Inecuaciones

Jaime Aguas 1
INDICE
- Objetivos.
- Contenidos
- Propiedades
- Inecuaciones de:
- Primer Orden.
- De Grado Mayor o Igual a dos.
- Fraccionarias
- Exponenciales.
- Irracionales.
- Logarítmicas.
- Con Valor Absoluto.
- Ejercicios.
* Resueltos.
* Propuestos.
- Bibliografía.

Jaime Aguas 2
OBJETIVOS
Al terminar el capítulo el estudiante estará en la capacidad de:
Resolver inecuaciones de: primer grado, segundo orden, polinómicas,
fraccionarias, exponenciales, irracionales, logarítmicas y con valor absoluto.
Resolver inecuaciones por medio del método Gráfico.
Ejecutar su creatividad en las aplicaciones, resolución de ejercicios y
problemas.
Mejorar su proceso de pensamiento lógico.
Adquirir confianza en si mismo.
Divertirse con su actividad mental.
Prepararse para enfrentar otros problemas de la ciencia y de la vida.
Aceptar nuevos retos de la tecnología y la ciencia.
Reconocer los puntos de vista contrapuestos.
Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos.

Jaime Aguas 3
CONTENIDOS.
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Inecuaciones.
Propiedades de las Inecuaciones.
• Axioma de Orden.
• Intervalos.
Inecuaciones de Primer Orden.
Inecuaciones de Grado mayor o Iguales
a Dos.
• Inecuaciones de Grado dos.
• Inecuaciones de Grado
Superior.
Inecuaciones Fraccionarias.
Inecuaciones Logarítmicas.
Inecuaciones con valor Absoluto.
Definir las Inecuaciones.
Reconocer las propiedades de las Inecuaciones
y como aplicarlas.
Diferenciar los intervalos y aplicar correctamente.
Resolución de Inecuaciones de primer Grado.
Establecer un procedimiento para la resolución.
Resolución de Inecuaciones de Grado Superior.
Análisis y Resolución de Inecuaciones
Fraccionarias.
Análisis y Resolución de Inecuaciones
Exponenciales.
Resolución de Inecuaciones Irracionales.
Resolución de Inecuaciones Logarítmicas.
Análisis y Resolución de Inecuaciones con
valor Absoluto
Curiosidad e interés por
investigar nuevos temas del
Algebra.
Apreciar los procedimientos
seguidos y resultados
obtenidos.
Perseverancia y flexibilidad
en la resolución de problemas.
Valoración de la precisión del
Lenguaje numérico.
Confianza en las propias
capacidades para resolver
problemas.
Sensibilidad para la
presentación ordenada,
Precisa y clara del Proceso

Jaime Aguas 4
seguido y de los resultados
obtenidos en la resolución de
problemas.
Valoración del trabajo en
Equipo.
Respetar el punto de vista
ajeno y apreciar el esfuerzo de
los compañeros.

Jaime Aguas 5
METODOLOGÍA
1.- DADAS LAS INECUACIONES
a)
b)
c)
d)
e)
2.- FORME UN EQUIPO DE TRABAJO DE DOS O TRES ESTUDIANTES.-
3.- PREVIA A LA RESOLUCIÓN.- Seleccione la información relacionada con el
tema, en la bibliografía proporcionada, utilice los enlaces.
4.- ESCRIBA LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS.- Que va ha utilizar en la
resolución de las Inecuaciones. (Resumen).
5.- RESUELVA LAS INECUACIONES: a, b, c, d, e
6.- ESCRIBA LA BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA
7.- Redacte por lo menos tres experiencias surgidas en el grupo durante el proceso de
preparación del trabajo
8.- Escriba las sugerencias o recomendaciones del grupo ha ser implementadas en los
trabajos posteriores.

Jaime Aguas 6
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES
CONOCIMENTOS PREVIOS
1.- Representación de los números reales.
Se los puede representar geométricamente como puntos sobre una línea recta
denominada eje real.
Conjunto de los Números Reales
Notación
AXIOMA DE ORDEN
“El siguiente grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que estableceremos una
ordenación entre los números reales; con lo que se puede establecer cuando un numero
real es mayor que otro”.
0-1-2-3-4-5-6-7 7531 2 4 6
IQR
etestrascenden
propios
I
bZbyZa
b
aQ
Z
N
U=






=
=
≠∈∈=
−−−=
=
.....},,{
....,3,2:
}0;/{
,.....}3,2,1,0,1,2,3{....,
,.....}5,4,3,2,1{
π
.Re:
.:
.:
.:
:
alesnúmeroslosdeConjuntoR
esIrracionalnúmeroslosdeConjuntoI
RacionalesnúmeroslosdeConjuntoQ
EnterosnúmeroslosdeConjuntoZ
NaturalesnúmeroslosdeConjuntoN

Jaime Aguas 7
1) Si
2) Para todo número Real x se satisface una y solo una de las tres condiciones
siguientes.
Si a y b son números reales diremos que a < b.
Por lo tanto los axiomas 1 y 2 podemos escribir como:
2.- Para todo número real x se satisface una y solo una de las tres condiciones
siguientes:
Con los criterios expuestos en los axiomas anteriores enunciamos el siguiente teorema.
Sean a, b y c números reales.
+++
∈∈+⇒∈ RyxyRyxRyx .,
0)
)
)
=
∈−
∈
+
+
xc
Rxb
Rxa
.0
0,
.;
<
∈−>∈
<∈−
++
+
xqueaeequivalentes
RxquedeciryxquedeciraeequivalentesRxqueestoSegún
batienesesiaquemayoresbquediceSeRabSi
0.000.1 >>+⇒>>− yxyyxyexSi
0)
0)
0)
=
<
>
xc
xb
xa
00)
00)
0.00)
0.00
0.00)
..0)
..0)
)
)
1
2
>⇒>
>⇒≠
<⇒><
>⇒>>
>⇒<<
>⇒<<
<⇒><
+<+⇒<
<⇒<<
−
aaSiviii
aaSivii
babyaSivi
babya
babyaSiv
cbcacybaSiiv
cbcacybaSiiii
cbcabaSiii
cacbybaSii

Jaime Aguas 8
INTERVALOS
Sean a y b números reales, los siguientes conjuntos, se denominan intervalos con
extremos a y b.
Si a es un número real cualquiera de los intervalos infinitos son:
] [ { }bxaxba
abiertoIntervaloi
<<= /,
)
a bx
{ }bxaxba
cerradoIntervaloii
≤≤= /],[
)
a bx
{ }bxaxba
osSemiabiertIntervalosiii
≤<= /],]
)
a bx
{ }axxa >=+∞ /[,]
{ }axxa ≥=+∞ /[,[
a
a

Jaime Aguas 9
CAPITULO I
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Consiste en hallar un conjunto de soluciones, o encontrar el intervalo donde están los
valores que puede tomar la incógnita (x) para que se cumpla la inecuación.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son de la Formas:
Ejemplo.
1. Resolver.
{ }axxa <=∞− /[,]
a
{ }axxa ≤=∞− /],]
a
00 <+>+ baxóbax
)(0aSi solucióndeconjunto
a
b
x
−
>⇒>
)(0aSi solucióndeconjunto
a
b
x
−
<⇒<
5
3
15
0)3(0153
873
>
>
>=>−
>−
x
x
aconx
x

Jaime Aguas 10
Su Solución es:
En notación de Intervalos
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver
2.- Resolver 4536 <+<− x
+∞<< x5
14
253123
253)4(3
<
+<+−
+<+−
x
xxxOperando
xxx
14<<∞− x
IntervalosdeNotaciónEn
x
0 1 2 3 4 5 ……… 106
x > 5
x < 14
x
… 6 7 8 9 10 ……… 1411

Jaime Aguas 11
En notación de Intervalos la Solución es:
EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver:
a) xx +>− 313
b) 3)1(34 <−− x
teGraficamen
serásoluciónLa
xx
xx
:
3
1
3
11
13311
luego
453x53x6-comoexpresarpuedeSe
−
<∧<
−
−<∧<−
<+∧+<
x
0
3
1
−<x
3
1
−
x
0
3
1
−<x
3
1
−
3
11
−
x<−
3
11






−−
3
1
,
3
11
x

Jaime Aguas 12
c) 753 +>+ xx
d) )9(32
2
3
−+>+ xxx
e) 4
4
36
2 <
−
+
x
x
f ) A partir de este tema vamos a pedirle que conforme un equipo de trabajo de dos o
tres estudiantes con el siguiente propósito.
“Los temas que están contemplados en esta Unidad los vaya desarrollando
mediante la utilización del método gráfico”.
Para este desarrollo le sugerimos que:
Su Equipo resuelva las desigualdades presentadas mediante el método
grafico, consultando previamente en la bibliografía dada y en los enlaces
proporcionados y,
Como ayuda le proporcionamos los graficadotes.

Jaime Aguas 13
RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
x
0
2
1
>x
2
1





+∞
>
>
+>−
,
2
1
2
1
42
313)
solución
x
x
xxa






∞−
<
<
<+−
<−−
3
2
,
3
2
23
3334
3)1(34)
solución
x
x
x
xb
] [+∞
>
>
+>+
,1
1
22
753)
solución
x
x
xxc






∞−
>
>
>
−>+
−+>+
−+>+
5
58
,
5
58
558
2
5
29
2
3
4272
2732
2
3
)9(32
2
3
)
solución
x
x
x
xx
xxx
xxxd
-x
0
3
2
<x
3
2
x
0
1>x
1
-x
0
x>
5
58
5
58

Jaime Aguas 14
] [2,
2
2
5
4
5
4
4
3
2
3
2
4
4
36
2)
∞−
<
<
<−+
<
−
+
solución
x
x
xx
x
xe
-x
0
2<x
2

Jaime Aguas 15
CAPITULO II
INECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A DOS
1. Inecuaciones de Grado Dos.
(x-2) - - +
(x+7) - + +
(x-2)(x+7) > 0 + - +
SUGERENCIAS
Con base en el análisis del Ejemplo, establezca un procedimiento a seguir
para la resolución de grado dos.
Consulte por lo menos dos métodos para la resolución de inecuaciones.
Uno de ellos será el MÉTODO GRAFICO que su equipo está
desarrollando.
72
0702
0)7)(2(:
−==
=+=−
>+−
xx
xx
xxosConsiderem
0 2-7
] [ ] [+∞−∞− ,27,: USolución

Jaime Aguas 16
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Una inecuación polinómica en una incógnita es de la forma:
Para la resolución de una inecuación Polinómica de la forma P(x)>0 ó P(x)<0, vamos a
considerar la naturaleza de las raíces de la Ecuación polinómica.
A continuación vamos a presentar ejercicios resueltos para cada caso (TRES CASOS) y
le vamos a pedir que:
a) Ordene o clasifique los casos.
b) Establezca criterios generados para la resolución de este tipo de inecuaciones.
Resolver las Siguientes Inecuaciones
(x-1) - - + + +
(x-2) - - - + +
(x-3) - - - - +
(x+4) - + + + +
(x-1)(x-2)(x-3)(x+4) > 0 + - + - +
0...)(
0...)(
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
<+++=
>+++=
−
−
−
−
XaXaXaXaxP
óXaXaXaXaxP
n
n
n
n
n
n
n
n
+
− ∈ ZNtesconssonayaaadondeen nn ,tan......, 011
0)( =xP
;4;3;2;1
:
0)4)(3)(2)(1(
0)4)(3)(2)(1(
02438132.1 234
−====
=+−−−
>+−−−
>−+−−−
xxxx
sonraicesLas
xxxx
xxxx
xxxx
-4 1 2 3 x

Jaime Aguas 17
Con P(x)>0; la solución es la unión de los intervalos donde el signo es (+)
(x-2) - - - +
(x+3) - + + +
(x-1/5) - - + +
(x-2)(x+3)(x-1/5)<0 - + - +
Solución:
Como P(x)<0; entonces escogemos los intervalos, en donde el signo es (-)
(x-1) - - - +
(x+3) - - + +
(x+5) - + + +
] [ ] [ ] [+∞−∞− ,32,14,
:
UU
Solución
5
1
;3;2
0)
5
1
)(3)(2(
063145
063145.2
23
23
=−==
=−+−
=+++
<+++−
xxxdonde
xxx
xxx
xxx
-3 1/5 2 3 x
] [ 





−∞− 2,
2
1
3, U
0)5)(3()1(
015226
:
015226.3
2
34
34
=++−
=+−+
>+−+−
xxx
xxx
Solución
xxx
-5 -3 1 x

Jaime Aguas 18
(x-1)2
(x+3)(x+5) + - + +
Como P(x) >0, escogeremos los intervalos en donde el signo es (+);
(3x-2) - - + +
(3x+1) - + + +
(2x-7) - - - +
(3x-2)3
(3x+1)(2x-7) - + - +
Como P(x) <0, La solución es la unión de los intervalos:
P(x)<0 + - +
Como P(x)<0, la solución es la unión de los intervalos con signo (-);
] [ ] [∞+−−∞− ,35, U
0)72)(13()23(
05616126981837162
:
05616126981837162.4
3
2345
2345
<−+−
=+−−+−
<+−−+−−
xxx
xxxxx
Solución
xxxxx
-1/3 2/3 7/2 x






−





−∞−
2
7
,
3
2
3
1
, U
[ ][ ][ ][ ] 033)32()32(
03912104
03912104.
234
234
=−++−−−
=−++−
<−++−−5
xxixix
xxxx
xxxx
3− 3
7/2
x
] [3,3−

Jaime Aguas 19
Como P(x)>0, la solución será los intervalos de signo (+):
Una vez que hemos tratado la resolución de inecuaciones de grado mayor o igual a dos,
podemos anotar los principales temas que hemos utilizado en el proceso de solución de
las inecuaciones.
* Descomponer el polinomio en sus factores
*
*
*
*
*
Le pedimos que las inecuaciones las resuelva mediante el método gráfico que su equipo
esta trabajando.
P(x)<0 + - +
[ ][ ][ ][ ] 0)4()4()232()232(
023844312
:
023844312.6
234
234
=−−+−−−+−
=−++−
>−++−−
ixixxx
xxxx
Solución
xxxx
)232( +− R)232( −
] [ ] [+∞−+−∞− ,232)232(, U

Jaime Aguas 20
CAPITULO III
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son de la Forma:
En donde P(x) y Q(x), Son monomios o polinomios diferentes de cero.
El procedimiento utilizado en el tema anterior ser lo puede aplicar para la resolución de
inecuaciones fraccionarias considerando al denominador como factor del numerador,
teniendo en cuenta que el denominador sea diferente de cero.
Apliquemos este razonamiento para resolver:
Para resolver una inecuación fraccionaria se debe tomar en cuanta que las inecuaciones:
Son equivalentes a:
P(x).Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0 por la siguiente explicación, podemos multiplicar los
dos lados de la desigualdad por una misma cantidad positiva sin que ésta se altere.
0
)(
)(
0
)(
)(
<>
xQ
xP
ó
xQ
xP
] [ ] [ ] [∞+−−−
>
+−
+−+
,61,23,9
:
0
)9)(1(
)2)(6)(3(
UU
Solución
xx
xxx
0
)(
)(
0
)(
)(
<>
xQ
xP
ó
xQ
xP
[ ] [ ]
[ ] [ ] 0)().(0.)(
)(
)()(
0)().(0.)(
)(
)()(
2
2
2
2
<⇒<
>⇒>
xQxPxQ
xQ
xQxP
xQxPxQ
xQ
xQxP

Jaime Aguas 21
Aplicando al Ejercicio:
La inecuación es equivalente a:
Siguiendo el procedimiento para resolver las inecuaciones polinómicas tenemos:
(x+3) - - + + + +
(x-6) - - - - - +
(x+2) - - - + + +
(x-1) - - - - + +
(x+9) - + + + + +
P(x) > 0 - + - + - +
Escogemos los intervalos con signo positivo.
0
)9)(1(
)2)(6)(3(
>
+−
+−+
xx
xxx
0)9(0)10)9)(1)(2)(6)(3( ≠+≠−(>+−+−+ xyxdondeenxxxxx
9;1;2;6;3
09;01;0206;03
0)9)(1)(2)(6)(3(
0)(0)9)(1)(2)(6)(3(
−==−==−=
=+=−=+=−=+
=+−+−+
>⇒>+−+−+
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xPxxxxx
x
-9 -3 -2 1 6
] [ ] [ ] [∞+−−− ,61,23,9
:
UU
Solución

Jaime Aguas 22
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelva las siguientes inecuaciones
3.- Compruebe la solución mediante el método gráfico
] [ ] [
( )
] [ ] [ ] [0,
2
1
2
3,
3
54,
:
0
)53)(4(
32
2
1
.2
3,11,2
:
1
8
1
2
1
.1 2
−−−−∞−
<
++
+





+
−
−−
−
<
+
−
−
−
UU
U
Solución
xxx
xx
Solución
xxx
x
0
)1)(1(
)2)(3(
0
1
6
0
1
8
1
2
1
1
8
1
2
1
.1
2
2
2
2
<
+−
+−
<
−
−+
<
−
−
+
−
−
−
<
+
−
−
−
xx
xx
x
xx
xxx
x
xxx
x

Jaime Aguas 23
(x-3) - - - - +
(x+2) - + + + +
(x-1) - - - + +
(x+1) - - + + +
+ - + - +
(x + 1/2) - - - - + +
(2x+3) - - - + + +
x - - - - - +
(x+4) - + + + + +
(3x+5) - - + + + +
P(x) < 0 - + - + - +
0
)1)(1(
)2)(3(
<
+−
+−
xx
xx
x
31-1-2
] [ ] [3,11,2
:
U−−
Solución
( )
( )
( )
3
5
;4;0;
2
3
;
2
1
0)53(;0)4(;0;032;0
2
1
0)53)(4)((32
2
1
0
)53)(4(
32
2
1
.2
−=−==−=−=
=+=+==+=





+
<+++





+
<
++
+





+
−
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
xx
x
0-1/2-3/2-5/3-4 1
] [ ] [ ] [0,
2
1
2
3,
3
54,
:
−−−−∞− UU
Solución

Jaime Aguas 24
CAPITULO IV
INECUACIONES EXPONENCIALES
Son de la forma:
Según varios autores se puede agrupar en dos casos para resolver este tipo de
inecuaciones.
Caso 1.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación mantienen la desigualdad
en el mismo sentido es decir:
Caso 2.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación cambian de sentido al
lado originalmente, entonces se tiene:
Analice los ejercicios presentados y luego resuelva los ejercicios propuestos.
1;exp)()(
)()()()(
≠∈
<>
+
aRayxresionesSonxgyxf
aaóaa xgxfxgxf
)()(
)()(
)()(
)()(
xgxfaa
ó
xgxfaaSi
xgxf
xgxf
<⇒<
>⇒>
)()(
)()(
)()(
)()(
xgxfaa
ó
xgxfaaSi
xgxf
xgxf
>⇒<
<⇒>
( )
( )[ ]






∞+−
−
<
−
<∧=
>
>−
−−
−−
,
2
3
10
22
12
32
:,0.140.0
40.0)40.0(
:
16.0)40.0(.1
20
22
212
32
20
22
12
32
SoluciónLa
xx
entoncesaaComo
adevalorelcompararpoderPara
xx
xx

Jaime Aguas 25
3.- Compruebe la solución mediante el método gráfico.
( )( ) ( )
] [3,2
065
383932
0.14
44
44
:
4
4
44
.2
2
22
383932
3831633122
)3(13
16
32122
22
22
2
Solución
xx
xxxx
aaComo
tenemosOperando
xxxx
xxxxx
xx
x
xx
<+−
−−>−−
⇒>∧=
>
>
>−
−−−−
−−+−++−
−+
−
+−
] [2,
:
)36()6(.2
4
17
,
:
)25.0()5.0(.1
2
3
2
52
5
2
3
12
−∞−
<−






∞−
>−
+
+
−
+
+−
Solución
Solución
x
x
x
x
xx

Jaime Aguas 26
[ ]
4
17
174
0144
0125610
126510
5
42
3
12
:
0.150.0
)5.0()5.0(
)5.0()5.0(
)25.0()5.0(.1
5
42
3
12
5
2
23
12
5
2
3
12
<
<
<−
<−−−
+<−
+
<
−
<∧=
>
>
>−
+−
+−
+−
x
x
x
xx
xx
xx
sentidodecambiaddesigualdalaEntonces
aaComo
xx
xx
xx






∞−
4
17
,
:Solución
x
0
4
17
4
17<x

Jaime Aguas 27
(7x+22) - + + +
(x-2) - - - +
(x+2) - - + +
P(x) < 0
] [2,
:
−∞−
Solución
[ ]
0
)2)(2(
)227(
:Re0
)2)(2(
1264210542
0
)2)(2(
)12642(10542
0
)2)(2(
)2)(62()2)(52(
0
2
62
2
52
2
62
2
52
:
exp,0.16
)6()6(
)6(6
366.2
22
22
2
62
2
52
2
3
22
52
2
3
2
52
<
+−
+
<
+−
+−+−+++
<
+−
−+−−+++
<
+−
−+−++
<
+
+
−
−
+
+
+
<
−
+
>∧=
<
<
<−






+
+






−
+






+
+





−
+






+
+






−
+
xx
x
tenemosduciendo
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
xx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
mantienese
onenteslosdeddesigualdalaentoncesaaComo
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7
22− 0.2− 0.2
30
x

Jaime Aguas 28
CAPITULO V
INECUACIONES IRRACIONALES
Las inecuaciones Irracionales son de la Forma:
En donde P2(x), P3(x), P4(x)…., Pn(x). Son Polinomios.
Para la solución de la inecuación debe resolverse previamente la condición:
Para resolver Inecuaciones Irracionales se debe tomar en cuenta las propiedades:
( )
( ) 0)(......)(,)(,)(
0)(......)(,)(,)(
4
4
3
32
4
4
3
32
<
>
n
n
n
n
xPxPxPxP
ó
xPxPxPxP
)()()()()3.2
0)(0)()2.2
0)(0P(x)2.1)
imparpositivoenterounnecesitaSi)2
)()(0)()()3.1
0)(0)()2.1
0)(0P(x)tieneSe0,P(x)todoPara1.1)
parpositivoenterounSi)1
)
00)
00)
00)
N
N
xQxPxQxP
xPxP
xP
xQxPxQxP
xPxP
xP
d
yxyxc
yxyxb
yxyxa
NN
N
NN
N
≤⇔≤
<⇔<
≥⇔≥
≤≤⇔≤
=⇔=
≥⇔≥≥
<≤⇔<≤
<<⇔<<
≤≤⇔≤≤
0Pn(x)..,P4(x)P3(x),P2(x), ≥…

Jaime Aguas 29
Ejemplos de Aplicaciones de las Propiedades anteriores.
] [
] [
] [
] [+∞−
+∞−∩
+∞−∴−>
⇒>+⇔>+
+∞−=∴−>
>+⇒>+
>+−
,8:esSoluciónla
tantolopor,,8
:deóninterseccilaomamossolución tladeterminarPara
,88
0808
,88
,0808
08.1
U
Intervaloalpertenecexx
xxTambién
Ux
entoncesxseráUniversoconjuntoelxComo
x
] [
] [
] [ ] [4,2,2U
:essoluciónConjuntoEl
,2
:intervalodenotaciónen-2x6x-46x-4Como
4,-Uentonces4x0x-4
:deUniversoconjuntoelosDeterminam
64.3
.
)7(,07
07.2
−=+∞−∩
+∞−∈
>⇒<⇔<
∞=≤⇒≥
<−−
−<−
<−−
x
x
negativoserpuedeno
xquepuestosolucióntienenoinecuaciónlaxComo
x
] [ ] [
] [ ] [
] [ ] [
] [
] [ ] [2,
5
11,U:
5
11,
5
11
566566
radicaleslosconTrabajamos
,52,U2U1U
,51,2
0)1)(5(056U2)
,32,1
0)2)(3(06U1)
radicales.losderelativosUniversoslososDeterminam
566.4
2222
2
2
22
−∞−=∞−
∞−∴<
+−<−−⇒+−<−−
+∞−∞−==
+∞∞−=
≥−−⇒≥+−
+∞−∞−=
≥+−⇒≥−−
+−<−−−
I
II
U
U
essoluciónLa
x
xxxxxxxx
U
xxxx
U
xxxx
xxxx

Jaime Aguas 30
Para quedar claro el ejercicio 4
(x-3) - - +
(x+2) - + +
+ - +
(x-5) - - +
(x-1) - + +
+ - +
2;3
02;03
0)2)(3(06U1)
radicales.losderelativosUniversoslososDeterminam
566.4
2
22
−==
=+=−
≥+−⇒≥−−
+−<−−−
xx
xx
xxxx
xxxx
0)( ≥xP
-2 3
x
4
] [ ] [+∞=−∞− ,32,U1: IessoluciónLa
1;5
01;05
0)1)(5(056U2) 2
==
=−=−
≥−−⇒≥+−
xx
xx
xxxx
0)( ≥xP
1 5
x
6
] [ ] [
] [ ] [+∞−∞−==
+∞∞−=
,52,U2U1U
,51,2
II
UU
2−<x
50 1 3 x-1-5 -2
5>x

Jaime Aguas 31
Por favor resuelva las inecuaciones 2 y 4 por el método gráfico, seguidamente vamos a
plantear la solución para diversos casos de inecuaciones.
CUANDO SE TIENE LAS FORMAS
PARA LAS FORMAS
[ ]
[ ][ ])()(0)(0)(0)()()(
:
)()(.2
))()(0)((0)(0)()()(
:
)()()1
2
2
xQxPxPxQxPxQxP
siobtienesesoluciónLa
xQxP
xQxPxPxQxPxQxP
xQxP
≥∧≥∨≤∧≥⇔≥
≥−
>∧≥∨≤∧≥⇔≥
>
[ ]
[ ])()(0)(0)()()(
:
)()(.2
)()(0)(0)()()(
:
)()()1
2
2
xQxPxQxPxQxP
xQxP
xQxPxQxPxQxP
xQxP
≤∧≥∧≥⇔≤
≤−
<∧>∧≥⇔<
<
] [
] [ ] [2,
5
11,U:
5
11,
5
11
566566
radicaleslosconTrabajamos
2222
−∞−=∞−
∞−∴<
+−<−−⇒+−<−−
IessoluciónLa
x
xxxxxxxx
2−<x
5
11 50 1 3 x-1-5 -2
5>x
Solución

Jaime Aguas 32
INECUACIONES DE LA FORMA
Una vez Analizado los cinco casos le pedimos consultar en la bibliografía propuesta, el
procedimiento para la resolución y anexar un ejemplo y un ejercicio resuelto para cada
caso.
0)(0)(0)()(
:
0)()(.2
0)(0)(0)()(
:
0)()()1
>∧>⇒>+
≥+−
>∧>⇒>+
>+
xQxPxQxP
xQxP
xQxPxQxP
xQxP
( ) ( )[ ])()(0)(0)()()(
:
0;)()()1
2
xQkxPxQxPkxQxP
kdondeenkxQxP
−≥∧≥∧≥⇒≥+
>≥+
0)(0)(0)()(
:
0)()()1
=∧=⇒≤+
≤+
xQxPxQxP
essoluciónLa
xQxP

Jaime Aguas 33
CAPITULO VI
INECUACIONES LOGARÍTMICAS
Para el estudio de las inecuaciones Logarítmicas es importante tener presente:
1. La definición de logaritmo.
2. Propiedades de las funciones de logaritmo:
Sea x > 0
3.
Figura (1)
Al observar el gráfico se tiene:
1.- Cuando la base a > 1
1;0,log ≠>= aadondeenxySi a
1;00;log ≠>∧>=⇔= aaxaxxy y
a
)(log).(log)(log)
)(log.)(log)
)(log)(loglog)
)(log)(log).(log)
)(log)
) )(log
axxvi
xyxv
yx
y
xiv
yxyxiii
xaii
xai
bab
a
y
a
aaa
aaa
y
a
xa
=
=
−=




+=
=
=
1 x1 x2
y1
y2
xy alog=
1>a
0

Jaime Aguas 34
1.1.- Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo
1.2.- Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo entonces para cualquier
Figura (2)
2.- Cuando la base 0 < a < 1
2.1.- Los números mayores que uno tienen logaritmo negativo.
2.2.- Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo positivo entonces para cualquier
m
a
m
a
aa
axmx
axmx
ax
xxxxaSi
tieneseRxx
<<⇒<
>⇒>⇒
>>
<⇔<<∧>
∈ +
0log
log
;1;0Sia)
:esconclusionsiguienteslasobtienensedondeDe
2log1log2101
2,1
1 x1 x2
y
xy alog=
10 << a
0 x
m
a
m
a
aa
axmx
axmx
Rmax
xxxxaSi
tieneseRxx
>⇔<
<<⇔>⇒
∈∧<<>
>⇔<<∧<<
∈ +
log
0log
;10;0Sia)
:esconclusionsiguienteslasextraesedondeDe
2log1log21010
2,1

Jaime Aguas 35
EJEMPLOS
Resolver:






∞=
−<>
−
>−
>−
>
⇒=
<>>⇒
>
>−−
3
10
,--S2S1
:serásoluciónLa
(S2)
3
10
3
10
3166
1636
23x)-(6
:seestablecerpuede1.0quemayor2,baselaComo
S1)1(Solucoión2xóx2;3x6
03x)-(6cumplirsedebeRlosensolucióntengaquePara
4)36(log.1
4
2
I
xóx
x
x
x
3
6
11
S
6
11
3
4
5
S2S1seráSoluciónLa
S2
6
11
x
116x
562x4x
2x)-(65)-(4x1quemayor3,baselaComo
S13
4
5
3;
2
6
4
5
02654x
02x)-(605)-(4x
:queestablecerdebemosPrimero
)26(log)54(log.2 33
<<=






+∞<<





<<=
>
>
+>+
>⇒=
<<
>>∧>
>−∧>
>∧>
−>−−
x
xx
x
xxx
x
xx
II

Jaime Aguas 36






+∞=
>
>
>+






>+⇔−<+
−>⇒>+
>⇔<
∈,<<>
−<+−
−
,
2
1
:
2
1
24
974
3
1
742)74(log
4
7
0)74(
log
10,0:
2)74(log.3
2
3
1
3
1
S
seríaSoluciónLa
x
x
x
xx
xx
axmx
RmaxpropiedadlaAplicando
x
m
a

Jaime Aguas 37
RESOLVER
5.- Desarrollar las inecuaciones 1 y 3 mediante el método gráfico.
] [
[ [ ] ]
3)()(.4
4,31,0
:
1)34(.3
2
7
,
5
12
:
)27()53(.2
3,1
:
1
1
3
.1
4
2
2
2
2
3
1
55
>+−
−≥+−−




−>−−
>





−
+
−
xLogxLog
Solución
xxLog
Solución
xLogxLog
Solución
x
x
Logx
U

Jaime Aguas 38
CAPITULO VII
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para el estudio de estas inecuaciones es importante tener presente:
Definición de Valor Absoluto.
Interpretación de Valor Absoluto.
Propiedades Fundamentales de los números reales.
Definición de Valor Absoluto.- El Valor Absoluto de un número real x, denotado por
| x | (se lee valor absoluto de x); se define por:
Ejemplos:
CONCLUSION: El valor absoluto de un numero real siempre será positivo o cero.
Interpretación Geométrica.-
El Valor Absoluto del número x, gráficamente se indica como “La Longitud del origen
al número x” o como “La Longitud del origen al número -x”



<−
≥
=
0;
0;
xsix
xsix
x
( )
00.5
5,15,1.4
222.3
3)3(3.2
33.1
=−
=−
=−−=−−
=−−=−−
=−
x-x 0
xx
∞+∞−

Jaime Aguas 39
Propiedades Fundamentales.-
baba
aaRaa
...2
00,0.1
=−
=⇔=∧∈∀≥−

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