analisi numerico

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Barinas
Barinas, Edo, Barinas
Ingeniería Industrial
Prof. José Silva
Bachiller:
Yesica Sanchez
CI.: 20.961.319
Sección: Z1
Barinas, Marzo 2017.

2. ÍNDICE
1.- Introducción a la Teoría de Interpolación
2.- Tablas de Diferencias
3.- Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss
4.- Interpolación por Polinomios de Hermite
5.- Polinomio Interpolante de Lagrange
6.- Diferencias Divididas y la Formula General de Newton
7.- Aplicación de los Métodos Numéricos de Interpolación
en la Resolución de Problemas

3. Introducción a la Teoría de Interpolación
Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto
puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento
gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la
función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra
función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una
aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión
analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para
calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya
conocidos.
Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El
estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta
unidad didáctica.
Tabla De Diferencias
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos
valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,
f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos
seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función
se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un
polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Retroceso
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas
tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada
por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de

4. partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de
avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal
hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los
valores de xi
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de
Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en
avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los
valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda
determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es
el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora
tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos
de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano
es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función,
haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto
motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con
las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos .

5. 4. s(x) es continua en el intervalo.
Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los
n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la
tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio.
Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un
grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple
terminamos si no, se repite el procedimiento.
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está
entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se
requiere de n + 1 puntos, Se usan estos datos para determinar los coeficientes
para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas que
viene dada por
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton,
no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados
o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que
aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución
De Problemas.
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través
de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían
gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de
Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con
computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como

6. subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones
diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta
discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de
soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un
conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias
de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente
poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En
los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios
ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y
por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos
identificado en los polinomios de Hermite.