Deformación en vigas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

2. OBJETIVO GENERAL:
Determinar la ecuación de la elástica en vigas isostáticas e
hiperestáticas
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Determinar la deflexión vertical en cualquier punto de la elástica de una viga
estáticamente determinada, utilizando el método de doble integración atendiendo
a las diferentes combinaciones de carga y condiciones de apoyo a que este sometido.
Determinar la deflexión vertical en cualquier punto de la elástica de una viga
estáticamente determinada, utilizando el método de superposición atendiendo a
las diferentes combinaciones de carga y condiciones de apoyo a que este sometido.
Aplicar del método de doble integración considerando las diferentes
combinaciones de carga y condiciones de apoyo a que este sometido una viga
estáticamente indeterminada.
Aplicar del método de superposición en vigas estáticamente indeterminada,
considerando las diferentes combinaciones de carga y condiciones de apoyo

3. DEFORMACIÓN EN VIGAS
La deformación de una viga se suele expresar en función de la
flecha desde la posición no deformada. Se mide desde la
superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original
de dicha superficie.
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se
llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la
curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recta
x x

4. Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en
esfuerzo en vigas, en la cual se relaciona la curvatura de la
superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a
flexión pura:
Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del
material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la
sección transversal de la viga y ‘M’ el momento flector al que está
sometida la misma.
Existen numerosos métodos para determinar la deformación en
vigas. Los utilizados frecuentemente son:
a.-El método de la doble integración
b.-El método de superposición

5. Es el método más general para determinar deflexiones. Se puede
usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y
condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e
indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los
diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener
posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una
viga por medio del cálculo integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la
pendiente de la deflexión en toda la viga y permite la
determinación directa del punto de máxima deflexión.
Método de Doble Integración

6. Se muestra exageradamente la curva elástica para deducir dicha
curva.
Tomemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido
según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y
positivo hacia arriba.
x dx

7. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que
no hay diferencia apreciable entre longitud inicial de la viga y la
proyección de su longitud deformada.
En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en
cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta
pendiente, tanθ = dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual
a θ. Por consiguiente:
(a)
(b)

8. Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds,
producida por la flexión de la viga, es evidente que
Siendo ρ el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la
curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas
condiciones, de las ecuaciones (a) y (c) se obtiene:
o bien
Al deducir la formula de la flexión obtenida en el tema de esfuerzo
simple
Y, por tanto, igualando los valores 1/ρ de las ecuaciones (d) y de la
elástica resulta:
(c)
(d)
(1)

9. Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El
producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmente
constante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y dx por ds,
no tiene influencia apreciable en la exactitud de la expresión (1) y,
en efecto, sustituyendo 1/ρ por su valor exacto, junto con la
ecuación de la elástica, se tendría
Teniendo en cuenta en que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es
despreciable frente a la unidad, por lo que se puede escribir

10. Integrando la ecuación (1), suponiendo EI constante, resulta
Que es la ecuación de la pendiente, que permite determinar el
valor de la misma, o dx/dy en cualquier punto.
Conviene observar que en esta ecuación, M es la ecuación del
momento flexionante en función de x y C1 es una constante a
determinar por las condiciones de apoyo.
Integrando de nuevo la ecuación n(2)
Que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el
valor de la ordenada y en cualquier valor x. C2 es otra constante de
integración a determinar por las condiciones de sujeción de la
viga.
(2)
(2)

11. EJERCICIOS
Calcular el valor de EIy en el centro de los apoyos y en el
extremo derecho de la viga.
400 N/m
R1 R2
1 m 1 m
4 m
400 N
650 N
950N
Ci= 760,83 N*m^3
X= 2
Eiy= -741,65 N*m^3
X=5
Eiy= 195,83 N*m

12. El método de superposición, determina la pendiente y la
deflexión en un punto de una viga por sumas de las pendientes o
de las deflexiones producidas, en ese mismo punto, por cada una
de las cargas cuando éstas actúan por separado.
Y1 + Y2 +Y3 ……….Yn
Donde Y1, Y2,Y3 yYn son las deflexiones producidas por las cargas
P1, P2, P3 y Pn, en el punto dado en la elástica.
La aplicación del método superposición presenta notables
ventajas, sobre todo cuando las cargas son una combinación de
los tipos que aparecen en la tabla mostrada. Para cargas
parcialmente distribuida, el método requiere una integración.
Método de Superposición

15. 1.- Calcular EIδ en el centro de la viga como se muestra en la
figura, con dos cargas concentradas.
400N 300N
4 m
1 m 1 m 2 m
Solución: según el caso siete de la tabla mostrada, la deflexión en
el centro del claro para una carga concentrada aplicada
excéntricamente viene dada por EIδ = (Pb/48)*(3*L^2 – 4*b^2), en
donde b es el menor valor de los segmentos que determina la
carga sobre la viga. Descomponiendo el sistema de carga.
Èiy= 766,67 N*m^3

16. Vigas Estáticamente Indeterminadas
Vigas estáticamente indeterminadas se conoce como aquella que
posee más apoyos de lo que se requieren para su equilibrio, por lo
que las ecuaciones de estática no son suficientes para el calculo
de las reacciones y es necesario recurrir a las ecuaciones de la
elástica para su solución .

17. Aplicación del Método de la Doble
Integración
El método de doble integración se aplica exactamente igual que
en las vigas estáticamente determinadas, solo que allí todas las
fuerzas eran conocidas y aquí intervienen unas desconocidas, las
reacciones redundante.
Al aplicarlo, consideremos el origen de ejes, con preferencia, en
un extremo empotrado, con lo que las dos constante de
integración que aparecen serán nulas.
En la ecuación general de momentos y las obtenidas al integrar
esta sucesivamente aparecen, además, los valores desconocidos
de las reacciones. Para determinar estos valores se han de aplicar
a la ecuación de la elástica o de la pendiente las condiciones
existente en el otro apoyo.

18. Aplicación del Método de Superposición
El método de superposición se aplica utilizando los resultados de
los distintos casos de carga que aparecen en la tabla mostrada,
aunque conviene utilizar el resumen dado en la tabla que se
mostrara a continuación, en que aparece los valores de la
pendiente y la deflexión en el extremo libre de una viga en
voladizo sometida a varios tipos de carga en función del
momento M en su extremo empotrado.

20. EJERCICIOS
Determine las reacciones en la viga mostrada por los dos
métodos.
400 N
Ra Vc
Mc
1 m 2 m
3 m
Ra= 207 N
Vc= 193 N
Mc=- 179 N*m

21. Nuca te quejes del ambiente ó de quienes te
rodean, hay quienes en tu mismo ambiente
supieron vencer. Las circunstancias son
buenas ó malas según la voluntad ó la fortaleza
de tu corazón.