1. UNIVERSIDAD DEL VALLE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Matemática Fundamental 111007
Lógica primera parte
Objetivos:
1. Diferenciar entre diferentes tipos de oraciones las que corresponden a
proposiciones lógicas
2. Clasificar las proposiciones compuestas a partir del conectivo lógico empleado
3. Asignar el valor de verdad a una proposición compuesta a partir de los valores
de verdad de las proposiciones atómicas.
4. Demostrar cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes.
Proposiciones lógicas
En el lenguaje natural las oraciones o frases son de diferente tipo:
 Imperativas como “!no llore!”
 Interrogativas como ¿cuándo es el parcial?
 Exclamativas como “!que cosa mas difícil!”
 Declarativas como “hoy es jueves” “La lógica es fundamental en el aprendizaje
de las matemáticas, este último tipo de oraciones tienen la característica que
pueden ser afirmadas o negadas esto hace que se constituyan en el elemento
lingüístico empleado para la transmisión del conocimiento.
Una proposición lógica es una frase declarativa que en un contexto dado puede decirse
que es verdadera o falsa, pero no ambas.
Ejemplos de proposiciones
 Mel Gibson es el director de la película apocalypto.
 Teofrasto sucesor de Aristóteles fue la primera persona que examino la lógica de
proposiciones de manera rigurosa.
 Claudio Romero es el ministro de transporte o es un magistrado.
Los anteriores enunciados son proposiciones, puesto que cada uno de ellos es verdadero
o falso.
Ejemplos de enunciados que no son proposiciones
 Lea toda la guía
 Ingrid es hermosa
 Las matemáticas son fáciles
La primera oración no es una proposición porque no es una frase declarativa, las otras
dos aunque son frases declarativas no son posiciones porque su valor de verdad depende
de puntos de vista particulares.
Un primer análisis de las proposiciones nos conduce a la identificación de ciertas
proposiciones atómicas en el sentido que son simples, no se descomponen en otras

2. proposiciones, y otras que son proposiciones compuestas, ya que se componen de
proposiciones atómicas.
La representación simbólica es uno de los grandes avances en el desarrollo científico, es
así que usaremos, en principio, símbolos (letras p, q, r y s ) para representar las
proposiciones atómicas
Ejemplo de representación simbólica
 Las abejas asesinas se molestan con los colores fuertes y los olores
extravagantes.
1. p: Las abejas asesinas se molestan con los colores fuertes.
2. q: Las abejas asesinas se molestan con los olores extravagantes
 La proposición se simboliza entonces p y q
Las proposiciones compuestas
Una proposición compuesta toma su nombre gracias al conectivo, los conectivos
lógicos que son más usuales son: y, o, entonces, si y sólo si.
1. Conjunción La proposición compuesta “ carolina es soltera y tiene un
hijo” es una conjunción porque se formo uniendo dos proposiciones simples
con el conectivo “ y ”, sin embargo la presencia del conectivo y no implica
que la proposición sea una conjunción , veamos:
 América y Bucaramanga disputarán el duelo de coleros.
De otro lado los profesores Anacona y Ortiz en su libro “Elementos de la
lógica moderna” nos señalan que algunas conjunciones pueden escribirse sin
el uso del conectivo y “ carolina es soltera pero tiene un hijo” este
enunciado y el ejemplo inicial de conjunción representan la misma
conjunción.
2. Disyunción Cuando las proposiciones se unen usando el vocablo “o” se
forma una disyunción.
 Samper sabia sobre los dineros de narcos o Botero miente.
3. Negación La negación de una proposición se obtiene prefijando la palabra
“no” en el enunciado original, aunque se puede utilizar alternativamente
frases como “es falso que” “no es cierto que”
 Es falso que Botero este diciendo la verdad.
4. Implicación cuando se combinan dos proposiciones por medio de las
palabras “si” al inicio y “entonces” entre las dos proposiciones, se forma una
implicación.
 Si estudio la guía entenderé la clase. La proposición “estudio la
guía” se llama antecedente, la proposición “ entenderé la guía”
se llama consecuente.
5. Bicondicional Se forma un bicondicional al unir dos proposiciones con la
frase “sí y sólo si” ó “ es equivalente a”

3.  Un número es divisible entre 3 sí y sólo si la suma de sus cifras es
un múltiplo de 3.
En la siguiente tabla se muestra los diferentes conectivos lógicos, notación y lectura
Nombre Símbolo Notación Lectura
Conjunción  p  q pyq
Disyunción  p  q poq
Implicación  p  q p implica q ;
si p entonces q
bicondicional  p  q p sí y sólo si q
p es equivalente a q
negación   p No p, es falso que p
Tablas de verdad
La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para
cada uno de los diferentes conectivos que hemos abordado.
p q p  q p  q p  q p  q  p
V V V V V V F
V F F V F F F
F V F V V F V
F F F F V V V
Ejemplo para desarrollar en clase.
 Construya la tabla de verdad para ( p  q)  (q  p)
 
 
fórmula proposicio
nal
Cuando una fórmula proposicional es verdadera para cualquier valor de verdad que se le
asigne a las proposiciones atómicas, se llama tautología además cuando una
proposición es de la forma    es una tautología diremos que las proposiciones
 y  son equivalentes.
Ejemplo ( p  q) es equivalente a (q  p)

4. Lógica segunda parte
Profesor: Leonel Monroy
Objetivos:
1. Construir proposiciones con cuantificadores y obtener su negación
2. Demostrar la validez de un razonamiento lógico con el uso de las reglas de
inferencia
3. Hacer uso parcial de las tablas de verdad para mostrar que un razonamiento no
es válido
Predicados
La presencia de una variable en una frase declarativa, como por ejemplo “x es un
número primo” hace que la frase no sea una proposición. Este tipo de enunciados se
conocen como predicados.
 Ejemplo de predicado:
P(x) = x es un número primo, si tomamos como universo el conjunto de los
números naturales, podemos establecer proposiciones a partir del predicado,
veamos:
P(4) = 4 es un número primo, es una proposición falsa, mientras que P(7) es una
proposición verdadera.
Cuantificadores
Si a los predicados les agregamos cuantificadores como “existe algún” “para todo x”,
se obtiene una proposición.
 Ejemplo
Existe algún número natural que es primo, es una proposición verdadera.
Existen dos clases de cuantificadores el universal (x)( P( x)) que en el caso de nuestro
predicado y universo del ejemplo anterior se lee “todo número natural es primo” , y el
cuantificador existencial (x)( P( x)) volviendo al ejemplo anterior se lee “ Existe algún
número natural primo”
Negación de un cuantificador
Negar que una propiedad la satisfacen todos los elementos del dominio, implica que hay
algún elemento del universo que no cumple la propiedad. Con lenguaje simbólico
tenemos: (x( P( x)))  (x)(P( x))
Negar que una propiedad la satisface algún elemento del universo, es equivalente a decir
que todos los elementos del universo no cumplen la propiedad. Con lenguaje simbólico
tenemos: (x( P( x)))  (x(P( x)))
 Ejemplo
 = todos los filósofos son genios
 = existen filósofos que no son genios.
Razonamiento Lógico
Un razonamiento lógico esta formado por un grupo de proposiciones (fórmulas
proposicionales), entre las cuales una de ellas llamada conclusión, se obtiene de las

5. otras llamadas premisas, que pretenden respaldar su verdad, dicho de otra manera, en un
razonamiento lógico existe una conclusión inevitablemente verdadera, al considerar
como verdaderas las premisas.
Verdad y Validez
La verdad o falsedad se dice de las proposiciones y nunca de los razonamientos. Por
otro lado la validez o no validez hace referencia a los razonamientos y nunca a las
proposiciones.
Un razonamiento esta dado por una cadena de proposiciones P1 , P2 ,...., Pn (premisas) y
una proposición C (conclusión). Es usual simbolizar un razonamiento así:
P1
Cada una de las premisas e incluso la
P2
conclusión, pueden ser proposiciones
 compuestas o Fórmulas proposicionales,
Pn es decir, no debe creerse que las premisas
son proposiciones atómicas
C
Decimos que C es una consecuencia lógica de las premisas si la fórmula proposicional
( P  P2    Pn )  C Es una tautología.
1
Las tablas de verdad son apropiadas para probar la validez de una buena cantidad de
razonamientos, pero cuando el número de proposiciones atómicas es mayor que 3, se
hace dispendioso por el alto número de casos a considerar. En estos casos se debe tratar
de deducir la conclusión a partir de las premisas, mediante el uso de una serie de reglas
básicas de la lógica proposicional.
Reglas básicas de inferencia
1. modus ponens 3. Ley de adjunción o conjunción
pq p
p q
q pq
Este es un razonamiento válido
porque (( p  q)  p)  q es 4. Ley de adición
una tautología p
pq
2. Simplificación
pq
5. Modus tollendo tollens
p pq
q
p

6. 8. Dilema constructivo
6. Silogismo disyuntivo ( p  q)  (r  s)
pq pr
p
qs
q
9. disyunción de casos
7. Silogismo hipotético pr
pq qr
qr
( p  q)  r
pr
Las reglas de inferencia nos sirven para deducir la conclusión a partir de las premisas,
como en el caso inicial podríamos probar que cada razonamiento es válido.
 Ejemplo (para desarrollar en clase)
Demostrar la validez de los siguientes razonamientos:
Pedro estudiará matemáticas o ingeniería.
Pedro no estudiará matemáticas.
Si Pedro estudia ingeniería añorará de por vida las matemáticas
Pedro añorará de por vida las matemáticas
Si Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María.
Si Carlos no tiene la misma edad de Juan, entonces Carlos tiene edad diferente a
la de María.
Juan tiene 17 años y Carlos tiene la misma edad de María.
Por tanto, Carlos tiene la misma edad de Juan y Juan tiene la misma edad de
María.
Pruebas de invalidez de un razonamiento.
Como lo hemos mencionado, probar la validez de un razonamiento consiste en
encontrar la conclusión con el uso de una serie de reglas de inferencia. Pero si el
razonamiento no es válido, no podemos hacer tal hallazgo, sin embargo, el hecho que no
podamos inferir la conclusión, no es razón suficiente para afirmar que el razonamiento
no es válido.
Es suficiente mostrar en la tabla de verdad una línea donde la fórmula proposicional
( P  P2    Pn )  C sea falsa, es decir, se debe buscar un caso donde a pesar que las
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premisas sean verdaderas, la conclusión sea falsa y concluir entonces que se trata de un
razonamiento no válido