Integración por sustitución o cambio de variable.

1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE VERACRUZ
PLANTEL 35
“DR. LEONARDO PASQUEL”
PROYECTO DE CÁLCULO INTEGRAL
“INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE”
GRUPO 602
INTEGRANTES DEL EQUIPO
-BASULTO ALMEIDA MAURICIO ALBERTO
-JIMÉNEZ MENDOZA ANDRÉS GIOVANNI
-LEAL HERNÁNDEZ ARLETTE
-MARTÍNEZ SÁNCHEZ JOSÉ FRANCISCO
-REYES LLANOS LUIS ARTURO
MATERIA: CÁLCULO INTEGRAL
PROFESOR ING. CARLOS MELESIO CARRILLO CONSUEGRA
FECHA DE ENTREGA
18 DE MARZO DE 2014

2. Cálculo Integral
Método de integración por sustitución (caso 1) o cambio de variable
(caso 2)
Cuando el integrando es complicado, es necesario aplicar un método
adicional para integrar una función que no puede ser integrada por
simples formulas elementales; éste método se conoce como “sustitución o
cambio de variable” y se resume en lo siguiente:
𝑆𝑒𝑎 𝑢 𝑙𝑎 función interna 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥
Resolvamos un ejercicio para observar cómo se utiliza la sustitución en la
integración.
1. Determinar ∫ 3𝑥2
cos(𝑥3) 𝑑𝑥
Buscamos una función interior cuya derivada esté presente, en este caso es
𝑥3
. Igualamos 𝑢 = 𝑥3
, entonces 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = 3𝑥2
𝑑𝑥. El integrando
original se puede volver a escribir en términos de la nueva variable 𝑢.
∫ 3𝑥2
cos(𝑥3) 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑥3) ∙ 3𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3) + 𝐶
Si cambiamos la variable a 𝑢 podemos simplificar el integrando. Ahora
tenemos cos 𝑢 cuya integral puede calcularse con más facilidad. El paso
final, después de integrar, es regresar a la variable original, 𝑥.

3. ¿Por qué funciona la sustitución?
El método de sustitución hace que parezca como si pudiéramos manejar a
𝑑𝑢 y 𝑑𝑥 como entidades separadas, incluso simplificándolas en la ecuación
𝑑𝑢 = (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥. Veamos por que da resultado esto. Supongamos que hay una
integral de la forma ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 siendo 𝑔(𝑥) la función interior y
𝑓(𝑥) la función exterior. Si 𝐹 es una antiderivada o integral de 𝑓, entonces
𝐹′
= 𝑓 y, de acuerdo con la regla de la cadena
𝑑
𝑑𝑥
(𝐹(𝑔(𝑥))) =
𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′
(𝑥). Por consiguiente:
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶
Ahora escribimos 𝑢 = 𝑔(𝑥) y 𝑑𝑢(𝑑𝑥 = 𝑔′
(𝑥) en ambos lados de esta
ecuación:
∫ 𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
Por otro lado, sabemos que 𝐹′
= 𝑓 equivale a:
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
Por consiguiente, las dos integrales siguientes son iguales:
∫ 𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
Al sustituir 𝑢 en la función interior y escribir 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 se deja sin
alterar la integral indefinida.

4. 2. Determinar ∫ 𝑡𝑒(𝑡2+1)
𝑑𝑡
En este caso, la función interior es 𝑡2
+ 1, cuya derivada es 2𝑡. Como hay un
factor igual a t en el integrando, hacemos la prueba con:
𝑢 = 𝑡2
+ 1
Entonces
𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑑𝑡
Sin embargo, observemos que el integrando original sólo tiene 𝑡 𝑑𝑡 y no
2𝑡 𝑑𝑡. En consecuencia escribimos:
1
2
𝑑𝑢 = 𝑡 𝑑𝑡
Y a continuación, sustituimos:
∫ 𝑡𝑒(𝑡2+1)
𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(𝑡2+1)
∙ 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 𝑢
∙
1
2
𝑑𝑢 =
1
2
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
𝑒 𝑢
+ 𝐶 =
1
2
𝑒(𝑡2+1)
+ 𝐶

5. 3. Determinar ∫
𝑒√ 𝑥
√ 𝑥
𝑑𝑥
Seleccionamos la función interior, que en este caso es √ 𝑥, entonces:
𝑢 = √ 𝑥
Entonces:
𝑑𝑢 =
1
2√ 𝑥
𝑑𝑥
Pero, el integrando original sólo tiene
1
√ 𝑥
𝑑𝑥, en consecuencia se debe
escribir:
2 𝑑𝑢 =
1
2√ 𝑥
𝑑𝑥
Y a continuación, sustituimos:
∫
𝑒√ 𝑥
√ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒√ 𝑥
∙
1
√ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢
∙ 2𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 2𝑒 𝑢
+ 𝐶 = 2𝑒√ 𝑥
+ 𝐶
Advertencia
En los ejemplos anteriores vimos que se puede aplicar el método de
sustitución cuando falta un factor constante en la derivada de la función
interior. Sin embargo, no podremos emplear la sustitución si falta algo
que no sea un factor constante. Por ejemplo, si igualamos 𝑢 = 𝑥4
+ 5 para
determinar:
∫ 𝑥2√ 𝑥4 + 5 𝑑𝑥
No avanzamos nada, porque no podemos obtener con facilidad 𝑥2
𝑑𝑥 en
función de 𝑢. Para aplicar la sustitución, el integrando debe contener a la
derivada de la función interna y ésta debe diferir sólo en un factor
constante.

6. 4. Determinar ∫
𝑒 𝑡
1+𝑒 𝑡
𝑑𝑡
Al observar que la derivada de 1 + 𝑒 𝑡
es 𝑒 𝑡
, vemos que 𝑢 = 1 + 𝑒 𝑡
es
buena elección. Entonces 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑡
𝑑𝑡 por lo que:
∫
𝑒 𝑡
1 + 𝑒 𝑡
𝑑𝑡 = ∫
1
1 + 𝑒 𝑡
∙ 𝑒 𝑡
𝑑𝑡 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|1 + 𝑒 𝑡| + 𝐶
En este caso 1 + 𝑒 𝑡
siempre es positivo por lo que el valor absoluto sólo
es redundancia, por lo que ∫
𝑒 𝑡
1+𝑒 𝑡
𝑑𝑡 = ln(1 + 𝑒 𝑡) + 𝐶
5. Determinar ∫
𝑥 𝑑𝑥
√16−𝑥2
Seleccionamos la función interior, siendo esta 16 − 𝑥2
, esto implica que
𝑢 = 16 − 𝑥2
, por lo que 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥
Pero en la función original sólo aparece 𝑥 𝑑𝑥, por lo que decimos que
−
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥
Y entonces ya podemos sustituir
∫
𝑥 𝑑𝑥
√16 − 𝑥2
= ∫
−
1
2
𝑑𝑢
√ 𝑢
= −
1
2
∫
𝑑𝑢
√ 𝑢
= −
1
2
∙
√ 𝑢
1
2
+ 𝐶 = −√ 𝑢 + 𝐶 = −√16 − 𝑥2 + 𝐶

7. 6. Determinar ∫
𝑥 cos(𝑥2)
√sin(𝑥2)
𝑑𝑥
En este caso la función interior es 𝑥2
, entonces
𝑢 = 𝑥2
de lo que se obtiene 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
Pero el integrando sólo tiene 𝑥 𝑑𝑥 entonces se debe hacer
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥
Ahora sustituimos
∫
𝑥 cos(𝑥2
)
√sin(𝑥2)
𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑢 ∙
1
2
𝑑𝑢
√sin 𝑢
=
1
2
∫
cos 𝑢 𝑑𝑢
√sin 𝑢
Podemos volver a sustituir realizando otra selección de función interior,
en este caso
𝑢1 = sin 𝑢 de donde 𝑑𝑢1 = cos 𝑢 𝑑𝑢
Nuevamente volvemos a sustituir ya que el diferencial aparece tal y como
debe ser.
∫
𝑥 cos(𝑥2
)
√sin(𝑥2)
𝑑𝑥 =
1
2
∫
cos 𝑢 𝑑𝑢
√sin 𝑢
=
1
2
∫
𝑑𝑢1
√ 𝑢1
=
1
2
∙
√sin 𝑢
1
2
+ 𝐶 = √sin 𝑥2 + 𝐶
7. Determinar ∫(2𝑥 + 1)𝑒 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥
En este caso un paso importante es efectuar el producto 𝑒 𝑥2
𝑒 𝑥
que, con la
regla de productos de potencias resulta 𝑒 𝑥2+𝑥
, ahora, la función interior
es
𝑢 = 𝑥2
+ 𝑥 de donde resulta que 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
Es interesante que el diferencial de u se encuentre tal y como debe estar
en el integrando, por lo que

8. ∫ 𝑒 𝑥2+𝑥 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢
+ 𝐶 = 𝑒 𝑥2+𝑥
+ 𝐶
8. Determinar ∫ 4𝑥(𝑥2
+ 1)𝑑𝑥 con dos métodos; primero multiplique y
después integre; ahora resuelva la integral utilizando la sustitución;
explique por qué los dos resultado obtenidos son distintos; ¿son correctos
los dos?
Comencemos con el primer método que pide el problema, en este caso
hay que desarrollar el producto del integrando.
∫ 4𝑥(𝑥2
+ 1)𝑑𝑥 = ∫(4𝑥3
+ 4𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
Esto puede resolverse utilizando formulas inmediatas de integración.
= 4 ⋅
𝑥4
4
+ 4 ∙
𝑥2
2
+ 𝐶 = 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 𝐶, este es el resultado 1.
Para obtener el resultado 2 habrá que utilizar el método de sustitución
que hemos estado estudiando.
Seleccionamos la función interna, que en este caso es 𝑢 = 𝑥2
+ 1 y de ahí
obtenemos 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, pero en el integrando hay 4𝑥 𝑑𝑥 por lo que se
dice 2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, ahora sustituimos
∫ 4𝑥(𝑥2
+ 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 ∙ 2 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∙
𝑢2
2
+ 𝐶 = 𝑢2
+ 𝐶 = (𝑥2
+ 1)2
+ 𝐶
El cual es el resultado 2.
Pero, ¿son iguales los dos resultados?, comprobémoslo desarrollando el
resultado 2.
(𝑥2
+ 1)2
+ 𝐶 = 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 + 𝐶 , puesto que cuando se trata de
integrales, toda constante se considera como C, ya que al derivar una
constante siempre da cero, podemos resumir el resultado en lo siguiente
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 𝐶; con lo que concluimos que los dos resultados son
diferentes porque difieren en una constante pero los dos son correctos.

9. Integración de las funciones trigonométricas elementales
Por otro lado, el método de sustitución ayuda en gran medida a obtener
diversas formulas inmediatas para integrar funciones trigonométricas
que se presenten de una forma determinada en el integrando. En este
caso calcularemos 7 integrales de funciones trigonométricas.
9. Determinar ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥
Si recordamos las identidades trigonométricas sabremos que tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
,
entonces:
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 , en esta integral podemos aplicar el método de
sustitución, seleccionando a la función interior 𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑑𝑢 =
− sin 𝑥 𝑑𝑥, pero en el integrando aparece sin 𝑥 𝑑𝑥, entonces decimos que
– 𝑑𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑥; ahora procedemos a sustituir,
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
−𝑑𝑢
𝑢
= − ∫
𝑑𝑢
𝑢
= −𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶
Ahora revertimos la sustitución inicial, con lo que concluimos que
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
Adicional; demuestra que − ln|cos 𝑥| + 𝐶 = ln|sec 𝑥| + 𝐶
10. Determinar ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥
Nuevamente, de acuerdo a las identidades trigonométricas cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
,
entonces,
∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑥
sin 𝑥
𝑑𝑥, y seleccionando 𝑢 = sin 𝑥 y 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 podemos
sustituir en el integrando,
∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|sin 𝑥| + 𝐶
11. Determinar ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥

10. Vamos a aplicar un “truco” para llegar al resultado de esta integral,
multiplicando y dividiendo el integrando por (sec 𝑥 + tan 𝑥), entonces
tenemos,
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sec 𝑥 (sec 𝑥 + tan 𝑥)
(sec 𝑥 + tan 𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑐 2
𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
𝑑𝑥
Calculemos ahora por sustitución la integral resultante, seleccionando
𝑢 = sec 𝑥 + tan 𝑥 y de donde 𝑑𝑢 = (sec 𝑥 tan 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2
𝑥)𝑑𝑥, con esto,
procedemos a sustituir,
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶
12. Determinar ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥
Otra vez, vamos a aplicar el método del ejercicio anterior, esta vez vamos
a multiplicar y dividir al integrando por (csc 𝑥 − cot 𝑥), resultando lo
siguiente
∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
csc 𝑥 (csc 𝑥 − cot 𝑥)
(csc 𝑥 − cot 𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥)𝑑𝑥
(csc 𝑥 − cot 𝑥)
Calculemos ahora esta integral por el método de sustitución,
seleccionando 𝑢 = csc 𝑥 − cot 𝑥 y de esta forma obteniendo 𝑑𝑢 =
[(− csc 𝑥 cot 𝑥) − (−𝑐𝑠𝑐2
𝑥)]𝑑𝑥 , entonces 𝑑𝑢 = (𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥)𝑑𝑥 ,
sustituyendo
∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶

11. 13. Determinar ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
Podemos utilizar una identidad trigonométrica en el integrando, esta vez
seleccionamos 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 =
1−cos 2𝑥
2
, entonces
∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫(1 − cos 2𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
Podemos calcular la segunda integral con el método de sustitución,
seleccionando 𝑢 = 2𝑥, de donde 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥, entonces
1
2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, entonces
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
2
∙
1
2
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
𝑥 −
1
4
sin 𝑢 + 𝐶
=
1
2
𝑥 −
1
4
sin 2𝑥 + 𝐶
Sabemos que sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥, entonces
=
1
2
𝑥 −
1
4
⋅ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 =
1
2
𝑥 −
1
2
sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶
Finalmente
∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶
14. Determinar ∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
De acuerdo con la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥, alteramos
el integrado de manera que quede de la siguiente forma
∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
De acuerdo al ejercicio anterior, sabemos que ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
2
sin 𝑥 cos 𝑥 entonces

12. = 𝑥 − [
1
2
𝑥 −
1
2
sin 𝑥 cos 𝑥] + 𝐶 =
1
2
(𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶
∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶
15. Determinar ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
Sabemos, gracias a la identidad trigonométrica que 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1,
entonces
∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑥 + 𝐶

13. Cambio total de variable (Caso 2)
A veces, es posible re expresar por completo la integral en términos de u y
du. Aunque este proceso requiere más pasos explícitos que el modelo de
sustitución visto anteriormente donde solo faltaba un factor constante,
sirve para resolver integrales de mayor dificultad; en donde podamos
hacer que la variable x quede en términos de la variable u.
16. Determinar ∫ 𝑥√2𝑥 − 1𝑑𝑥
En este caso tomamos 𝑢 = 2𝑥 − 1, y de ahí obtenemos que 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥,
entonces
1
2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, pero el integrando contiene un factor x, entonces hay
que expresar x en términos de u, despejándola de la ecuación; con lo que
se obtiene𝑥 =
1
2
(𝑢 + 1), ahora, sustituyendo obtenemos al fin
∫ 𝑥√2𝑥 − 1𝑑𝑥 = ∫
1
2
(𝑢 + 1) ∙ √ 𝑢 ∙
1
2
𝑑𝑢 =
1
4
∫(𝑢
3
2 + 𝑢
1
2)𝑑𝑢
=
1
4
∫ 𝑢3/2
𝑑𝑢 +
1
4
∫ 𝑢1/2
𝑑𝑢 =
1
4
∙
𝑢5/2
5/2
+
1
4
⋅
𝑢3/2
3/2
+ 𝐶
=
𝑢5/2
10
+
𝑢3/2
6
+ 𝐶 =
√(2𝑥 − 1)5
10
+
√(2𝑥 − 1)3
6
+ 𝐶
Llegamos así al resultado de esta complicada sustitución.

14. 17. Determinar ∫ 𝑥2
√1 − 𝑥 𝑑𝑥
En este caso escogemos 𝑢 = 1 − 𝑥 de donde resulta 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥, pero,
despejamos, y queda – 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, ahora pongamos a x en términos de u, al
hacer esto resulta 𝑥 = 1 − 𝑢, finalmente podemos hacer la sustitución
correcta.
∫ 𝑥2
√1 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑢)2
√ 𝑢 ∙ −𝑑𝑢 = − ∫(1 − 𝑢)2
√ 𝑢 𝑑𝑢
= − ∫(1 − 2𝑢 + 𝑢2
)√ 𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑢1/2
𝑑𝑢 + ∫ 2𝑢3/2
𝑑𝑢 − ∫ 𝑢5/2
𝑑𝑢
= −
𝑢3/2
3/2
+ 2
𝑢5/2
5/2
−
𝑢7/2
7/2
+ 𝐶 =
4
5
√ 𝑢5 −
2
3
√ 𝑢3 −
2
7
√ 𝑢7 + 𝐶
= −
2√𝑢3
105
(35 − 42𝑢 + 15𝑢2) + 𝐶
= −
2
105
√(1 − 𝑥)3 ∙ (15(1 − 𝑥)2
− 42(1 − 𝑥) + 35) + 𝐶
= −
2
105
√(1 − 𝑥)3 ∙ (15 − 30𝑥 + 15𝑥2
− 42 + 42𝑥 + 35) + 𝐶
Y finalmente llegamos al resultado de esta complicada integral.
= −
2
105
√(1 − 𝑥)3 ∙ (15𝑥2
+ 12𝑥 + 8) + 𝐶

15. 18. Determinar ∫ 𝑡 ∙ √ 𝑡 − 4
3
𝑑𝑡
En este caso vamos a selección la función interior 𝑢 = 𝑡 − 4 con lo que
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡; vamos a despejar la variable t de manera que quede en términos
de u; y así hacer una sustitución completa, 𝑡 = 𝑢 + 4, y ahora cambiamos
por completo el integrando.
= ∫(𝑢 + 4)√ 𝑢
3
𝑑𝑢 = ∫(𝑢4/3
+ 4𝑢1/3
)𝑑𝑢 = ∫ 𝑢4/3
𝑑𝑢 + 4 ∫ 𝑢1/3
𝑑𝑢
=
𝑢7/3
7/3
+ 4 ⋅
𝑢4/3
4/3
+ 𝐶 =
3√𝑢73
7
+ 3√ 𝑢43
+ 𝐶
=
3
7
√(𝑡 − 4)73
+ 3√(𝑡 − 4)43
+ 𝐶
=
3
7
√(𝑡 − 4)43
∙ ((𝑡 − 4) + 7) + 𝐶
Y finalmente llegamos al resultado final.
=
3
7
√(𝑡 − 4)43
∙ (𝑡 + 3) + 𝐶
19. Determinar ∫ √1 + √ 𝑥 𝑑𝑥
Esta vez la derivada de la función interior no puede verse. Sin embargo,
probaremos con 𝑢 = 1 + √ 𝑥. Entonces 𝑢 − 1 = √ 𝑥, por lo que (𝑢 − 1)2
=
𝑥. Entonces 2(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Con lo anterior,
∫ √1 + √ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √ 𝑢 ⋅ 2(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑢
1
2 ∙ (𝑢 − 1)𝑑𝑢
= 2 ∫ (𝑢
3
2 − 𝑢
1
2) 𝑑𝑢 = 2 ∙ [
𝑢
5
2
5
2
−
𝑢
3
2
3
2
] + 𝐶 = 2 ∙ [
2
5
√ 𝑢5 −
2
3
√ 𝑢3] + 𝐶
=
4
5
√(1 + √ 𝑥)5 −
4
3
√(1 + √ 𝑥)3 + 𝐶

16. 20. Hagamos un problema de mayor dificultad. Determinar
∫
−𝑥
(𝑥+1)−√(𝑥+1)
𝑑𝑥
En este caso 𝑢 = 𝑥 + 1, con lo que podemos determinar que 𝑥 = 𝑢 − 1, y
entonces 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢, entonces vayamos directo a la sustitución.
= ∫
−(𝑢 − 1)
𝑢 − √ 𝑢
𝑑𝑢 = − ∫
(𝑢 − 1)
𝑢 − √ 𝑢
𝑑𝑢
En este caso descompondremos el integrando de la siguiente forma,
− ∫
(√ 𝑢 + 1)(√ 𝑢 − 1)
√ 𝑢(√ 𝑢 − 1)
𝑑𝑢 = − ∫
(√ 𝑢 + 1)
√ 𝑢
𝑑𝑢 = − ∫ (1 + 𝑢−
1
2) 𝑑𝑢
Como ves, hemos descompuesto el integrando en una función mucho más
simple que la inicial, todo esto gracias a la sustitución que hicimos al
principio, continuemos,
= − (𝑢 +
𝑢
1
2
1
2
) + 𝐶 = −𝑢 − 2√ 𝑢 + 𝐶 = −𝑥 − 1 − 2√(𝑥 + 1) + 𝐶
= −(𝑥 + 2√𝑥 + 1) + 𝐶
¿Aceptas el reto?
Comprueba las siguientes integrales.
1. ∫ 𝑥3
√𝑥4 + 5 𝑑𝑥 =
1
6
√(𝑥4 + 5)3 + 𝐶
2. ∫ 𝑒cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒cos 𝑥
+ 𝐶
3. ∫(𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 1)𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑡3 𝑥
3
− cot 𝑥 + 𝐶
4. ∫ 𝑥(𝑥2
+ 3)2
𝑑𝑥 =
1
3
(𝑥2
+ 3)3
+ 𝐶
5. ∫(𝑥 + 7)√(3 − 2𝑥)
3
𝑑𝑥 = −
1
4
(
51
4
(3 − 2𝑥)
4
3 −
3
7
(3 − 2𝑥)
7
3) + 𝐶

17. 6. ∫
𝑥2−1
√2𝑥−1
𝑑𝑥 =
1
15
√2𝑥 − 1(3𝑥2
+ 2𝑥 − 13) + 𝐶