La distribución gamma es un modelo básico en estadística que describe variables aleatorias continuas con parámetros α y β. La distribución exponencial es un caso particular de la gamma con α=1. La distribución de Weibull generaliza la exponencial y la de beta tiene dominio [0,1]. Estas distribuciones se usan comúnmente en problemas de confiabilidad, tiempos de espera y proporciones.

1. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es un modelo básico en la teoría estadística.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su densidad de probabilidad está
dada por
 1
 x α −1e − x / β , x > 0
f ( x ) =  βαΓ(α)
0,
 para otro x
α>0, β>0 son los parámetros para este modelo .
Fig. G1. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de α, β
∞
Γ(α) es la función Gamma: Γ(α) = ∫ x α−1e −x dx
0
Si α es un entero positivo, entonces
Γ(α) = (α - 1)! .
Demostración
∞
Γ(α) = ∫ x α−1e −x dx
0
u=x α-1
⇒ du = (α-1)xα-2 dx Para integrar por partes
dv = e-x dx ⇒ v = -e-x
Se obtiene
∞
Γ α) = ( α −1)∫ x α−2 e −x dx = (α - 1)Γ(α - 1)
(
0
Sucesivamente
Γ(α) = (α -1)(α-2)(α-3)...Γ(1), pero Γ(1) = 1 por integración directa.
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
µ = E[X] = αβ , σ 2 = V[X] = αβ 2 .

2. Demostración para µ
∞ ∞
∞
1 1
µ = ∫xf ( x )dx =
−∞
∫x
0
α
β Γα( ) β Γα ∫
x α−1e −x / βdx = α
( )0
x αe −x / βdx
Mediante la sustitución y = x/β
∞
1
β Γα ∫
µ= α
(βy)αe −yβdy
( )0
∞
β
Γα ∫
= y αe −ydy
( )0
Con la definición de la función Gamma:
β β
= Γ(α) Γ(α + 1) = Γ( α) αΓ(α) = αβ
Ejemplo
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable
aleatoria con distribución gamma con parámetros α=3, β=2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8
horas
b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de
mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.
Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
1 1 1 2 −x / 2
f(x) = α
x α−1e − x / β = 3 x 3 −1e − x / 2 = x e
β Γ(α) 2 Γ(3) 16
a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico
8
1
16 ∫
P(X>8) = 1 – P(X≤8) = 1 - x 2 e − x / 2dx
0
Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:
∫x e −x / 2dx ,
2
u = x2 ⇒ du = 2x dx
dv = e-x/2 dx ⇒ v = -2 e-x/2

3. = -2x2 e-x/2 + 4 ∫ x e
−x / 2
dx
∫x e
−x / 2
dx
u = x ⇒ du = dx
dv = e-x/2dx ⇒ v = -2 e-x/2
= -2x e-x/2 + 2 ∫ e
−x / 2
dx
Sustituyendo los resultados intermedios,
P(X>8) = 1 -
1
[- 2x 2e- x/2 + 4(-2x e- x/2 + 2(-2 e- x/2 ))] 8 = 0.2381
16 0
b) E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2]
E[X] = αβ = 3(2) = 6
∞ ∞
∞
1 1
E[X2] = ∫x 2 f ( x )dx = ∫ x 2
16 ∫
x 2e −x / 2dx = x 4 e −x / 2dx
−∞ 16 0 0
sustituya y = x/2 para usar la función Gamma
∞ ∞
1
16 ∫
= (2 y)4 e −y (2dy) = 2 ∫ y 4 e −ydy = 2Γ(5) = 2(4!) = 48
0 0
Finalmente se obtiene
E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Es un caso particular de la distribución gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtiene
con α = 1 en la distribución Gamma
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial su densidad de probabilidad
está dada por
 1 −x / β
 e , x>0
f (x ) = β
 0, para otro x

β>0, es el parámetro para este modelo .
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
µ = E[X] = β, σ 2 = V[X] = β 2 .
Se obtienen directamente de la distribución gamma con α = 1
Problema
Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución
exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan
independientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos sigan
funcionando.

4. Solución
Sea Y: variable aleatoria continua (duración de un componente en años)
µ =β =4
Su densidad de probabilidad es
1 −y / 4
f ( y) = e ,y > 0
4
La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 años:
6
−y / 4 1
P(Y≥6) = 1 – P(Y<6) = 1 − ∫ e dy = 0.2231
04
Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de componentes que siguen
funcionando luego de 6 años)
X tiene distribución binomial con n=3, p=0.2231
n 3
f(x) =  p x (1 − p)n − x =  0.2231x 0.7769 3 − x
x x
   
3 
P(X=2) = f(2) =  0.22312 0.7769 3 −2 = 0.1160 = 11.6%
2 
 
UNA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distribución exponencial tiene aplicaciones importantes. Por ejemplo, puede demostrarse
que si una variable aleatoria tiene distribución de Poisson con parámetro λ, entonces, el
tiempo de espera entre dos ‘exitos’ consecutivos es una variable aleatoria con distribución
exponencial y parámetro β = 1/λ
Ejemplo
La llegada de los camiones a una bodega tiene distribución de Poisson con media de 4 por
hora. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos camiones
consecutivos sea menor a 10 minutos.
Solución
Sea X el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas (horas)
Es una variable aleatoria continua con distribución exponencial con parámetro β = 1/λ
= 1/4
1 −x / β
f(x) = βe = λe-λx = 4e-4x, x>0
1/ 6
∫ 4e
−4 x
P(X<1/6) = dx = 0.4866 = 48.66%
0
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Este modelo se utiliza en estudios de confiabilidad de ciertos tipos de sistemas.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución de Weibull si su densidad de probabilidad
está dada por

5. αβx β−1e −αx ,
β
 x >0
f (x) = 
0,
 para otro x
α>0, β>0 son los parámetros para este modelo
Si β = 1, este modelo se reduce al modelo de distribución exponencial.
Si β > 1, el modelo tiene forma acampanada con sesgo positivo
Fig. 28.1 Gráficos de la distribución de Weibull
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, entonces
µ = E[X] = α-1/βΓ(1+1/β)
σ2 = V[X] = α-2/β[Γ(1+2/β) – (Γ(1+1/β))2] .
Demostración de la media
Con la definición
∞ ∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xαβ e dx
β
µ = E[X] = x β−1 −αx
−∞ 0
Mediante la sustitución
y = αxβ ⇒ dy = αβxβ-1dx = βyx-1dx = βy(y/α)-1/βdx
se obtiene
∞
∫y
1/ β
e −ydy
µ=α -1/β 0
comparando con la función gamma
µ = α-1/βΓ(1+1/β)
Ejemplo
Suponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene distribución de
Weibull con α=0.1, β=0.5
a) Calcule la vida útil promedio
b) Calcule la probabilidad que dure mas de 300 horas
Solución
Sea X: vida útil en horas (variable aleatoria continua)
su densidad de probabilidad:

6. β 0.5
f(x)= αβ β−1e −αx = 0.05 x −0.5 e −0.1x
x
a) µ = α Γ(1+1/β) = (0.1)-1/0.5Γ(1+1/0.5) = 0.1-2Γ(3) = 200 horas
-1/β
∞
∫
0.5
b) P(X>300) = 0.05 x −0.5 e −0.1x dx
300
mediante la sustitución y=x0.5 ⇒ dy = 0.5x-0.5dx = 0.5(1/y)dy
se obtiene
∞ ∞
1 −0.1y y
∫ ∫e
−0.1
P(X>300) = 0.05 e dy = .1
0 dy
300
y 0. 5 300
300
∫e
−0.1
= 1 – P(X≤300) = 1 – 0.1 dy = 0.177
0
DISTRIBUCIÓN BETA
Este modelo tiene actualmente aplicaciones importantes por la variedad de formas
diferentes que puede tomar su función de densidad para diferentes valores de sus
parámetros. El dominio es el intervalo [0, 1], pero mediante alguna sustitución, otros
intervalos finitos pueden llevarse a [0, 1]
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución beta si su densidad de probabilidad
está dada por
 Γ(α + β) α-1
 x (1- x)β -1, 0 < x < 1
f ( x ) =  Γ(α)Γ(β)
 0,
 para otro x
α>0, β>0 son los parámetros para este modelo
Fig. 28.2 Gráficos de la distribución beta
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BETA
Si X es una variable aleatoria continua con distribución beta, entonces
α
µ = E[X] = α + β
αβ
σ2 = V[X] = .
(α + β) (α + β + 1)
2

7. La demostración de µ se fundamenta en la definición de la función beta cuyo análisis se
encuentra en los libros de cálculo. Con la definición de valor esperado y la sustitución
respectiva, se encuentra µ
Ejemplo
Un distribuidor de gasolina llena los tanques del depósito cada lunes. Se ha observado que
la cantidad que vende cada semana se puede modelar con la distribución beta con α=4, β=2
a) Encuentre el valor esperado de la venta semanal
b) Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%
Solución
Sea X: proporción de combustible que vende semanalmente (variable aleatoria
continua con valor entre 0 y 1)
Su densidad de probabilidad es
Γ( 4 + 2 ) 4 −1
f(x) = x (1 − x )2 −1 = 20x3(1-x), 0<x<1
Γ( 4 )Γ(2 )
α 4
a) µ=E[X]= α + β = = 2/3 (vende en promedio 2/3 del tanque
4+2
cada semana)
1
b) P(x>0.9) = 20 ∫ x (1 − x )dx = 0.082 = 8.2%
3
0.9
Es el área marcada en el siguiente gráfico