La lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números usando un lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. Ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

1. TALLER
HUGO MAURICIO MURCIA MOLINA
PROFESOR: FRANCISCO
AREA: LOGICA
INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA ALBERTO SANTOFIMIO CAICEDO
IBAGUE (TOLIMA)
2017

2. PREGUNTAS
1 ¿Qué ES LOGICA MATEMATICA?
R//La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica
teorética, lógica formal, o logística,1 es parte tanto de la lógica y como de
la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la
aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La
lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la
computación y con la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en
el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje
formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de
modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión.
La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el
estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática
de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y
estudiadas matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la
primera es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y
el razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de
técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento
de la lógica matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares del
sujeto. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg
Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e
importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, a través
del estatus del axioma de elección y la cuestión de la independencia de
la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de la computación en términos lógicos
y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad
del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de
Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la recursión se ocupa principalmente
del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un
problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de
insolubilidad.
2¿DEFINICION Y CLAVES DE PROPORCIONES?
R//La lógica proposicional (o lógica de orden cero) es un lenguaje formal en el
que no existen variables ni cuantificación, eso implica que cualquier secuencia
de signos que constituya una fórmula bien formada de la lógica proposicional
admite una valoración en la proposición es cierta o falsa dependiendo del valor

3. de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. En otras palabras
en la lógica proposicional cualquier fórmula bien formada define una función
proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica
proposicional es decidible y en un número finito de pasos puede determinarse
la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica
proposicional sea completa y muy sencilla de caracterizar semánticamente.
Lógica de predicados[editar]
La lógica de predicados (o lógica de primer orden) es un lenguaje formal en el
que las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a
continuación.
Vocabulario
Un vocabulario es una tupla: que consta de:
 símbolos relacionales , cada uno de ellos con un número
entero asociado, el cual se conoce como la aridad de
 símbolos funcionales , cada uno de aridad
 símbolos constantes
Una fórmula de primer orden en el vocabulario , es una fórmula de
primer orden donde los únicos predicados, funciones y constantes empleados
son los especificados por .
Lenguajes y estructuras de primer orden[editar]
Un lenguaje de primer orden es una colección de distintos símbolos
clasificados como sigue:
El símbolo de igualdad ; las conectivas , ; el cuantificador
universal y el paréntesis , .
 Un conjunto contable de símbolos de variable .
 Un conjunto de símbolos de constante .
 Un conjunto de símbolos de función .
 Un conjunto de símbolos de relación .
Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la
colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales,
dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen

4. como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura
de las funciones y relaciones.
Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje
podemos dotarlo de una semántica apropiada.
Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un
conjunto no vacío , el universo del discurso, junto a:
1. Para cada símbolo constante de , tenemos un elemento .
2. Para cada símbolo de function -aria de , una function -
aria .
3. Para cada símbolo de relación -aria de , una relación -
aria sobre , esto es, un subconjunto .
A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura
3¿conectivos lógicos en proporcional compuesto?
R//~DISYUNCIÓN: Se representan dos enunciados separadas por la
expresión o basta con que una sea verdadera para que se cumpla la
proposición (pvq). Su símbolo es: V
EJEMPLOS:
Está lloviendo o es de noche.
Está feliz o está enojado.
Está caminando o está lloviendo.
Hay derivadas o hay integrales.
~CONJUNCIÓN: Es cuando dos proposiciones simples se combinan
mediante la expresión y , la proposición compuesta resultante se le
llama conjunción (pΛq). Su símbolo es: Λ, &, ·

5. EJEMPLOS:
La puerta está vieja y oxidada.
Hace frío y está nevando.
Está lloviendo y es de noche.
Tiene gasolina y tiene corriente.
~NEGACIÓN: Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede
formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: “Es
falso que” antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la
palabra “No”, (¬p) Su símbolo es: ¬, ~
EJEMPLOS:
No está lloviendo.
La señora no ceno.
Es falso que 5×2=12.
Es falso que Alemania se encuentra en Europa.
~CONDICIONAL: Es aquella proposición compleja cuya conectiva
dominante es el condicional, es decir, aquella expresión apofánatica que
tiene la forma p → q, y que se lee “si p, entonces q” o bien “p es
condición suficiente de q”, donde A es el antecedente y B el consecuente.
Su símbolo es: →
EJEMPLOS:
Si está dormido entonces está soñando.
Si quiere comer entonces tiene hambre.

6. Si Londres está en Inglaterra entonces París está en Francia.
Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automóvil funciona.
~BICONDICIONAL: También llamado equivalencia o implicación doble, es
una proposición de la forma “P si y sólo si Q”, en la cual tanto P como Q
son ambas ciertas o ambas falsas. También se dice que Q es una
condición necesaria y suficiente para P, (p↔q). Su símbolo es: ↔, ≡
EJEMPLOS:
Esta completo si y solo si tienes todas las actividades.
Saldrás si y solo si acabaste tu tarea.
Está lloviendo si y solo si está nublado.
3+2=5 si y solo si 4+4=8
4¿PROPORCIONES CONDICIONALES?
R//El Condicional
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica, entonces te
voy a comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta en dos
oraciones más simplemente:
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es
verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos escribir la frase
como p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición original:
"Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo,"
es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que
quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang
amarillo. Si Pensamos en esto como una promesa, la única manera que pueda

7. ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un Mustang
amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición p→q.
Condicional
La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se
define con la siguiente tabla de verdad.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
La flecha "→" es el operador condicional, y en p→q la proposición p
es llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada
la consecuente, o conclusión.
Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador
lógico binario -- asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva
proposición p→q.
Nota
1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es
falsa—esto es el caso de la "la promesa rota."
2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos
que "p→q" es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de
verdad de q. Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si
no obtienes una A, entonces si o no te compro un Mustang, no estoy
rompiendo mi promesa. Sin embargo, va en contra del grano si piensas
que "si p entonces q" es lo mismo que decir que p causa q. El problema
es que hay realmente muchas maneras que las frases en español "si ...
entonces ..." se utilizan. Lógicos están de acuerdo que el significado que
se da en la tabla de verdad más arriba es lo más útil para las
matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que siempre usaremos.
Dentro de poco discutiremos otras frases en español que interpretamos
con el mismo significado
El Bicondicional
Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó, que
ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2,"
entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas.
La proposición p↔q se define como la proposición (p→q) (q→p). Por esta
razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos la
tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla para (p→q) (q→p), que nos
da lo siguiente.

8. Bicondicional
El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente
a q," se define por la siguiente tabla de verdad.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
La flecha "↔" es el operador bicondicional.
Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser
verdadera, ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí
no, es falsa la conversa.
Algunas frases del Bionditional
Cada uno de los siguientes es equivalente al bicondicional p↔q.
p si y solo si q.
p es necesario y suficiente para q.
p es equivalente a q.
Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le
pedirá mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q
en las frases de arriba.
Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p mientras "p
solo si q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las proposiciones
A y B son lógicamente equivalentes si y solo si la proposición A↔B es una
tautológia (¿por qué?). Regresaremos a ese tema en la siguiente sección.
6¿LEYES NOTABLES EN LOGICA?
R//TAUOLOGIA: En lógica proposicional,
una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien
formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para
cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas
atómicas.1 2 La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para
determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.2

9. Profe las otra no las encontré