Breve presentación en la que se trata el concepto de fracción algebraica, sus propiedades y las operaciones basicas con ellas.

1. FRACCIONES
ALGEBRAICAS

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS
P ( x) NUMERADOR
Una FRACCIÓN ALGEBRAICA
representa el cociente entre dos Q ( x)
DENOMINADOR
polinomios P(x) y Q(X). Q(x) ≠ 0.
x 3 − x 2 +1 −3 6x
Ejemplos: ; 4 ; 2
2x + 2 3 x −6 5 x
A( x) P ( x)
y SON FRACCIONES EQUIVALENTES si:
B ( x) Q ( x) A( x) P ( x)
= ⇒ A( x) g ( x) = P ( x) g ( x)
Q B
B ( x) Q ( x)
Ejemplo:
x 2 −1 x +1
y , son fracciones algebraicas equivalentes
x − 4x +3 x −3
2
ya que ( x 2 −1) g x − 3 ) =x 3 − 3x 2 − x+3 = ( x +1) g x 2 − 4 x + 3 )
( (

3. SIMPLIFICACIÓN Y AMPLIFICAVIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de Fracciones algebraicas
P ( x)
P ( x) D ( x)
= ;donde D ( x ) es un divisor común de P ( x ) yQ ( x )
Q ( x) Q ( x)
D ( x)
Ampliación de Fracciones algebraicas
P ( x) P ( x) g ( x)
M
= ;donde M ( x ) es un múltiplo común de P ( x ) yQ ( x )
Q ( x) Q ( x) g ( x)
M
x 2 −1
x −1 2
x −1 = x +1
= 2
Ejemplos: x 2 − 4 x + 3 x − 4 x + 3 x −3
x −1
x −1
2
= 2
( x 2 −1) g2 x = 2 x 2 − 2 x
x − 4 x + 3 ( x − 4 x + 3) g x 2 x 3 −8x 2 + 6 x
2
2

4. FRACCIONES ALGEBRAICAS IRREDUCIBLE
P ( x)
La fracción es IRREDUCIBLE si M.C.D..(P(x),Q(x)) = 1
Q ( x)
A( x)
Para simplificar a su fracción irreducible, simplificamos:
B ( x) A( x)
A( x) M .C.D. ( A ( x ) , B ( x ) )
=
B ( x) A( x)
M .C.D. ( A ( x ) , B ( x ) )
x 2 −1
x 2 −1 x −1 = x +1
Ejemplo: = 2
x − 4x + 3 x − 4x + 3
2
x −3
x −1

5. OPERACCIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: SUMA o RESTA.
SUMA o RESTA: m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) ) m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) )
A( x) g + B ( x) g
A( x) B ( x) P ( x) Q ( x)
+ =
P ( x) Q ( x) m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) )
m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) ) m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) )
A( x) g − B ( x) g
A( x) B ( x) P ( x) Q ( x)
− =
P ( x) Q ( x) m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x ) )
x 1 3x
Ejemplo: − + =
x +2 x −2 x
xg g x − 2 )
x( xg x + 2 )
( 3xg x 2 − 4 )
(
= − + =
xg x − 2 ) g x + 2 ) xg x − 2 ) g x + 2 ) xg x − 2 ) g x + 2 )
( ( ( ( ( (
=
(x 3
− 2 x ) − ( x 2 + 2 x ) + ( 3 x 3 −12 x )
=
4 x 3 − 2 x 2 −14 x
=
xg x − 2 ) g x + 2 )
( ( x − 4x
3
4 x 2 − 2 x −14
=
x2 − 4

6. PROPIEDADES DE LA SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
Conviene conocer las propiedades de la suma de fracciones algebraicas,
que nos pueden en ocasiones ser útiles para simplificar las operaciones.
Además estas propiedades, son las mismas que las que tiene la suma de
fracciones numéricas, puesto que si f(x), g(x) y h(x) son fracciones
algebraicas cualesquiera, se cumple:
Asociativa: ( f(x) + g(x) ) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x) )
Conmutativa: f(x) + g(x) = f(x) + g(x)
El 0 cumple: f(x) + 0 = f(x)
El Opuesto de f(x) es – f(x), ya que: f(x) + ( - f(x) ) = 0

7. OPERACCIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:
MULTIPLICACIÓN o DIVISIÓN.
MULTIPLICACIÓN o DIVISIÓN:
A( x) B ( x) A( x) g ( x)
B
g =
P ( x) Q ( x) P ( x) g ( x)
Q
A( x) B ( x) A( x) g ( x)
Q
: =
P ( x) Q ( x) P ( x) g ( x)
B
x 1 xg 1 x
Ejemplos: g = = 2
x + 2 x − 2 ( x + 2) g x − 2) x − 4
(
x 1 xg x − 2 ) x 2 − 2Ξ
(
: = =
x + 2 x − 2 ( x + 2) g
1 x +2

8. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS.
Conviene conocer las propiedades del producto de fracciones algebraicas,
que nos pueden en ocasiones ser útiles para simplificar las operaciones.
Además estas propiedades, son las mismas que las que tiene la suma de
fracciones numéricas, puesto que si f(x), g(x) y h(x) son fracciones
algebraicas cualesquiera, se cumple:
Asociativa: ( f(x) . g(x) ) . h(x) = f(x) . (g(x) . h(x) )
Conmutativa: f(x) . g(x) = f(x) . g(x)
El 1 cumple: f(x) . 1 = f(x)
El Inverso de f(x) es 1/f(x), ya que: f(x) . (1/f(x)) = 1