DISTRIBUCIÓN GAMMAEs un modelo básico en la teoría estadística.DefiniciónUna variable aleatoria continua X tiene distribuc...
Demostración para µ                                  ∞                                         ∞                  ∞       ...
= -2x2 e-x/2 + 4 ∫ x e                          −x / 2                                 dx   ∫x e          −x / 2          ...
Solución      Sea Y: variable aleatoria continua (duración de un componente en años)      µ =β =4      Su densidad de prob...
αβx β−1e −αx ,                             β                                  x >0      f (x) =               0,      ...
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La demostración de µ se fundamenta en la definición de la función beta cuyo análisis seencuentra en los libros de cálculo....
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  1. 1. DISTRIBUCIÓN GAMMAEs un modelo básico en la teoría estadística.DefiniciónUna variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su densidad de probabilidad estádada por  1  x α −1e − x / β , x > 0 f ( x ) =  βαΓ(α) 0,  para otro x α>0, β>0 son los parámetros para este modelo .Fig. G1. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de α, β ∞Γ(α) es la función Gamma: Γ(α) = ∫ x α−1e −x dx 0Si α es un entero positivo, entonces Γ(α) = (α - 1)! .Demostración ∞ Γ(α) = ∫ x α−1e −x dx 0 u=x α-1 ⇒ du = (α-1)xα-2 dx Para integrar por partes dv = e-x dx ⇒ v = -e-xSe obtiene ∞ Γ α) = ( α −1)∫ x α−2 e −x dx = (α - 1)Γ(α - 1) ( 0Sucesivamente Γ(α) = (α -1)(α-2)(α-3)...Γ(1), pero Γ(1) = 1 por integración directa.MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA µ = E[X] = αβ , σ 2 = V[X] = αβ 2 .
  2. 2. Demostración para µ ∞ ∞ ∞ 1 1 µ = ∫xf ( x )dx = −∞ ∫x 0 α β Γα( ) β Γα ∫ x α−1e −x / βdx = α ( )0 x αe −x / βdxMediante la sustitución y = x/β ∞ 1 β Γα ∫ µ= α (βy)αe −yβdy ( )0 ∞ β Γα ∫ = y αe −ydy ( )0Con la definición de la función Gamma: β β = Γ(α) Γ(α + 1) = Γ( α) αΓ(α) = αβEjemploEl tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variablealeatoria con distribución gamma con parámetros α=3, β=2 a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.Solución Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) Su densidad de probabilidad es: 1 1 1 2 −x / 2 f(x) = α x α−1e − x / β = 3 x 3 −1e − x / 2 = x e β Γ(α) 2 Γ(3) 16 a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico 8 1 16 ∫ P(X>8) = 1 – P(X≤8) = 1 - x 2 e − x / 2dx 0Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes: ∫x e −x / 2dx , 2 u = x2 ⇒ du = 2x dx dv = e-x/2 dx ⇒ v = -2 e-x/2
  3. 3. = -2x2 e-x/2 + 4 ∫ x e −x / 2 dx ∫x e −x / 2 dx u = x ⇒ du = dx dv = e-x/2dx ⇒ v = -2 e-x/2 = -2x e-x/2 + 2 ∫ e −x / 2 dx Sustituyendo los resultados intermedios, P(X>8) = 1 - 1 [- 2x 2e- x/2 + 4(-2x e- x/2 + 2(-2 e- x/2 ))] 8 = 0.2381 16 0 b) E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2] E[X] = αβ = 3(2) = 6 ∞ ∞ ∞ 1 1 E[X2] = ∫x 2 f ( x )dx = ∫ x 2 16 ∫ x 2e −x / 2dx = x 4 e −x / 2dx −∞ 16 0 0 sustituya y = x/2 para usar la función Gamma ∞ ∞ 1 16 ∫ = (2 y)4 e −y (2dy) = 2 ∫ y 4 e −ydy = 2Γ(5) = 2(4!) = 48 0 0 Finalmente se obtiene E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólaresDISTRIBUCIÓN EXPONENCIALEs un caso particular de la distribución gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtienecon α = 1 en la distribución GammaDefiniciónUna variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial su densidad de probabilidadestá dada por  1 −x / β  e , x>0 f (x ) = β  0, para otro x  β>0, es el parámetro para este modelo .MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL µ = E[X] = β, σ 2 = V[X] = β 2 .Se obtienen directamente de la distribución gamma con α = 1ProblemaUn sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribuciónexponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajanindependientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos siganfuncionando.
  4. 4. Solución Sea Y: variable aleatoria continua (duración de un componente en años) µ =β =4 Su densidad de probabilidad es 1 −y / 4 f ( y) = e ,y > 0 4 La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 años: 6 −y / 4 1 P(Y≥6) = 1 – P(Y<6) = 1 − ∫ e dy = 0.2231 04 Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de componentes que siguen funcionando luego de 6 años) X tiene distribución binomial con n=3, p=0.2231 n 3 f(x) =  p x (1 − p)n − x =  0.2231x 0.7769 3 − x x x     3  P(X=2) = f(2) =  0.22312 0.7769 3 −2 = 0.1160 = 11.6% 2   UNA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIALLa distribución exponencial tiene aplicaciones importantes. Por ejemplo, puede demostrarseque si una variable aleatoria tiene distribución de Poisson con parámetro λ, entonces, eltiempo de espera entre dos ‘exitos’ consecutivos es una variable aleatoria con distribuciónexponencial y parámetro β = 1/λEjemploLa llegada de los camiones a una bodega tiene distribución de Poisson con media de 4 porhora. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos camionesconsecutivos sea menor a 10 minutos.Solución Sea X el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas (horas) Es una variable aleatoria continua con distribución exponencial con parámetro β = 1/λ = 1/4 1 −x / β f(x) = βe = λe-λx = 4e-4x, x>0 1/ 6 ∫ 4e −4 x P(X<1/6) = dx = 0.4866 = 48.66% 0DISTRIBUCIÓN DE WEIBULLEste modelo se utiliza en estudios de confiabilidad de ciertos tipos de sistemas.DefiniciónUna variable aleatoria continua X tiene distribución de Weibull si su densidad de probabilidadestá dada por
  5. 5. αβx β−1e −αx , β  x >0 f (x) =  0,  para otro x α>0, β>0 son los parámetros para este modeloSi β = 1, este modelo se reduce al modelo de distribución exponencial.Si β > 1, el modelo tiene forma acampanada con sesgo positivoFig. 28.1 Gráficos de la distribución de WeibullMEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULLSi X es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, entonces µ = E[X] = α-1/βΓ(1+1/β) σ2 = V[X] = α-2/β[Γ(1+2/β) – (Γ(1+1/β))2] .Demostración de la media Con la definición ∞ ∞ ∫ xf ( x )dx = ∫ xαβ e dx β µ = E[X] = x β−1 −αx −∞ 0 Mediante la sustitución y = αxβ ⇒ dy = αβxβ-1dx = βyx-1dx = βy(y/α)-1/βdx se obtiene ∞ ∫y 1/ β e −ydy µ=α -1/β 0 comparando con la función gamma µ = α-1/βΓ(1+1/β)EjemploSuponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene distribución deWeibull con α=0.1, β=0.5 a) Calcule la vida útil promedio b) Calcule la probabilidad que dure mas de 300 horasSolución Sea X: vida útil en horas (variable aleatoria continua) su densidad de probabilidad:
  6. 6. β 0.5 f(x)= αβ β−1e −αx = 0.05 x −0.5 e −0.1x x a) µ = α Γ(1+1/β) = (0.1)-1/0.5Γ(1+1/0.5) = 0.1-2Γ(3) = 200 horas -1/β ∞ ∫ 0.5 b) P(X>300) = 0.05 x −0.5 e −0.1x dx 300 mediante la sustitución y=x0.5 ⇒ dy = 0.5x-0.5dx = 0.5(1/y)dy se obtiene ∞ ∞ 1 −0.1y y ∫ ∫e −0.1 P(X>300) = 0.05 e dy = .1 0 dy 300 y 0. 5 300 300 ∫e −0.1 = 1 – P(X≤300) = 1 – 0.1 dy = 0.177 0DISTRIBUCIÓN BETAEste modelo tiene actualmente aplicaciones importantes por la variedad de formasdiferentes que puede tomar su función de densidad para diferentes valores de susparámetros. El dominio es el intervalo [0, 1], pero mediante alguna sustitución, otrosintervalos finitos pueden llevarse a [0, 1]DefiniciónUna variable aleatoria continua X tiene distribución beta si su densidad de probabilidadestá dada por  Γ(α + β) α-1  x (1- x)β -1, 0 < x < 1 f ( x ) =  Γ(α)Γ(β)  0,  para otro x α>0, β>0 son los parámetros para este modeloFig. 28.2 Gráficos de la distribución betaMEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BETASi X es una variable aleatoria continua con distribución beta, entonces α µ = E[X] = α + β αβ σ2 = V[X] = . (α + β) (α + β + 1) 2
  7. 7. La demostración de µ se fundamenta en la definición de la función beta cuyo análisis seencuentra en los libros de cálculo. Con la definición de valor esperado y la sustituciónrespectiva, se encuentra µEjemploUn distribuidor de gasolina llena los tanques del depósito cada lunes. Se ha observado quela cantidad que vende cada semana se puede modelar con la distribución beta con α=4, β=2 a) Encuentre el valor esperado de la venta semanal b) Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%SoluciónSea X: proporción de combustible que vende semanalmente (variable aleatoria continua con valor entre 0 y 1) Su densidad de probabilidad es Γ( 4 + 2 ) 4 −1 f(x) = x (1 − x )2 −1 = 20x3(1-x), 0<x<1 Γ( 4 )Γ(2 ) α 4 a) µ=E[X]= α + β = = 2/3 (vende en promedio 2/3 del tanque 4+2 cada semana) 1 b) P(x>0.9) = 20 ∫ x (1 − x )dx = 0.082 = 8.2% 3 0.9 Es el área marcada en el siguiente gráfico

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