Este documento presenta varios métodos numéricos de interpolación como polinomios interpolantes de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite y diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir polinomios que aproximen funciones desconocidas a partir de valores muestrales mediante tablas de diferencias y fórmulas de interpolación. Finalmente, discute aplicaciones de estos métodos en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas físicos descritos por ecuaciones de Sturm-Liouville.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Barinas
Barinas, Edo, Barinas
Ingeniería Industrial
Prof. José Silva
Bachiller:
Edduard Lugo
CI.: 22.554.191
Sección: Z1
Barinas, Marzo 2017.

2. ÍNDICE
1.- Introducción a la Teoría de Interpolación
2.- Tablas de Diferencias
3.- Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss
4.- Interpolación por Polinomios de Hermite
5.- Polinomio Interpolante de Lagrange
6.- Diferencias Divididas y la Formula General de Newton
7.- Aplicación de los Métodos Numéricos de Interpolación en la Resolución
de Problemas

3. Introducción a la Teoría de
Interpolación
Una función sólo conocemos un
conjunto de valores. Esto puede
suceder, por ejemplo, porque son los
resultados de un experimento
gobernado por una ley que
desconocemos. Si queremos calcular
el valor de la función para una abscisa
diferente de las conocidas, debemos
utilizar otra función que la aproxime y,
naturalmente, el valor que obtengamos
será una aproximación del valor real.
También puede suceder que sepamos
la expresión analítica de la función,
pero sea lo suficientemente
complicada como para calcular
aproximaciones a los valores de la
función a partir de otros ya
conocidos.
Existen varias formas de hacer esto,
pero la más sencilla y una de las más
utilizadas es la interpolación, que
consiste en construir una función que
pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función primitiva.
Si se utilizan polinomios como
funciones de aproximación, hablamos
de interpolación polinómica.

4. Tabla De Diferencias
El propósito es determinar dicho
comportamiento, con las muestras de
los pares de datos (x, f(x)); se
encontrará un polinomio que
satisfaga un conjunto de puntos
seleccionados (xi, f(xi)) donde los
valores que aporten el Polinomio y la
función se comportan casi de la
misma manera, en el intervalo en
cuestión.
Si se desea encontrar un
polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer un
sistema de ecuaciones, pero este
proceso es un poco engorroso; resulta
conveniente arreglar los datos en una
tabla con los valores de x en forma
ascendente. Además de las columnas
para x y para f(x) se deberán tabular
las diferencias de los valores
funcionales. Cada una de las
columnas de la derecha de f(x), se
estima o determina calculando las
diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda.

5. Cuando la función
ha sido tabulada, se
comporta como un
polinomio, se le puede
aproximar al polinomio
que se le parece. Una
forma sencilla de
escribir un polinomio
que pasa por un
conjunto de puntos
equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio
Interpolante de
Newton-Gregory (en
avance y retroceso).
Polinomio
Interpolante de
Newton-Gregory
Fórmula de Retroceso
La fórmula usa la notación, que es el
número de combinaciones de s cosas
tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones
factoriales. Donde s viene dada por: x es el
valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo
viene a ser el punto de partida para
seleccionar los valores, que serán
seleccionados de la tabla de diferencias,
formando una fila diagonal hacia abajo en el
caso de la fórmula de avance; en caso de la
fórmula de retroceso los valores forman una
fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y
ha viene a ser la longitud o distancia entre
los valores de xi
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de
interpolación además del Método de
Newton-Gregory, difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo, la fórmula del
Polinomio Interpolante de Gauss (en avance
y retroceso), donde la trayectoria es en
forma de Zig-Zag, es decir los valores desde
el punto de partida Xo serán seleccionados
en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los
valores son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de avance los
valores son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia arriba, luego hacia
abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente.

6. Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea
cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los
puntos. La función Hn(x) queda determinada en forma única por
estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n
sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de
los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos
discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda
derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha
observado que, en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz
de detectar discontinuidades en la segunda derivada de una
función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no
luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son
funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes
propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en.
2. existen y son continuas en.
3. s(x) interpola a la función f en los datos.
4. s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas.
Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que
de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1) -(n+1) =2 grados
de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo
condiciones de frontera adicionales en s(x).
Defina. Como s(x) es cúbico en, entonces s"(x) es lineal.

7. Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que
n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹
j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de
que no se conoce el grado del polinomio. Como no se
conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone
un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente
grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio
de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el
procedimiento.
Diferencias Divididas Y La fórmula General De
Newton
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación
de Polinomios está entre los modelos más populares y
útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1.
Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las
diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias
divididas que viene dada por
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por
diferencias divididas de Newton, no es necesario que los
datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que
los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El
valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un
error

8. Aplicación De Los Métodos Numéricos De
Interpolación En La Resolución De Problemas.
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no
esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que
antes de la llegada de las computadoras tenían gran
utilidad para la interpolación, sin embargo, con
fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss,
Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles
con computadoras y debido a las muchas funciones
tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están
descritos por ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de
Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas
ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones
de autovalores para un operador diferencial
autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta
discusión. Sólo diremos que los polinomios de
Hermite son un caso particular de soluciones a un
problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones
forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta
función de peso. En el caso de familias de
polinomios ortogonales, existen relaciones de
recurrencia que vinculan cada polinomio con los de
grados inmediatamente anterior y posterior, y
típicamente poseen una función generatriz, así_
como operadores de subida y de bajada. En los
capítulos siguientes encontraremos nuevas familias
de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de
sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no
será extraño encontrar las mismas características que
hemos identificado en los polinomios de Hermite.