1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
La ecuación diferencial de variables separables es de la forma
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 0 , donde cada diferencial tiene como coeficiente una función
de su propia variable, o una constante.
𝑑𝑦 𝑔(𝑥)
Una ecuación diferencial de la forma = es separable o tiene variables
𝑑𝑥 𝑕(𝑦)
𝑑𝑦
separables. Una ecuación separable puede escribirse como 𝑕 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
multiplicamos por 𝑑𝑥, 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 de esta forma, se puede integrar a
ambos lados la ecuación
𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Esta ecuación indica el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales
separables, integrando a ambos miembros se obtiene una familia uni - paramétrica
de soluciones, la cual queda generalmente expresada implícitamente. En estas
ecuaciones no hay necesidad de usar dos constantes de integración ya que:
𝑕 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑐1 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1
𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
Hacemos 𝑐2 − 𝑐1 = 𝑐 , donde 𝑐 es completamente arbitraria.
Ejemplo:
𝑑𝑦
Resolver por variables separables = cos 2𝑥 .
𝑑𝑥
Separando variables se tiene 𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 , integrando a ambos lados
𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥
1
𝑦= 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐
2

2. Ejemplo:
𝑑𝑦
Resolver = 𝑒 3𝑥+2𝑦
𝑑𝑥
Aplicando las propiedades de los exponentes se tiene
𝑑𝑦
= 𝑒 3𝑥 𝑒 2𝑦 Separando variables
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 Integramos
𝑒 2𝑦
𝑒 −2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
1 1
− 𝑒 −2𝑦 = 𝑒 3𝑥 + 𝑐
2 3
Ejemplo:
Resolver: 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦
Separando variables 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦
Aplicando identidades trigonométricas se obtiene:
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0
Integrando 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0
1
− 𝑙𝑛 cos 𝑥 − = 𝑐
𝑐𝑜𝑠𝑦
Esto es ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑦 = 𝑐, solución general.
Ejercicios propuestos
Resolver: Soluciones
𝑑𝑦
1. = 4𝑥 − 6 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 2𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1
2. = 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 𝑦 2

3. 1
3. 𝑒 −𝑥 + 𝑦´ = + 6𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑕−1 𝑥 + 3𝑥 2 + 𝑒 −𝑥 + 𝑒 − 1
𝑥 2 +1
𝑦 0 = 𝑒
𝑑𝑦 𝑦
4. = 𝑠𝑜𝑙. ln 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 1+𝑥 2
5. 𝑦´ = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑡𝑎𝑛𝑦 = 𝑒 𝑥
𝜋
𝑦 0 =
4
𝑑𝑦 𝑒 −𝑥 1
6. = 𝑠𝑜𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 1 −
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑒
𝑦 1 =0
𝑦
7. 𝑦´ = 𝑠𝑜𝑙. 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑕−1 𝑥 + 𝑐
𝑥 2 +1
𝑑𝑦 9𝑥 2 −6
8. = 6
𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 9𝑥 + 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 𝑥2
𝑥 2 −1 2 3
9. 𝑦´ = 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 2 = 𝑥2 − 1 2 +1
𝑦 3
𝑦 −1 = 1
Otros ejercicios
𝑑𝑦 𝑥𝑦 +2𝑦−𝑥−2
1. =
𝑑𝑥 𝑥𝑦 −3𝑦+𝑥−3
2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒 −𝑦 + 1 𝑑𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑦, 𝑦 0 =0
𝑑𝑦 1
3. =
𝑑𝑥 𝑥+𝑦+1
𝑑𝑦
4. = 1 + 𝑒 𝑦−𝑥+5
𝑑𝑥
𝑑𝑦 1−𝑥−𝑦
5. =
𝑑𝑥 𝑥+𝑦