Metodos Para Resolver Integrales

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE INTEGRALES
1. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR INTEGRACIÓN INMEDIATA:
Como su nombre lo indica, el mencionado método consiste en la aplicación inmediata de una o
varias reglas de integración ya establecidas y que son de fácil aplicación, aunque – en algunos
casos- será necesario el desarrollo de operaciones algebraicas básicas.

∫x
5
dx  1 3 u
Ejemplo1. Resolver la siguiente integral: ∫  3u + 2u 2
+ e2 +  du
2 

• Método a emplear: Integración inmediata
de funciones potenciales. Método a emplear: Integral de la sumatoria de
• Regla de integración: funciones e Integración inmediata de funciones
1 potenciales.
∫x
n
dx = x n + 1 + c; con n ≠ 1 y n ∈ R.  Al aplicar la Ecuación correspondiente y las
n+ 1 propiedades de los radicales, se obtiene:
1 1 3 1 1
3∫ u
du + ∫ 2 du + ∫e 2∫
• Determinar el valor de n. Para ello se debe 2
du + u du
2 u
comparar la integral dada, con la regla de =
integración. Al realizar dicha comparación,  Ahora se tienen cuatro integrales por
se obtiene que: n=5. resolver. La primera se puede resolver
• Siguiendo la regla de integración, se debe aplicando la Ecuación. Tanto la segunda
realizar la siguiente operación: n+1 como la cuarta integral ya han sido
resueltas en los ejemplos anteriores. Para
• Como n=5, se tendrá el siguiente resultado: resolver la tercera integral, se debe sacar e2
n+1=5+1=6 de la integral por tratarse de una constante,
ya que no depende de la variable u, y
aplicar el factor. Así, se concluye que:
• La regla de integración que se está
aplicando, para resolver este ejercicio,  1 3 u
indica que éste resultado debe colocarse ∫  3u + + e2 +  du = 1 Ln u − 3 + e 2u + 2 u 3 + c
2u 2
2 
 3 2u 6
tanto en el exponente de la antiderivada
como en el denominador de la misma. Así Ejemplo 3. Resolver la siguiente integral:
1 6
x  3 5 x + 10e x  dx
∫  7x − 
se obtiene: 6  

• Ahora, si a ésta expresión se le agrega la Método a emplear: Integral de la sumatoria de
constante de integración c, se tendrá que: funciones e Integración inmediata de funciones
1 6 exponenciales y potenciales. Desarrollo:
x + c
6  Al aplicar la regla correspondiente y
propiedades de los radicales, se obtiene:
1 6
∫x x + c
5
dx  3
∫  7x − 5 x + 10e x  dx
• Concluyéndose que: =6 


=
1 6
x + c
• Verificación: Si se deriva el resultado , 6 3 + 10 ∫ e x dx
∫ x dx − 5∫ x dx
7
se obtiene x5 , que constituye la función
 Ahora se tienen tres integrales por resolver y
primitiva u original; poniéndose de
este tipo de ecuaciones ya fue resuelto
manifiesto que la diferenciación y la
anteriormente (Trabajar con exponentes
integración son procesos inversos.
fraccionarios y aplicar las Ecuaciones). Así,
Ejemplo 2. Resolver la siguiente integral: se obtiene que:
7 x 4 − 2 5x3 + 10e x + c
4 3
PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L.
CALCULO INTEGRAL

2. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE (INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN)

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable
auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones
necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos
de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (sustitución).

Luego de hacer efectivo la sustitución, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la
original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables
originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para
reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.

Ejemplo 4. Resolver la siguiente integral: Ejercicios
En muchas ocasiones, cuando la integración
∫ ( 2 x + 6)
5
dx
directa no es tan obvia, es posible resolver la
Desarrollo: integral simplemente con hacer un cambio de
 En atención a la teoría expuesta, construir la variable adecuado; este procedimiento se
siguiente igualdad: conoce como integración por sustitución.
u= 2x+6 (1) En los siguientes ejercicios realice la integral que
 Debido a (1), la integral original se se indica:
transforma, momentáneamente en:
5
∫ ( 2 x + 6)
5
dx ∫ u dx
= (2)
 Como la integral a resolver no debe quedar
en función de la variable original, se debe
expresar a dx, en función de du y para ello
se:
• Deriva ambos miembros de (1) para
obtener: du=2dx
• Divide la expresión anterior entre 2,
du
= dx
2
obteniéndose: (3)
 Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión
obtenida en (3) y además se aplica las
propiedades y se obtiene:
1 5
2∫
5 u du
∫ ( 2 x + 6)
5
dx ∫ u dx
= =
 Efectuado la sustitución se obtiene una
integral inmediata. Para su solución basta
con aplicar las Ecuaciones. Así:
1 5 1 6
2∫
u du u +c
12
=
 Devolviendo la sustitución, u=2x+6 , se
obtiene la respuesta final. Por tanto:
1
∫ ( 2 x + 6) ( 2 x + 6) 6 + c
5
dx =
12

CALCULO INTEGRAL

3. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR PARTES

De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método de integración
por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

Dx[ f ( x ) g ( x )] = f ( x ) g´(x ) + g ( x) f ´(x ) ⇔ f ( x ) g´(x ) = Dx[ f ( x ) g ( x)] − g ( x ) f ´(x)

Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:

∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ Dx[ f ( x ) g ( x ) ] dx − ∫ g ( x ) f ( x ) dx
' '

Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene:

∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) f ( x ) dx ( *)
' '

La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente, se utiliza una
expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable:

u = f ( x) v = g( x)
y
du = f '
( x )dx dv = g ' ( x )dx
Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se obtiene: y
Así que la ecuación (*) se transforma en:

∫ udv = uv − ∫ vdu
(Ecuación 1)

La Ecuación 1 expresa la integral
∫ udv en términos de otra integral, ∫ vdu , la cual por lo
general, se resuelve más fácilmente que la integral original. Para aplicar la integración por partes, es
necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u. Es importante
resaltar que una vez hecha la elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos
de hacer la mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes:
1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.

∫ vdu ∫ udv
2. no debe ser más complicada que

En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre sencillo y no
existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, en el desarrollo de la presente
obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de carácter NO GENERAL, denominada
I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección. La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos
casos - al hacer la elección de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del
ejercicio puede entrar en un ciclo infinito, que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto
ocurre, se debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente.

CALCULO INTEGRAL

Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:
I = Funciones Inversas.
L = Funciones Logarítmicas.
A = Funciones Algebraicas.
T = Funciones Trigonométricas.
E = Funciones Exponenciales.
La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada elección, teniendo
que recurrir a la ecuación 1 y los métodos ya expuestos, para resolver cualquier ejercicio relativo al
presente tópico.
Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación:

∫ xe
−x
dx
Supóngase que piden resolver la siguiente integral:
Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones, una Algebraica (x) y otra
Exponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la palabra I.L.A.T.E. Como en ella, leyendo de
izquierda a derecha, aparece primero la letra A, se elige como u la función Algebraica, es
dv = e − x dx
decir, u = x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la integral es dv. Así:

Ejemplo 5. Resolver la siguiente integral:  Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado
∫ (3 − 2 x ) e
−x
dx usando factorización. Así:

∫ ( 3 − 2x ) e
−x
Solución dx
 Conviene hacer las siguientes elecciones: =

u = 3 − 2x dv = e − x dx − ( 3 − 2 x ) e − x + 2e − x + c = ( − 3 + 2 x + 2 ) e − x = ( − 1 + 2 x ) e − x + c
(1) y (2)
• Derivar ambos miembros de (1) para  Por tanto, se concluye que:
obtener: du=-2dx
∫ ( 3 − 2x) e dx = ( 2 x − 1) e − x + c
−x

• Aplicar integrales a ambos miembros de

∫ dv = ∫ e
−x
dx EJERCICIOS:
(2), para obtener: (3) En los ejercicios siguientes efectúe la integral
• Usando el método de sustitución, integrar indefinida:
ambos miembros de (3), para obtener:
v = − e− x
(4)
 Reemplazar en la Ecuación 1, cada uno de
sus factores por las expresiones obtenidas en
(1), (2) y (4), para obtener:

∫ ( 3 − 2 x) e
−x
dx
− (3 − 2 x ) e x − 2 ∫ e − x dx
= (5)
 Para resolver la última integral, se efectúa
una sustitución y se obtiene una integral
2∫ e − x dx − 2e − x + c
inmediata. Así: = (6)

CALCULO INTEGRAL

4. RESOLUCIÓN DE INTEGRANDOS TRIGONOMÉTRICOS
Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonométricas siendo los
exponentes pares enteros no negativos, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:

Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonométricas:
Identidades trigonométricas

Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonométricas adecuadas, el
integrando queda expedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos
recurrir a la integración por partes.
Ejercicios
En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:

3. Solución:

13. Solución:

CALCULO INTEGRAL


5. RESOLUCIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA

A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta
expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando
que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se
muestra cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica

Ejercicios:
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

Solución:

CALCULO INTEGRAL

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

(Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

CALCULO INTEGRAL


6. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES

p( x )
∫ q( x ) dx
Este método permite descomponer una integral de la forma:

En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son
de fácil solución.
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes
criterios:
 Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si
es posible- aplicar el proceso de factorización.
 Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver
primero la división de polinomios.
Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente información:
En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r), mediante la
D = d *c + r
siguiente expresión: (I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene:

D d *c r r
= + = c+
d d d d

Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para polinomios, así:
Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, entonces

p( x ) r( x)
= c( x ) +
q( x ) q( x )

Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene:

p( x )  r( x)  r ( x)
q( x )
= ∫  c( x ) + q( x )  dx = ∫ c( x )dx + ∫ q( x ) dx
 
Ecuación 2
Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar la siguiente información:
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es
estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n ó
(ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raíces reales, y n es un número natural.

3 5x − 2 x− 3
Así , ; ; sonfracciones simples.
x + 4 x 2 + x + 3 ( 2 x + 1) 3

Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del siguiente modo:
1. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x)
= 0. Es importante saber, que al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar
resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:

CALCULO INTEGRAL

Caso 1: Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe escribirse en función de
un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el
denominador, como se muestra a continuación:

p( x ) A B
∫ q( x ) = ∫ ax + b + ∫ cx + d + ...

Caso 2: Factores en el denominador lineales repetidos. La integral dada debe escribirse en función de
un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el

p( x ) A B z
∫ q( x ) = ∫ ( ax + b ) + ∫ ( ax + b ) 2
+ ... + ∫ ( ax + b ) n

Caso 3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en función
de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el

p( x ) Ax + B Cx + D
∫ q( x ) = ∫ ax 2
+ bx + c
+ ∫ cx 2
+ dx + e
+ ...

Caso 4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La integral dada debe escribirse en
función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores
en el denominador, como se muestra a continuación:

p( x ) Ax + B Cx + D Wx + Z
∫ q( x ) = ∫ (ax 2
+ bx + c
+
) ∫ (ax 2
+ bx + c ) 2
+ ... + ∫ (ax 2
+ bx + c ) n

2. Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador. Algunos de los métodos para
determinar las constantes son: Sustitución, eliminación, igualación, Coeficientes indeterminados,
métodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan).
Nota: Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en el cálculo de las
mencionadas constantes. El estudiante debe dominar, por lo menos, una técnica que le permita resolver los
sistemas de ecuaciones, que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes.

3. Se integran los sumandos que resulten. Una vez determinadas las mencionadas constantes, se
obtienen integrales que - por lo general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos.

x+ 5
∫ 2 dx
x − 2x − 8
Ejemplo 1.
De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que:

x+ 5 x+ 5
∫ x 2 − 2x − 8
dx = ∫ ( x + 2)( x − 4) dx
(1)
 Por el caso 1. la expresión (1) , se puede escribir así:
x+ 5 A B
∫ ( x + 2)( x − 4)dx = ∫ ( x + 2)dx + ∫ ( x − 4) dx
(2)
 Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2), para ello:
• Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así:
CALCULO INTEGRAL

x+ 5 A B
= +
( x + 2)( x − 4) ( x + 2) ( x − 4)
(3)
• Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así:

x+ 5 A( x − 4 ) + B( x + 2 )
=
( x + 2)( x − 4) ( x + 2)( x − 4)
(4)
• En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose:

x + 5 = A( x − 4) + B( x + 2)
(5)

• La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al resolverlo da:

1 3
A= − y B=
2 2

 Reemplazando A y B en (2) , se obtiene:
1 3
−
x+ 5 A B 2 dx + 2 dx
∫ ( x + 2 )( x − 4 )
dx = ∫ ( x + 2)
dx + ∫ ( x − 4)
dx = ∫ ( x + 2) ∫ ( x − 4)

 Este tipo de integral ya fue resuelta. Así se concluye que:

x+ 5 1 x+ 2 
∫ ( x + 2)( x − 4) dx = −  ln +c
2  ( x − 4) 3 
 

2 x3 − 4 x 2 − 15 x + 5
∫
x2 − 2 x − 8
Ejemplo 2
 De acuerdo al Criterio2, se debe efectuar la división de polinomios y aplicar la Ecuación 1.7se
obtiene que:

2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5  x+ 5  x+ 5
∫ x 2 − 2x − 8
= ∫  2x +

 dx =
x − 2x − 8 
2 ∫ 2 xdx + ∫ x − 2x − 8
2
dx
(1)

2
∫ 2 xdx = x + c1
 La primera integral es inmediata, al resolverla se obtiene: (2)
 Para resolver la segunda integral, se aplica el Criterio1, es decir, se debe factorizar y aplicar el
caso 1. Así se obtiene que:

x+ 5 A B
∫ x − 2x − 8
2
dx = ∫ ( x + 2) dx + ∫ ( x − 4) dx
 Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior. De allí que ahora se pueda escribir,
x+ 5 1 x+ 2 
∫ ( x + 2)( x − 4) dx = −  ln
2  ( x − 4) 3
 + c2

 
directamente, que: (3)
 Reemplazando en (1), las expresiones (2) y (3), se tiene que:
CALCULO INTEGRAL

2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5 1 x+ 2 
∫ x − 2x − 8
2
= x 2 + c1 −  ln
2  ( x − 4) 3
 + c2

 

 Haciendo c = c1+ c2, se concluye que:

2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5 1 x+ 2 
∫ x − 2x − 8
2
= x 2 −  ln  + c
2  ( x − 4) 3 

2x3 − 4x − 8
∫ (x
2
)(
− x x2 + 4
dx
)
Ejemplo 3
 De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que:
2x3 − 4x − 8 2x3 − 4x − 8
∫ (x 2
)(
− x x2 + 4
dx =
) ∫ x( x )(
− 1 x2 + 4
dx
)
(1)
 Aplicando los caso 1 y 3, la expresión (1), se puede escribir así:
2x3 − 4x − 8 A B Cx + D
∫ x ( x − x )( x
2
+ 4
dx =
) ∫ x
dx + ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x 2
+ 4
dx
)
(2)
 Ahora se deben calcular las constantes A, B, C y D que aparecen en (2), para ello:
• Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así:

2x3 − 4x − 8 A B Cx + D
∫ x ( x − x )( x
2
+ 4
dx = +
)
x ( x − 1)
+
x2 + 4 ( )
(3)
• Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así:

2x3 − 4x − 8
=
( )
A( x − 1) x 2 + 4 + Bx x 2 + 4 + ( Cx + D ) x( x − 1) ( )
(
x x −1 x + 4
2
)( ) x( x − 1) x 2 + 4 ( )
(4)
• En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose:

2 x 3 − 4 x − 8 = A( x − 1) ( x 2 + 4) + Bx( x 2 + 4) + ( Cx + D ) x( x − 1)
(5)

• La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al resolverlo da:

14 14 4
A = 2, B = ,C= y D=
5 5 5

 Reemplazando A, B, C y D en (2) , se obtiene:
2x3 − 4x − 8 2 14 1 14 x 4 1
∫ x( x − 1)( x
2
+ 4
dx =
) ∫ x
dx +
5 ∫ ( x − 1)
dx +
5 ∫ x2 + 4
dx + ∫ 2
5 x + 4
dx
( ) ( )

2 x3 − 4 x − 8 14 7 2  x
∫ x( x − 1)( x 2
+ 4)
dx = 2 ln x +
5
ln x − 1 + ln x 2 + 4 + tan − 1  
5 5  2
 Así se concluye que:

CALCULO INTEGRAL

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