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1. Manuel castro
Matemática I

2. MANUEL CASTRO 1
Introducción
Uno de los componentes importante en todo proceso educativo, es el material de apoyo
que requiere el Docente para ejercer eficazmente su función en el aula de clases. Siempre
ha sido una dificulta disponer de un texto apegado a un determinado programa de
asignatura, pero en esta ocasión. Se ha iniciado un esfuerzo en elaborar este documento
para resolver esta dificultad, que contribuya a un efectivo aprendizaje de la Matemática,
producto de este esfuerzo se tiene como resultado un texto de Matemática I.
El contenido de este texto corresponde al curso de Matemática I, que se puede impartir en
cualquiera de las universidades, apegado estrictamente al programa vigente, donde se
abordan temas como: Matrices, Sistemas de ecuaciones lineales, Limites, Derivada, etc.
En muchas de las aplicaciones de las Matemáticas, en algún momento hay que resolver
una ecuación o un Sistema de ecuaciones. Los diversos métodos y procedimientos que
existen nos permiten realizar esta tarea con más o menos esfuerzo, en la actualidad en
muchas calculadoras de bolsillo basta introducir los coeficientes y luego pulsar una o dos
teclas, e inmediatamente tenemos los resultados. Sin embargo, no podemos perder de vista
de que hay Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones que pueden tener más de una solución
o no tener soluciones, y en estos casos la calculadora no nos ayuda. También en ocasiones
se presentan aplicaciones más generales en los que los que coeficientes de una Ecuación
no son números específicos, sino literales para representarlos; casos en los tampoco nos
ayuda la calculadora. Esto nos obliga a tener una buena base teórica para abordar las
aplicaciones donde intervienen Sistemas de Ecuaciones, la cual podrá encontrar en este
libro de texto.
El cálculo es la Matemática del cambio. Es una herramienta poderosa para estudiar
situaciones en las que las condiciones están Variando, están moviéndose al modificar una
variable automáticamente hay un efecto en las otras, en algunos casos será muy
significativo y en otros insignificante. El cálculo nos ayuda a cuantificar y calificar estos
Cambios y dado que en todas ciencias aparecen como objeto de estudio situaciones que
se caracterizan por el cambio, el cálculo es de uso universal y su conocimiento es
indispensable para todo científico e ingeniero.
Tanto Isaac Newton (1642-1727) como Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) comparten el
mérito de haber logrado un salto en la historia de la Matemática al crear el cálculo
Diferencial e Integral.
Uno de los grandes aportes de Newton es lograr una explicación del movimiento de los
planetas alrededor del sol, así como también formular matemáticamente las leyes de los
Movimientos y la ley de Gravitación Universal.

3. MANUEL CASTRO 2
Contenido
I. UNIDAD: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................ 3
1.1. Matrices.............................................................................................................. 3
1.2. Tipos de matrices .............................................................................................. 4
1.3. Operaciones básicas con matrices .................................................................. 7
1.4. Determinantes.................................................................................................... 9

4. MANUEL CASTRO 3
Matrices: A, B, C
Elementos:𝐚𝐢𝐣, 𝐛𝐢𝐣, 𝐜𝐢𝐣
𝐀 = (𝐚𝐢𝐣) 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧 𝐦𝐱𝐧
I. UNIDAD: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
1.1. Matrices
Definición de una matriz
Una matriz real es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas que
además una matriz puede representarse con paréntesis o con corchete.
Ejemplo:
(
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
) [
1 2 3
4 5 6
7 8 9
]
Definición de orden de una matriz
Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha
matriz.
Ejemplo:
(
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
)
orden 3x4
[
1 2 3
4 5 6
7 8 9
]
orden 3x3
Representación algebraica de una matriz
Las matrices (A, B, C) siempre se nombran con letra mayúscula y los elementos (a, b, c)
siempre se designan con letra minúscula. Para nombrar a cada uno de los elementos (a,
b, c) se utiliza un doble subíndice (aij, bij, cij) que representa.
➢ i: La fila a la que pertenece el elemento, i = 1, 2, 3, …, m. (m filas).
➢ j: La columna a la que pertenece el elemento, j = 1, 2, 3, …, n. (n columnas).
➢ se anota así: A = (aij)
orden mxn
Ejemplo:
Construya una matriz de tres filas y de tres columnas y encuentre los siguientes
elementos: a11 , a21, a31, a22, a33,.
A = (
2 4 3
6 5 4
8 5 6
)
orden 3x3
a)a11 = 2 b)a21 = 6 c)a31 = 8 d) a22 = 5 e)a33 = 6
Notación

5. MANUEL CASTRO 4
Construya una matriz de cuatro filas y de dos columnas y encuentre los siguientes
elementos:a21, a32, a12, a53
A = (
3 2
5 5
2
1
9
7
)
orden 4x2
a) a21 = 5 b) a32 = 9 c)a12 = 2 d) a53 = No hay
1.2. Tipos de matrices
Matriz fila: matriz formada por una sola fila.
Ejemplo:
A = (1 2 3 4 5)1x5
Matriz columna: matriz formada por una sola columna.
Ejemplo:
A =
(
1
2
3
4
5)5x1
Matriz nula: es aquella cuyos elementos son todos nulos (cero).
Ejemplo:
A = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
)
3x3
Matriz cuadrada: tienen el mismo número de filas y de columnas.
Ejemplo:
A = (
1 2 3 4
5 6 7 8
9
13
10
14
11
15
12
16
)
4x4
Clasificación de matrices cuadrada
Diagonal principal: formada por todos los elementos 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33……𝑎 𝑛𝑛.
Ejemplo:
A = (
1 3 4
6 2 5
4 9 3
)
3x3

6. MANUEL CASTRO 5
Diagonal superior: todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero.
Ejemplo:
A = (
1 4 5
0 2 6
0 0 3
)
3x3
Diagonal inferior: todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
Ejemplo:
A = (
1 0 0
6 2 0
9 4 3
)
3x3
Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal
principal son cero.
Ejemplo:
A = (
1 0 0
0 2 0
0 0 3
)
3x3
Matriz identidad o unidad: es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la
diagonal principal son uno.
A = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
3x3
Matriz escalar: matriz diagonal en la que todos los elementos de su diagonal son iguales.
Ejemplo:
A = (
5 0 0
0 5 0
0 0 5
)
3x3
Ejercicios:
a) Elabore una matriz de cuatro filas y de tres columnas y encuentre los siguientes
elementos: a22, a33, a11, a43
Ejemplo:
A = (
3 5 7
6 8 9
5
2
3
2
4
1
)
4x3
a)a22 = 8 b)a33 = 4 c)a11 = 3 d)a43 = 1

7. MANUEL CASTRO 6
b) Elabore una matriz de cinco filas y de cuatro columnas y halle los siguientes
elementos: b11, b21,b32,b34,b44
Ejemplo:
B =
(
2 4 5 6
2 3 5 3
1
2
4
1
7
8
1 6
5 8
2 9)5x4
a)b11=2 b)b21 = 2 c)b32=1 d)b34 = 6 e)b44=8
c) Dada la matriz encuentre los siguientes elementos: c11,c33,c31,c22
Ejemplo:
C = (
4 6 4
3 9 1
2 6 2
)
3x3
a)c11=4 b)c33 = 2 c)c31 =2 d)c22 = 9
d) Dada la matriz encuentre los siguientes elementos:d11,d12,d34,d44,d55
Ejemplo:
D = (
2 2 7 7
1 3 4 4
2
1
3
4
8
7
9
5
)
4x4
a)d11 = 2 b)d12 = 2 c)d34 = 9 d)d44 = 5 e)d55 = No hay
Nombre los siguientes tipos de matrices:
a) A = (4 2 1 7 5)1x5 = Matriz fila
b) B =
(
4
3
7
8
2)5x1
= Matriz columna
c) C = (
2 4
4 5
)
2x2
= Matriz cuadrada
d) D = (
3 0 0 0
0 3 0 0
0
0
0
0
3 0
0 3
)
4x4
= Matriz escalar
e) E =
(
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1)5x5
= Matriz identidad o unidad

8. MANUEL CASTRO 7
f) F = (
7 0 0 0
0 9 0 0
0
0
0
0
5
0
0
6
)
4x4
= Matriz diagonal
g) G =
(
1 0 0 0 0
2 2 0 0 0
5
7
9
7
6
5
3
8
1
0
4
7
0
0
5)5x5
= Diagonal inferior
h) H =
(
1 4 6 8 1 3
0 2 7 9 2 1
0 0
0 0
0
0
0
0
3
0
0
0
6
4
0
0
4
7
5
0
2
9
7
6)6x6
= Diagonal superior
1.3. Operaciones básicas con matrices
Suma de matrices: la suma de dos matrices solamente se puede realizar entre matrices
del mismo orden.
Ejemplo:
A = (
−3 0
2 5
8 −7
)
3x2
B = (
7 −5
4 −2
1 −4
)
3x2
Sumaremos las matrices A+B y tener el mismo orden de 3 filas y 2 columnas sumar los
elementos 𝒂 𝟏𝟏+𝒃 𝟏𝟏 que luego nos dará el resultado.
A + B = (
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
a31 + b31 a32 + b32
)
Y el resultado sería: A + B = (
c11 c12
c21 c22
c31 c32
)
A + B = (
−3 + 7 0 + 5
2 + 4 5 − 2
8 + 1 −7 − 4
)
A + B = (
4 5
6 3
9 −11
)
3x2

9. MANUEL CASTRO 8
Resta de matrices: la resta de matrices solamente se puede realizar entre matrices del
mismo orden.
Ejemplo:
A = (
8 6
2 5
8 9
)
3x2
B = (
7 3
4 2
1 7
)
3x2
Restaremos las matrices A-B y tener el mismo orden de 3 filas y 2 columnas restar los
elementos 𝐚 𝟏𝟏 − 𝐛 𝟏𝟏 que luego nos dará el resultado.
A − B = (
a11 − b11 a12 − b12
a21 − b21 a22 − b22
a31 − b31 a32 − b32
)
Y el resultado A − B = (
c11 c12
c21 c22
c31 c32
)
3x2
A − B = (
8 − 7 6 − 3
2 − 4 5 − 2
8 − 1 9 − 7
)
A − B = (
1 3
−2 3
7 2
)
3x2
Multiplicación de matrices: para poder multiplicar dos matrices es necesario que el
número de columnas, de la primera matriz sea igual al número de filas, de la segunda
matriz.
Ejemplo:
A = (
2 4 8
9 7 5
)
𝟐𝐱𝟑
B = (
2 6
4 7
8 9
)
𝟑𝐱𝟐
Determinaremos el orden de ambas matrices que la primera matriz debe de cumplir con un
número de columnas, que sea al igual a la segunda matriz que debe de cumplir con un
numero de filas. Y los números que están marcados en rojo son el resultado de una nueva
matriz con un orden de 2 filas y de 2 columnas.
A. B = (
c11 c12
c21 c22
)
2x2
Ahora resolveremos la matriz A multiplicando por la matriz B y lo representamos de la
siguiente manera:
A. B =
(
(a11) (b11) + (a12) (b21) + (a12) (b31)
(a11) (b12) + (a12) (b22) + (a13) (b32)
(a21)
(a21)
(b11) +
(b12) +
(a22)
(a22)
(b21) +
(b22) +
(a23)
(a23)
(b31)
(b32))

10. MANUEL CASTRO 9
Y el resultado sería:
A. B = (
c11 c12
c21 c22
)
2x2
El ejercicio se resuelve así:
A. B =
(
(2) (2) + (4) (9) + (8) (8)
(2) (6) + (4) (7) + (8) (9)
(9)
(9)
(2) +
(6) +
(7)
(7)
(9) +
(7) +
(5)
(5)
(8)
(9))
A. B = (
4 + 36 + 64
12 + 32 + 72
18 +
54 +
63 +
49 +
40
45
)
A. B = (
104 116
121 148
)
2x2
1.4. Determinantes
A toda matriz cuadrada se le puede asociar un numero llamado determinante de A. si
la matriz es A = (aij)
nxn
denotamos su determinante por det A ó |A| = |aij|. El numero
n es llamado el orden del determinante.
Determinantes de primer orden
Para una matriz de primer orden: |A| = (a11) , |A| = a11
Debemos notarse que las barras, en este caso, no significan valor absoluto.
Ejemplo: si A = (5) entonces |A| = 5
si B = (3) entonces |B| = 3
Determinantes de segundo orden
Para una matriz cuadrada de segundo orden, el determinante está definida por:
Si A = (
a11 a12
a21 a22
) ,|A| = |
a11 a12
a21 a22
| = a11. a22 − a12. a21
Ejemplos:
A = (
2 8
−1 5
), |A| = |
2 8
−1 5
| = (2)(5) − (8)(−1) = 18
B = (
7 3
4 1
), |B| = |
7 3
4 1
| = (7)(1) − (3)(4) = −5

11. MANUEL CASTRO 10
Determinantes de tercer orden
Para una matriz cuadrada de tercer orden.
Este resultado puede reordenarse y expresarse en términos de determinantes de segundo
orden. Un arreglo, de seis posibles, es el siguiente:
A = (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
) (
+ − +
− + −
+ − +
) Aplicar Tabla de Signos
|A| = a11 |
a22 a23
a32 a33
| − a12 |
a21 a23
a31 a33
| + a13 |
a21 a22
a31 a33
|
|A| = a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a33 − a22a31)
Ejemplo:
Evaluar |A| si A = (
1 3 4
3 1 2
4 2 3
)
1ra forma: Aplicamos directamente la definición, desarrollando los productos indicados:
|
1 3 4
3 1 2
4 2 3
| = (1.1.3 + 3.2.4 + 3.2.4) − (4.1.4 + 3.3.3 + 2.2.1)
= (3 + 24 + 24) − (16 + 27 + 4)
= 51 − 47
= 4
2da forma: Descomponemos el determinante de tercer orden en tres determinantes de
segundo orden, que en general son más fáciles de evaluar. Desarrollándolo por la primera
fila:
|
1 3 4
3 1 2
4 2 3
| (
+ − +
− + −
+ − +
) Aplicar Tabla de Signos
|
1 3 4
3 1 2
4 2 3
| = 1 |
1 2
2 3
| − 3 |
3 2
4 3
| +4|
3 1
4 2
| = 1(3 − 4) − 3(9 − 8) + 4(6 − 4)
= 1(−1) − 3(1) + 4(2)
= −1 − 3 + 8
= −4 + 8
= 4
A = (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
) |A| = (a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13) − (a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11)

12. MANUEL CASTRO 11
Regla de sarrus
Este es un recurso mnemotécnico que facilita el cálculo de determinantes de tercer orden.
Para hallar el determinante de A = (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a23 a33
)
|A| = |
|
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31
a11
a21
a32
a12
a22
a33
a13
a23
|
|
|A| = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23) − (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)
|A| = |
a11 a12
a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a23
|
|A| = (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎23) − (𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31)
Ejemplo:
Ahora lo resolveremos por filas:
|A| = |
|
1 3 4
3 1 2
4
1
3
2
3
1
3
4
2
|
| = (3 + 24 + 24) − (16 + 4 + 27) = 51 − 47 = 4
Ahora lo resolveremos por columnas:
|A| = |
1 3 4 1 3
3 1 2 3 1
4 2 3 4 2
| (3 + 24 + 24) − (27 + 4 + 16) = 51 − 47 = 4
Escribimos una matriz de 5x3 formada por la matriz original
y repitiendo la primera y la segunda fila como cuarta y quinta
fila, como se muestra a continuación.
Un arreglo equivalente es formar una matriz 3x5, repitiendo la
primera y la segunda columna como cuarta y quinta columna,
se obtiene el mismo resultado.

13. MANUEL CASTRO 12
Determinante de orden superior:
Para el cálculo de determinante de orden superior es conveniente descomponerlos en
determinantes de orden menor. Ese proceso es conocido como el desarrollo o expansión
de Laplace. Veamos algunos términos que usamos:
Submatriz: de una matriz dada, es aquella que se obtiene al eliminar algunas filas y
columnas de la matriz original.
Menor: el determinante de la submatriz cuadrada de Anxn, obtenida al eliminar la i-ésima
fila y la j-ésima columna, se llama menor del elemento aij y se denota por Mij.
El cofactor del elemento aij, denotado por Aij , esta dado por Aij = (−1)i+j
Mij.
Tenemos que (−1)i+j
= {
1 si i + j es par
−1 si i + j es impar
Si asociamos las posiciones que ocupan los elementos de la matriz con los cuadros de un
tablero de ajedrez, tenemos que los signos (−1)𝑖+𝑗
de los cofactores corresponden a:
+ − + − + ⋯
− + − + − ⋯
+
⋮
−
⋮
+ − + ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Ejemplo:
Para la matriz (
1 2 3
4 5 6
7 8 9
), se tiene que el menor del elemento a32 es:
M32 = |
1 3
4 6
| = 6 − 12 = −6 (Eliminamos la 3ra
la fila y la 2da
columna)
Su cofactor será A32 = (−1)3+2
M32 = (−1)5
= (−1)(−6) = 6
Evaluemos otros determinantes menores usando la tabla de signos: (
+ − +
− + −
+ − +
)
A32 = −M32 = |
1 3
4 6
| = −[6 − 12] = −(−6) = 6
A11 = +M11 = |
5 6
8 9
| = +[45 − 48] = +(−3) = −3
Sea A = (
3 2 1
1 3 5
0 −1 −2
) tenemos:
M12 = |
1 5
0 −2
| = −2 − 0 = −2 A12 = (−1)1+2
M12 = (−1)3
= (−1)(−2) = 2
M33 = |
3 2
1 3
| = 9 − 2 = 7 A33 = (−1)3+3
M33 = (−1)6
= (1)(7) = 7

14. MANUEL CASTRO 13
➢ Desarrollo de determinante:
Teorema: Expansión de Laplace:
Si A es una matriz cuadrada de orden n˃1, entonces el det A se puede obtener multiplicando
los elementos de cualquier fila o columna, por sus respetivos cofactores y sumando los
productos resultantes.
|A| = ∑ aijAij ,
n
i=1
para cualquier columna j.
= ∑ aijAij ,
n
i=1
para cualquier fila i.
Ejemplo:
Si A = (
4 3 −2
1 0 1
2 −1 0
) , encontrar |A| (
+ − +
− + −
+ − +
) tabla de signos
a) Desarrollándola por la primera fila y b) desarrollándola por la segunda columna.
a) |A| = 4 |
0 1
−1 0
| − (+3) |
1 1
2 0
| + (−2) |
1 0
2 −1
|
|A| = 4 |
0 1
−1 0
| − 3 |
1 1
2 0
| − 2 |
1 0
2 −1
| = 4(0 − (−1)) − 3(0 − 2) − 2(−1 − 0)
= 4(0 + 1) − 3(0 − 2) − 2(−1 − 0)
= 4(1) − 3(−2) − 2(−1)
= 4 + 6 + 2
= 12
b) |A| = −(+3) |
1 1
2 0
| + 0 |
4 −2
2 0
| − (−1) |
4 −2
1 1
|
|A| = −3 |
1 1
2 0
| + 0 |
4 −2
2 0
| + 1 |
4 −2
1 1
| = −3(0 − 2) + 0(0 − (−4)) + 1(4 − (−2))
= −3(0 − 2) + 0(0 + 4) + 1(4 + 2)
= −3(−2) + 0(4) + 1(6)
= 6 + 0 + 6
= 12

15. MANUEL CASTRO 14
Propiedades de las determinantes
1) Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son ceros,
entonces |A| = 0.