teoria

1. Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniera
Cabudare-Lara
Integrantes
Samuel Pereira 21.460.693

2. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0,
f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en un punto “x” que
en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en los datos.
Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor,
denominadas “Formulas de diferencias finitas”.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación
a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán: Diferencias hacia
adelante
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un
determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas
la mejor aproximación numérica al problema dado Diferencias centrales
Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8
La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular
aproximadamente el valor de la integral definida.
La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion lineal que
pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-
a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un
numero perteneciente al intervalo [a,b]
La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una
integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este metodo se supone que f es

3. continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se divide el intervalo [a,b] en
nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.
Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula
Reglas de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de
obtener una estimación más exacta de una integral es la de usar polinomios de orden superior
para conectar los puntos a las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos
polinomios se les llama reglas de Simpson.
Regla de Simpson de 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la
ecuación.
Si a y b se denominan como x0 y x2 y f2(x) Se representa mediante un polinomio de
LaGrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
Regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de
integración en segmentos de igual anchura.
la integral total se representa como

4. Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene
Regla de Simpson de 3/8
De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3 , se
ajustan polinomios de LaGrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar.
I=∫_a^b〖f(x)dx=∫_a^b〖f3.(x)dx〗〗
Para obtener I=(b-a). (f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))/8
En donde h=((b-a))/3
A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es
la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.
Regla de Simpson 3/8 múltiples
La regla de 1/3 es en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer
orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No
obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el
número de segmentos es impar.
Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson
de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos
múltiples cuando el número de segmentos es impar.
De esta manera. Se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo
completo.
Integración con intervalos desiguales
Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla
trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando el siguiente orden jerárquico:
1.- Simpson 3/8
Este se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados.
2. Simpson 1/3
Esta se aplica si falla 81) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados.
3. Regla trapezoidal
Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)

5. Ejemplo
Evaluar, usando la siguiente tabla
Solución
Vemos que el intervalo [0,0.1] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7]
la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3, así tenemos
las siguientes integrales.
Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores
Primeras derivadas de los polinomios interpolantes
Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas
x_{0},x_{1},...,x_{m}, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio
p_{m}(x)} de grado menor o igual a m, cumpliendo p_{m}(x_{k})=f(x_{k}), k=0,1,...,m}.A
este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.
Extrapolación de Richardson.
El método de extrapolación de Richardson fue desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-
1953). Se puede utilizar para mejorar los resultados de un método numérico a partir de una
estimación de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una
función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado
para definir un método de integración: El método de Romberg.
Presentación del principio
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:

6. Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Ésta aproximación está lejos del valor real, por tanto en órden de hacer un análisis del error,
expandimos en forma de serie de Taylor:
Subtrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:
Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo, por ejemplo,
con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una
expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson, de la siguiente forma:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden h^{k_0}. De tal
forma que:
Donde:
es un estimador del error, usando la notación de Landau.
son constantes desconocidas. Tal
que
Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:

7. Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más
grande en el error, . De igual manera se pueden remover más términos de error de
modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una relación de recurrencia general
puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:
siendo ki el órden del error.
con
fórmulas de Newton – Cotes
son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar
una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
donde fn(x) es un polinomio de la forma
donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un polinomio de primer
grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea una parábola con el mismo
propósito.

8. La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por
pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Así, en la Figura 3, se usan tres
segmentos de línea recta para aproximar la integral.
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton - Cotes. En esta sección sólo
se analizarán las formas cerradas. En ellas, se conocen los datos al inicio y al final de los límites de
integración.
Grado de precisión de una fórmula de integración numérica
El grado de precisión de una fórmula de integración numérica es el número natural n que
verifica que el error de truncamiento E[Pi]=0 para todos los polinomios Pi(x) de grado i ≤ n, y existe
un polinomio Pn+1(x) de grado n+1 tal que E[Pn+1]≠0.
Integración aproximada: Regla del trapecio
Algunas veces no es nada sencillo calcular la antiderivada de una función dada. En
esos casos es mejor hacer una aproximación al valor del área debajo de la curva
utilizando métodos numéricos ampliamente conocidos. La regla del trapecio
consiste utilizar trapeciod en lugar de rectángulos al hacer la aproximación del
área bajo la curva.
Ya hicimos la primera aproximación del valor del área bajo la
parábola desde hasta en alguna lección previa. Ahora vamos
a hacer la misma aproximación usando trapecios.

9. Ahora, la comparación de las aproximaciones usando rectángulos por un lado y
trapecios por otro, se muestra enseguida:
Solo para ver la diferencia, recuerda que el área bajo la curva es exactamente
de . Si comparas esta gráfica con el uso de rectángulos en lugar de trapecios,
verás por qué esta nueva aproximación es mucho mejor: los trapecios se acercan
mucho mejor a la curva que los rectángulos. Esa es la idea que está detrás de la
regla del trapecio.
Ejemplo
Calcula el área bajo la curva de la función:
Calcular la integral de $fleft( x right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6$, en el intervalo [1.3, 1.8]
aplicando la regla del trapecio.
Solución
Con la ayuda de una calculadora, evaluar la función en los extremos del intervalo $fleft(
{1.3} right) = 0.357$, $fleft( {1.8} right) = 0.192$
Calcular $b - a = 1.8 - 1.3 = 0.5$
Aplicar la fórmula de la regla del trapecio $A = int_{1.3}^{1.8} {left( {{x^3} - 6{x^2} +
11x - 6} right)dx} cong 0.5left[ {{{0.357 + 0.192} over 2}} right] = 0.13725$
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función construida con el software libre
Winplot

10. Cabe mencionar que el valor real de esta integral es aproximadamente 0.165375, como se
muestra en la hoja de trabajo de Derive.