Unidad 2 de Lógica

1. Lógica
Proposicional

2. Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común,
se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero
no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George
Boole (1815-1864) inicia el estudio de lo que hoy se
conoce como Lógica Matemática.
Uno de los fines de la enseñanza matemática es
disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de
esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en
sus razonamientos.
La inteligencia se disciplina a través de un tipo
especial de pensamiento que es el razonamiento.
El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los
razonamientos.

3. La validez de la lógica es una relación entre las
premisas y la conclusión expresada a través de una serie
de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados
enunciados. Por medio de un enunciado con sentido
podemos emitir un juicio (actividad mental por medio
de lo cual pensamos algo) o un razonamiento
(evaluación mental por medio de lo cual obtenemos
conclusiones).

4. Concepto de la Lógica:
La lógica es una relación entre las premisas y la
conclusión expresada a través de una serie de símbolos
matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados.
Para su estudio, se divide en: Lógica Formal, Lógica
Aplicada y Lógica Simbólica.
Lógica Formal: es la parte de la filosofía que estudia las
formas y leyes generales del pensamiento tendiente al
conocimiento de la verdad y el error.

5. Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura
del pensamiento adaptándose al objeto de su estudio de
distintas ciencias.
Lógica Simbólica: es la que estudia sistemáticamente las
proposiciones, los razonamientos y las demostraciones
lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos
convencionales que representan estructuras.
La lógica simbólica es aquella que se refiere a las
proposiciones y que también se conoce con el
nombre de CALCULO PROPOSICIONAL.

6. Sistemas de Deducción Natural
Introducidos por Gentzen en 1935, estos sistemas
deductivos se refieren al hecho de moldear de manera
tan cercana como sea posible el razonamiento humano,
o al menos al razonamiento matemático hecho por
personas mediante distintos juicios.
Un enunciado: es un conjunto de símbolos por
medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio,
ya sea en forma oral o escrita. Un enunciado es una
proposición.

8. Proposición:
Son aquellos enunciados afirmativos del cual se
que tiene dos valores de la verdad: verdadero o
falso.
Por ejemplo:
3 es un numero par, su valor de verdad es F
45 – 8 = 8, su valor de verdad es F
45 x 2 = 90, se valor de verdad es V

9. Proposiciones Ambiguas
Son aquellas proposiciones en las que su verdad o
falsedad no puede ser establecida.
Ejemplos:
• ¿Qué es la lógica?
• Debemos honrar a nuestros héroes.
• Sea en hora buena.
• ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería

10. Enunciados NO proposiciones:
Se llama así a aquellas expresiones o enunciados
exclamativos, interrogativos y desiderativos. De estos
no se puede saber si son verdaderos o falsos, porque
no afirman ni niegan nada. Por ejemplo:
• ¡Uff, que calor!
• ¿están cansados?
• Escriban rápido

11. Proposiciones abiertas
Se llama así a aquellos enunciados que contienen una
más variables. Estas no pueden ser ni verdaderos ni
falsos, ya que no afirman nada.
Ejemplos:
• X es la capital de Uruguay
• X es un planeta del sistema solar
• x -13 = 28 • 2x-7 > 25
• X es una vocal
Sin embargo estos enunciados abiertos se pueden
convertir en proposiciones verdaderas o falsas -
¿cómo? – reemplazando la variable o variables por un
nombre, palabra, número, letra o cualquier símbolo,
según sea el caso.

12. Así del primer ejemplo tenemos:
• X es la capital de Uruguay
Si X=Buenos Aires entonces la expresión se lee: “Buenos
Aires es la capital de Uruguay”
Se observa el enunciado abierto se convirtió en una
proposición falsa.
Proposiciones Simples también llamadas
atómicas o elementales: Es el que no tiene otro
enunciado como parte componente.
Ejemplo: “dos al cubo es igual a 8”.

13. Proposiciones compuestos también llamadas
proposiciones moleculares o coligativas:
Un enunciado compuesto contiene otro enunciado como
componente. son las que constan de dos o más
proposiciones simples entrelazadas por ciertas
particularidades lógicas llamadas conectivas lógicas.
Las proposiciones se representan por las letras
minúsculas: p, q, r, s, t, .... Pero también se usa la
notación: p1, p2, p3, p4, p5

14. Conectivas Lógicas
Las Conectivas Lógicas son aquellas que sirven para
formar proposiciones compuestas. Simbólicamente las
conectivas lógicas se representan del modo siguiente:

15. Clasificación de las proposiciones
compuestas
La negación: la conectiva “no” es la que se antepone a
una proposición para cambiar su valor de verdad y se
representa por el símbolo “” o bien “” o bien “’”.
La conjunción: es una proposición compuesta que se
obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o
entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa
con el símbolo: “”
La disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta
de dos proposiciones simples unidas por el conectivo
lógico “o”, que se representa de la manera siguiente “”.

16. La disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta
por dos proposiciones simples entrelazadas por el
conectivo “O…o” y se representa así: “V”.
La condicional o Implicación: es la combinación de dos
proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces”,
que se representa de la siguiente forma: “”. La
proposición que aparece entre las palabras “Si y
Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la
que aparece después de la palabra “Entonces”, se le
llama consecuente o conclusión.
La Bicondicional o Doble implicación: es una
proposición que se obtiene al unir dos proposiciones
simples mediante el conectivo “si y solo si” y se
representa así: “”.

17. http://c.conclase.net/edd/?cap=006#inicio
Reglas de simbolización
1) Cada uno de los enunciados simples del lenguaje
natural se sustituirá por variables proposicionales
simbolizadas por letras minúsculas: p, q, r, s, t, … z
2) Las expresiones de lenguaje natural tales como:
No
No es cierto
No es el caso que
Es falso
Es imposible
Y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por
el símbolo: ,  , ‘ ,

18. 3) Las expresiones del lenguaje natural tales como:
Y
Ni
Pero
Que
Mas
Y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el
símbolo  (conjunción).
4) Las expresiones de lenguaje natural tales como:
o
…o
bien …bien
ya … ya
y sus equivalentes se sustituyen por el símbolo 
(disyunción).

19. 5) Las expresiones naturales tales como:
 Si … entonces
 Luego…
 Por tanto
 Por consiguiente
 Con tal que
 Se infiere
 Se deduce
 No … a menos que …
Y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo 
(condicional).

20. 6) Las expresiones del lenguaje natural tales como:
…. Si y solo si….
…. Equivale a ….
…. Es igual a ….
…. Es lo mismo que ….
Y sus equivalencias se sustituirán por el símbolo 
(Bicondicional).

21. Otras formas gramaticales de una disyunción serán:
p a menos que q p salvo que q
p excepto q p o de lo contrario q
p o en tal sentido q p y/o q

22. p y q p no obstante q
p además q p sin embargo q
p cada vez que q p pero q
No solo p también q p del mismo modo q
p pero, aunque q p así como q
p incluso, inclusive, tal como, al
igual que q
p así mismo q
p ambos a la vez p y q Sin p tampoco puede haber q
Tanto p como q Cierto es que p lo mismo que q
Es compatible p con q Siempre ambos p con q
p simultáneamente q p más, al mismo tiempo q
Otras formas gramaticales de la
conjunción serán:

23. Siempre…… Por consiguiente …
Con tal de que…… Es obvio …
Cuando …. Así pues …
Cada vez que … En consecuencia …
Cada vez… Consiguientemente
Con que … En este caso …
En el caso de que … Esto trae consigo …
A condición de que … Por eso…
Dado que… Según lo cual …
Como quiera que … Por lo cual …
En la medida en que … De allí que …
En cuanto … Por tanto …
Otras formas gramaticales a la condicional serán:

24. Uso de paréntesis
1) No se utilizan paréntesis en aquellos casos en que los
conectores afecten a enunciados simples o atómicos.
2) Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda
una conjunción, disyunción condicional o bicondicional.
3) Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y
disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador
o bicondicionador.
bicondicionador que son las conectivas fuertes.

25. 4) Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos
interese precisar la dominancia del conector, o bien
porque los conectores posean la misma dominancia –
como es el caso del conjuntador y el disyuntor que son
idempotentes –o bien porque el sentido de la expresión
exige la alteración de la dominancia de las conectivas
fuentes –el condicionador y el el bicondicionador que
son las conectivas fuertes.

26. Valor de verdad de las proposiciones
compuestas y su tabla de verdad

29. Concepto de Tautología
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera
tautológica cuando es verdadera siempre,
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la forman.
Ejemplo:

30. Concepto de Contradicción
La contradicción: es una proposición compuesta que es
falsa independientemente de los valores de verdad de
las proposiciones que la formen.
Ejemplo:

31. Concepto de contingencia
La contingencia: es la combinación de la
tautología y la contradicción.
Ejemplo: