Analisis Numerico

2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas
que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas
matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números
binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el
andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos
matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en
algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos
empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de
estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas
pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números
que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).
Yonel Martínez
C.I. 16.239.566

3. En análisis numérico, la interpolación
polinomial es una técnica
de interpolación de un conjunto de datos o
de una función por un polinomio. Es decir,
dado cierto número de puntos obtenidos
por muestreo o a partir de un experimento se
pretende encontrar un polinomio que pase
por todos los puntos.
Del mismo modo La interpolación poli
nómica es un método usado para conocer, de
un modo aproximado, los valores que toma
cierta función de la cual sólo se conoce su
imagen en un número finito de abscisas. A
menudo, ni siquiera se conocerá la
expresión de la función y sólo se dispondrá
de los valores que toma para dichas
abscisas. El objetivo será hallar un
polinomio que cumpla lo antes mencionado
y que permita hallar aproximaciones de
otros valores desconocidos para la función
con una precisión deseable fijada. Por ello,
para cada polinomio interpolador se
dispondrá de una fórmula del error de
interpolación que permitirá ajustar la
precisión del polinomio.
Es fácil demostrar, usando el
determinante de Vandermonde, que por n
puntos, con la única condición de que para
cada x haya una sola y, siempre se puede
encontrar un polinomio de grado igual a
(n-1) que pase por los n puntos

4. Dados los valores de una
función desconocida correspondiente
a dichos valores de x, ¿cuál es el
comportamiento de la función?; el
propósito es determinar dicho
comportamiento, con las muestras de
los pares de datos (x,
f(x)); se encontrará un
polinomio que satisfaga un conjunto
de puntos seleccionados (xi, f(xi))
donde los valores que aporten el
Polinomio y la función se comportan
casi de la misma manera, en el
intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un
polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer un
sistema de ecuaciones, pero este
proceso es un poco engorroso;
resulta conveniente arreglar los datos
en una tabla con los valores de x en
forma ascendente. Además de las
columnas para x y para f(x) se
deberán tabular las diferencias de los
valores funcionales. Cada una de las
columnas de la derecha de f(x), se
estima o determina calculando las
diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda. La siguiente
tabla es una tabla típica de
diferencias.
Ejemplo de tabla de
diferencias divididas

5. Cuando la función ha sido
tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar
al polinomio que se le parece.
Una forma sencilla de escribir un
polinomio que pasa por un
conjunto de puntos equi
espaciados, es la fórmula del
Polinomio Interpelante de
Newton-Gregory (en avance y
retroceso).
La fórmula usa la notación,
que es el número de
combinaciones de s cosas
tomadas de n a la vez, lo que lleva
a razones factoriales. Donde s
viene dada por: x es el valor a
interpolar el polinomio obtenido;
Xo viene a ser el punto de partida
para seleccionar los valores , que
serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila
diagonal hacia abajo en el caso de
la fórmula de avance; en caso de
la fórmula de retroceso los
valores forman una fila diagonal
hacia arriba y a la derecha. Y ha
viene a ser la longitud o distancia
entre los valores de xi
Fórmula de Avance
Fórmula de Retroceso

6. Ejemplo del polinomio de Newton-Gregory.
Suponga que se desea interpolar para el valor
de x = 0.73 mediante el polinomio de Newton-
Gregory para los valores mostrados en la
figura. Como primer paso se calculan todas
las diferencias de orden 3 o menor:
Ejemplo

7. Hay una gran variedad de
fórmulas de interpolación además
del Método de Newton-Gregory,
difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo la fórmula
del Polinomio Interpolante de
Gauss (en avance y retroceso),
donde la trayectoria es en forma de
Zig-Zag, es decir los valores desde
el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de
avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero
hacia abajo, luego hacia arriba,
luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero
hacia arriba, luego hacia abajo,
luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se
tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio
Interpolante de Gauss.

8. Aquí buscamos un
polinomio por pedazos Hn(x)
que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole
a f(x) y f'(x) en los puntos . La
función Hn(x) queda
determinada en forma única
por estas condiciones y su
cálculo requiere de la
solución de n sistemas
lineales de tamaño 4x4 cada
uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es
que requiere de la
disponibilidad de los lo cual
no es el caso en muchas en
muchas aplicaciones.
Se sabe que H4(x)=4+3(x+1)-
2(x+1)2
(x-1)-(1/2)(x+1)2
(x-1)2
es el
polinomio de interpolación de Hermite
de cierta función f ,basado en los
datos:
f(-1), f'(-1), f(1), f'(1) y f"(1).
a) Sin evaluar H4(x) ni sus
derivadas en -1 y 1, completar la tabla
de diferencias divididas
con repetición utilizada en la
construcción de H4(x).
Ejemplo Hermite

9. En el subcampo matemático del análisis
numérico, un spline es una curva
diferenciable definida en porciones
mediante polinomios.
En los problemas de interpolación, se
utiliza a menudo la interpolación mediante
splines porque da lugar a resultados
similares requiriendo solamente el uso de
polinomios de bajo grado, evitando así las
oscilaciones, indeseables en la mayoría de
las aplicaciones, encontradas al interpolar
mediante polinomios de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se
utilizan para aproximar formas
complicadas. La simplicidad de la
representación y la facilidad de cómputo de
los splines los hacen populares para la
representación de curvas en informática,
particularmente en el terreno de los gráficos
por ordenador.
Definición. El término "spline" hace
referencia a una amplia clase de funciones
que son utilizadas en aplicaciones que
requieren la interpolación de datos, o un
suavizado de curvas. Los splines son
utilizados para trabajar tanto en una como
en varias dimensiones.
Las funciones para la interpolación por
splines normalmente se determinan como
minimizadores de la aspereza sometidas a
una serie de restricciones.

10. Para construir un polinomio
de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se
supone que si i ¹ j. Este Polinomio
Pn es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede
aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero
tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio.
Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con algún
criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no, se repite
el procedimiento.

11. Ejemplo
Calcular el polinomio de Lagrange
usando los siguientes datos:
f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978
Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como
sigue:
Simplificamos, y obtenemos:
Tras realizar las diferentes operaciones la ecuación resultante
quedará de la siguiente forma:
donde