Tema i matrices algebra lineal iutajs

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL
TEMA I: MATRICES (USANDO CALCULADORA DE CASIO MODELO FX-
570ES PLUS)
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858,
A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema
de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de
su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de
forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los
lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores
como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...
Definición: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en
general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden
n""m  a un conjunto rectangular de elementos ija dispuestos en m filas y en n
columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y
n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe .aij Si el elemento
genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: )(aA ji
nmmnmm
ij
n
n
nm
aaa
a
aaa
aaa
A





















21
22221
11211
Ejemplo: Sea la matriz ,
4
5
2
3
7
6
1
32 






 
A donde sus filas son: 





 53
6
1
y
 427 . Y sus columnas son: ,
7
6
1













 
2
3
y .
4
5







TEMA I: MATRICES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz A nm es .m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de
matrices. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del
otro.
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices nmj )(aiA  y qpij )(bB  de la misma dimensión
(equidimensionales): pm  y qn  es otra matriz
    .nmjijinmji bacBAC 
 Por ejemplo, sean las matrices:
,
21
22221
11211
nmmnmm
ij
n
n
nm
aaa
a
aaa
aaa
AA





















.
21
22221
11211
nmmnmm
ij
n
n
nm
bbb
b
bbb
bbb
BB





















Definimos la suma mediante:
,
2211
2222222121
1112121111
nmmnmnmmmm
ijij
nn
nn
bababa
ba
bababa
bababa
BA
























Es una ley de composición interna con las siguientes propiedades:
· Asociativa: CB)(AC)(BA 
· Conmutativa: ABBA 
· Elemento neutro: (Matriz cero nm0 ), AAA  00
· Elemento simétrico: (Matriz opuesta-A ), 0A(-A)(-A)A 
Al conjunto de las matrices de dimensión nm cuyos elementos son números reales lo
vamos a representar por M nm y como hemos visto, por cumplir las propiedades
anteriores, )( M,  es un grupo abeliano.

NOTA: La suma de dos matrices y la diferencia de dos matrices (Suma de una matriz
con la opuesta de otra matriz) NO están definidas si sus dimensiones son distintas.
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
 
































mnmm
ij
n
n
nmmnmm
ij
n
n
ijnm
aaa
a
aaa
aaa
A
aaa
a
aaa
aaa
aAA













21
22221
11211
21
22221
11211
;
Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades:
· Asociativa: AA )()(  
· Distributiva I: BABA   )(
· Distributiva II: AAA   )(
· Elemento Neutro de escalares: AA 1
Para todo ;1,, R para toda matriz .nmMA  Por lo tanto la terna ],,[ RM nm 
constituye un espacio vectorial.
MATRICES IGUALES
Dos matrices  aA nmij 
 y   qpijbB 
 son iguales, sí y solo si, tienen en los
mismos lugares elementos iguales, es decir: jibaqnpm ijij  ,;,
Ejercicio: Dadas las siguientes matrices
;
810
321





 
A ;
853
201







B 1 y 2
Calcular:
,BA  ,A ,BA  ,B .BA  
Solución:

Calculemos :BA






























 

1663
522
885130
230211
853
201
810
321
BA
BA
BA
Calculemos :A
 
           
           























 

810
321
811101
312111
810
321
1
A
A
A



Calculemos :BA 
 
     
       































 














 













 

043
120
885130
230211
853
201
810
321
815131
210111
810
321
853
201
1
810
321
BA
BA
BA
BA
BA





 
     
       































 














 













 

043
120
885130
230211
853
201
810
321
815131
210111
810
321
853
201
1
810
321
BA
BA
BA
BA
BA






NOTA: ¿Qué nos define la operación ,BA  de acuerdo a lo estudiado en la
diferencia de vectores? Se puede decir que define la resta de vectores.
Calculemos :B
 

























16106
402
825232
220212
853
201
2
B
B
B



Calculemos :BA  
 
       
       






























































 

896
121
168101-60
430221
16106
402
81-0
321
825232
220212
811101
312111
853
201
2
810
321
1
BA
BA
BA
BA
BA





Usando calculadora: Utilizaremos el modelo fx-570ES PLUS de CASIO que ofrece la
posibilidad de trabajar en dos líneas, se aproxima a la escritura natural, similar a la que
estamos habituados a utilizar en el aula cuando escribimos en la pizarra. Del curso:
Matemáticas a través de la calculadora científica

Esta actividad se realiza con la colaboración y el patrocinio de:
Profesorado: Encarnación Amaro Parrado
Agustín Carrillo de Albornoz Torres
José María Chacón Íñigo
Manuel Amaro Parrado
EMULADOR DE LA CALCULADORA fx-570ES PLUS
Para el desarrollo del curso utilizaremos el emulador de la calculadora fx-570ES
PLUS que nos permitirá realizar todas las operaciones como en una calculadora real,
con la ventaja de poder capturar las imágenes que produce para pegarlas
posteriormente en un procesador.
La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con matrices de hasta 3 filas x 3
columnas. Para entrar en el modo de cálculo matricial, debemos pulsar en MODE
6: MATRIX
Ahora nos aparece la siguiente pantalla donde podemos definir tres matrices, MatA,
MatB y MatC
Al seleccionar una de las matrices, normalmente, la A, aparece una nueva pantalla
para elegir la dimensión de la matriz.

Pulsaríamos 2, para elegir la dimensión e ir introduciendo los números de dicha
matriz por filas pulsando la tecla después de cada nuevo ingreso. Al borrar la
pantalla nuestra matriz se ha almacenado en una variable llamada MatrizA
Para operar con las matrices, debemos entrar en el submenú de operaciones pulsando
. Nos aparece el siguiente menú:
1: Dim para dimensionar la matriz
2: Data nos permite entrar de nuevo en la matriz y modificar sus datos, también
podemos seleccionar los datos, borrarlos o copiarlos a otra matriz
3: MatA pulsando esta opción nos permite "llamar" a esa matriz para operar con
ella.
4: MatB Ídem con la matriz B
5: MatC Ídem con la matriz C
6: MatAns es la memoria de respuesta de los cálculos matriciales
7: det calcula el determinante de una matriz.
8: Trn halla la transpuesta de una matriz
Ahora sean las matrices:
La suma :BA
Además :A

Y :BA 
Además :B
Y :BA  
Recordar que las matrices al ser elementos de un espacio vectorial, son denominadas
vectores, lo cual no concuerda con la idea de vectores de los físicos, es decir, con la idea de
un ente con dirección y sentido a parte de una magnitud o módulo. Al igual que las matrices
de acuerdo a que ),,()( KXAKM nm  donde ,nm EEX  tenemos que las funciones son
vectores también.
En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal.
Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados.
Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios
vectoriales de dimensión n. Este resultado será realmente interesante. En toda esta parte,
supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con
algunas definiciones básicas.
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de dos matrices )( ijaA  de dimensión nm y otra matriz
)( jkbB  de dimensión pn es la matriz BA. dada por: ).(. ikcBA 

Con ,. jkijik bac es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -
ésima de la primera matriz por la columna k -ésima de la segunda matriz.
Si











mnm
n
aa
aa
A



1
111
y











npn
p
bb
bb
B



1
111
entonces tenemos que:













npmnpmnmnm
npnpnn
babababa
babababa
AB



111111
1111111111
Por ejemplos:
1. Sean las matices:
,
0
7
5
4
1
2





 

A












17
43
01
B
Podemos realizar el producto de las matrices 32)(  ijaA y otra matriz 23)(  jkbB
dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC
       
       
.algebraicasumalaRealizando
2016
.2359
A
productos.losRealizando
02000151
716049122
matrices.de
productodeDefinición
104501703511
174402773412
17
43
01
0
7
5
4
1
2











































 


B
BA
BA
BA

Usando la calculadora: Sean las matrices:
Luego, multiplicandolas:
2. Se puede realizar el producto AB en las matrices anteriores:
,
0
7
5
4
1
2





 

A












17
43
01
B
En efecto, podemos realizar el producto de las matrices 23)(  jkbB y otra
matriz 32)(  kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 33 jicABD
   
       
         
049528114
021201246
070402
matrices.deproductodeDefinición
017751471127
047354431423
007150411021
0
7
5
4
1
2
17
43
01

































 














AB
AB
AB

492315
21810
742













 AB
Usando la calculadora: Sean las matrices:
¿Siempre se podrá hacer el producto de BA y de AB ?
3. De acuerdo con la pregunta anterior que sucede con las matrices: ,
01
32





 
A








3
5
B . En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 22)(  ijaA
y otra matriz 12)(  jkbB dándonos una matriz BA . dada por:
.)(. 12 ikcBAC
   
 
5
19
05
910
3051
3352
3
5
01
32





































 

BA
BA
BA
BA

 
5
19
05
910
3051



















 
BA
BA
Usando la calculadora:
Sean las matrices:
Pero no podemos realizar el producto de las matrices 12)(  jkbB y otra matriz
22)(  ijaA .
Y la misma calculadora nos dice un error:
Concluyendo que para realizar la multiplicación o producto de dos matrices, el número de
filas da la primera matriz deben ser igual al número de columnas de la segunda matriz.
4. Si las matrices son cuadradas del mismo orden siempre se van a poder multiplicar
BA y AB , por ejemplo sean las matrices:
,
01
32





 
A 




 

72
10
B

En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 32)(  ijaA y otra matriz
22)(  jkbB dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC
En efecto:
     
 
10
236
0100
21260
70112001
73122302
72
10
01
32
































 





 

BA
BA
BA
BA
Usando la calculadora:
Sean las matrices:
Además, podemos realizar el producto de las matrices 22)(  jkbB y otra
matriz 22)(  kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 22 jicABD

En efecto:
     
 
611
01
0674
0010
07321722
01301120
01
32
72
10
































 





 

AB
AB
AB
AB
Y ahora surge la siguiente pregunta: ¿ ABBA  ?
Es decir: ¿El producto de matrices es conmutativo?
GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES
MATRIZ DE ORDEN .nm
Sea K un cuerpo, una matriz de orden nm es una aplicación f cuyo dominio es
nm II  y su codominio es ,K siendo  ,,,2,1 mIm   .,,2,1 nIn  La matriz f asocia
a cada par ordenado ,),( nm IIji  un elemento .),( Kajif ij 
Y la matriz .)( nmijaf  El primer subíndice i toma valores desde 1 hasta m y el
subíndice j toma valores desde 1 hasta .n

Ejemplo: Sea la matriz en ,RK  32)(  ijaf dada por la aplicación jijif ),(
donde ,21  i .31  j Es una matriz 32 (2 filas y 3 columnas), cuyos elementos son:
532)3,2(
422)2,2(
312)1,2(
431)3,1(
321)2,1(
211)1,1(
23
22
21
13
12
11






fa
fa
fa
fa
fa
fa
Luego, la matriz así definida se escribe en la forma:
32
543
432







f
Ejercicio: Sea A la matriz en RK  definida por la aplicación 22
),( jijiA  con
,31  i .51  j Escribir la matriz A como un arreglo rectangular.
SUMA DE MATRICES
1. Sea A una matriz tal que .
3,30
3
2
1
22








 AA Hallar .A
2. Demuestre que:
a) ABBA  [Propiedad Conmutativa]
b)    CBACBA  [Propiedad Asociativa]
c) AAA  00 [Existencia del elemento neutro]
d)     0 AAAA [Existencia del elemento opuesto]
3. Sea













 Ryx
xy
yx
M ,:
5
2
Verifique que si A y B son matrices del conjunto
,M entonces .MBA 
4. Determine cuáles de las siguientes par de matrices se pueden sumar:
a.  ,652A 








3,2779
501
B
b. ,
71189
7605
4321










A














71187
17602
241521
B
5. Hallar x e y sabiendo que


















 
xy
y
54
11
1
3
63
21

6. Sean A y B matrices de orden mn  tal que .BA  Demuestre que si X es otra
matriz de orden ,mn entonces .XBXA 
[Este resultado nos demuestra que si ,A B y C son matrices del mismo orden,
entonces si ,CBA  tenemos que    .BCBBA  Luego,
,0 BCA  y por tanto ,BCACBA  es decir podemos despejar una
ecuación donde intervienen matrices].
7. Hallar una matriz X tal que ,BXA  donde las matrices A y B están definidas
como sigue:
,
3
3
2
8
2
7
5
1
















A ,
3
1
9
1
2
1
3
5
2
9
















B
8. Verifique que la suma de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores, y
diagonales es una matriz triangular inferior, triangular superior ó diagonal
respectivamente.
9. Demuestre que toda matriz cuadrada se escribe como suma de:
a) Una matriz triangular superior y una matriz triangular superior.
b) Una matriz triangular superior, una matriz triangular superior y una matriz
diagonal.
c) Una matriz simétrica y una matriz triangular inferior ó triangular superior.
10. Sean A y B matrices del mismo orden. Demuestre que:   .TTT
BABA 
11. Verifique que la suma de matrices simétricas es también una matriz simétrica.
12. Compruebe que sí A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
     .BtrAtrBAtr  Donde dada una matriz cuadrada  ijaA  de orden n se
llama traza de la matriz A al número que se obtiene sumando los elementos de la
diagonal principal. A este número lo denotamos  .Atr Calcule además,  nItr y
 .0ntr
PRODUCTO DE MATRICES
1. Dadas las Matrices:
,






dc
ba
A 






hg
fe
B
¿Será cierto que BAAB  ? ¿Se cumple la propiedad conmutativa?
2. Determinar si es posible hacer el producto ,AB donde A y B son las
siguientes matrices:

a)  ,351 A 






43
21
B
b) 






312
531
A ,












21
12
31
B
3. Consideremos las matrices:












0132
1102
6417
A , 






512
302
B
¿Cuál de los productos es posible AB ó BA?
4. Sea 








312
231
A , .
21
12
31











B Calcular AB y BA ¿Qué
concluyes?
5. Demuestre que si Aes una matriz cuadrada de orden ,n entonces
.AAIAI nn  para la matriz identidad de orden “ n ” ,nI la cual es el
elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden “ n ”.
6. Sean 










52
2
5
1
A y ,
42
105








B las cuales no son matrices nulas.
Calcular .AB [En este ejercicio se puede observar que el producto de
matrices no nulas da como resultado la matriz nula, situación que no ocurre
con los números reales, pues: 00.  aba ó .0b ]
7. Demuestre:
a)    BCACAB  [Propiedad asociativa]
b)   ACABCBA  [Propiedad distributiva a izquierda]
c)   BCACCBA  [Propiedad distributiva a derecha]
8. Sean ,
012
52
31












z
y
x
A ,
59
20
01













z
y
x
B .
2225
5109215
3266












z
yyC
Hallar los valores de ,x ,y z de tal forma que .CAB 
9. Sean A una matriz cuadrada y las siguientes matrices:

,
0000
0000
0000
0001
1












A ,
0000
0000
0010
0000
2












A ,
0000
0100
0000
0000
3












A
.
1000
0000
0000
0000
4












A
Verificar que .4321 AAAAAAAAA 
10.Sean R, y consideremos la matriz ,
cos
cos










sen
sen
A
.
cos
cos










sen
sen
B Verifique que
   
   
.
cos
cos











sen
sen
AB
11.Sean A y B matrices tales que se puedan realizar los productos AB y .BA
¿Qué se pueden decir de los órdenes de A y B ?
12.Sean A y B matrices tales que .BAAB  Verifique que
  .2 222
BABABA  ¿Cuándo se espera que
  222
2 BABABA  ? Da un ejemplo de matrices A y B tales que
  222
2 BABABA  y   .2 222
BABABA 
[Potencias de Matrices: Sea A una matriz cuadrada. Las potencias de A se
definen de la siguiente manera:
,0
nIA  ,1
AA  ,2
AAA  ,23
AAAAAA 
Y en general si 1n es un entero entonces 1
 nn
AAA ]
EJERCICIOS VARIADOS
1. Determine los valores de ,x y para que las matriz 








120
02
yx
yx
A sea
una matriz nula.
2. Determine explícitamente la diagonal principal de la matriz














1410
7,021
34
a
a
a
C sabiendo que a es el sexto término de una progresión

geométrica de razón 3r y con segundo término igual a 11. [El término general de
esta progresión geométrica 2
2

 n
n rbb para Nnn  ,2 ]
3. Indicar el orden de cada una de las siguientes matrices y especifique cuales son
matrices cuadradas, triangulares superiores, triangulares inferiores, simétricas, filas
o columnas:
a)











000
000
000
A
b) 







21
421
B
c) 









8,12152,0
8
1
1
C d)











 

17000
1,01200
10150
10810
D
e)
 
 


























100
2,0
5
1
0
26
3
0
2
1
36
3238
2
1
0
0
2
2
5,012ln2
1304ln2,0
3
3
32
E
4. Verifique que la transpuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa.
5. Determine cuando una matriz es igual a su transpuesta.
6. Verifique que la transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz
triangular inferior y viceversa.
7. Verifique que si A es una matriz cuadrada, entonces A y T
A tienen la misma
diagonal. ¿Qué relación hay entre  Atr y  T
Atr ?
8. Una matriz se dice antisimétrica si .AAT
 Da ejemplos de matrices antisimétricas
y determina que matriz es simétrica y antisimétrica.
9. Verifique que la suma de matrices antisimétricas es también una matriz
antisimétrica.
10. Determine los valores de las constantes ,x ,y z de tal forma que la matriz















238
37,027
325
8771
zx
yxyx
A
Sea una matriz simétrica.

11. Sean ,a ,b ,c Rd  y considere la matriz .
11
1
11











d
cb
a
A Verifique que las
matrices T
AA y AAT
son matrices simétricas.
12. Sean ,
3
8
3
1
75,20
2










e
A .
5
2
4
5
72
2
7
2
3















e
B Hallar .
5
1
2 BA 
13. Resuelve .0
8
3
6
5
1,1
68,3
2
1
021
2
1
3
2
33




























khg
fed
cba
14. Resuelve .
2
9
1
5
1
0
3
2
5
3
71
7
2
5
1






























wz
yx
15. Demuestre que toda matriz cuadrada de orden 2 se puede escribir en la forma
.
10
00
01
00
00
10
00
01
4331 























aaaa
Trata de generalizarlo.
16. Sea












 0,02,0:
0
wuzyyx
wu
zyx
M
a) Muestre algunas matrices del conjunto .M
b) Verifique que
,,:
0
2


















 Rux
uu
x
xx
M














 Ruz
uu
zzz
M ,:
0
22
c) Verifica que si A y B son matrices en M y ,R entonces se cumple que
MBA  y .MA
17. Sea x un número real. Calcule de varias formas


















21
01
14
21
01
5
21
012
xx
18. Sean A y B matrices del mismo orden. Verificar que si ,0 entonces BA 
.
1
BA



19. Sean 









43
5
1
1
D y .
01
98







E Hallar una matriz X tal que .
3
2
5
2
1
EXD 
20. Sean 







32
51
D y .
03
25






E Resuelve el sistema de
ecuaciones:





EYX
DYX
2
32
21. Sea A una matriz de orden ,nm verifica que:
a) AA 1
b) mnA  00
c)   AA 1 [Es decir  A1 es la matriz opuesta de la matriz A]
22. Determina si existen números ,a ,b y c tales que las matrices ,
000
00
01










 b
a
A











00
001
102
c
B sea conmutativo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial
Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones
y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish
Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
"No estoy de acuerdo con tus ideas, pero defiendo tu sagrado derecho a expresarlas.”
Francois Marie Arouet Voltaire

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