GUIA INTERACTIVA MATEMATICAS TERCER GRADO

1
PRESENTACIÓN
Esta Guía interactiva ha sido elaborada con la intención de apoyarte en el aprendizaje de
la asignatura de Matemáticas de Primer. Trabajar en ella contribuirá a que desarrolles un
pensamiento analítico y de autoevaluación respecto de aquellos conceptos, habilidades o
procedimientos en los que requieres mayor apoyo.
La Guía cuenta con cincuenta preguntas de opción múltiple, cada opción de respuesta
está acompañada por una retroalimentación que te permitirá saber si tu elección fue
acertada o si necesitas corregirla. Esta información te servirá para que pongas en práctica
tus conocimientos, habilidades y procedimientos del contenido que se aborda en cada
pregunta.
Para ampliar las posibilidades de estudio de la materia, podrás consultar y trabajar con
diversos recursos multimedia disponibles en el CD que contiene la versión electrónica de
la Guía.
Esperamos que la resolución de esta Guía constituya para ti una oportunidad más de
aprendizaje.

2
ÍNDICE
INSTRUCCIONES…………………………………………………………………….3
PARA EL MAESTRO…………………………..………………………………….... 4
PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES
• BLOQUE I …………………………………………………………………….… 5
Preguntas 1 a la 11
Sugerencias didácticas
• BLOQUE II ……………………………………………………………………... 29
Preguntas 12 a la 21
• BLOQUE III ………………………………………………………….…………. 52
• BLOQUE IV …………………………………………………………….………. 86
• BLOQUE V ……………………………………………………………..…….. 113
REGISTRO DE RESPUESTAS………………………………………….……….. 125
CLAVE DE RESPUESTAS………………………………………….…….........…126
CRÉDITOS ………………………………………………………….……….…….. 128

3
INSTRUCCIONES
Antes de comenzar a resolver la Guía, atiende las siguientes indicaciones.
1. Lee con atención cada pregunta y las opciones de respuesta que te ofrece.
2. Antes de seleccionar una opción, lee las retroalimentaciones que se proporcionan y realiza
lo que se pide, esta acción te permitirá saber cuál es la opción correcta.
3. Para registrar la opción elegida, utiliza la hoja de Registro de respuestas ubicada al final
de esta Guía.
4. Una vez que hayas respondido las preguntas con las que decidiste trabajar, consulta la
Clave de respuestas y, de acuerdo con tus aciertos y errores, identifica cuáles son los
contenidos que dominas y en cuáles necesitas trabajar más.
5. Podrás ampliar el estudio de los contenidos que se abordan en esta Guía, trabajando con
diversos recursos multimedia como textos, videos e interactivos; éstos te permitirán
reforzar, practicar o comprobar tus conocimientos y habilidades referidas a la asignatura.
Para acceder a ellos, consulta el apartado Índice de Recursos del disco que contiene la
versión electrónica de la Guía.

4
PARA EL MAESTRO
La GIS de Español y Matemáticas, constituyen un apoyo a la enseñanza y el
aprendizaje, algunos de sus propósitos son:
• Incentivar una nueva forma de responder preguntas de opción múltiple.
Responder a exámenes estandarizados con preguntas de opción múltiple es una
práctica cotidiana en las aulas. La guía pretende que los estudiantes aprendan a
ser reflexivos ante este tipo de instrumentos, planteando reactivos que van más allá
de la recuperación memorística de contenidos declarativos.
• Estimular el pensamiento analítico y metacognitivo.
Las retroalimentaciones propician que los estudiantes reflexionen, analicen, infieran
o contrasten lo que saben de la opción elegida. Esto permite identificar fortalezas,
deficiencias y establecer metas a cumplir.
• Fortalecer la enseñanza de los contenidos curriculares.
Los resultados que el grupo obtenga con la resolución de la GIS, puede ser un
insumo para identificar aquellos contenidos que representen mayor dificultad para
los alumnos. Las sugerencias didácticas que se incluyen en cada reactivo buscan
ampliar las opciones de intervención y enseñanza.
• Propiciar contextos y prácticas socioeducativas.
El trabajo con Español y Matemáticas con apoyo de la GIS, facilita —en el interior
del aula— el trabajo colaborativo; los alumnos pueden reflexionar y analizar las
opciones compartir sus logros y apoyarse para resolver de manera conjunta las
diversas situaciones planteadas en las preguntas, las retroalimentaciones y los
recursos multimedia.

5
PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES
BLOQUE I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
1. Elige la opción que indica el resultado de realizar la operación ( )2
3+x
a) 96 ++ xx
b) 962
++ xx
• Observa la siguiente figura:
• En tu cuaderno copia y responde las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el área del cuadrado mayor, la del cuadrado menor y la del rectángulo?
Escribe el área de la figura (cuadrado de lados 3+x ) como suma de las áreas de las
otras figuras.

6
c) 9+x
• Copia la siguiente tabla en tu cuaderno. Sustituye la x en cada una de las
expresiones por el valor indicado.
¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo con ambas expresiones?
d) 92
+x
•¿Cuál es el área del siguiente cuadrado (de lados 3+x )?
• ¿Cuál es el área del cuadrado mayor?
• ¿Cuál es el área del cuadrado menor?
• Escribe el área del cuadrado grande como suma de las áreas de las otras figuras.
2. Elige la opción que indica el resultado de realizar la operación )2)(3( −+ xx .
a) 62
−− xx
• ¿Cuál de las siguientes opciones es la simplificación correcta de xx 32 +− ?
x x6− x−

7
b) 62
−x
• La figura representa la operación )2)(3( −+ xx .
• ¿Cuál es el área del rectángulo A?
• ¿Cuál es el área del rectángulo B?
• Escribe la suma del área del rectángulo A con el área del rectángulo B. ¿Qué
expresión te queda? ¿Se puede simplificar esa expresión?
c) 12
+x
• Copia la siguiente tabla en tu cuaderno. Sustituye la x en cada una de las
expresiones por el valor indicado.
• ¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo con ambas expresiones?
• Con base en tu respuesta, puedes asegurar que la expresión )2)(3( −+ xx es igual
o diferente que la expresión 12
+x .
d) 62
−+ xx
• La operación )2)(3( −+ xx , indica:
i) La suma de )2( −xx con )2(3 −x , es decir, )2(3)2( −+− xxx
ii) La resta de ))(( xx con )2)(3( , es decir, 62
−x
iii) La suma de ))(( xx con 23 − , es decir, 12
+x
iv)La resta de )2( −xx con )2(3 −x , es decir, )2(3)2( −−− xxx

8
3. Elige la opción que relaciona correctamente cada uno de los polinomios de segundo
grado con el tipo de factorización que le corresponde, a y b representan números
positivos.
a) A-I, B-III, C-II
•Sustituye por el valor indicado para x en cada una de las expresiones.
x x2
+ 15x – 100 (x – 5)( x + 20) (x + 5)( x – 20)
1 (1)2
+ 15(1) – 100 = (1–5)(1+20) = (1+5)(1–20) =
2
6
0
• ¿Cuál es la factorización de 100152
−+ xx ? )20)(5( +− xx o )20)(5( −+ xx
−x y de 25102
+− xx ?
• En cada caso haz una tabla como la anterior para verificar tu respuesta.
b) A-IV, B-II, C-I
• ¿De qué forma es cada uno de los siguientes productos de binomios? (I, II, III o IV)
• )20)(5( −− xx • )5)(5()5( 2
−−=− xxx • )5)(5( +− xx
• Desarrolla las multiplicaciones de los tres binomios. ¿Cómo son las expresiones
algebraicas que quedan? Compáralas con los polinomios A, B y C.
c) A-I, B-IV, C-II
• Si la factorización de 25102
+− xx es de la forma 2
)a( −x
• ¿Cuál es el valor de a para este caso?
−+ xx ?
)20)(5( +− xx o )20)(5( −+ xx
• ¿Qué pasa con el signo del término independiente (100) si la factorización fuera de
la forma ))(( bxax −− , con a y b positivos
−x ?
• Desarrolla las siguientes multiplicaciones de binomios:
=+− )20)(5( xx
=−− )20)(5( xx
=−+ )20)(5( xx
• ¿Cuál es la factorización correcta de 100152
−+ xx ?

9
d) A-IV, B-III, C-I
• Sustituye por el valor indicado para x en cada una de las expresiones.
x x2
– 100 (x – 10)2
1 (1)2
– 100 = (1–10)2
= (-9)2
=
3
8
0
• ¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo en las dos expresiones?
+− xx ?
−+ xx ?
• En cada caso haz una tabla como la anterior para verificar tu respuesta.
4. Si en un rectángulo su área está expresada por el polinomio xx 2035 2
− . ¿Cuál de las
siguientes opciones muestra la multiplicación de sus lados como una descomposición
de dos factores?
a) )47(5 −x
• ¿Cuál es el resultado al multiplicar )7(5 x ? ¿y al multiplicar )4(5 − ?
• Revisa tus respuestas y compáralas con la opción que elegiste.
b) )207(5 −xx
• Para verificar si el producto )207(5 −xx es igual a xx 2035 2
− copia la tabla en tu
cuaderno y complétala sustituyendo algunos valores para la x .
Valor de x 5x(7x – 20) 35x2
– 20x
-2
-1
0
1 5(1) (7(1)– 20) = 35(12
)- 20(1) =
2
4
5
• ¿Esto qué significa?

10
c) )47(5 −xx
• Para verificar si el producto )47(5 −xx es igual a xx 2035 2
− copia la tabla en tu
cuaderno y complétala sustituyendo algunos valores para la x .
Valor de x 5x(7x – 4) 35x2
– 20x
-4
-2
0
1 5(1) (7(1)– 4) = 35(12
)- 20(1) =
3
5
• ¿Esto qué significa?
d) )47(5 +xx
• Al hacer el producto de )47(5 +xx
• ¿Cuál es el resultado de la multiplicación )7(5 x ? y ¿ )4(5x ?
• ¿Con qué signo queda cada uno de los resultados anteriores?
• ¿El resultado que te dio es igual al binomio xx 2035 2
− ?
Eje: Forma, espacio y medida
5. En la siguiente figura, C es punto medio de los segmentos AE y BC.
¿Qué criterio de congruencia se puede utilizar para afirmar que los triángulos ABC y
CDE son congruentes?
a) Criterio LLL (lado, lado, lado).
• Si C es punto medio de los segmentos AE y BC
• ¿Cómo son los lados AC y CE? ¿Cómo son los lados BC y CD?
• ¿Cómo sabes que AB y DE son iguales?

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b) Criterio ALA (ángulo, lado, ángulo).
• ¿Qué ángulos estás tomando como referencia para concluir que la respuesta es el
criterio de congruencia ALA (ángulo, lado, ángulo)?
• A partir de la información del problema hay manera de justificar que dos parejas de
ángulos correspondientes son iguales.
• ¿Cómo sabes que ∠ e = ∠ a? ¿Cómo sabes que ∠ b= ∠ d?
• ¿Cómo sabes que ∠ c = ∠ c’?
c) Criterio LAL (lado, ángulo, lado).
• ¿Qué ángulo y qué pareja de lados estás tomando como referencia para concluir
que el criterio de congruencia es LAL (lado, ángulo, lado)?
• A partir de los datos que te da el problema se puede concluir que:
CEAB = Falso Verdadero ¿Por qué?
DCBC = Falso Verdadero ¿Por qué?
EDAB = Falso Verdadero ¿Por qué?
• ¿Cómo puedes asegurar que los ángulos c y c’ son iguales?
d) Criterio AAA (ángulo, ángulo, ángulo).
• Observa los siguientes triángulos equiláteros.
• ¿Cómo son sus ángulos? ¿Son iguales los lados correspondientes de los
triángulos?
• Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales. ¿Se puede
concluir que, para todos los casos, los triángulos son congruentes?

12
6. Las circunferencias C1 y C2 son tangentes en T.
SeSe traza la recta tangente a la circunferencia C1 por T y la tangente a C2 por T. Una
construcción posible de obtener al seguir las indicaciones es:
¿Cuál de las siguientes construcciones también cumple con las indicaciones?
a)
• Estas circunferencias son tangentes. ¿Cuántos puntos tienen en común?
• ¿Las circunferencias que seleccionaste son tangentes?

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b)
• ¿Cuál es el punto de tangencia entre estas circunferencias?
• ¿La recta pasa por ese punto de tangencia?
• ¿Cuál es el punto de tangencia de las circunferencias que seleccionaste?
• ¿La recta pasa por ese punto de tangencia?

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c)
• ¿Cuántos puntos tienen en común las circunferencias C1 y C2?
• ¿Estas circunferencias son tangentes?
d)
• ¿Son tangentes estas circunferencias?
• ¿La recta es tangente a la circunferencia mayor?
• ¿La recta es tangente a la circunferencia menor?
• ¿Hay puntos en común entre la recta y las circunferencias?

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7. Observa la figura:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La distancia de la recta q al centro O de la circunferencia es igual al radio OV.
Observa la figura:
• ¿En cuántos puntos la recta q interseca a la circunferencia?, ¿la recta q es exterior,
tangente o secante a la circunferencia? ¿La recta q es perpendicular al radio OV?
• ¿Por qué?
• En tu cuaderno, traza una figura similar a la que aparece; traza además otras rectas
que pasen por dos puntos de la circunferencia y establece que uno de ellos sea V.
¿Alguna de esas rectas es perpendicular al radio OV?

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b) La recta r es la más cercana al centro O de la circunferencia.
• ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta r y el radio OT?
• Recuerda que la distancia de una recta a un punto es la medida del segmento
perpendicular que va de la recta al punto.
• En tu cuaderno, traza una figura similar a la que aparece y asegúrate de que la
perpendicular a la recta q pase por el punto O. Mide las distancias de q y r al punto O
y compáralas. ¿Cuál está más cercana al punto O?
c) La distancia de la recta s al centro O de la circunferencia es igual a la medida del
segmento OP.
• Recuerda que la distancia de una recta a un punto es la medida del segmento
perpendicular que va de la recta al punto.
• Traza la perpendicular a la recta s que pase por el punto O. Observa la siguiente
imagen:
• Mide la distancia de la recta s al punto O. ¿Su medida es igual a la del segmento
OP?

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d) La recta r es perpendicular al radio OT.
• Observa la imagen siguiente:
• ¿En cuántos puntos la recta r interseca a la circunferencia? ¿La recta r es exterior,
tangente o secante a la circunferencia? ¿Por qué?
• ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta r y el segmento OT?
• Si suponemos que el radio de la circunferencia de centro O mide 3 cm, ¿a qué
distancia se encuentra la recta r del centro de la circunferencia?
8. Observa la siguiente imagen:
¿Cuánto mide el ángulo RPS?

18
a) 35°
• En la imagen se observa el ∠ SOR sombreado.
• ¿Cuánto es ∠ SOR + 220°? ¿Cuánto mide ∠ SOR?
• ¿El ángulo inscrito RPS subtiende el mismo arco que el ángulo central SOR o que el
ángulo central que mide 220°?
b) 70°
• ¿El ángulo RPS es un ángulo central o es un ángulo inscrito?
• ¿Cuál es la relación entre la medida de un ángulo inscrito y un ángulo central cuando
subtienden el mismo arco?
c) 110°
• Recorre con tu dedo el arco que subtiende el ∠ RPS.
• Ahora, recorre con tu dedo el arco que subtiende el ángulo central que mide 220°.
¿Es el mismo arco?
d) 140°
• ¿Cuál es el ángulo central que subtiende el mismo arco que el ∠ RPS?
• ¿Cuánto mide ese ángulo central?
• ¿Cuál es la relación entre la medida de un ángulo inscrito y un ángulo central
cuando subtienden el mismo arco?

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9. El hexágono regular mide 3 cm de lado. El punto P se mueve describiendo una
circunferencia con centro en el vértice O que pasa por otros dos vértices del hexágono.
Considera la parte de la circunferencia que es externa al hexágono regular, ¿cuánto mide su
perímetro?
a) π2
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia?
• ¿Cuánto mide cada ángulo interior del hexágono?
• ¿Qué parte de la circunferencia está dentro del hexágono?
• ¿Qué parte de la circunferencia está fuera del hexágono?
b) π3
• ¿Cuánto mide el perímetro de una circunferencia de radio 3 cm?
• ¿Qué parte del perímetro de la circunferencia está fuera del hexágono regular?
• La tercera parte • La mitad • Dos terceras partes • Tres cuartas partes

20
c) π4
• ¿Cuánto mide el ángulo central que es externo al hexágono?
• ¿Qué parte del perímetro de la circunferencia está fuera del hexágono regular?
d) π6
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia de radio r?
rπ rπ2 2
rπ
• ¿El perímetro que se busca es mayor o menor que el perímetro de la circunferencia?
10. Observa el dibujo de una fuente y sus dimensiones.
¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?
a) 12.56 m²
• ¿Cuánto mide el área donde se deposita el agua en la fuente?
• ¿Cuál es el área que se quiere calcular, la que esta sombreada o la de la corona?
• ¿Cómo se calcula el área de la cara superior de la fuente?

21
b) 15.70 m²
• La cara superior de la fuente se puede representar como la sección entre dos
circunferencias concéntricas (el área sombreada).
• ¿Cómo se le llama a esa sección?
• ¿Cuál es la fórmula con la que se calcula el área de esa sección?
22
rR π+π rR π−π 22 22
rR π−π rR π+π 22
c) 18.84 m²
• ¿Cuánto mide el contorno de la fuente?
• ¿Qué tipo de unidades se utilizan para medir el contorno?
d) 28.26 m²
• Imagina que esta fuente se encuentra en un patio, ¿cómo calculas el área que
ocupa toda la fuente?

22
Eje: Manejo de la información
11. La siguiente gráfica representa lo que ocurrió en una parte de una carrera de tortugas.
¿Cuál tortuga fue la más veloz?
a) La tortuga W
• De acuerdo con la gráfica, en el tiempo 0 la tortuga W ya había avanzado 3
centímetros.
• ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que va de 0 a 7 segundos? La
respuesta no es 5 centímetros.
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga W?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga X. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
va de 0 a 5 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga X?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la W o la X?
b) La tortuga X
• ¿Cuántos centímetros avanzó la tortuga X en el intervalo que va de 0 a 5 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga X?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga Y. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Y?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la X o la Y?

23
c) La tortuga Y
• La gráfica con mayor pendiente, es decir, la que tiene una mayor inclinación hacia el
eje de las ordenadas, representa en este caso, a la tortuga más veloz.
• Observa las gráficas de las tortugas X y Y. ¿Cuál tiene una pendiente mayor, es
decir, cuál está más inclinada hacia el eje de las ordenadas?
d) La tortuga Z
• Según la gráfica, durante los primeros 4 segundos la tortuga Z no avanzó, y a partir
de este tiempo inició su desplazamiento.
• ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que va de 4 a 8 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Z?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga Y. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Y?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la Z o la Y?

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque I
Eje
Preguntas Sugerencias didácticas
1
El cuadrado de un binomio.
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál opción es la correcta,
puede hacer notar que la operación que se indica es un producto de dos
binomios, esto es:
(x + 3)² = (x + 3)(x + 3).
Uno de los errores más frecuentes que tienen los alumnos es confundir
sumas con productos. Para ello, es importante que identifiquen que la
operación (x + 3)(x + 3) indica, a su vez, la suma de x(x + 3) con 3(x + 3).
Puede recordar con algunos ejemplos este tipo de operaciones.
A manera de cierre, puede pedir a los alumnos que realicen otros
ejemplos parecidos.
2
Producto de binomios.
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál opción es la correcta,
puede hacer notar que la operación indicada se desarrolla como
(x + 3)(x – 2) = x(x – 2) + 3(x – 2).
Uno de los errores más frecuentes que cometen los alumnos es
confundir los signos y simplificar los términos semejantes.
Es importante que los alumnos simplifiquen correctamente la expresión -
2x + 3x = x. Puede recordar con algunos ejemplos este tipo de
simplificaciones.
Como cierre puede pedir a los alumnos que realicen otros ejemplos
parecidos.
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico.
3
Factorización de polinomios de segundo grado.
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál de las opciones es la correcta, puede retomar lo aprendido con los dos
reactivos anteriores y hacer notar que el proceso que aquí se pide es el
camino inverso de los otros ejercicios. Es decir, en lugar de desarrollar un
producto de dos binomios, lo que se pide es factorizar expresiones
algebraicas del tipo:
x² + 2ax + a²; ax² + bx; x² + bx + c; x² – a²
En los ejercicios anteriores se partió del producto de binomios para
llegar a expresiones de este tipo. Pida a los alumnos qué identifiquen con
cuáles productos se obtiene cada tipo de expresión.
Para cada caso discuta con los alumnos de dónde sale cada término
cuando se hace el producto de los binomios.

25
Factorizar requiere mucha práctica así que, como cierre, puede realizar
junto con los alumnos ejercicios con ecuaciones cuadráticas para obtener
distintos tipos de factorizaciones.
4
Problemas de Factorización.
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar que la idea de
factorizar sugiere básicamente la idea de encontrar un factor común. En este
caso, en la expresión algebraica 35x² – 20x se tiene que la x aparece en
ambos términos y además ambos coeficientes son múltiplos de 5, por lo que
un factor común a ambos términos es el 5x. Entonces el problema se reduce
a encontrar los números que hay que multiplicar por 5x y que nos den por un
lado 35x², y por el otro 20x.
También como un recurso adicional, para resolver este tipo de pruebas,
se pueden igualar ambas expresiones y sustituir los mismos valores en cada
una de ellas para ver si los resultados coinciden.
Se puede pedir al estudiante que para revisar que su opción haya sido la
correcta realice la operación que se indica en cada uno de los incisos y la
coteje con la del enunciado del problema. Si es necesario haga notar que
esta operación se desarrolla como:
(a)(x – b) = (a)(x) – (a)(b).
En este caso:
(5x)(7x – 4) = (5x)(7x) – (5x)(4).
Forma,
espacio y
medida 5
Congruencia de triángulos.
Es común que en este tipo de ejercicios, los alumnos respondan con base en
lo que ven en las figuras y cuando dos figuras son congruentes es fácil
concluir que los lados son iguales y los ángulos son iguales “por que así se
ven”. De esta manera tal vez argumenten que los lados de los triángulos son
iguales.
La idea es que los alumnos identifiquen los datos que aportan las
condiciones del problema como qué elementos de los triángulos puede
comparar entre sí. No por lo que ve en el dibujo, sino por lo que se tiene la
certeza que es igual, además haga notar que no se conocen las medidas de
ningún elemento (lados o ángulos) de las figuras.
Primero hay que detectar qué parejas de lados y ángulos son los
correspondientes para saber qué se va a comparar con qué. Luego, conviene
que se revise qué información se tiene acerca de cada pareja.
En el caso de este problema la solución esta dada por el criterio de
congruencia LAL. Hay dos datos cruciales para resolver el problema: El
primero es que C es punto medio, por lo tanto divide al segmento den dos
partes iguales. Puede hacer preguntas en este sentido para que los alumnos
lo descubran. El segundo está en la imagen. Puede recordar lo que saben de
ángulos y ayudar a que vean que hay ángulos opuestos por el vértice.
¿Cómo son los segmentos si C es punto medio del segmento?
¿Cómo son las parejas de ángulos que se forman de cada lado del
vértice?

26
6
Rectas y circunferencias.
Si sus alumnos tuvieron dificultades, revisen la construcción que se presenta
en la pregunta. Hágales notar que las rectas tangentes a las circunferencias
C1 y C2, respectivamente, son la misma recta. La recta es perpendicular al
radio O1T por ser tangente a C1 y, al mismo tiempo, es perpendicular al radio
O2T ya que los tres puntos, O1, T y O2 son colineales. Además, las
circunferencias son tangentes en el punto T. Posteriormente, puede pedirles
que analicen las construcciones que aparecen en las opciones de respuesta y
que traten de identificar cuál cumple con las condiciones señaladas.
Los alumnos pueden elegir la opción a) porque la recta es tangente alas
circunferencias, pero esas circunferencias son ajenas.
En la opción b), las circunferencias son tangentes al punto T y la recta
es tangente a las dos circunferencias, pero no pasa por el punto T.
En la opción c), las circunferencias son secantes y la recta trazada es
tangente a una circunferencia y secante a la otra.
En la opción d), se cumplen las tres características: las circunferencias
son tangentes en el punto T, la recta es tangente a ambas circunferencias y
pasa por el punto T.
7
Rectas tangentes a una circunferencia.
Este problema implica la realización de una tarea de conceptualización, ya
que los alumnos deben utilizar conceptos como recta secante, recta tangente
y recta exterior a una circunferencia, así como aplicar algunas de sus
propiedades.
Los alumnos pueden elegir la opción a) si no recuerdan que la distancia
de una recta secante al centro de la circunferencia es menor que la longitud
del radio. Probablemente, debido a que en la imagen aparecen los radios
formados con los puntos U y V en que toca la recta q a la circunferencia
crean que esa es la medida de la distancia de esa recta al centro O.
Aquellos alumnos que seleccionaron la opción b) quizá confunden lo que
sucede con la distancia de una recta secante al centro de la circunferencia y
la distancia de una recta tangente al centro. Puede preguntarles cuántos
puntos tienen en común cada recta con la circunferencia y cuáles de éstos
son los puntos de tangencia correspondientes. Una propiedad que tienen las
rectas tangentes a una circunferencia es que la distancia entre el centro de la
circunferencia y la recta es igual a la longitud del radio.
Posiblemente, los alumnos eligieron la opción c) debido a que la recta y
el segmento se unen en un mismo punto (P) que está fuera de la
circunferencia. Antes de que revisen la retroalimentación correspondiente,
pregúnteles sus argumentos para elegir dicha respuesta.
La recta es exterior a la circunferencia y, por lo tanto, la distancia a la que se
encuentra del centro es mayor que el radio.
8
Ángulo inscrito y ángulo central en una circunferencia.
En este reactivo los alumnos deben utilizar la relación entre un ángulo inscrito
y un ángulo central que subtienden un mismo arco para determinar la medida
del ángulo RPS.

27
9
Medida de arcos.
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la
situación inicial, puede abrir el espacio `para una discusión en la que pida que
dibujen la figura que se forma al mover el punto P.
Los alumnos pueden elegir la opción a) si erróneamente utilizan la
fórmula π r para calcular el perímetro de la circunferencia o porque calculan
la parte de la circunferencia que es interior al hexágono.
En el caso de los alumnos que elijan la opción b), pida que expliquen
sus argumentos para dar esa respuesta. Tal vez, algunos contesten que la
parte sombreada es aproximadamente
4
3
del total. También es posible que
hayan medido el área de la circunferencia y no su perímetro y que luego
calculen la medida de la parte de la circunferencia que esté por dentro del
hexágono.
Algunos alumnos seleccionan la opción d) porque calculan el área de la
circunferencia y no su perímetro. Si no recuerdan la fórmula para calcular el
perímetro puede pedirles que la busquen o que señalen en dónde podrían
buscarla.
Si lo considera conveniente, puede pedirle a sus alumnos que sustituyan
el valor de π por alguna aproximación (3.14 o 3.1416) y que obtengan el
perímetro en centímetros.
10
Área de la corona.
Para contestar correctamente este reactivo los alumnos deben saber que el
área de una corona circular es la sección que se forma entre dos
circunferencias concéntricas.
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión
de la situación inicial, puede abrir el espacio para una discusión en la que les
pregunté, por ejemplo, cuál es la cara lateral de la fuente o cuánto mide su
profundidad. Algunos alumnos pueden considerar que la cara superior de la
fuente es la parte en la que se ve el agua y elegir como respuesta la opción
a). La opción c) corresponde al valor del perímetro de la circunferencia,
aunque la unidad de m², no corresponde.
Los alumnos que eligen la opción d) pueden creer que es la respuesta
correcta porque están considerando toda el área que ocupa la fuente.
Manejo de la
información
11
Comparar razones de cambio.
La razón de cambio es un concepto útil al estudiar relaciones funcionales
lineales porque permite analizar el cambio relativo de una variable con
respecto a otra.
Aunque la forma de obtener la razón de cambio es relativamente
sencilla, comprender el concepto y vincularlo con la inclinación de la recta
puede ser difícil para los alumnos. Para el caso del problema que se
presenta, la razón de cambio de cada recta representa el número de
centímetros que avanza una tortuga en cierto intervalo de tiempo, es decir,
representa su rapidez.
Analicen la recta que representa el desplazamiento de cada tortuga.

28
Para ello, enfatice lo siguiente:
No todas las tortugas empezaron la carrera en el punto (0, 0), lo cual no
tiene relación directa con la razón de cambio.
A una mayor razón de cambio, mayor inclinación en la recta (con
respecto al eje y).
La forma de obtener la razón de cambio entre dos puntos (x, y) y (x', y')
que pertenecen a una recta, es:
Las razones de cambio asociadas al movimiento de cada tortuga son:
4
1
3
1
5
2
7
2
==== ZYXW ,,,
Esto significa que la tortuga W avanzó 2 centímetros en 7 segundos; la
tortuga X avanzó 2 centímetros en 5 segundos, etc. Entre las tortugas W y X
la más veloz es la X porque avanzó los mismos 2 centímetros que la W pero
en menos tiempo. Y entre las tortugas Y y Z la más veloz es la Y porque
avanzó 1 centímetro en 3 segundos, mientras que la Z avanzó 1 centímetro
en 4 segundos.

29
BLOQUE II
12. El área del rectángulo es 48 cm².
¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se encuentra la medida de su altura?
a) 4822 =+x
• ¿Cuál es la expresión que representa la altura del rectángulo del problema?
• ¿Cuál es la expresión que representa la base del mismo rectángulo?
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cualquiera?
• Escribe la expresión para calcular el área del rectángulo del problema.
b) 4822
=+ xx
• Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente. Evalúa la expresión xx 22
+ para
=x 4, 5, 6 y 7.
• ¿Hay algún valor de x para el cual la expresión evaluada sea igual a 48?
• ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo?

30
c) 482 2
=x
• Se sabe que la altura del rectángulo del problema es igual a 6 cm.
• En tu cuaderno, evalúa la expresión x2 para 6=x x.
• Ahora evalúa la expresión )2( +xx para 6=x .
• ¿En alguna de las evaluaciones se obtiene un resultado igual a 48?
• ¿Cuál es la ecuación que representa correctamente al problema?
d) 4822
=+x
• El área del rectángulo del problema es igual a 48 cm² y su base mide 2 cm más que
su altura.
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla, complétala con los valores que faltan y
calcula el área de cada rectángulo:
• ¿Cuál es el valor de la altura x con el que se obtiene un área de 48 cm²?
• Sustituye este valor en la ecuación 4822
=+x . ¿Obtuviste una igualdad verdadera?
Explica si la ecuación representa correctamente al problema.

31
13. Identifica el problema que se puede resolver con la ecuación: 15212
=−x
a) El cuadrado de un número menos 21 es igual a 15.
• Si representamos con x un número cualquiera, ¿cómo se escribe “el cuadrado de un
número”?
• Usa la expresión que obtuviste y responde: ¿cómo se escribe “el cuadrado de un
número menos 21"?
• Finalmente, ¿cómo se escribe “el cuadrado de un número menos 21 es igual a 15”?
• Compara la expresión que obtuviste con la ecuación del problema.
b) Un número menos 21, y esto elevado al cuadrado, es igual a 15.
• En la ecuación 15212
=−x , ¿cuál de las siguientes operaciones se hace primero?
a) Elevar x al cuadrado. b) Restar 21 a x .
• De acuerdo con lo anterior, escribe un problema que represente a esta ecuación.
Ayúdate de las siguientes frases, ordénalas y forma el enunciado del problema.
menos 21
un número
es igual a 15
elevado al cuadrado
c) El doble de un número menos 21 es igual a 15.
• Representa con una ecuación el siguiente problema: “el doble de un número es igual
a 16. ¿Cuál es ese número?".
• Ahora representa con una ecuación el siguiente problema: “el cuadrado de un número
es igual a 16. ¿Cuál es ese número?".
• De acuerdo con tus resultados, ¿es correcto representar "el doble de un número” con
la expresión 2
x ?
d) Resto 21 a un número, lo elevo al cuadrado y obtengo 15.
• Una de las dos soluciones de la ecuación 15212
=−x es 6=x .
• Verifica si este valor también es solución del problema de la opción d). Copia la
siguiente tabla y realiza las operaciones como se indica:
Problema: Operaciones:
“Resto 21 a un número…
(Sustituir x = 6 y realizar la resta)
x – 21 = ______________
… lo elevo al cuadrado…
(Elevar al cuadrado el resultado anterior)
( ______ )2
= _______
…y obtengo 15”
(Verificar si el resultado es igual a 15?)
¿_______ = 15?

32
14. En la columna izquierda se presentan un par problemas y en la columna derecha
varias ecuaciones:
Elige la opción que relaciona correctamente cada problema con la ecuación que lo
representa.
a) I - C, II - A
• Si representamos con x un número cualquiera, ¿cómo se escribe “el cubo del doble
de un número”?
• Usa la expresión que obtuviste y responde: ¿cómo se escribe “el cubo del doble de
un número menos 19"?
• Finalmente, ¿cómo se escribe “el cubo del doble de un número menos 19 es igual a
8”?
• Compara la expresión que obtuviste con la ecuación A).
b) I - D, II – B
• En la ecuación D) 8192 3
=−x , ¿cuál de las siguientes operaciones se debe realizar
primero? (recuerda la jerarquía de las operaciones).
Elevar x al cubo.
Multiplicar x por 2.
Restar 19 a x.
• ¿Cuál frase representa correctamente al término 3
2x ?
El doble de un número elevado al cubo.
El cubo del doble de un número.
• Con base en lo anterior, escribe un problema que represente a la ecuación:
8192 3
=−x .

33
c) I - C, II - B
• Copia y realiza el siguiente procedimiento para verificar que 5.2=x es una solución
del problema I):
“Al cubo del doble de un número… ______________
…le resté 19… ______________
…y al final obtuve 8”. ______________
• Ahora, verifica si x = 2.5 es solución de la ecuación 819)2( 3
=−x . (Sustituye el valor
de x en la ecuación y efectúa las operaciones, si al final obtienes una igualdad
verdadera entonces es solución).
• Repite el procedimiento anterior con el problema II) y la ecuación B).
d) I - C, II – D
• Plantea una ecuación para resolver el problema II). Copia y realiza los pasos que se
plantean a continuación:
“Al doble de un número… ______________
…le resté 19… ______________
… y el resultado lo elevé al cubo... ______________
…Al final obtuve 8”. ______________
• Compara esta ecuación con la ecuación D).
15. El área del siguiente paralelogramo es de 63 2
u . Señala la opción que representa una
factorización correcta de la ecuación cuadrática que permite encontrar el valor de la
altura.
a) 0)3)(21( =−+ xx
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un paralelogramo?
• ¿Qué representa x?
• ¿Cuál es la expresión que representa la medida de la base del rectángulo?
• Selecciona la ecuación que expresa el área del paralelogramo.

34
• A partir de la ecuación que elegiste obtén la medida de la altura y de la base del
paralelogramo. ¿Se cumple que el área del paralelogramo es de 63 2
u ?
b) 0)3)(21( =++ xx
• ¿Es cierto que la ecuación cuadrática 63182
=+ xx representa el área del
paralelogramo?, ¿por qué?
• ¿Cuál es la forma general de esta ecuación?
• Desarrolla el producto de los factores que elegiste y compáralos con la forma general
de la ecuación anterior.
c) 0)18)(( =+xx
• ¿Qué representa x?
• Para qué valores de x se cumple la siguiente igualdad: 0)18)(( =+xx
• Con los valores qué obtuviste ¿cuánto mide la altura y cuánto mide la base del
paralelogramo? ¿Se cumple que el área del paralelogramo es de 63 2
u ?
d) (x – 21) (x + 3) = 0
• ¿Cuál es la ecuación que expresa el área del paralelogramo?
• ¿Cuál es la forma general de esta ecuación?
• Desarrolla el producto de los factores que elegiste y compáralos con la forma general
de la ecuación anterior.

35
16. Benito quiere utilizar el siguiente esquema para hacer una caja de cartón que mida 8
cm de largo por 6 cm de ancho, con un pliego que tiene un área de 168 cm². Al pliego se
le recortan en las esquinas cuatro cuadrados iguales.
Benito plantea la siguiente ecuación para resolver el problema (x + 6)(x + 8) = 168.
Encuentra la factorización y soluciones de la ecuación cuadrática.
a)
Factorización 0206 =−+ ))(( xx
Soluciones
20
6
2
1
=
−=
x
x
• De acuerdo con la solución que elegiste ¿cuántos centímetros mide cada lado de
los cuadrados que se van a recortar?
• Sustituye las soluciones en la ecuación planteada por Benito:
168)8)(6( =++ xx
b)
Factorización 0206 =+− ))(( xx
Soluciones
20
6
2
1
=
−=
x
x
• Sustituye los valores de x que obtuviste en la ecuación original y en la factorización.
• ¿Se cumple la igualdad para ambos casos?

36
c)
Factorización 0206 =−+ ))(( xx
Soluciones
20
6
2
1
−=
=
x
x
• Pasa a su forma general la ecuación planteada por Benito.
• Desarrolla la ecuación 0)20)(6( =−+ xx
• ¿Son iguales? ¿En qué cambian?
d)
Factorización 0206 =+− ))(( xx
Soluciones
20
6
2
1
−=
=
x
x
• Sustituye los valores de x en la ecuación que planteó Benito
• ¿Cuántos centímetros mide cada lado de los cuadrados que se van a recortar?
• ¿Ambas soluciones de la ecuación sirven para resolver el problema?
17. En el siguiente procedimiento se ha resuelto de manera incorrecta la ecuación
cuadrática 910181819 22
−=−− xxx . Indica en qué opción se señalan los pasos en los
que se cometieron errores.

37
a) II, V
• En el paso II, ¿con qué signo pasa el -9 del otro lado de la igualdad?
• Si el paso V es un error, ¿cuál debe ser la factorización correcta?
• Verifica en tu cuaderno las soluciones (1 y -3), al sustituir la x por estos valores en la
primera ecuación: 910181819 22
−=−− xxx .
• Resuelve la ecuación en tu cuaderno y verifica las soluciones que obtengas.
b) II, IV
• En el paso II, ¿con qué signo pasa el -9 del otro lado de la igualdad?
• En el paso IV, ¿cómo se obtuvo la 2
x ?
• ¿Qué operación se realizó para pasar del x18− al x2− ? ¿Y del 27− al 3− ?
• ¿Qué operación se realizó en la ecuación del paso III para llegar a la igualdad del
paso IV?
c) V, VI
• ¿Desarrolla la expresión )1)(3( −+ xx . ¿Qué expresión algebraica obtienes?
• Si en el paso VI se cometió un error las soluciones que se presentan no deben
satisfacer la factorización planteada. Sustituye la x por los dos valores que se plantean
para comprobar si la igualdad 0)1)(3( =−+ xx se cumple.
• ¿Ambos pasos (V y VI) son incorrectos?
• Resuelve la ecuación en tu cuaderno y verifica las soluciones que obtengas.
d) I, IV
• En el paso I, ¿con qué signo pasa el término 2
10x al otro lado de la igualdad?
• Copia la tabla en tu cuaderno y evalúa las expresiones que aparecen en los pasos III
y IV, para diferentes valores de x .

38
18. Determina en cuál de las opciones los polígonos son semejantes.
a)
• ¿Cómo son las medidas de los ángulos del figura A respecto a los de la figura B?
• La siguiente tabla muestra una relación entre las medidas de los lados de la figura A
y la figura B.
Medida de los lados
de la figura A
Medida de los lados
correspondientes en
la figura B
1 cm 2 cm
2 cm 3 cm
1 cm 2 cm
2 cm 3 cm
• Explica si la tabla anterior está asociada a cantidades directamente proporcionales.
• ¿Hay una constante de proporcionalidad?
b)
• ¿Cuándo dos figuras son semejantes? ¿Los ángulos en la figura A son iguales a los
ángulos correspondientes en la figura B?

39
c)
• ¿Cómo son las medidas de los ángulos de la figura A respecto a los de la figura B?
• La siguiente tabla muestra una relación entre las medidas de los lados de la figura A
y la figura B.
Medida de los lados
de la figura A
Medida de los lados
correspondientes en la
figura B
0.5cm 1cm
1cm 2cm
1.5cm 3cm
• Explica por qué la tabla anterior está asociada a cantidades directamente
proporcionales.
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
d)
• En la figura A hay un ángulo que mide 90°. ¿Hay un ángulo que en la figura B mida
90°?

40
19. Las medidas de los lados de un triángulo A son; 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se va a construir
un triángulo B semejante al triángulo A, en el que el lado menor mida 15 cm. Señala la
opción en la que se responda correctamente lo siguiente:
• ¿Cuál es la razón de semejanza del triángulo B con respecto al triángulo A?
• ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo B?
• Se sabe que el triángulo A es un triángulo rectángulo, ¿se puede asegurar que el
triángulo B también es un triángulo rectángulo?
a)
• La razón de semejanza es 12.
• Las medidas de los lados del triángulo B son 15 cm, 16 cm y 17 cm.
• Sí, por el criterio de ángulos correspondientes iguales.
• ¿Las medidas de los lados del triángulo B son proporcionales a las del triángulo A?
Para averiguarlo, completa la siguiente considerando que es de proporcionalidad.
Medidas de los
lados
en el triángulo A
Medidas de los
lados
en el triángulo B
3cm 15cm
4cm
5cm
• ¿Coinciden las medidas que obtuviste en la tabla con las de la opción que señalaste?
• Si multiplicas las medidas de los lados del triángulo A por un número, se obtienen las
medidas de los lados del triángulo B. ¿Cuál es este número?
• ¿Qué relación hay entre este número y la razón de semejanza?
b)
• Si, Por el criterio de ángulos correspondientes iguales.
• Para los triángulos:
• Las medidas de los lados del triángulo B son el ______________del las medidas en
el triángulo A. (doble/mitad/triple)
• El ángulo que se corresponde al ángulo a es el ángulo a’. ¿Cómo son estos ángulos

41
entre si, iguales o distintos?
• El ángulo que se corresponde al ángulo b es el ángulo b’. ¿Cómo son estos ángulos
entre si, iguales o distintos?
• ¿Los triángulos son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
c)
• No.
• Los siguientes triángulos son semejantes.
• Un ángulo en el triángulo M mide 20°, ¿hay un ángulo en el triángulo N que mida 20°?
• ¿Es cierto que en figuras semejantes los ángulos correspondientes miden lo mismo?
• Mide todos los ángulos de los dos triángulos y comprueba tus respuestas.
d)
• No.
• Cuando un triángulo A es semejante a un triángulo B se cumplen dos condiciones:
Hay una relación de proporcionalidad directa entre las medidas de los lados del
triángulo A y las medidas del los lados del triángulo B, es decir, los lados
correspondientes son proporcionales.
La medida de cualquier ángulo en el triángulo A es la misma que la medida del
ángulo correspondiente en el triángulo B.
• Si hay un ángulo que mida 90° en el triángulo A, ¿debe haber un ángulo en el
triángulo B que mida 90°?

42
20. Araceli mide 1.5 m y se encuentra a tres metros de distancia de un poste. Observa el
dibujo y determina la altura del poste.
a) El poste mide 2.25 m
• El triángulo 1 es semejante al triángulo 2
• La siguiente tabla muestra la correspondencia entre los lados de ambos triángulos.
Medidas de los lados en el
triángulo 1
Medidas de los
correspondientes en el
triángulo 2
4cm 5cm
5.2cm 6.5cm
8cm 10cm
• Las razones formadas por la medida de un lado en el triángulo 1 entre la medida del
lado correspondiente en el triángulo 2 son:
10
8
5.6
2.5
5
4
==
• ¿Cómo son entre sí los resultados de las divisiones anteriores?
• ¿Es esta una propiedad que se cumple en todos los triángulos semejantes?
• Dibuja los triángulos semejantes que te ayudan a determinar la altura del poste.
• Escribe las razones formadas por las medidas de los lados en uno de los triángulos y
las medidas correspondientes en el otro triángulo.

43
b) El poste mide 2.45 m
• El triángulo ABC y el triángulo DEC son semejantes.
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado EC del triángulo
DEC? ¿Cuánto mide?
• ¿Qué quiere decir que las medidas de los lados de uno de los triángulos sean
proporcionales a las medidas correspondientes en el otro triángulo?
c) El poste mide 3.75 m
• ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
135
52 `CÀ.
=
1352
5 `CÀ
.
=
Usando la igualdad correcta encuentra el valor de `CÀ
• ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
125
52 `C`B.
=
1252
5 `C`B
.
=
Usando la igualdad correcta encuentra el valor de `C`B
• En tu cuaderno dibuja los triángulos semejantes que te ayudan a determinar la altura
del poste. Escribe la igualdad con la que puedes encontrarla.

44
d) El poste mide 4.5 m
• El triángulo ABC y el triángulo DEC son semejantes.
• ¿Con cuál de los criterios de semejanza puedes determinar que los triángulos ABC y
DEC son semejantes?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado EC del
triángulo DEC?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado DE del
triángulo DEC?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado DC del
triángulo DEC?
• Como los triángulos son semejantes, se cumplen las siguientes igualdades
EC
BC
DC
AC
DE
AB
==
Explica por qué.

45
21. La siguiente tabla muestra los valores del índice de precios para cierto artículo,
tomando como referencia el año 2008. En ese año, su precio fue de $80.00
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) En 2004, el precio del artículo fue de $87.50, el mismo que el registrado en el año 2007.
• Recuerda que un índice es un número que resulta de la comparación de dos
cantidades del mismo tipo, pero medidas en distintos momentos, lugares o
circunstancias. Un índice se construye en referencia a un valor de comparación,
llamado base. Algunas veces se expresa como un porcentaje y otras como puntos.
• En este caso, el índice indica la relación entre el precio de un artículo en ciertos años
comparado con lo que costaba en 2008 (año base), que valía $80.00.

46
b) En 2005, el precio del artículo fue de $50.00, la mitad del precio que tenía en 2008.
• Un índice puede expresarse como un porcentaje o como un número.
• Considera que los valores del índice de precios del artículo están expresados como
porcentajes.
• En 2005, ¿cuál fue el precio del artículo?
c) En 2006, el precio del artículo fue mayor 31.25%, con respecto al precio que tenía en 2008.
• Observa los datos que se muestran en la siguiente tabla:
La fórmula para calcular el valor del índice fue:
25.131100
80
2006precioen
100
2008enprecio
2006enprecio
=×=×
• ¿Cuál es el precio del artículo en 2006?
• Un índice es una forma de comparar, por ejemplo, el cambio entre dos cantidades del
mismo tipo, pero medidas en distintos momentos, lugares o circunstancias. Sirve para
medir tanto la dirección del cambio como la magnitud del mismo.
d) En 2009, el precio del artículo se incrementó 6.25% con respecto al año anterior.
• Encuentra el precio del artículo en el año 2009.
• En el año 2009, ¿el precio del artículo aumentó o disminuyó?
• Los índices se construyen en referencia a un valor de comparación conocido como
base. En este caso, el índice permite calcular el tamaño y la dirección del cambio que
ha sufrido el precio del artículo en un año determinado con respecto al año base.

47
Bloque II
Eje
12
Ecuación cuadrática de una situación.
En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación cuadrática que está
asociada al problema dado; esto es, aquella que permite calcular
correctamente la medida de la altura x de un rectángulo.
Una estrategia de resolución es que los alumnos describan cómo se
calcula el área de un rectángulo, y luego que propongan una expresión
algebraica que represente al problema dado. Como resultado de esto,
deberán identificar que al multiplicar la expresión que representa a la base (x
+ 2) por la expresión que representa a la altura (x), e igualar este producto al
valor del área, se obtiene una ecuación cuadrática (o de segundo grado).
Pida a los alumnos que realicen otros ejemplos del producto de un monomio
por un binomio, por ejemplo, (2x + 4)x, (5 – 3y)2y, o bien, 6n(2n + 1.5).
Trabaje con ellos cómo realizar este tipo de productos.
Otra estrategia consiste en hallar las soluciones de las ecuaciones que
se muestran en las opciones y sustituir esos valores en las expresiones
asociadas a las medidas de la base y de la altura del rectángulo; luego,
calcular el área con esas medidas y verificar si el resultado calculado es igual
al dato del área del problema.
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
13
Problema correspondiente a una ecuación cuadrática.
En este reactivo se debe identificar el problema que está asociado a la
ecuación cuadrática dada.
Si los alumnos tienen dificultades para identificar el problema asociado a
la ecuación, sugiérales que escriban una ecuación para cada uno de los
problemas de las opciones. Para ello, se puede seguir un procedimiento
como el que se muestra en algunas retroalimentaciones; por ejemplo, para el
problema de la opción b) se puede plantear lo siguiente:
“Un número menos 21… → x – 21
…y esto elevado al cuadrado… → (x – 21)²
…es igual a 15”. → (x – 21)² = 15
Otra estrategia consiste en que los alumnos obtengan las soluciones de
la ecuación dada y verifiquen si también son soluciones de los problemas de
los incisos.

48
14
Problema correspondiente a una ecuación cúbica.
En este reactivo los alumnos van a relacionar una lista de problemas
con las ecuaciones que les corresponden.
Si los alumnos tienen dificultades, sugiérales que escriban una ecuación
para cada uno de los problemas de la lista. Por ejemplo, para el problema I)
se puede hacer lo siguiente:
“Pensé un número… → x
…y le resté 2 elevado al cubo… → x – 2³
…El resultado es igual a 15”. → x – 2³ = 15
Otra estrategia es analizar las ecuaciones e identificar las diferencias
entre ellas y describirlas. Por ejemplo, al comparar las ecuaciones (n + 5)³ = 8
y n + 5³ = 8, se observa que en la primera ecuación primero se debe hacer la
suma n + 5 y luego elevar al cubo el resultado, mientras que en la segunda
se debe hacer la suma de n y el cubo de 5. Si aún hay dificultades para
entender esto, sugiérales que hallen las soluciones de cada ecuación, esto
es, los valores de n para los cuales se obtiene una igualdad verdadera.
15
Factorización de una ecuación cuadrática.
En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación cuadrática que permite
obtener la altura del paralelogramo conociendo su área, después deben
encontrar una factorización que les permita resolver la ecuación.
Una estrategia que se puede seguir para responder este problema es
que los alumnos recuerden y describan cómo se calcula el área de un
paralelogramo (base x altura), luego deben identificar que al multiplicar la
expresión que representa a la base (x + 18) por la expresión que representa
a la altura (x), e igualar este producto al valor del área, se obtiene una
ecuación cuadrática (o de segundo grado).
Si los alumnos tienen problemas para elegir cuál de las opciones
representa una factorización correcta, se sugiere que les recuerde que para
factorizar un trinomio como x² + 5x – 24, hay que buscar dos números
que multiplicados den –24 y sumados den 5:
(+8)(-3) = -24
(+8) + (-3) = 5
Entonces,
x² + 5x – 24 = (x + 8)(x – 3)
16
Resolución de ecuaciones cuadráticas.
El objetivo del reactivo es que los alumnos construyan la ecuación cuadrática
asociada al problema, planteen la factorización correspondiente y encuentren
las soluciones. El reto inicial es visualizar cómo se construye una caja con un
pliego. Esto implica identificar que los bordes del rectángulo interior (cuya
medida se conoce) constituyen el largo y el ancho de la caja, y que lo que se
va a cortar es la altura. Para mostrar esto puede usted desarmar cualquier
caja que tenga forma de prisma rectangular.
Para este problema se pueden plantear dos o más ecuaciones que lo
resuelvan, por tal razón se les da una. No obstante, es conveniente que los

49
alumnos identifiquen qué se está representando con x. Con esto habrán
logrado un gran avance en la solución del reactivo pues incluso se pueden
ahorrar los cálculos algebraicos.
Si anteriormente los alumnos resolvieron adecuadamente ejercicios
mediante el método de factorización, tendrán pocos problemas para plantear
la ecuación del problema y la factorización que les ayude a resolverla. En
caso contrario, considere la conveniencia de revisar con ellos cómo se
resuelve este tipo de ecuaciones mediante el método de factorización.
Una vez que la factorización esté planteada, asegúrese de que las
soluciones que los alumnos elijan sean las adecuadas (muchas veces las
eligen con los signos contrarios) y las comprueben sustituyéndolas en las
ecuaciones, tanto en la factorización como en la original. De esta forma podrá
usted verificar tanto que las soluciones sean las correctas, como que
correspondan a la ecuación original. Es decir, una vez que los estudiantes
obtengan el valor de x y lo sustituyan, deben obtener el área del pliego
original.
17
Más sobre ecuaciones cuadráticas.
Cuando se resuelve una ecuación es común que haya dificultades para
manipular cada uno de los términos, que se descuiden los signos o que se
agrupen erróneamente los términos semejantes.
El objetivo de este ejercicio es que los alumnos verifiquen cada uno de
los pasos que se siguieron en la resolución de una ecuación cuadrática. Es
decir, que puedan identificar qué operación se hizo para llegar de una
igualdad a otra y si lo que se hizo es correcto o no.
Recuérdeles los ejercicios que han realizado anteriormente y enfatice
que las igualdades tienen que ser equivalentes unas con otras, esto es, que
después de cada operación se tiene que mantener la igualdad; de otra forma
se altera la ecuación inicial.
Si los alumnos tienen dificultades para encontrar los errores existentes
en el procedimiento, pídales que resuelvan la ecuación sin ver el
procedimiento que se muestra y que después comparen e identifiquen en
dónde se encuentran los errores.
Otra opción es pedir a los estudiantes que describan con sus propias
palabras qué se hizo en cada uno de los pasos que se siguieron para resolver
esta ecuación.
Forma,
espacio y
medida 18
Figuras semejantes.
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la
que muestra dos polígonos semejantes puede recordar las dos condiciones
con las que se define la semejanza entre polígonos.
Un polígono A es semejante a un polígono B si se cumplen las
siguientes dos propiedades:
• Hay una relación de proporcionalidad directa entre la medida de los
lados del polígono A y la medida de los lados del polígono B.
• La medida de cualquier ángulo comprendido entre dos lados del
polígono A es la misma que la medida del ángulo comprendido
entre los lados correspondientes en el polígono B.

50
Posteriormente pida a los alumnos que establezcan en cuál de las
opciones se cumplen las dos condiciones y cuál de las condiciones falla en
los otros incisos.
Como cierre puede pedir a los alumnos que construyan una figura
semejante a la primera figura de cada inciso.
19
Semejanza para triángulos.
correcta usted puede recordar los criterios y la definición de triángulos
semejantes:
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos iguales. A
este criterio también se le enuncia de la siguiente manera, dos
triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes
iguales.
• Dos triángulos son semejantes si existe una relación de
proporcionalidad directa entre las medidas de sus lados. A este
criterio también se le enuncia de la siguiente manera, dos
triángulo son semejantes si tienen lados correspondientes
proporcionales.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
correspondientes proporcionales y el ángulo entre ellos iguales.
También puede ser de utilidad que recuerde a los alumnos que la razón
de semejanza de un triángulo B con respecto a un triángulo A se puede
calcular al dividir la medida de uno de los lados del triángulo B por la medida
del lado correspondiente en el triángulo A.
20
Semejanza y triángulos rectángulos.
correcta, puede hacer notar que en la figura se encuentran dos triángulos
rectángulos, y en este sentido, puede destacar que dos triángulos rectángulos
son semejantes cuando la medida de uno de los ángulos en uno de los
triángulos, que no es el recto, es igual a la medida de uno de los ángulos en
el otro triángulo.
Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es la de
destacar las igualdades de los cocientes que hay en triángulos semejantes,
plantee algunos ejemplos para recordar estas igualdades.
Posteriormente puede leer las opciones y destacar las igualdades que
se dan entre los cocientes de las medidas de los triángulos semejantes para
encontrar la que sirve para calcular la medida del poste, puede ponerle letras
a las medidas que faltan en los lados de los triángulos.
Como cierre puede pedir a los alumnos que encuentren en otros
triángulos rectángulos una medida desconocida.

51
Manejo de la
información
21
Índices.
Comente con sus alumnos sobre el uso de algunos índices, en qué áreas o
actividades se utilizan y cómo se obtienen. Podría sugerirles que busquen en
periódicos, revistas o Internet algunos ejemplos de índices. Particularmente,
los índices económicos más usados son aquellos que miden el nivel de
precios, ya que permiten comparar los precios a los cuales se vendieron
bienes y servicios en un determinado año a precios de otro año.
Tal vez los alumnos que seleccionan la opción a) confunden el valor del
índice de precios con el precio. No consideran lo señalado en el
planteamiento del problema, el precio del artículo fue de $80.00 en el año
2008.
Algo similar les ocurre a aquellos alumnos que eligen la opción b), se
equivocan al interpretar el valor del índice de precios como el precio del
artículo en 2005.
Los alumnos que seleccionaron la opción d) probablemente se equivocaron al
hacer la diferencia entre valores índice y calcularon 100 – 93.75, en lugar de
93.75 – 100. En el primer, caso la diferencia es positiva y significa un
aumento, cuando en realidad ha ocurrido un descenso en el precio. Otra
manera de encontrar que hay una disminución es determinar el precio del
artículo en el año 2009, como se pide en la retroalimentación. El artículo
cuesta 93.75% de lo que valía en el 2008.
Para determinar que la afirmación de la opción c) es correcta, se
requiere considerar que los valores de un índice son una forma de comparar
y sirven para medir tanto la dirección del cambio como su magnitud. Una
diferencia negativa indica retroceso o disminución; cuando es positiva,
representa avance o aumento. Cuando un porcentaje es mayor que 100
representa, un aumento.
Una conclusión importante en cuanto al uso de los índices es que, en
general, son utilizados como herramienta para medir el desempeño de las
variables involucradas o como instrumento en la toma de decisiones.

52
BLOQUE III
22. Para cercar cierto terreno rectangular se necesitan 32 m de malla.
¿Cuál es la tabla que muestra la relación correcta entre la medida del frente del terreno y
su área?
a)
Frente (m) Área (m2
)
4 112
8 192
12 240
16 256
20 240
28 112
• Si el frente de un terreno mide 4 m y tiene un área de 112 m², ¿cuánto mide de
fondo?
• ¿Es cierto que su perímetro es igual a 32 m?
• Verifica si con los datos de los otros renglones de la tabla el perímetro que se obtiene
es igual a 32 m.
b)
)
4 112
8 192
12 240
16 256
20 240
28 112
• ¿Cuántos metros debe tener el perímetro del terreno?
• Si uno de los terrenos tiene 10 m de frente, ¿cuánto mide de fondo? ¿Cuál es el área
de este terreno?
• Verifica si en los otros renglones de la tabla es posible que un terreno tenga 32 m de
perímetro y 32 m² de área.

53
c)
)
2 28
4 48
6 60
8 64
10 60
12 48
• Si y es el área del terreno y x es la longitud del frente, escribe una expresión para
calcular el área del terreno.
• Evalúa la expresión que escribiste para los valores de x que aparecen en la tabla
(que son las medidas del frente del terreno). ¿El perímetro es igual a 32 m?
d)
)
3 42
5 70
7 98
9 126
11 154
13 182
• Si y es el área del terreno y x es la longitud del frente, identifica con cuáles de las
siguientes expresiones se puede calcular el área del terreno.
xxy )16( +=
)16( xxy −=
2
16 xxy −=
xxy 216 −=
• Evalúa la expresión que elegiste para los valores de x que aparecen en la tabla (que
son las medidas del frente del terreno). ¿El perímetro es igual a 32 m?

54
23. Se quieren construir cajas de base rectangular de manera que el frente mida L, el
fondo mida el doble que el frente y que tengan 3 cm de altura.
¿Cuál es la expresión con la que se obtiene el volumen V de la caja?
a) 2
)2(3 LV =
• Si L representa la medida del frente, ¿cómo se expresa la medida del fondo en
términos de L?
• Escribe una expresión algebraica para calcular el área de la base de la caja.
Área de la base = ________ x ________ = ________
• ¿Es verdad que para obtener el volumen de un prisma rectangular hay que multiplicar
la medida de la base por la de la altura?
• La expresión que elegiste es 2
)2(3 L , que es igual a 3(2L)(2L). ¿La medida de la base
es (2L)(2L)?
b) 3
6LV = V
• Las cajas que se mencionan en el problema tienen la forma de un prisma de base
rectangular.
L representa la medida del frente, ¿cómo se expresa la medida del fondo en
términos de L?
• ¿Cuál es el área de la base del prisma?
• Completa cómo se calcula el volumen de un prisma:
Volumen = _________x _________ = _________

55
c) 32 2
+= LV
• Si el frente del rectángulo de la base es igual a 5 cm:
• ¿Cuál es el área de la base de la caja? Completa la siguiente expresión:
Área de la base = ________ x ________ = ________
• ¿Cuál es el volumen de la caja?
Volumen = _________ x _________ = _________
• Sustituye L = 5 en la expresión 32 2
+= LV y realiza las operaciones
correspondientes.
• ¿Obtuviste el mismo valor para el volumen con ambos procedimientos?
d) 2
6LV = V
• Las cajas que se mencionan en el problema tienen la forma de un prisma de base
rectangular.
• ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma rectangular?
• En tu cuaderno evalúa la expresión 2
6LV = para diferentes valores de L.
24. Encuentra las soluciones de la ecuación xx 15183 2
=+ utilizando la fórmula general
a
acbb
x
2
42
−±−
=
a) 31 =x , 22 =x
• Verifica si los valores que elegiste para x son soluciones de la ecuación
xx 15183 2
=+ . Completa lo siguiente:
Substituye 31 =x en la ecuación.
(__)1518(__)3 2
=+
Substituye 22 =x en la ecuación.
(__)1518(__)3 2
=+
• ¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?

56
b) 11 −=x , 52 −=x
• Completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación xx 15183 2
=+ a su forma general
____________________= 0
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término cuadrático?
a =______________
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término lineal?
b =______________
• ¿Cuál es el valor del término independiente?
c =______________
c) 31 −=x , 22 −=x
• Verifica si los valores que elegiste para x son soluciones de la ecuación
xx 15183 2
=+ . Completa lo siguiente:
Substituye 31 −=x en la ecuación.
(__)1518(__)3 2
=+
Substituye 22 −=x en la ecuación.
(__)1518(__)3 2
=+
• ¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
d) La ecuación no tiene soluciones
• En tu cuaderno completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación xx 15183 2
=+ a su forma general
____________________= 0
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término cuadrático?
a =______________
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término lineal?
b =______________
• ¿Cuál es el valor del término independiente?
c =______________
• Resuelve nuevamente la ecuación usando la fórmula general:
)(2
))((4)()( 2
−±−
=x
• ¿Encontraste soluciones para la ecuación?

57
25. La altura h de un objeto que viaja por el aire durante un tiempo t está dada por la
ecuación: 2
224 tth −= , en donde h está en metros y t en segundos. ¿A los cuántos
segundos el objeto alcanza una altura de 40 metros?
a) s21 −=t ; s102 −=t
• Verifica si los valores que elegiste de t son soluciones de la ecuación 2
224 tth −=
Para 40=h . Completa en tu cuaderno las siguientes expresiones:
Substituye 21 −=t en la ecuación.
2
(___)2(___)2440 −=
Substituye 102 −=t en la ecuación.
2
(___)2(___)2440 −=
¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
b) s121 =t ; s02 =t
Pasa la ecuación 2
22440 tt −= a su forma general
____________________=0
¿Cuál es el valor del término independiente?
¿Cuál es la altura que alcanza el objeto cuando t vale 0 s, 5 s, 10 s y 12 s?
c) s21 =t ; s102 =t
• Verifica si los valores que elegiste para t son soluciones de la ecuación 2
224 tth −=
para 40=h . En tu cuaderno completa las siguientes expresiones:
Substituye 21 =t en la ecuación.
2
(___)2(___)2440 −=
Substituye 102 =t en la ecuación.
2
(___)2(___)2440 −=
¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
d) s48.131 =t ; s48.12 −=t
Pasa la ecuación 2
22440 tt −= a su forma general
____________________=0
¿Cuál es el valor del término independiente?
c =__________________
Resuelve nuevamente la ecuación usando la fórmula general.

58
26. La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de futbol después de ser
despejado.
¿Cuál de las opciones corresponde ala gráfica asociada a la relación entre la altura que
alcanza el balón y el tiempo?
a)
• Transcurridos 2 segundos la altura que tiene el balón es de 8 metros. Esto quiere
decir que el punto (2,8) pertenece a la gráfica.
• Transcurridos 4 segundos, la altura que tiene el balón es también de 8 metros. ¿Qué
punto le corresponde?
• Este punto pertenece a la gráfica.

59
b)
• ¿Cuál es la altura que indica la gráfica cuando han transcurrido 0 segundos?
• ¿Cuál es la altura que indica la gráfica cuando ha transcurrido 1 segundo?
c)
• Al momento de golpear el balón, ¿qué altura tiene?, ¿qué punto le corresponde a la
gráfica?
• Según lo que indica la gráfica, ¿a los 3 segundos qué altura ha alcanzado el balón?,
¿y a los 5 segundos?
• ¿Los puntos que están sobre la gráfica corresponden a la información de la tabla?

60
d)
• Según lo que indica la gráfica, ¿qué altura tiene el balón después de los 2
segundos?
• Transcurridos 6 segundos, ¿qué altura tiene el balón?, ¿qué punto le corresponde
en la gráfica?
• ¿Los puntos que están sobre la gráfica corresponden a la información de la tabla?

61
27. En un laboratorio hicieron un experimento para establecer la relación entre la presión
y el volumen de un gas cuando este se mantiene a temperatura constante. Con los datos
que obtuvieron elaboraron una gráfica como la que se muestra.
Si x representa el volumen del gas y si y representa la presión, ¿cuál es la expresión
algebraica asociada a la gráfica?
a) 11+−= xy
• En la expresión y = -x + 1 substituye el valor x = 5.
• ¿Cuál es de valor de y?, ¿el punto obtenido pertenece a la gráfica?
• Cuando x vale 1, ¿cuál es el valor de y?
• Cuando x vale 10, ¿cuál es el valor de y?
• Dibuja en tu cuaderno la gráfica asociada a la expresión y = -x + 11.

62
b)
x
y
10
=
• Completa la siguiente tabla con la expresión que seleccionaste.
Volumen
(valor de x)
Presión
(valor de
x
y
10
= )
Punto de
coordenadas
),( yx
1
2
4
5
10
• ¿Los puntos de la tabla corresponden a puntos en la gráfica?
• Cuando el volumen (x) es de 20 litros, la presión del gas (y) es de 0.5 atmósferas.
Verifica si pasa esto con la expresión que elegiste.
c) 9
1
+=
x
y
• La siguiente tabla muestra algunos de los datos que se tomaron al realizar el
experimento
Volumen
(en litros)
Presión
(en atmósferas)
Producto de
xy
1 10 (1)(10)=10
0.1 100 (0.1)(100)=10
0.5 20 (0.5)(20)=10
16 0.6255 (16)(0.625)=10
20 0.5 (20)(0.5)=10
• Utiliza la expresión 9
1
+=
x
y para verificar si al sustituir los valores de la primer
columna (x) obtienes el correspondiente valor en la segunda columna (y)
d) 2
10xy =
• Observando la gráfica podrás notar que cuando el valor de x aumenta el valor de y
disminuye, por ejemplo, para x = 1, el valor de y es 10, mientras que para x = 2, el valor
de y es 5.
• En la expresión y = 10x² ¿cuándo aumenta el valor de x el valor de y aumenta o
disminuye? Verifícalo para los valores de x iguales a 1, 2, 3.

63
28. La parábola R tiene por expresión asociada 22
−= xy
Elige cuál de las opciones es la que tiene las dos expresiones algebraicas que
corresponden a las otras dos parábolas.
a) 22 2
−= xy
22 2
+−= xy
• Usa la expresión 22 2
−= xy para encontrar algunos puntos de su gráfica. Completa
la tabla.
Valor de x Valor de 22 2
−= xy
Punto de coordenadas
),( yx
--2
-1
1
2
• Verifica si los puntos de la tabla que completaste se encuentran sobre la parábola A
o sobre la parábola V.

64
b) 2
xy =
22 2
+−= xy
• ¿Cuál es la ordenada al origen en la expresión 2
xy = ?
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la parábola A?
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la parábola V?
c) 23 2
−= xy
22 2
+−= xy
• Completa la tabla para establecer algunos de los elementos de las parábolas.
Parábola Ordenada al origen Apertura Vértice
22
−= xy -2 Hacia arriba (0,-2)
23 2
−= xy
22 2
+−= xy Hacia abajo
d) 23 2
−= xy
22 2
+= xy
• ¿Cómo es la expresión de una parábola que abre hacia arriba?
• ¿Cómo es la expresión de una parábola que abre hacia abajo?
29. A continuación aparece la gráfica de la parábola 1)1( 2
+−= xy
En el mismo plano cartesiano se hicieron las gráficas de las parábolas:
• 3)1( 2
+−= xy
• 2)1( 2
−−= xy
¿En cuál de las opciones se muestra la gráfica de las tres parábolas?

65
a)
• Completa la tabla y determina la ordenada al origen de cada parábola.
Parábola Ordenada al origen
R 2
V
A
• Completa la tabla para determinar la ordenada al origen en las expresiones.
Parábola
Valor de y en la expresión
para 0=x .
y = (x – 1)² + 1
y = (x – 1)² + 3 43)1(3)10( 22
=+−=+−
y = (x – 1)² - 2
b)

66
• Completa la tabla y para determinar la ordenada al origen.
Parábola Ordenada al origen
y = (x – 1)² + 1 21)1(1)10( 22
=+−=+−
y = (x – 1)² + 3
y = (x – 1)² - 2
c)
• La siguiente tabla muestra algunos puntos de la parábola A.
Valor de x Valor de y Punto (x,y)
0 10 (0,10)
1 5 (1,5)
2 2 (2,2)
3 1 (3,1)
4 2 (4,2)
5 5 (5,5)
Utiliza las expresiones:
3)1( 2
+−= xy
2)1( 2
−−= xy
Verifica si al sustituir los valores de la primer columna (x) obtienes el correspondiente
valor en la segunda columna (y) en alguna de ellas.

67
d)
• Para la expresión 2)1( 2
−−= xy completa la siguiente tabla.
Valor de x Valor de y Punto (x,y)
0 (0,__)
1 (1,__)
2 (2,__)
• Verifica si los tres puntos de la tabla se encuentran sobre alguna de las parábolas.

68
30. En el plano cartesiano se encuentra la gráfica de dos expresiones de la forma
ba 3
+= xy . Elige cuál de las opciones es la que tiene las expresiones algebraicas que
corresponden a las gráficas.
a)
1
2
1
2
3
3
+=
−=
x
y
x
y
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala para establecer algunos de los
elementos de las expresiones.
Expresión Ordenada al origen Coeficiente del termino de grado
tres
1
2
3
−=
x
y
1
2
3
+−=
x
y

69
b)
2
1
2
3
3
x
y
x
y
−=
+=
• ¿Cuál es la ordenada al origen en la expresión
2
3
x
y −= ?,
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica V? y
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica de R?
c)
12
12
3
3
+−=
−=
xy
xy
• Usa la expresión 12 3
−= xy para encontrar algunos puntos en su gráfica. Copia en
tu cuaderno la siguiente tabla y complétala.
Valor de x Valor de 12 3
−= xy
Punto de coordenadas
),( yx
-1
-0
1
2
• Verifica si los cuatro puntos de la tabla se encuentran sobre la gráfica R o la V.
d)
1
2
12
3
3
+−=
−=
x
y
xy
• Usa la expresión 1
2
3
+−=
x
y para encontrar unos puntos de su gráfica. Copia en tu
cuaderno la siguiente tabla y complétala.
• Verifica si los cuatro puntos de la tabla se encuentran sobre la gráfica R o la V.

70
31. Un gusano hizo el recorrido que se muestra en la figura. En los dos primeros tramos
del recorrido avanzó a velocidad constante (en la bajada avanzó rápido y en el terreno
plano a menor velocidad). Al inicio del tercer tramo el gusano avanzó lento y conforme la
subida se fue haciendo menos pronunciada aumentó su velocidad.
¿Cuál gráfica corresponde a la distancia recorrida por el gusano con respecto al tiempo?
a)
En el último tramo el gusano no se desplazó a velocidad constante: al inicio, donde la
subida está más pronunciada, avanzó lento; luego, en el tramo donde la inclinación de
la subida disminuye, fue aumentando la velocidad.
• ¿Cómo tendría que ser la curva que representa ese tramo en la gráfica?

71
b)
• ¿Qué indica la gráfica en el primer tramo del recorrido?, ¿al aumentar el tiempo, los
valores de la distancia aumentan o disminuyen?
• ¿Qué representa el segmento horizontal en la gráfica correspondiente al segundo
tramo?, ¿qué distancia recorre el gusano en dicho tramo?
c)
• En el primer tramo del recorrido el gusano avanzó más rápido que en el segundo
tramo ¿cómo se representa esto en la gráfica?, ¿cómo debe ser la inclinación de la
primera recta en la gráfica con respecto a la segunda?
• Si en el último tramo el gusano primero avanzó lento y luego fue aumentando su
velocidad ¿el segmento que lo representa en la gráfica debe ser una curva que “abre
hacia arriba”?

72
d)
• ¿Cuál segmento debe tener una mayor inclinación, el que representa el primer tramo
o el que representa al segundo?
• Si en el último tramo el gusano primero avanzó lento y luego fue aumentando su
velocidad ¿el segmento que lo representa en la gráfica debe ser una curva que “abre
hacia arriba”?
32. Un recipiente se llenó por medio de una llave de la que fluye el agua de forma
constante. ¿Al llenado de cuál de los siguientes recipientes corresponde la gráfica que
se muestra?

73
a)
• ¿Cuántas secciones hay en la gráfica?, ¿cuántas secciones tiene el recipiente?
b)
• En la sección de abajo del recipiente, el nivel del agua no sube de manera
constante: primero sube rápido y luego más lento porque el recipiente se va
ensanchando. ¿La gráfica que corresponde a esa sección es una línea recta o una
curva?

74
c)
• En la sección de arriba del recipiente el nivel del agua sube cada vez más rápido
porque el recipiente se va angostando. ¿La gráfica que corresponde es una línea recta
o una curva?
• Si la sección de arriba primero es ancha significa que el nivel del agua sube poco en
mucho tiempo. Después se va angostando, entonces la altura del nivel del agua sube
más en menos tiempo. ¿Hacia dónde abre la curva que representa esto en la gráfica?
d)
• En la sección de arriba del recipiente, el nivel del agua cada vez sube más lento
porque se va ensanchando. ¿La gráfica que corresponde es una línea recta o una
curva?
• En la sección de arriba, la rapidez con la que sube el nivel de agua va
disminuyendo, debido a que el recipiente se va ensanchando cada vez más. ¿Hacia
dónde abre la curva que representa esto en la gráfica?

75
33. En la siguiente figura las rectas m, n y o son paralelas al segmento DH
Calcula la longitud del segmento EH.
a) 9.4 cm
• ¿El segmento correspondiente a CD mide más o mide lo mismo que CD?
b) 9.18 cm
• Para encontrar la medida del segmento EH se puede utilizar cualquiera de las
siguientes igualdades:
FG
BC
EH
AD
= . o
BC
FG
AD
EH
= .
• Explica por qué.
• ¿Qué valores conoces en estas igualdades?

76
• Realiza los despejes correspondientes para encontrar el valor de EH en cada
igualdad.
• ¿Obtuviste el mismo valor para EH en cada caso?
c) 9.9 cm
• Para encontrar la medida del segmento EH se pueden utilizar dos igualdades:
• Primero se calcula la medida del segmento EF a partir de la relación
FG
BC
EF
AB
= , y
luego se calcula la medida del segmento GH a partir de
FG
BC
GH
CD
= . Explica por qué se
pueden plantear estas igualdades.
• ¿Utilizaste estas igualdades?
d) 10.2 cm
La razón de la medida del segmento BC a la medida de su correspondiente FG es
44
4
.
,
¿cuál expresión representa la razón de la medida del segmento AB a la de su
correspondiente EF?
62.
x
o
x
.62
.
• Con la razón
44
4
.
y la que elegiste, ¿cómo puedes encontrar la medida del segmento
correspondiente al segmento AB?
• ¿Cómo puedes encontrar la medida del segmento correspondiente al segmento EF?

77
34. El polígono verde es homotético con respecto al rojo. Encuentra la medida del
segmento ED' y la razón de homotecia.
a) ED' = 2.06, Razón = -2
• Al ser homotéticos ¿cómo son entre sí las medidas de los lados correspondientes?
• El polígono original es el rojo, entonces ¿a qué razón de homotecia está el verde?
• Explica porqué en este caso la razón puede ser negativa.
b) ED' = – 2.06, Razón
2
1
−=
• Encuentra el centro de homotecia
• ¿Cuál es el segmento correspondiente de ED’?
• ¿Esta medida puede ser negativa?
• ¿Por qué la razón es negativa para este caso?
c) ED' = 2.06, Razón = 2
• ¿Cuál es la razón de los lados correspondientes? =
BC
CB ''
• Si el polígono verde es homotético con respecto al rojo, entonces ¿cuál es la razón de
homotecia para cada uno de los siguientes casos?

78
d) ED' = 2.06, Razón
2
1
−=
• Compara la siguiente pareja de figuras homotéticas con la del problema
• ¿En dónde se encuentra el centro de homotecia para cada caso?
• ¿Cuál es la razón de homotecia para este par de figuras si, al igual que en el
problema, tomamos como original la figura roja?

79
Bloque III
Eje
22
Tabla de una relación funcional cuadrática.
En este reactivo los alumnos deberán identificar la tabla que modela una
relación funcional cuadrática.
Lo primero que ellos pueden hacer es plantear expresiones para el
frente del terreno y para el fondo. Por ejemplo, si x representa el valor del
frente, entonces 16 – x es la expresión que representa el fondo. Es posible
que los alumnos consideren todo el valor del perímetro (32 m) al plantear las
expresiones, en vez de sólo considerar el semiperímetro, que son 16 m.
Pídales que dibujen algunos terrenos y que escriban la longitud de sus lados
para que se den cuenta del error.
También podrían cometer algún error al multiplicar las expresiones que
representan al frente y al fondo del terreno. Retomando el ejemplo anterior,
considere que los alumnos ya saben cómo calcular el área de un rectángulo,
por lo que pueden plantear algo como:
Área = frente x fondo = x (16 – x) = 16x – x²
Será necesario que los alumnos logren obtener la expresión correcta,
pues a partir de ella podrán calcular los valores correspondientes en la tabla.
23
Función cuadrática de un problema.
En este reactivo los alumnos identificarán la función cuadrática asociada a un
problema dado.
El problema consiste en relacionar la medida del lado de una caja de base
rectangular con su volumen. En este caso, conviene que recuerden cómo se
calcula el volumen de un prisma rectangular.
Un procedimiento convencional es que los alumnos planteen
expresiones para el frente y el fondo de la base de la caja. Si L representa el
valor del frente y el fondo es el doble del frente, es decir, 2L, entonces para
calcular el área de la base deberán multiplicar el frente por el fondo, esto es,
L x 2L = 2L².
Para obtener la expresión que relacione el lado L con el volumen V de la
caja, basta con multiplicar la expresión por el valor de la altura:
Volumen = área de la base x altura = 2L² x 3
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
24
Resolución de una ecuación cuadrática (1)
En este reactivo los alumnos resolverán una ecuación cuadrática mediante la
fórmula general.
Un error frecuente en la resolución de ecuaciones cuadráticas se presenta al

80
momento de identificar los valores correspondientes a los coeficientes de los
términos cuadrático, lineal e independiente. Si ocurre esto, sugiera a los
alumnos que escriban la ecuación del problema en su forma general: ax² +
bx + c = 0.
En relación con lo anterior, otro error que puede presentarse es no
cambiar los signos al transponer términos de un lado de la ecuación al otro,
para pasar la ecuación dada a la forma general.
Si observa que los alumnos tienen dificultades para aplicar la fórmula
general y hallar así las soluciones de la ecuación, apóyelos en el proceso de
sustituir los valores de a, b y c, así como para realizar correctamente las
operaciones correspondientes.
Finalmente, una forma de confirmar si los valores de la opción elegida
son soluciones o no de la ecuación, es que los alumnos sustituyan esos
valores en la ecuación y realicen las operaciones. Recuérdeles que para que
un valor sea solución, se debe obtener el mismo valor en ambos lados de la
ecuación.
25
Resolución de una ecuación cuadrática (2)
En este reactivo los alumnos resolverán una ecuación cuadrática asociada a
un problema mediante la fórmula general.
Un error frecuente en la resolución de ecuaciones cuadráticas se
presenta al momento de identificar los valores correspondientes a los
coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente. Si ocurre esto,
sugiera a los alumnos que muestren la ecuación del problema en su forma
general: ax² + bx + c = 0.
En relación con lo anterior, otro error que puede presentarse es no
cambiar los signos al transponer términos de un lado de la ecuación al otro,
para escribirla en su forma general.
Si observa que los alumnos tienen dificultades para aplicar la fórmula general
y hallar así las soluciones de la ecuación, apóyelos en el proceso de sustituir
los valores de a, b y c, así como para realizar correctamente las operaciones
correspondientes.
Una forma de confirmar si los valores de la opción elegida son
soluciones o no de la ecuación, es que los alumnos sustituyan esos valores
en la ecuación y realicen las operaciones. Recuérdeles que para que un valor
sea solución, se debe obtener el mismo valor en ambos lados de la ecuación.
Manejo de la
información
26
El despeje y su gráfica.
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar que los datos de la
tabla definen puntos y todos estos puntos deben pertenecer a la gráfica que
representa la relación.
En contraste con una línea recta, (la cual esta determinada de manera
única por dos puntos que pertenezcan a ella) para la gráfica de curvas como
la parábola hay que tener la mayor cantidad de puntos posible para tener más
precisión al elaborar su gráfica.

81
27
Los gases.
Si a los alumnos se les hace difícil, hágales notar algunas de las
características que tiene la gráfica.
Por ejemplo, en la gráfica no aparece el valor que le corresponde a cero,
(de hecho no existe este valor ya que en la expresión correcta carece de
sentido evaluar cuando x = 0). Con esta información podrán descartar dos de
las opciones.
También puede destacar una particularidad muy interesante: el volumen
que ocupa el gas en el recipiente es inversamente proporcional a la presión
ejercida, esto es, mientras más presión haya menor volumen ocupa y
viceversa. Pregunte a los alumnos ¿cómo son las expresiones de relaciones
inversamente proporcionales?
Como cierre puede pedir a los alumnos que elaboren la grafica de cada
una de las expresiones de las opciones.
28
Las parábolas.
cual de las opciones es la correcta, puede hacer notar algunas de las
características particulares que tiene la gráfica de parábolas de la forma la y
= ax² + b.
Por ejemplo, puede destacar que en la gráfica de la expresión y = ax² +
b, la ordenada al origen es el número b, el vértice de la parábola se
encuentra en el punto (0,b) y si a es un número positivo entonces la parábola
abre hacia arriba, mientras que si a es negativo la parábola abre hacia abajo.
una de las expresiones de todas las opciones de respuesta.
29
Las gráficas desplazadas.
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar alguna de las
características particulares que tienen las gráficas de las parábolas, como lo
son la ordenada al origen, el valor máximo o mínimo o el vértice de la
parábola.
Por ejemplo, en parábolas de la forma y = (x – a)² + b su vértice se
encuentra en el punto (a,b).
En dos o más expresiones de este tipo si el valor de a permanece fijo y
el valor de b cambia, solamente se está desplazando el centro de la
parábolas paralelamente al eje y.
Si dispone de calculadora graficadora realice algunos ejemplos para
mostrar lo dicho anteriormente, puede poner, por ejemplo, a = 3, e ir
cambiando el valor de b.
Como cierre puede pedir a los alumnos que traten de encontrar las
expresiones algebraicas de cada una de las gráficas dadas en cada opción
de respuesta.

82
30
Las cúbicas.
la opción correcta, puede hacer notar alguna de las características
particulares que tienen las gráficas de expresiones cúbicas de la forma la y =
ax³ + b.
Por ejemplo, puede destacar que en la gráfica de la expresión y = ax³ + b, la
ordenada al origen es el número b (el valor de y cuando x = 0), si a es un
número positivo entonces la gráfica de la expresión tiene la forma:
Mientras que cuando a es negativo la gráfica de la expresión tiene la
forma:
una de las expresiones de todas las opciones de respuesta.

83
31
Gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
Si para los alumnos es difícil identificar la gráfica correcta proponga un
ejemplo con datos concretos para hacer una gráfica:
Un gusano hizo un recorrido de 18 cm en el que hubo tres tramos
distintos, cada uno de 6 cm. En el primero avanzó a una velocidad
constante de 1 cm cada 5 segundos. En el segundo avanzó a una
velocidad constante de 1 cm cada 10 segundos. En el tercero, al
principio de la subida avanzó lento y conforme la subida se fue
haciendo menos pronunciada aumentó su velocidad. Traza la gráfica
que corresponde a ese recorrido.
Dibuje en el pizarrón los ejes y una tabla de valores como se muestra:

84
Aclare que, debido a que en el tercer tramo la velocidad no es constante
y se desconocen los valores, no se puede llenar la tabla con información
correspondiente a este tramo. Sin embargo, sí se sabe que primero avanza
más lento y luego va aumentando la velocidad, por eso, en la gráfica la curva
“abre hacia arriba” (al principio avanza poca distancia en más tiempo).
32
Llenado de recipientes y secciones rectas y curvas.
Es probable que los alumnos identifiquen rápidamente que el recipiente que
deben hallar se compone de dos secciones: la primera es un prisma porque
su llenado es constante, y la segunda tiene una sección inclinada o curva.
Quizá la dificultad para ellos se presente al identificar si el recipiente
correcto es el de la opción c) o el de la d) porque en ello radica hacia dónde
“abre” la curva. Haga notar que en el recipiente de la opción c) la sección
superior se va angostando, entonces el nivel del agua sube más rápido cada
vez. La gráfica que correspondería a este recipiente sería así:
En cambio, en el recipiente de la opción d) la sección superior se va
ensanchando, por lo que el nivel del agua sube más lento cada vez.
Forma,
espacio y
medida
33
Teorema de Tales.
El propósito del ejercicio es emplear el teorema de Tales, que enuncia:
cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas,
se cumple que las medidas de los segmentos determinados por las paralelas
en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos
correspondientes determinados en la otra.
Es posible que los alumnos tengan problemas para identificar cuáles son
los segmentos correspondientes, puede pedirles que lean el teorema de
Tales e interpreten en algunos ejemplos lo que dice para que identifiquen
cuáles son estos segmentos.
Para encontrar las medidas que faltan pueden escribir las razones entre
los lados correspondientes. Por ejemplo, para encontrar la medida del
segmento EF se puede utilizar la siguiente relación:
,
.
. 4
44
62
===
BC
FGx
AB
EF
entonces
4
44
62
.
.
=
x

85
Recuerde que hay dos maneras de establecer las razones o cocientes.
Los alumnos pueden intercambiar los numeradores con los denominadores,
pero cuidando que los segmentos correspondientes tengan el mismo orden.
FG
BC
EF
AB
= es equivalente a
BC
FG
AB
EF
=
Si el alumno se equivoca aún cuando identifica bien los segmentos
correspondientes y acomoda los cocientes de forma adecuada, revise cómo
calculó el valor faltante. Por ejemplo, es común que el alumno llegue a una
situación como la que sigue, en donde el error está en el despeje,
FG
BC
x
AB
= y concluya que el valor de x es igual a
( )( )ABFG
BC
Como cierre puede pedirles a los estudiantes que compartan los
procedimientos utilizados para revisar si hubo maneras distintas de llegar al
mismo resultado, o bien para que a partir de la comparación de
procedimientos puedan identificar los errores cometidos.
34
Razón de homotecia.
Los alumnos tienen dificultades para resolver el problema, pídales que
investiguen cómo se caracteriza a dos figuras que son homotéticas entre sí.
Es conveniente que se revisen figuras que tengan razones de homotecia
mayor que cero y que identifiquen qué ocurre cuando la razón de homotecia
es mayor que uno y cuando es menor que uno.
Después de que tengan claro estos aspectos, recuérdeles que hay
figuras que tienen razón de homotecia negativa. Analice algunos ejemplos
junto con ellos e identifique qué es lo que cambia, qué diferencias hay con
respecto a figuras que son homotéticas con razones positivas.
En el caso de este problema es conveniente que los encamine a que
identifiquen cuál es el centro de homotecia y a partir de ahí revisen cómo se
obtiene la razón de homotecia.

86
BLOQUE IV
35. ¿Cuál es la sucesión de números que se genera con la regla nn 22
+ ?
a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• En la sucesión de números que elegiste, ¿cuál es la diferencia entre términos
consecutivos?
• En una sucesión de números, si la diferencia entre términos consecutivos es
constante, la regla que la genera es lineal y tiene la forma: ban + .
• La expresión nn 22
+ , ¿es lineal? ¿Por qué?
• Copia la siguiente expresión y calcula el primer término de la sucesión cuando n es
igual a 1: (1)² + 2(1) = (1)(1) + 2(1) =
b) 3, 8, 15, 24, 35, 48, …
• A partir de la sucesión de números que elegiste, completa la siguiente tabla:
Número de término 1 2 3 4
Término de la
sucesión
3 8 15 24 35 48
Diferencias entre
términos
consecutivos (nivel 1)
8-3 =
Diferencias (nivel 2)
• ¿En qué nivel de las diferencias aparece una constante diferente de cero? ¿Cuál es
el valor de la constante que aparece?
• Si al obtener las diferencias de una sucesión de números aparece una constante
diferente de cero en el nivel 2, la expresión algebraica que genera dicha sucesión es
cuadrática y el valor de esa constante es el doble del coeficiente del término
cuadrático de la expresión algebraica.
• Copia la siguiente expresión y calcula el segundo término de la sucesión cuando n
es igual a 2: (2)² + 2(2) = (2)(2) + 2(2) =

87
c) 4, 8, 14, 24, 42, 76, …
• A partir de la sucesión de números que elegiste, completa la siguiente tabla:
Número de término 1 2 3 4
Término de la sucesión 4 8 14 24 42 76
Diferencias entre
términos consecutivos
(nivel 1)
8-4 =
Diferencias (nivel 2)
• ¿En qué nivel de las diferencias aparece una constante diferente de cero? ¿Cuál es
el valor de la constante que aparece?
• Si al obtener las diferencias de una sucesión de números aparece una constante
diferente de cero en el nivel 2, la expresión algebraica que genera dicha sucesión es
cuadrática y el valor de esa constante es el doble del coeficiente del término
cuadrático de la expresión algebraica.
• Copia la siguiente expresión y calcula el tercer término de la sucesión cuando n es
igual a 3: (3)² + 2(3) = (3)(3) + 2(3) =
d) 3, 12, 27, 48, 75, 108, …
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala con los primeros términos de la
sucesión que se genera con la regla nn 22
+
Número de término Término de la sucesión
1 12
+ 2(1) =
2 22
+ 2(2) =
3 32
+ 2(3) =
4 42
+ 2(4) =
5 52
+ 2(5) =

88
36. Observa la siguiente sucesión de figuras:
Si se continúa con la sucesión, ¿cuántos cuadritos tendrá la figura 15?
a) 289
Observa en cada una de las figuras de la sucesión, se ha identificado y remarcado un
cuadrado:
• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe como se genera ese cuadrado?
El cuadrado del número de la figura.
El número de la figura más dos unidades al cuadrado.
El doble del número de la figura al cuadrado.
• ¿Cuántos cuadritos por lado tendrá el cuadrado que se remarque en la figura 15?
• En la figura 2 se han agregado dos cuadritos de cada lado del cuadrado remarcado.
En total, se agregan ocho cuadritos al cuadrado remarcado.
• En el caso de la figura 15, ¿cuántos cuadritos en total se agregaran a cada lado del
cuadrado que se remarque?

89
b) 387
Observa, nuevamente, la sucesión de figuras, a la cual se ha integrado la figura 5:
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
Número de la
figura
Número de cuadritos en
esa figura
1 9
Diferencia entre
términos
consecutivos
2 24
3
4
5
• Una vez que hayas completado la tabla, anota cuáles de las siguientes relaciones se
cumplen:
La figura 4 está formada por el doble de cuadritos que la figura 2.
Los cuadritos que se agregaron a la figura 2 para obtener la figura 3 son 25.
La figura 3 está formada por el triple de cuadritos que la figura 1.
Los cuadritos que se agregaron a la figura 3 para obtener la figura 4 son 35.
• Si se continúa con la sucesión, ¿cuántos cuadritos se agregarían a la figura 5 para
obtener la figura 6?
• En total, ¿cuántos cuadritos tendría la figura 6?
• ¿Cuántos cuadritos se agregarían a la figura 14 para obtener la figura 15?
24-9=15

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