Funciones especiales gamma y beta

CURSO DE FUNCIONES ESPACIALES
GEINER TRIANA

http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/LATEX/LaTeX_2014.pdf
FUNCIONES GAMMA, BETA Y OTRAS FUNCIONES ESPECIALES
1

Cap´ıtulo 1
FUNCIÓN ESPECIALES
Frecuentemente llegaremos a funciones especiales en el proceso de obtención de soluciones
a problemas de valor l´ımite. Veremos en este cap´ıtulo algunas funciones especiales que se em-
plearan en cap´ıtulos posteriores. Si desea el estudiante, puede omitir este capitulo y volver a el
cuando se presente la necesidad.
1.1. FUNCIÓN GAMMA
Definición 1.1.1 La función gamma identificada por, Γ(n) está definida por
Γ(n) =
∞
0
xn−1
exp−x
dx (1.1)
que es converge para n > 0.
una formula recurrente para la función gamma es
Γ(n + 1) = nΓ(n) (1.2)
Donde Γ(1) = 1 (ver problema 4.1). De (2), se puede determinar Γ(n) para todos los valores
de n > 0 cuando se conocen los valores para 1 ≤ n < 2 ( o en cualquier otro intervalo de
longitud unitaria) ( ver la tabla de la pagina 69) en particular si nes entero positivo, entonces
Γ(n + 1) = n! n = 1, 2, 3, ... (1.3)
por esta razón Γ(n) es llamada algunas veces función factorial
Ejemplo 1.1.2 Γ(2) = 1!, Γ(6) = 5! = 120, Γ(5)
Gamma(3)
= 4!
2!
= 12
Se puede demostrar (problema 4.4) que
Γ
1
2
=
√
π (1.4)
La relación de recurrencia (2) es una ecuación caracter´ıstica de diferencia que tiene (1) como
solución. Tomando (1) como la definición de Γ(n) para n > 0, podemos generalizar la función
gamma para n < 0 por el uso de (2) en la forma
Γ(n) =
Γ(n + 1)
n
(1.5)
Ver problema 4.7, como ejemplo. El proceso se llama continuación anal´ıtica.
2

n Γ(n)
1:00 1.0000
1.10 0.9514
1.20 0.9282
1.30 0.8975
1.40 0.8873
1.50 0.8862
1.60 0.8935
1.70 0.9086
1.80 0.9314
1.90 0.9618
2.00 1.0000
1.2. FORMULA ASINTOTICA
Definición 1.2.1 Si n es de un valor grande, son evidentes las dificultades de computo , in-
herentes a un cálculo directo de Γ(n). En este caso se obtiene un resultado útil por el uso de la
relación
Γ(n + 1) =
√
2πn nn
e(
− n)eθ/12
(n + 1) 0 < θ < 1 (1.6)
Para la mayor´ıa de los fines práctico se puede omitir el último factor , que es muy próximo a
1 para valores grandes de n. Si n es n entero podemos escribir
n! ∼
√
2πn nn
e−n
(1.7)
En donde ∼ significa .aproximadamente igual para valores grandes de n”. Esto es llamado
algunas veces aproximación factorial de stirling ( o fórmula asintótica) para n!.
1.3. RESULTADOS MISCELANEOS QUE COMPREN-
DEN LA FUNCIÓN GAMMA
1.
Γ(x)Γ(1 − x) =
π
sen xπ
(1.8)
en particular si x = 1
2
, Γ1
2
=
√
2π como en (4).
2.
22
x − 1Γ(x)Γ(x +
1
2
=
√
πΓ(2x) (1.9)
Esta se llama la formula de duplicación para la función gamma. 3.
(1.10)
3

La formula de duplicación es un caso especial de esto cuando m=2.
4.
Γ(x + 1) ∼
√
2πxxx
e−
x{1 +
1
12x
+
1
288x2
−
139
51, 840x2
+ ..} (1.11)
Esta se llama la serie asintótica de stirling parala función gamma. La serie que está entre
corchetes es una serie asintotica como se define en la página 71.
5.
Γ (1) =
∞
0
e−
xlnxdx = −γ (1.12)
donde γ es la constante de euler y se define como
l´ım
m→∞
1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
M
− lnM = 0, 5772156... (1.13)
Γ (p+1)
Γ(p+1)
= 1
1
+ 1
2
+ 1
3
+ ... + 1
p
− γ
1.4. LA FUNCIÓN BETA
Definición 1.4.1 La función beta, indefinida por B(m,n), se define por
B(m, n) =
1
0
xm
− 1(1 − x)n−1
dx (1.14)
que es convergente para m > 0, n > 0.
la función beta está relacionada con la función gamma según la relación
B(m, n) =
Γ(m)Γ(n)
Γ(m + n)
(1.15)
Ver problema 4.12. Usando(4) podemos definir B(m, n) param < 0, n < 0
Se pueden calcular muchas integrales en terminos de funciones beta o gamma. dos resultados
útiles son π
2
0
sen2n−1
cos2n−1
θdθ =
1
2
B(m, n) =
Γ(m)Γ(n)
2Γ(m + n)
(1.16)
Válida para m > 0 y n > 0 (ver problemas 4.11 y 4.14) y
∞
0
xp−1
1 + x
dx == Γ(p)Γ(1 − p) =
π
senpπ
0 < p < 1 (1.17)
Ver problema 4.18
4

1.5. OTRAS FUNCIONES ESPECIALES
Definición 1.5.1 muchas otras funciones especiales son de importancia en ciencias e inge-
nier´ıa. En la siguiente lista se dan algunas de éstas. En capitulos posteriores se consideraran
otras.
1. Función de error erf(x) = 2√
π
x
0
e−uz
du = 1 − 2√
π
∞
x
e−uz
du
2. Función complementaria de error erfc = 2√
π
x
0
e−uz
du = 1 − erf(x)
3. Integral exponencial Ei(x) =
∞
x
e−u
u
du
4. Integral de seno si(x) =
∞
x
senu
u
du
5. Integral de coseno Ci(x) =
∞
x
senu
u
du
6. Integral de seno de fresnel S(x) 2
√
π 0
xsenu2
du = 1 −
√
2π x
∞senu2
du
7. Integral del coseno de fresnel C(x)
√
2π 0
xcosu2
du 1 −
√
2∞cosu2
du
1.6. SERIES O DESARROLLOS ASINTÓTICOS
Definición 1.6.1 Considerar la serie
S(x) a0 +
a1
x
+
a2
x2
+ ... +
an
xn
(1.18)
y suponer que
Sn(x) = a0 +
a1
x
+
a2
x2
+ ... +
an
xn
(1.19)
son las sumas parciales de la serie. Si Rn(x) = f(x) − Sn(x), en donde se da f(x), es tal que
para cada valor de n
l´ım
x→∞
(xn
)|Rn(x)| = 0 (1.20)
entonces S(x) es llamada serie o desarrollo asintótica de f(x) y es identificada por la nota-
ción f(x) ∼ S(x). en la practica la serie(12) es divergent. Sin embargo podemos obtener una
útil aproximación de f(x) parando la suma antes que los términos comiencen a aumentar. La
aproximación es mejor entre mas grande sea el valor de x.
son posibles varias operaciones con series asintóticas. Por ejemplo, la serie asintótica puede ser
multiplicada en conjunto e integrada término por término para obtener otra serie asintótica.
Problemas resueltos
FUNCIÓN GAMMA
4.1. probar que: (a)Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0; (b)Γ(n + 1) = n!, n = 1, 2, 3, ...
(a) Γ(n + 1) =
∞
0
xn
e−x
dx = l´ımM→∞ 0
Mx−x
dx
= l´ımM→∞ (xn
)(−e−x
)|0M − 0
M(−e−x
)(nxn−1
)dx
= l´ımM→∞ −Mn
e−M
+ n 0
Mxn−1
e−x
dx = nΓ(n) if n > 0
(b) Γ(1) 0
∞e−x
dx = l´ımM→∞ 0
Me−xdx = l´ımM→∞(1 − e−M
) = 1
poner n = 1, 2, 3, ... en Γ(n + 1) = nΓ(n). Entonces
5

Γ(2) = 1Γ(1) = 1, Γ(3) = 2Γ(2) = 2 ∗ 1 = 2!, Γ(4) = 3Γ(3) = 3 ∗ 2! = 3!
En general, Γ(n + 1) = n! si n es un entero positivo.
4.2. Calcular (a) Γ(6)
2Γ(3)
, (b)
Γ(5
2
)
Γ(1
2
)
, (c)Γ(3)Γ(2,5)
Γ(5,5)
, (d)
6Γ(8
3
)
5Γ(2
3
.
(a) Gamma(6)
2Γ(3)
= 5!
2∗2!
= 5∗4∗3∗2
2∗2
= 30
(b)
Γ( 5
2
)
Γ( 1
2
)
=
( 3
2
)Γ( 3
2
)
Γ(1
2
)
=
(3
2
)∗( 1
2
Γ( 1
2
)
Γ( 1
2
)
= 3
4
(c) Γ(3)Γ(2,5)
Γ(5,5)
= 2!(1,5)(0,5)Γ(0,5)
(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)(0,5)Γ(0,5)
= 16
315
(d)
6Γ(8
3
)
5Γ(2
5
)
=
6(5
3
)(2
3
)(Γ(2
3
)
5Γ(2
5
)
= 4
3
4.3 Calcular (a)
∞
0
x3
e−x
dx, (b)
∞
0
x6
e−2x
dx.
(a)
´ınf
0
x3
e−x
dx = Γ(4) = 3! = 6 (b) hagamos 2x = y. entonces la integrales transforma en
∞
0
y
2
6
c−y dy
2
= 1
27
∞
0
y6
e−y
dy = Γ(7)
27 = 6!
27 = 45
8
4.4 probar que Γ(1
2
) =
√
π
Tenemos Γ(1
2
) =
∞
0
x−1
2 e−x
dx = 2 −0∞
e−u2
du, o haciendo x = u2
. se deduce que
Γ(1
2
) = 2 −0∞
e−u2
du 2
∞
0
e−v2
dv = 4
∞
0
∞
0
e−(u2+v2)
dudv
Cambiando a coordenadas polares (ρ, φ), en donde u = ρcosφ, v = ρsenφ, la ´ultima integral se
transforma en
4
π
2
φ=0
∞
ρ=0
e−
ρ2
ρdρdφ = 4
π
2
φ=0
−1
2
e−ρ−2
|∞
ρ=0dφ = τ
4.5 Calcular (a)
∞
0
√
ye−y
dy, (b)
∞
0
3−4z2
dz, (c)
1
0
dx√
−ln(x)
(a) haciendo y = 3, la integral se transforma en
∞
0
x
1
3 e−x
∗ 1
3
x−2
3 dx = 1
2
infty
0
x−1
2 e−x
dx =
Γ(1
2
)
√
π
3
(b) 4
∞
0
3−42
dz =
∞
0
(eln3
)(
− 4z2)
dz =
∞
0
e−(4ln3)z2
dz. Haciendo (4ln3)z2
= x y la integral se
transforma en
(c) haciendo −lnx = u, Entonces x = e−u
. Cuando x = 1, u = 0; cuando x = 0, u = ∞. La
integral se transforma en
∞
0
e−u
√
u
du =
∞
0
u−−1
2 e−u
du = Γ(1
2
) =
√
τ
6

4.6 Calcular
∞
0
xm
e−axn
dx, en donde m,n,a son constantes positivas.
Haciendo axn
= y, la integral se transforma en
∞
0
y
a
1
n
m
e−y
d y
a
1
n
= 1
na
(
m +1)n
∞
0
y
(
m
+1)n−1
e−y
dy = 1
na
m+1
n
Γ (
m
+ 1)n
4.7 Calcular (a) Γ(−1
2
), (b) Γ(−5
2
.
Usamos la generalización para valoresnegativos definitivas por Γ(n) = Γ(n+1)
n
.
(a) Haciendo n = −1
2
, Γ(−1/2) = Γ(1/2
−1/2
= −2
√
π
(b) Haciendo n = −3/2, Γ(−3/2) = Γ(−1/2)
−3/2
= −2
√
π
−3/2
= 4
√
π
3
, usando (a) entonces
Γ(−5/2) = Γ(−3/2)
−5/2
= − 8
15
4.8
4.9
4.10 Una part´ıcula es atra´ıda hacia un punto fijo O con una fuerza inversamente proporcional
a su distancia instantánea de O. Si la part´ıcula se suelta desde el estado de reposo, encontrar
el tiempo que gasta en llegar a O.
En el tiempo t = 0 supongamos que la part´ıcula está localizada en el eje de x para x = a > 0
y supongamos que O es el origen. De acuerdo con la ley de Newton
m
d2
x
dt2
= −
k
x
(1.21)
en donde m es la masa de la particula y k > 0 es una constantede proporcionalidad.
Asumamos dx
dt
= v, como la velocidad de la part´ıcula. entonces d2x
dt2 = dv
dt
= dv
dx
dx
dt
= v dv
dx
y (1) se
transforma en
mv
dv
dt
=
k
x
o
mv2
2
= −k lnx + c (1.22)
Despues de integrar. Puesto v = 0 en x = a, encontramos c = k ln a. Entonces
mv2
2
= k ln
a
x
o v =
dx
dt
= −
2k
m
ln
a
x
(1.23)
donde se escoge el signo negativo puesto que x es decreciente a medida que t aumenta.
Entonces encontramos que el tiempo T gastado por la particula para ir de x = a x = 0 es
dado por
T = a
m
2k
x
0
u−1
2 e−u
du = a
m
2k
Γ(
1
2
) = a
πm
2k
(1.24)
7

FUNCIÓN BETA
4.11. Demostrar que (a) B(m, n) = B(n, m), (b) B(m, n) = 2
π/2
0
sen2m−1
θcos2n−1
θdθ
(a) usando la transformación x = 1 − y, tenemos
B(m, n) =
1
0
xm−1
(1 − x)n−1
dx =
1
0
(1 − y)m−1
yn−1
dy
=
1
0
yn−1
(1 − y)m−1
dy = B(m, n)
(b) Usando la transformación x = sen2
β,
B(m, n) =
1
0
xm−1
(1 − x)n−1
dx =
π/2
0
(sen2
θ)m−1
(cos2
θ)n−1
2senθcosθdθ
4.12. Probar que B(m, n) = Γ(m)Γ(n)
Γ(m+n)
m, n > 0
Haciendo z = x2
, tenemos Γ(m) =?‘int∞
0 zm−1
e−z
dz = 2
∞
0
x2m−2
e−x2
dx
por semejanza Γ(n) = 2
∞
0
y2n−1
e−y2
dy Entonces
Γ(m)Γ(n) = 4
∞
0
x2m−1
e−x2
dx
∞
0
y2n−1
e−y2
dy = 4
∞
0
∞
0
x2m−1
y2n−1
e(x2+y2)
dxdy
transformando a coordenadas polares, x = ρcosφ, y = ρsenφ,
Γ(m)Γ(n) = 4
π/2
φ=0
´ınf |
ρ=0
ρ2(m+n)−1
e−ρ2
cos2m−1
φsen2n−1
φdρdφ =
4
∞
ρ=0
ρ2(m+n)−1
e−ρ2
dp
π/2
φ=0
cos2m−1
φsen2n−1
φdφ =
2Γ(m + n)
π/2
0
cos2m−1
φsen2n−1
φdφ = Γ(m + n)B(n, m) = Γ(m + n)B(m, n)
usando los resultados del problema 4.11. De donde se deduce el resultado buscado.
El argumento usado arriba puede hacerse exacto usando el procedimiento de l´ımites.
4.13. calcular
(a)
1
0
x4
(1 − x)3
dx, (b)
2
0
x2dx√
2−x
, (c)
a
0
y4
a2 − y2dy (a)
1
0
x4
(1 − x)3
dx = B(5, 4) = Γ(5)Γ(4)
Γ(9)
= 4! 3!
8!
= 1
280
(b) Haciendo x = 2v La integral se transforma en
4
√
2
1
0
v2
√
1−v
dv = 4
√
2
1
0
v2
(1 − v)−1/2
dv = 4
√
2B(3, 1
2
) =
4
√
2Γ(3)Γ(1
2
)
Γ(7/2)
= 64
√
2
15
8

(c) Haciendo y2
= a2
x, o y = a
√
x, la integral se transforma en
a6
2
1
0
x3/2
(1 − x)1/2
dx = a6
2
B(5/2, 3/2) = a6Γ(5/2)Γ(3/2)
2Γ(4)
= πa6
32
4.14. Demostrar que
π/2
0
sen2m−1
θcos2n−1
θdθ = Γ(m)Γ(n)
2Γ(m+n)
m, n > 0
esto se deduce inmediatamente de los problemas 4.11. y 4.12.
4.15. Calcular (a)
6
0
θdθ, (b)
π/2
0
sen4
θcos5
θdθ, (c)
π
0
cos4
θdθ.
(a) haciendo 2m − 1 = 6, 2n − 1 = 0, esto es m = 7/2, en el problema 4.14. Entonces la
integral requerida tiene el valor Γ(7/2)Γ(1/2)
2Γ(4)
= 5π
32
(b) Haciendo 2m − 1 = 4, 2n − 1 = 5, la integral requerida tiene el valor Γ(5/2)Γ(3)
2Γ(4)
= 8
315
(c)
π
0
cos4
θdθ = 2
π/2
0
cos4
θdθ. Entonces, haciendo 2m − 1 = 0, 2n − 1 = 4 en el problema
4.14 el valor es 2Γ(1/2)Γ(5/2)
2Γ(3)
= 3π
8
4.16. probar que
π/2
0
senp
θdθ =
π/2
0
cosp
θdθ = (a)1∗3∗5...(p−1)
2∗4∗6...p
π
2
si p es un entero positivo
par, (b) 2∗4∗6...(p−1)
1∗3∗5...p
si p es un enterop positivo impar.
del problema 4.14. con 2m − 1 = p, 2n − 1 = 0, tenemos
π/2
0
senp
θdθ =
Γ[1
2
(p+1)]Γ(1
2
2Γ[1
2
(p+2)]
(a) Si p = 2r, la integral es igual a
Γ(r+1)Γ(1
2
2Γ(r+3
2
= r(r−1)..,1∗
√
π
2(+1
2
)(r−1
2
... 1
2
√
π
= 2∗4∗6..,2r
1∗3∗5...(2r+1)
en ambos casos
π/2
0
senp
θdθ =
π/2
0
cosp
θdθ, como se ve al hacer θ = π/2
2
− φ
4.17.
9

4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
FORMULA DE STIRLING
4.23. Demostrar que para valores grandes de n, n! =
√
2πnnn
e−n
aproximadamente.
tenemos
Γ(n + 1) =
∞
0
xn
e−x
dx =
∞
0
enlnx−x
dx (1.25)
la función nlnx − z tiene un máximo relativo para x = n, como se demuestra fácilmente por
calculo elemental. esto nos conduce a la substitución x = n + y. Entonces (1.25) se transforma
en
Γ(n + 1) = en
∞
−n
enln(n+y)−y
dy = e−n
∞
−n
enlnn+nln(1+y/n)−y
dy = nn
e−n
∞
−n
enln(1+y/n)−y
dy
(1.26)
Hasta ahora el analisis es riguroso. Los procedimientos formales que siguen pueden hacerse
rigurosos por procesos de limitación apropiados, pero las pruebas se vuelven demasiado
complicadas y las omitiremos.
en (1.26) usamos el resultado.
ln(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
− ... (1.27)
con x = y/n. Entonces haciendo y =
√
nv, encontramos
10

Γ(n + 1) = nn
e−n
∞
−n
e−y2/2n+y3/3n2−..
dy = nn
e−n
√
n
∞
−
√
n
e−v3√
n−...
dv (1.28)
Cuando n es un número grande, una aproximación cercana es
Γ(n + 1) = nn
e−n
√
n
∞
−∞
e−v2/2
dv =
√
2πnnn
e−n
(1.29)
Es interesante ver que de (1.28) podemos obtener la serie asintótica completa para la función
gamma
(resultado 1.28 en la pagina 3)
FUNCIONES ESPECIALES Y DESARROLLOS ASINTOTICOS
4.24 (a) Probar que si x > 0, p > 0, entonces
Ip =
∞
x
e−u
up du = Sn(x) + Rn(x)
en donde
Sn(x) = e−x 1
xp − p
xp+1 + p(p+1)
xp+2 − ... + (−1)n p(p+1)...(p+n)
xp+n
Rn(x) = (−1)n+1
p(p + 1)...(p + n)
∞
x
e−u
up+n+1 du
(b) probar que l´ım
x→∞
xn ∞
x
e−uup
d
u − Sn(x) = l´ım
x→∞
xn
|Rn(x)| = 0
(c) explicar el significado de los resultados en (b)
(a) integrando por partes, tenemos
Ip =
∞
x
e−u
up du = e−z
xp − p
∞
x
e−u
up+1 du = e−x
xp − pIp+1
en forma semejante Ip+1 = e−x
ep+1 − (p + 1)Ip+2, de tal manera que
11

Ip = e−x
xp − p e−x
xp+1 − (p + 1)Ip+2 = e−x
xp − pe−z
xp+1 + p(p + 1)Ip+2
continuando de esta misma manera se deduce el resultado requerido.
(b) |Rn(x)| = p(p + n)...(p + n)
∞
x
e−u
up+n+1 du ≤ p(p + 1)...(p + n)
∞
x
e−u
xp+n+1 du ≤ p(p+1)...(p+n)
xp+n+1
puesto que
∞
x
e−u
du ≤
∞
0
e−u
du = 1, entonces
l´ım
x→∞
xn
|Rn(x)| ≤ l´ım
m→∞
p(p+1)...(p+n)
xp+1
= 0
(c) Debido a los resultados en (b), podemos decir que
∞
x
e−u
up
du ∼ e−x 1
xp
−
p
xp+1
+
p(p + 1)
xp+2
− ... (1.30)
Esto es, la serie de la derecha es el desarrollo asintotatico de la funci´on dela izquierda.
4.25. Demostrar que
erf(x) ∼ 1 − e−x2
√
π
1
x
− 1
2x3 + 1∗3
22x5 − 1∗3∗5
23x7 + ...
Tenemos erf(x) = 2√
π
x
0
e−v2
dv = 1√
π
x2
0
u−1/2
e−u
du = 1 − 1√
π
∞
x2 u−1/2
e−u
du
ahora el resultado (1,30) del problema 4.24. tenemos, haciendo p = 1/2 y reemplazando x por
x2
,
∞
x2 u−1/2
e−u
∼ e−x2 1
x
− 1
2x3 + 1∗3
22x5 − 1∗3∗5
23x7 + ...
lo cual da el resultado buscado
Problemas suplementarios
FUNCI´ON GAMMA
4.26. Calcular (a) Γ(79
2Γ(4)Γ(3)
, (b)Γ(3)Γ(3/2)
Γ(9/2)
, (c)Γ(1/2)Γ(3/2)Γ(5/2).
12

4.27. Calcular (a)
∞
0
x4
e−x
dx, (b)
∞
0
x6
e−3x
dx, (c)
∞
0
x2
e−2x2
dx
4.28. Encontrar (a)
∞
0
e−x3
dx, (b)
∞
0
4
√
xe−
√
x
dx, (c)
∞
0
y3
e−2y3
dy
4.29. Demostrar que
∞
0
e−st
√
t
dt = π
s
, δ > 0
4.30. Probar que (a) Γ(n) =
1
0
ln1
x
n−1
dx, n > 0
(b)
1
0
xp
ln1
x
q
dx = Γ(p+1)
(p+1)q+1 , p > −1, q > −1
4.31. Calcular (a)
1
0
(lnx)4
, (b)
1
0
(xlnx)3
dx, (c)
1
0
3
ln(1/x)dx
4.32. Calcular (a) Γ(−7/2), (b)Γ(−1/3)
4.33. Probar que l´ım
x→−m
|Γ(x)| = ∞, donde m = 0, 1, 2, 3, ....
4.34. Probar que si m es un entero positivo Γ(−m + 1
2
) = (−1)m2m√
π
1∗3∗5...(2m−1)
4.35. Probar que Γ (1) =
∞
0
e−x
lnxdx, es un numero negativo. (Esto es igual a −γ, en donde
γ = 0,577215... que es llamada constante de euler)
4.36. Obtener el resultado misceláneo 4 de la página 69del resultado 4 del problema 4.23.
clave: desarrollar ev3/3
√
n−...
en una serie de potencias y reemplazar el limite menor de la
integral por −∞
FUNCIÓN BETA
4.37. Calcular (a) B(3, 5), (b) B(3/2, 2) (c) B(1/3, 2/3)
4.38. Encontrar (a)
1
0
x2
(1 − x)3
dx, (b)
1
0
(1 − x)/xdx, (c)
2
0
(4 − x2
)3/2
dx
4.39. Calcular (a)
4
0
u3/2
(4 − u)5/2
du, (b)
2
0
dx√
3x−x2
4.40. Probar que
a
0
dy√
a4−y4
= Γ(1/4)2
4a
√
2π
4.41. calcular (a)
π/2
0
sen4
θcos4
θdθ, (b)
3π
0
cos6
θdθ
13

4.42. Calcular (a)
π
0
sen5
θdθ, (b)
π/2
0
cos5
θsen2
θdθ
4.43. probar que (a)
π/2
0
√
tanθdθ = π/
√
2; (b)
π/2
0
tanp
θdθ = π
2
secpπ
2
, 0 < p < 1
4.44. probar que (a)
∞
0
xdx
1+x6 = π
3
√
3
, (b)
∞
0
y2dy
1+y4 = π
2
√
2
4.45. Probar que
∞
−∞
e2x
(ae3x+1)2 dx = 2π
3
√
3a2/3b1/3 , donde a, b > 0
4.46. probar que
∞
−∞
e2x
(e3x+1)2 dx = 2π
9
√
3
. [clave : Derivarconrespectoabenelproblema4,46
FUNCIONES ESPECIALES Y DESARROLLOS ASINTOT´ATICOS
4.47. Demostrar que erf(x) = 2√
π
x − x3
3∗1!
+ x5
5∗2!
− x7
7∗3!
+ ...
4.48. Obtener el desarrollo asintot´atico Ei(x) ∼ e−x
x
1 − 1!
x
+ 2!
x2 − 3!
x3 + ...
4.49. Demostrar que (a) Si(−x) = −Si(x), (b) Si(∞) = π/2
4.50. Obtener los desarrollos asintotaticos
Si(x) ∼ π
2
− senx
x
1
x
− 3!
x3 + 5!
x5 − ... − cosx
x
1 − 2!
x2 + 4!
x4 − ..
Ci(x) ∼ cosx
x
1
x
− 3!
x3 + 5!
x5 − ... − senx
x
1 − 2!
x2 + 4!
x4 − ...
4.51. Demostrar que
∞
0
senx
xp dx = π
2Γ(p)sen(pπ/2)
, 0 < p < 1
4.52. Demostrar que
∞
0
senx2
dx =
∞
0
cosx2
dx = 1
2
π
2
4.53. Probar que l´ım
n→∞
n
n√
n!
= e
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
14

Cap´ıtulo 2
Polinomios ortogonales de Hermite,
Laguerre y otros
2.1. ECUACION DIFERENCIAL DE HERMITE,
POLINOMIOS DE HERMITE
Definición 2.1.1 Una ecuación importante que se presenta en los problemas de f´ısica se llama
ecuación diferencial de Hermite; esta dada por
y − 2xy + 2ny = 0 (2.1)
en donde n = 0, 1, 2, 3, .... La ecuación (1) tiene soluciones de polinomios llamadas polinomios
de Hermite dados por la fórmula de Rodr´ıguez
Hn(x) = (−1)n
ex2 dn
dxn
(e−x2
) (2.2)
Unos pocos de los primeros polinomios de Hermite son
H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2
− 2, H3(x) = 8x3
− 12x (2.3)
Téngase en cuenta que Hn(x) es un polinomio de grado n.
2.2. FUNCIÓN GENERATIVA PARA POLINOMIOS
DE HERMITE
Definición 2.2.1 La función generativa para polinomios de Hermite está dada por
e2tx−t2
=
∞
n=0
Hn(x)
n!
tn
(2.4)
Este resultado es útil para obtener muchas propiedades de Hn(x)
2.3. FORMULAS DE RECURRENCIA PARA
Definición 2.3.1 Podemos demostrar que (ver Problemas 8.2 y 8.20) los polinomios de Her-
mite satisfacen las formulas de recurrencia
Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x) (2.5)
15

Hn(x) = 2nHn−1(x) (2.6)
Comenzando con H0(x) = 1, H1(x) = 2x, Podemos usar (5) para obtener polinomios de Hermite
de grado mas alto.
2.4. ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE
HERMITE
Definición 2.4.1 Podemos demostrar que (ver Problema 8.4)
∞
−∞
ex2
Hm(x)Hndx = 0 m = n (2.7)
al que los polinomios de Hermite son mutuamente ortogonales con respecto a la función de peso
o densidad ex2
.
En el caso en el cual m = n podemos demostrar (ver Problema 8.4) que el lado izquierdo (7)
se transforma en
∞
−∞
e−x2
H2
n(x)dx = 2n
n!
√
π (2.8)
De esto podemos normalizar los polinomios de Hermite de tal manera que obtengamos un con-
junto ortonormal.
2.5. SERIES DE POLINOMIOS DE HERMITE
Definición 2.5.1 Usando la ortogonalidad de los polinomios de Hermite es posible desarrollar
una función en una serie que tenga la forma
f(x) = A0H0 + A1H1 + A2H2 + .... (2.9)
en donde
An =
1
2nn!
√
π
∞
−∞
e−x2
f(x)Hn(x)dx (2.10)
Ver Problema 8.6
En general estos desarrollos en series son posibles cuando f(x) y f’(x) son continuas por inter-
valos
2.6. ECUACION DIFERENCIAL DE LAGUERRE
POLINOMIOS DE LAGUERRE
Definición 2.6.1 Otra ecuación diferencial de importancia en f´ısica es la ecuación diferencial
de Laguerre dada por
xy + (1 − x)y + ny = 0 (2.11)
en donde n = 0,1,2,3,....
Esta ecuación tiene soluciones de polinomios llamados polinomios de Laguerre dadas por
Ln(x) = ex dn
dxn
(xn
e−x
) (2.12)
la cual tambien se denomina fórmula de Rodr´ıguez para polinomios de Laguerre.
Unos pocos de los primeros polinomios de Laguerre son
L0 = 1, L1 = 1 − x, L2 = x2
− 4x + 2, L3 = 6 − 18x + 9x2
− x3
(2.13)
Nótese que Ln es un polinomio de grado n.
16

2.7. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE
LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE
Definición 2.7.1 Enseguida damos una lista de algunas de las propiedades de los polinomios
de Laguerre
1. Función generativa.
e
−xt
(1−t) 1 − t
=
∞
n=0
Ln(x)
n!
tn
(2.14)
2. Fórmulas de recurrencia
Ln+1(x) = (2n + 1 − x)Ln(x) − n2
Ln−1(x) (2.15)
Ln(x) = nLn−1(x) + nLn−1(x) = 0 (2.16)
xLn = nLn(x) − n2
Ln−1(x) (2.17)
3. Ortogonalidad
∞
0
e−x
Lm(x)Ln(x)dx =
0 si m = n
(n!)2
si m = n
(2.18)
4. Desarrolo de series
Si f(x) = A0L0(x) + A1L1(x) + A2L2(x) + .... (2.19)
Entonces An =
1
(n!)2
∞
0
e−x
f(x)Ln(x)dx (2.20)
2.8. MISCELANEA DE POLINOMIOS
ORTOGONALES Y SUS PROPIEDADES
Definición 2.8.1 Hay muchos otros ejemplos de polinomios ortogonales. Algunos de los más
importantes, junto con sus propiedades se dan en la siguiente lista.
1. Polinomios asociados de Laguerre Lm
n (x)
Estos son polinomios definidos por
Lm
n (x) =
dm
dxm
Ln(x) (2.21)
y satisfacen la ecuación
xy + (m + 1 − x)y + (n − m)y = 0 (2.22)
Si m > n entonces Lm
n (x) = 0
Tenemos ∞
0
xm
e−x
Lm
n (x)Lm
p dx = 0 p = n (2.23)
∞
0
xm
e−x
{Lm
n (x)}2
dx =
(n!)3
(n − m)!
(2.24)
2. Polinomios de Chebyshev
Estos son polinomios definidos por
Tn(x) = cos(ncos−1
x) = xn
−
n
2
xn−2
(1 − x2
) +
n
4
xn−4
(1 − x2
)2
− ... (2.25)
17

y que satisfacen la ecuación diferencial
(1 − x2
)y − xy + n2
y = 0 (2.26)
en donde n = 0, 1, 2, ....
Una fórmula de recurrencia para Tn(x) está dada por
Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x) (2.27)
y la función generativa es
1 − tx
1 − 2tx + t2
=
∞
n=0
Tn(x)tn
(2.28)
también tenemos
1
−1
Tm(x)Tn(x)
√
1 − x2
dx = 0 m = n (2.29)
1
−1
{Tn(x)}2
√
1 − x2
dx =
π n = 0
π
2
n = 1, 2
(2.30)
Problemas resueltos
8.1 Usar la función generativa para los polinomios de Hermite y encontrar (a) H0(x), (b)
H1(x), (c) H2(x), (d) H3(x)
Tenemos
e2tx−t2
= ∞
n=0
Hn(x)tn
n!
= H0(x) + H1(x)t + H2(x)
2!
t2
+ H3(x)
3!
t3
+ ...
Ahora e2tx−t2
= 1 + (2tx − t2
) + (2tx−t2)2
2!
+ (2tx−t2)3
3!
+ ...
= 1 + (2x)t + (2x2
− 1)t2
+ (4x3−6x
3
)t3
+ ...
Comparando las dos series, tenemos
H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2
− 2, H3(x) = 8x3
− 12x
8.2 Probar que Hn(x) = 2nHn−1(x)
18

Derivando e2tx−t2
= ∞
n=0
Hn(x)
n!
tn
con respecto a x,
2te2tx−t2
= ∞
n=0
Hn(x)
n!
tn
o ∞
n=0
2Hn(x)
n!
tn+1
= ∞
n=0
Hn(x)
n!
tn
Igualando los coeficientes de tn
en ambos lados,
2Hn−1(x)
(n−1)!
= Hn(x)
n!
o Hn(x) = 2nHn−1(x)
FUNCIONES DE BESSEL Y SUS APLICACIONES
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL
Las funciones de bessel se presentan como soluciones de la ecuación diferencial
x2
y + xy + (x2
− n2
)y = 0 n ≥ 0 (2.31)
la cual se llama ecuación diferencial de Bessel. La solución general de (2.31) está dada por
y = c1Jn(x) + c2Yn(x) (2.32)
La solución Jn(x), que tiene un l´ımite finito cuando x se aproxima a cero, se llama función de
Bessel de la primera clase de orden n, La solución Yn(x), que no tiene l´ımite finito ( esto es, es
ilimitada) cuando x se aproxima a cero, es llamada función de BEssel de la segunda clase de
orden n o función de Newmann.
Si la variable independiente x en (2.31) se cambia por λx, dónde λ es una constante, la
ecuación resultante es
x2
y + xy + (λ2
x2
− n2
)y = 0 (2.33)
19

con solución general
y = c1Jn(λx) + c2Yn(λx) (2.34)
La ecuación diferencial (2.31) o (2.33) se obtiene, por ejemplo, de la ecuación de Laplace
2
u = 0 expresada en coordenadas cilindricas (ρ, φ, z). Ver problema 6.1.
METODO DE FROBENTUS
Un importante método para obtener soluciones de ecuaciones diferenciales tales como la
ecuación es conocido como el método de Frobenius. En este método se asume una solución de
la forma
y =
∞
k=−∞
ckxk+β
(2.35)
en donde ck = para k ≤ 0 de tal manera que (2.35) en realidad comienza con un termino que
comprende c0 el cual se asume diferente de cero
Substituyendo (2.35) en una ecuación diferencial dada podemos obtener una ecuación para la
constante β (llamada ecuación de indice), lo mismo que ecuaciones que pueden usarse para
determinar las constantes ck. El proceso se muestra en el problema 6.3.
FUNCIONES DE BESSEL DE LA PRIMERA CLASE
Definimos la función de Bessel de la primera clase d orden n como
Jn(x) =
xn
2nΓ(n + 1)
1 −
x2
2(2n + 2)
+
x4
2 ∗ 4(2n + 2)(2n + 4)
− ... (2.36)
o
Jn(x) =
∞
r=0
(−1)r
(x/2)n+2r
r!Γ(n + r + 1)
(2.37)
20

en donde Γ(n + 1), es la función gamma (capitulo 4). Si n es un entero positivo
Gamma(n + 1) = n!, Γ(1) = 1. Para n = 0 (2.36) se transforma en
J0(x) = 1 −
x2
22
+
x4
2242
−
x6
224262
+ ... (2.38)
Las series (2.36) o (2.37) son convergentes para todos los valores de x. En la figura 6.1 se
muestran gráficos de J0 y J1(x)
Figura 2.1: función de Bessel de la primera clase
Si n es la mitad de un entero impar, Jn(x) puede expresarse en términos de senos y cosenos.
Ver problemas 6.6 y 6.9.
Reemplazando n por −n en (2.36) o (2.37) se puede definir la función J−n(x), n ≥ 0. Si n es
un entero, podemos demostrar que (ver problema 6.5)
J−n(x) = (−1)n
Jn(x) (2.39)
Si n no es un entero, Jn(x) y Jn(x) son linealmente independientes, y para este caso la
solución general de (2.31) es
y = AJn(x) + BJ−n(x) n = 0, 1, 2, 3, ... (2.40)
21

FUNCIONES DE BESSEL DE LA SEGUNDA CLASE
Definiremos una función de Bessel de la segunda clase de orden n como
Yn(x) =



Jn(x)cosnπ−J−n(x)
sennπ
n = 0, 1, 2, 3, ..
l´ım
n→∞
Jp(x)cospπ−J−p(x)
senpπ
n = 0, 1, 2, 3, ...
(2.41)
Para el caso en donde n = 0, 1, 2, 3, ... obtenemos el siguiente desarrollo de la serie para Yn(x):
Yn(x) =
2
π
(ln(x/2)+gamma)Jn(x)−
1
π
n−1
k=0
(n − k − 1)!(x/2)2k−n
k!
−
1
π
∞
k=0
(−1)k
φ(k) + φ(n + k)
(x/2)2k+n
w
k!(
(2.42)
en donde γ = 0,5772156,... es la constante de euler y
φ(p) = 1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
p
, φ(0) = 0 (2.43)
FUNCIÓN GENERATIVA PARA jn(x)
La función
e
x
2
(t−1
t
)
=
∞
n=−∞
Jn(x)tn
(2.44)
es llamada función generativa para funciones de Bessel de la primera clase de orden entero.
Esta es muy útil para obtener propiedades de estas funciones para valores enteros de n
propiedades que pueden posteriormente probarse para todos los valores de n.
FORMULAS DE RECURRENCIA
22

Figura 2.2: función de Bessel de la segunda clase
Los siguientes resultados son validos para todos los valores de n.
1. Jn+1(x) = 2n
x
Jn(x) − Jn−1(x)
2. Jn(x) = 1
2
[Jn−1(x) − Jn+1(x)]
3. xJn = nJn(x) − xJn+1(x)
4. xJn(x) = xJn−1(x) − nJn(x)
5. d
dx
[xn
Jn(x)] = xn
Jn−1(x)
6. d
dx
[x−n
Jn(x)] = −x−n
Jn+1(x)
Si n es un entero, estas fórmulas probarse usando la función generativa. Nótese que los
resultados 3 y 4 son equivalentes a 5 y 6.
las funciones Yn satisfacen exactamente las mismas formulas de donde Yn(x) reemplaza a Jn(x)
23

FUNCIONES RELACIONADAS CON FUNCIONES DE BESSEL
1. Las funciones de Hankel de primera y segunda clase se definen respectivamente por
H(1)
n (x) = Jn(x) + iYn(x), H(2)
n (x) = Jn(x) − iYn(x) (2.45)
2. Funciones de Bessel modificadas. se define una función de Bessel modificada de la primera
clase de orden n como
In(x) = i−n
Jn(ix) = e−nπi/2
Jn(ix) (2.46)
si n es un entero
I−n(x) = In(x) (2.47)
pero si n no es un entero In(x), y I−n(x) son linealmente independientes.
la función modificada de Bessel de la segunda clase de orden n se define como
Kn(x) =



π
2
[I−n(x)−In(x)
sennπ
] n = 0, 1, 2, 3, ..
l´ım
p→n
π
2
[I−p(x)−Ip(x)
senpπ
] n = 0, 1, 2, 3, ...
(2.48)
Estas funciones satisfacen la ecuación diferencial
x2
y + xy − (x2
+ n2
)y = 0 (2.49)
Figura 2.3: Figura 2.4:
y la solución general de esta ecuación es
y = c1In(x) + c2Kn(x) (2.50)
o si n = 0, 1, 2, 3, ...
y = AIn(x) + BI−n(x) (2.51)
24

en las figuras 6.3 y 6.4 se muestran los graficos de las funciones I0(x), I1(x), K0(X), K1(x)
3. funciones Ber, Bei, Ker, Kei. Las funciones Bern(x) y Bein(x)son respectivamente las
partes real e imaginaria de Jn(i3/2
x), en donde i3/2
= e3πt/4
= ( 2/2)(−1 + i), esto es
Jn(i3/2
x) = Bern(x) + iBein(x) (2.52)
las funciones Kern(x) y Kein(x) son respectivamente las partes real e imaginaria de
e−nπt/2
Kn(i1/2
x), en donde i1/2
= eπt/4
= ( 2/2)(1 + i), esto es
e−nπt/2
Kn(i1/2
x) = Kern(x) + iKein(x) (2.53)
Estas funciones son útiles en conexión con la ecuación
x2
y + xy − (ix2
+ n2
)y = 0 (2.54)
que se presenta en ingenier´ıa eléctrica y en otros campos. La solución general de esta ecuación
es
y = c1Jn(i3/2
x) + c2Kn(i1/2
x) (2.55)
Si n = 0, frecuentemente Bern(x), Bein(x), Kern(x), Kein(x) se denomina
Ber(x), Bei(x), Ker(x), Kei(x) respectivamente en las figuras 6.5 y 6.6 se muestran los
gráficos de estas funciones.
Figura 2.5: f
ECUACIONES TRANSFORMABLES EN ECUACIONES DE BESSEL
La ecuación
x2
y + (2k + 1)xy + (a2
x2r
+ β2
)y = 0 (2.56)
en donde k, a, γ, β son constantes, tiene como solución general
y = x−k
[c1Jk/γ(axγ
/γ) + c2Yk/γ(axγ
/γ)] (2.57)
25

en donde x = k2 − β2. Si α la ecuación es una ecuación de Euler o de cauchy y tiene como
solución.
y = x−k
(c3xk
+ c4x−k
) (2.58)
FORMULAS ASINTOTICAS PARA FUNCIONES DE BESSEL
Para valores grandes de x tenemos las siguientes fórmulas asintóticas
Jn(x) ∼
2
πx
cos x −
π
4
−
nπ
2
, Yn(x) ∼
2
πx
sen x −
π
4
−
nπ
2
(2.59)
CERO DE FUNCIONES DE BESSEL
Podemos demostrar que si n es cualquier número real, Jn(x) = 0 tiene un número infinito de
ra´ıces las cuales son todas reales. La diferencia entre las raices sucesiva se aproxima a π a
medida que las las ra´ıces aumentan de valor. Esto puede verse de (2.59). Podemos también
demostrar que las ra´ıces de Jn(x) = 0 [los ceros de Jn(x)] están ubicadas entre las de
Jn+1(x) = 0... y Jn−1(x) = 0. Para Yn(x) pueden hacerse observaciones similares. Ver en el
apendice E la tabla de los ceros de las funciones de Bessel,
ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES DE BESSEL DE LA PRIMERA CLASE
Si λ y µ son dos constantes diferentes, podemos demostrar que
t
0
xJn(λx)Jn(µx)dx =
µJn(λ)Jn(µ) − λJn(µ)Jn(λ)
λ2 − µ2
(2.60)
en tanto que
1
0
xJ2
n(λx)dx =
1
2
[J2
n(λ) + 1 −
n2
λ2
J2
n(λ)] (2.61)
de (2.60) podemos ver que si λ y µ son dos ra´ıces cualesquiera diferentes de la ecuación
RJn(x) + SxJn(x) = 0 (2.62)
en donde R y S son constantes, entonces
1
0
xJn(λx)Jn(µx)dx = 0 (2.63)
en la cual se determina que las funciones
√
xJn(λx) y
√
xJn(µx) son ortogonales e (0,1).
Téngase en cuenta que en casos especiales de (2.62) λ y µ pueden ser dos ra´ıces diferentes
cualesquiera de Jn = 0 o de Jn(x) = 0. También podemos decir que las funciones Jn(λx), y
Jn(µx) son ortogonales con respecto a la función densidad o de peso x.
26

SERIES DE FUNCIONES DE BESSEL DE LA PRIMERA CLASE
Como en el caso de las series de Fourier, podemos demostrar que si f(x) y f’(x) son continuas
por intervalos entonces para cada punto de continuidad de f(x) en el intervalo de 0 < x < 1
existir´a un desarrollo de la serie de Bessel de la forma
f(x) = A1Jn(λ1x) + A2Jn(λ2x) + ... =
∞
p=1
ApJn(λpx) (2.64)
en donde λ1, λ2, λ3,... son las ra´ıces positivas de (2.62) con R/S ≥ 0, = 0
Ap =
2λ2
p
(λ2
p − n2 + R2/S2)J2
n(λp)
1
0
xJn(λpx)f(x)dx (2.65)
En cualquier punto de discontinuidad la serie de la derecha en (2.64) converge a
1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)], la cual puede usarse en el lugar del lado izquierdo de (2.64).
En el caso de S = 0, de tal manera que λ1, λ2,...son las ra´ıces de Jn(x) = 0
Ap =
2
J2
n+1(λp)
1
0
xf(x)dx (2.66)
En este caso las ra´ıces positivas son las de Jn(x) = 0
ORTOGONALIDAD Y SERIES DE FUNCIONES DE BESSEL DE LA SEGUNDA CLASE
Los resultados de arriba para funciones de Bessel de la primera clase pueden desarrollarse en
funciones de Bessel de la segunda clase.
FUNCIONES ORTOGONALES
DEFINICIONES QUE COMPRENDEN FUNCIONES ORTOGONALES
CONJUNTOS ORTOGONALES
Muchas de las propiedades de la serie de Fourier consideradas en el capitulo 2, dependen de
resultados tales como
L
0
sen
mπx
L
sen
nπx
L
dx = 0,
L
0
cos
mπx
L
cos
nπx
L
dx = 0 (m > n) (2.67)
En este capitulo buscaremos generalizar algunas ideas del capitulo 2 , en primer lugar
revisaremos algunas propiedades de los vectores .
27

Dos vectores A y B se llaman ortogonales ( perpendiculares) si A ∗ B = 0 o
A1B1 + A2B2 + A3B3 = 0. Donde A1i + A2j + A3kyB1i + B2j + B3k. Aunque no es geométrica
ni fisicamente obvio; estas ideas pueden generalizarse para incluir vectores con mas de tres
componentes. Se puede pensar en particular en una función, por ejemplo A(x) como un vector
con una infinidad de componentes (esto es un vector infinitamente dimensional, el valor de
cada componente se especifica sustituyendo el valor particular de x tomado de algún intervalo
(a,b). Es natural en este caso definir dos funciones , A(x) y B(x)como ortogonales en (a,b) si
b
a
A(x)B(x)dx = 0 (2.68)
El lado izquierdo de (2.68)se llama generalmente el producto escalar de A(x) y B(x).
Un vector A es llamado un vector unitario o un vector normalizado si su magnitud es la
mitad, es decir, si A ∗ A = A2
= 1 Haciendo extensivo el concepto a la función A(x) decimos
que ella es normal o normalizada en (a,b) si
b
a
A(x)2
dx = 1 (2.69)
De lo dicho arriba se deduce que podemos considerar un conjunto de funciones
φk(x), k = 1, 2, 3,..., que tienen las propiedades
b
a
φm(x)φ(x)dx = 0 m = n (2.70)
b
a
φm(x)2
dx = 1 m = 1, 2, 3, ... (2.71)
Cada miembro del conjunto es ortogonal a cada uno de los otros miembros del conjunto y es
también normalizado . Podemos llamar cada uno de estos conjuntos de funciones un conjunto
ortogonal en (a,b)
Las ecuaciones (2.70) y (2.71) pueden ser resumidas escribiendo
b
a
φm(x)φn(x)dx = 3mn (2.72)
ORTOGONALIDAD CON RESPECTO A UNA FUNCIÓN DE PESO
Si
b
a
ψm(x)ψn(x)u (x)dx = δmn (2.73)
en donde u (x) ≥ 0, decimos generalmente que el conjunto δm(x) es ortogonal con respecto a
la función de densidad o función de peso w(x). En este caso el conjunto
φm(x) = w(x)ψm(x), m = 1, 2, 3, ..., es un conjunto ortonormal en (a,b)
EXPANSIÓN EN LAS SERIES ORTOGONALES
28

En la misma forma que cualquier vector r en tres dimensiones puede ser desarrollado en un
conjunto de vectores unitarios ortogonales entre si i,j,k, en la forma r = c1i + c2j + c3k,
podemos considerar la posibilidad de desarrollar una función f(x) en un conjunto de funciones
ortogonales, esto es
f(τ) =
∞
n=1
cnφn(x) a ≤ x ≤ b (2.74)
Estas series, llamadas series ortogonales, son generalizaciones de las series de fourier y son de
gran interés y utilidad desde el punto de vista teórico y aplicado .
Asumiendo que la serie de la derecha en (2.74) converge a f(x), podemos multiplicar ambos
lados por φm(x) e integrarlos entre a y b para obtener
cm =
b
a
f(x)φm(x)dx (2.75)
que se llaman coeficientesgeneralizadosdeFourier. Como es el caso de las series de Fourier,
se debe hacer una investigación para determinar si la serie de la derecha de (2.74) con
coeficientes (2.75) en realidad converge a f(x). En la practica, si f(x) y f’(x)son continuos por
intervalos en (a,b), entonces la serie de la derecha de (2.74) con coeficientes dador por
(2.75)converge a 1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)], como en el caso de las series de Fourier.
APROXIMACIONES EN EL SENTIDO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Supongamos f(x) y f (x) como continuas por intervalos en (a,b), supongamos ahora que
consideramos la suma infinita
Sm(x) =
M
n=1
αnφn(x) (2.76)
como una aproximación a f(x), en donde an, n = 1, 2, 3, .., son constantes desconocidas hasta
el momento, entonces el error cuadrático promedio de esta aproximación está dado por
Error cuadrático promedio (ECP)
ECP =
b
a
[f(x) − Sµ(x)]2
dx
b − a
(2.77)
Buscamos ahora determinar las constantes an que producirán la m´ınima ra´ız cuadrada del
error cuadrático promedio. El resultado se da en el siguiente teorema
Teorema 1. la ra´ız del error cuadrático promedio es m´ınima cuando los coeficientes son iguales
a los coeficientes generalizados de Fourier (2.75) es cuando
an = cn =
b
a
f(x)φn(x)dx (2.78)
Generalmente decimos que SM (x) con coeficientes cn es una aproximación a f(x)en el sentido
de los m´ınimos cuadrados o una aproximación por m´ınimos cuadrados de f(x)
29

Es interesante notar que una vez que hemos encontrado una aproximación a f(x) en el sentido
de los m´ınimnos cuadrados usando los coeficientes cn, no tenemos que calcular nuevamente
estos coeficientes se deseamos tener una mejor aproximación . Esto es llamado generalmente
principio de finalidad.
IDENTIDAD DE PARSEVAL PARA SERIES ORTONORMALES. PLENITUD
Para el caso an = 0 podemos demostrar que la raiz de error cuadrático promedio está dada por
Erms =
1
√
b − a
b
a
[f(x)]2
dx −
M
n=1
c2
n
1/2
(2.79)
Se ve que erms depende de M. a medida que M → ∞ podriamos esperar que Erms → 0 en
cuyo caso tendriamos
b
a
[f(x)]2
dx =
∞
n=1
c2
1 (2.80)
Ahora (2.80) ciertamente no puede ser verdadero si, por ejemplo, eliminamos ciertas funciones
φn(x) en la aproximación de la serie, esto es, si el conjunto de funciones está incompleto.
Debemos por lo tanto definir un conjunto de funciones φn(x) como completo s´ı y solamente s´ı
Erms → ∞, de tal manera que (2.80) sea válida. Llamamos (2.80) identidad de parseval para
series ortogonales de funciones.
En el caso en que Erms → 0 cuando M → ∞, esto es
l´ım
M→∞
b
a
[f(x) − SM (x)]2
dx = 0 (2.81)
algunas veces escribimos
l´ım
M→∞
SM (x) = f(x) (2.82)
Esto se interpreta as´ı, el limiteenpromedio de SM (x)esigualaf(x)cuandoM → ∞ o
SM (x)convergeenpromedioaf(x)cuandoM → ∞ y es equivalente a (2.81)
SISTEMAS DE STURM-LIOUVILLE VALORES EIGEN Y FUNCIONES EIGEN
Un problema de valor l´ımite que tenga la forma
d
dx
p(x)
dy
dx
+ [q(x) + λγ(x)]y = 0 a ≤ x ≤ b (2.83)
en donde a1, a2, β1, β2 son constantes dadas; p(x), q(x), γ(x) son funciones dadas que
asumimos como derivables y λes un parámetro indefinido independiente de x, se llama un
problema de valor de limite de sturn-louvill. Estos sistemas se presentan en la practica al usar
el método de separación de variables en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. En
éste caso λ es la constante de separación.
Existe en general solamente una solución no despreciable de este sistema, esto es, una que no
es exactamente igual a cero, para su conjunto de valores particulares del parámetro λ. Estos
valores se denominan valores caracter´ısticos o mas frecuentemente valores Eigen del sistema;
las soluciones correspondientes se denominan funciones caracteristicas o funciones Eigen del
sistema. En general para cada valor eigen hay una función Eigen, aunque puede presentarse
excepciones.*
30

Si p(x) y q(x) son reales, entonces los valores Eigen son reales. También, las funciones Eigen
forman un conjunto ortogonal con respecto a la función de peso r(x), la cual se toma
generalmente como no negativa esto es r(x) ≥ 0. Se desprende que por la normalización
adecuada un conjunto de funciones puede hacerse un conjunto ortogonal con respecto a r(x)
en a ≤ x ≤ b
APLICACIONES DE PROBLEMAS A VALOR LIMITE
En el proceso de la solución de problemas de valor limite por el uso de separación de variables
encontramos generalmente las ecuaciones diferenciales de esturn Liouville. El parámetro λ que
se obtienen representan los valores reales Eigen. se obtienen entonces la solución del problema
de valor l´ımite en términos de las correspondientes funciones Eigen mutuamente ortogonales.
31

Funciones especiales gamma y beta

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