el cuerpo (h’+k’+l’ = numero impar) se pueden explicar físicamente en forma análoga.

CELDA PRIMITIVA DE WIGNER-SAITZ.- Otra forma de elegir una celda primitiva de igual volumen es bajo el
siguiente procedimiento:
i) Se dibujan líneas que conectan un punto de la red dado con cada uno de los puntos vecinos más
cercanos;

30

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ii) En el punto medio de estas líneas y perpendicular a ellas, se dibujan nuevas líneas o planos.
El volumen más pequeño encerrado de este magnitud y dirección requeridos en la ec. 28, y el
modo se le conoce como la celda primitiva de haz difractado será en la dirección del vector k - G.
Wigner-Saitz, fig. 46. Todo el espacio puede ser
ocupado por estas celdas bajo operaciones de
translación, como en el caso de celdas primitivas.

PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN.- Una Zona de Brillouin
se define como una celda Wigner-Saitz en la red
recíproca.
El conjunto de planos que bisectan
perpendicularmente a los vectores de la red
recíproca conforman las fronteras de una zona de
Brillouin y son de particular importancia en la teoría
de propagación de ondas en cristales, porque da Fig. 46 Generación de las celdas de Wigner-Saitz.
una interpretación geométrica de la condición de
difracción 2 k.G = G2 o bien:
r 1r 1
k ⋅ ( G) = ( G)2 (28)
2 2

Se construye un plano normal al vector G en el
punto medio, una onda con un vector de
propagación k trazado del origen a cualquier punto
del plano satisface la condición de difracción. fig.
47.
Un haz de Rayos X incidente en el cristal será
difractado si sus vectores de onda tienen la

31

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fig. 47 Interpretación geométrica de la condición
de difracción.
Estos planos dividen el espacio de Fourier
(espacio recíproco) del cristal en regiones o celdas,
fig. 48. La región central, cuadro central de la
figura, es una celda primitiva de Wigner Saits de la
red recíproca., denominada la primera zona de
Brillouin.

La primera zona de Brillouin es el volumen más
pequeño completamente encerrado por los planos
que bisectan perpendicularmente a los vectores de
la red recíproca.
Fig. 48 Planos que dividen una red reciproca
La fig. 49 muestra la construcción de la primera cuadrada bidimensional en regiones o celdas.
zona de Brillouin en una red bidimensional. En una
red lineal, unidimensional, la primera zona de
Brillouin se extiende de -π/a a +π/a, siendo estos
las fronteras de zona.

En la fig. 50 y fig. 51 se dan la primera zona de
Brillouin de la red cúbica de caras centradas y de la
red cúbica de cuerpo centrado respectivamente.

Fig. 49 Construcción de la primera zona de Brillouin
en una red reciproca oblicua bidimensional.
32

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fig. 50 Red reciproca y primera zona de Brillouin de la red cúbica centrada en las caras,
correspondiente, esta última, a una red cúbica centrada en el cuerpo con separación reticular de 2(2π/a).

Fig. 51 Red reciproca y primera zona de Brillouin de la red cúbica centrada en el cuerpo, correspondiente,
esta última, a una red cúbica centrada en las caras con separación reticular de 2(2π/a).

33

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

─ MÉTODOS EXPERIMENTALES DE DIFRACCIÓN

La ley de Bragg requiere de ciertos valores de θ
y λ. Rayos X monocromáticos de longitud de onda
λ incidiendo sobre un cristal tridimensional en un
ángulo arbitrario en general no se refleja.

Para que se satisfaga la ley de Bragg es
necesario barrer ya sea en longitud de onda o en
ángulo de incidencia.

Los métodos estándar de difracción usados en
el análisis de la estructura cristalina se han
diseñado expresamente para llevar acabo la
variación del ángulo de incidencia o de la longitud
de onda del haz incidente de rayos X .

Aquí se verán brevemente tres métodos:
Método de Laue
Método de cristal en rotación
Método de Polvos.

MÉTODO DE LAUE.- En el método de Laue, fig. 52, un
cristal se encuentra fijo dentro de un haz de rayos
X de un espectro amplio de longitudes de onda, fig.
55b. El cristal selecciona y difracta los valores
discretos de λ cuyos planos existentes espaciados
una distancia d y ángulo de incidencia θ satisfacen Fig. 52 Método de Laue
la ley de Bragg.

34

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La fuente de rayos X es tal que produce un haz
con un amplio rango de longitudes de onda, p. E de
0.2 Å a 2 Å.

Antes de incidir el haz es colimado, Las
dimensiones de la muestra cristalina puede ser tan
pequeña como de 1mm.
Una película fotográfica plana recibe los haces
difractados. El patrón de difracción consiste de una
serie de manchas de puntos, fig. 53.

El patrón muestra la simetría del cristal: si un
cristal tiene un eje de simetría de orden cuatro
paralelo al haz, el patrón de Laue mostrara la
misma simetría de orden 4.

El método de Laue es utilizado ampliamente
para orientar cristales.

MÉTODO DE CRISTAL EN ROTACION.- En este método,
fig. 54, un monocristal se mantiene en rotación Fig. 53 Patrón fotográfico de difracción de rayos x
alrededor de un eje fijo, al incidir un haz de rayo X en el método de Laue
monocromático, fig. 55a.
La variación del ángulo de incidencia θ al ser girado el cristal, da lugar a que diferentes planos atómicos
cumplan con la ley de Bragg.

La película fotográfica es montada en un cilindro, concéntrico con el eje de giro del cristal.

El haz de rayos X incidente es monocromatizado por medio de un filtro o bien por medio de la difracción
en un primer cristal, difractor de doble cristal, fig. 56.
35

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fig. 54 Cámara de difracción en el método del
cristal en rotación
Fig. 55 a) Espectros de emisión de rayos X
monocromático y b) continuo.

El haz de R-X monocromático es difractado de
un dado plano cristalino cuando, durante el giro, el
valor del ángulo de incidencia θ satisface la
ecuación de Bragg.

Los haces difractados de todos los plano
paralelos al eje vertical de rotación caerán en el
plano horizontal. Los planos con otras
orientaciones difractarán el haz en capas por arriba
y abajo del plano horizontal.

Fig. 56 Difractor de doble cristal.
36

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Normalmente el cristal se gira en un rango angular limitado en lugar de girar los 360o, con el fin de reducir
la posibilidad de un traslapamiento de reflexiones.

MÉTODO DE POLVOS.- En el método de polvos, fig. 57, un haz de rayos X monocromático incide sobre una
muestra cristalina finamente pulverizada, o bien sobre una muestra policristalina de grano pequeño, la cual
es contenida en un tubo capilar.

Fig. 57 Cámara de difracción para el método de polvos

Este método es adecuado ya que no se requieren monocristales. Los haces difractados provienen de los
cristalitos individuales que están orientados adecuadamente, cuyos planos hacen un ángulo de incidencia θ
con el haz, que satisface la ecuación de Bragg.
Los haces difractados por la muestra generan conos concéntricos con el haz incidente.

Estos conos hacen un ángulo 2θ con la dirección del haz original, donde θ es el ángulo de Bragg.
37

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Los conos interceptan a la película fotográfica en una serie de anillos concéntricos, fig. 58.

En la actualidad los difractómetros cuentan con contadores en la detección de la radiación difractada, lo
cual permite obtener espectros de difracción como el mostrado en la fig. 59.

Fig. 58 Patrón fotográfico de difracción de rayos x en el método de polvos.

Fig. 59 Espectros de difracción de rayos X en el método de polvos.

38

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