1. EXAMEN DE MATEMÁTICAS: TRIGONOMETRÍA.
1º A. 20 de diciembre de 2000.
EJERCICIOS: (1 punto cada uno. Sin calculadora).
1. Hallar las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el cuarto cuadrante del que se sabe que su
cotangente es igual a -3/4. Razona la respuesta.
2. Encuentra una relación entre las razones trigonométricas de los ángulos de 3666º y 7224º. Razona la
respuesta.
3. Si llamamos t a la tangente del ángulo α/2, expresar sen α, cos α y tg α en función de t.
sin 5α + sin α
4. Demuestra la siguiente identidad: = 1 + 2 cos 2α
sin 3α − sin α
5. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 3 sin x + cos x = 1
PROBLEMAS: puede usarse la calculadora.
6. Hallar el área de un pentágono regular de 30 dm de perímetro.
Razona la respuesta. (1 punto)
7. Averigua la altura del edificio representado en la imagen, usando los
datos que se incluyen en la misma: desde cierta posición la visual
del edificio forma un ángulo de 35º con el suelo. Si nos acercamos
al edificio 20 metros, la visual forma ahora un ángulo de 45º con el
suelo. (2 puntos)
8. Se quiere calcular la distancia entre los puntos A y B que están separados por un río. La visual de A a B
forma un ángulo de 60º con la visual de A hacia un tercer punto C accesible. Medimos la distancia entre A y C
que resulta ser de 60m. La visual de C a B forma un ángulo de 45º con la visual de A a C. Averigua la
distancia entre A y B. (2 puntos)

2. SOLUCIONES
3 4
1. cot gα = − ⇒ tgα = − Ahora usamos la fórmula 1+tg2α = sec2α y tenemos en cuenta que la
4 3
secante es la inversa del coseno, por lo que es positiva en el cuarto cuadrante, es decir hay que escoger la
2
 4 16 25 5 3
raíz cuadrada positiva: 1 +  −  = sec 2 α ⇒ 1 + = = sec 2 α ⇒ sec α =
⇒ cos α = .
 3 9 9 3 5
3  4 4
Para calcular el seno multiplicamos el coseno por la tangente: senα = cos α ⋅ tgα = ⋅  −  = − . Por
5  3 5
5
último, la cosecante es la inversa del seno: cos ecα = −
4
2. 3666º=360ºx10+66º; luego las razones trigonométricas de 3666º son iguales que las de 66º; por su parte,
7224º=360ºx20+24º, por lo que las razones trigonométricas de 7224º son iguales a las de 24º. Como
66+24=90, resulta que son ángulos complementarios, por lo que sen3666º=cos7224º, cos3666º=sen7224º y
tg3666º=cotg7224º.
3.
α  1 − cos α 1 − cos α
t = tg   = ⇒ t2 = ⇒ t 2 ⋅ (1 + cos α ) = 1 − cos α ⇒
2 1 + cos α 1 + cos α
1− t2
( )
t 2 + t 2 cos α = 1 − cos α ⇒ t 2 cos α + cos α = 1 − t 2 ⇒ cos α ⋅ t 2 + 1 = 1 − t 2 ⇒ cos α =
1+ t2
2
1− t 2  1 − 2t 2 + t 4 1 + 2t 2 + t 4 − 1 + 2t 2 − t 4 4t 2 2t
senα = 1 − cos α = 1 − 
2
 = 1− = = =
1+ t 2 
  1 + 2t + t
2 4
1+ t 2
2
( ) 1+ t 2
1+ t 2
senα  2t   1 − t 2  2t
tgα = = :
2  
=
2 
cos α  1 + t   1 + t  1 − t 2
4. 5α + α 5α − α
2 sen cos
sen5α + senα 2 2 sen3α ⋅ cos 2α sen 3α sen ( 2α + α )
= = = = =
sen3α − senα 2 cos 3α + α sen 3α − α cos 2α ⋅ senα sen α sen α
2 2
sen 2α cos α + cos 2α sen α 2 sen α cos α cos α + ( cos 2 α − sen 2 α ) sen α
= =
sen α sen α
= 2 cos 2 α + cos 2 α − sen 2 α = 3 cos 2 α − sen 2α = 3(1 − sen 2α ) − sen 2α = 3 − 4 sen 2α
Por su parte : 1 + 2 cos 2 α = 1 + 2( cos 2 α − sen 2α ) = 1 + 2(1 − sen 2α − sen 2α ) = 3 − 4 sen 2α
5.
3senx + cos x = 1 ⇒ 3 1 − cos 2 x + cos x = 1 ⇒ 3 − 3 cos 2 x = 1 − cos x ⇒
3 − 3 cos 2 x = (1 − cos x ) ⇒ 3 − 3 cos 2 x = 1 − 2 cos x + cos 2 x ⇒ 0 = 4 cos 2 x − 2 cos x − 2 ⇒
2
2 cos 2 x − cos x − 1 = 0

 1 si cos x = 1 ⇒ x = 0º + K ⋅ 360º siendo K ∈ Z

1± 1+ 8 1± 3 
cos x = = =
4 4  1 1 120º + K ⋅ 360º
− si cos x = − ⇒ x= siendo K ∈ Z
 2
 2 240º + K ⋅ 360º

3. 6. Si el perímetro mide 30 dm, cada lado mide 6
dm. Si dividimos el pentágono en 5 triángulos
isósceles iguales, uniendo cada vértice con el
centro, los ángulos centrales miden 360/5, es
decir 72º. Como los otros dos ángulos son
iguales, entre los dos suman 180-72=108, por
lo que cada uno de los otros ángulos mide la
mitad, o sea, 54º. Si trazamos la altura, como
el triángulo es isósceles queda dividido en
dos partes iguales, que son triángulos
rectángulos. La base del triángulo isósceles
es el lado del pentágono, es decir, 6 dm,
luego la base del triángulo rectángulo mide 3
dm. La altura del triángulo h=3 tg54º = 4,13.
Por lo tanto el área del triángulo isósceles es
base por altura partido 2: (6 x 4,13)/2 =12,39
dm2. El área del pentágono será cinco veces
esa cantidad, es decir: 61,94 dm2.
7. Llamamos y a la altura del edificio y x a la distancia señalada en el
dibujo. Tenemos por lo tanto, dos triángulos rectángulos: ABC y
y
ABD. En el primero tenemos: tg 45º = 1 = y en el segundo
x
y
tg 35º = 0,7 = . Tenemos un sistema de dos
x + 20
ecuaciones con dos incógnitas:
 y=x
 ⇒ x = 0,7 x + 14 ⇒ 0,3x = 14 ⇒ x = y ≈ 47 m
 y = 0,7 x + 14
8. El ángulo en B es 180-(60+45)=75º. La distancia entre A y B es el lado opuesto al ángulo C, por lo tanto la
denominaremos c. Aplicando el teorema de los senos:
b c 60 c sen 45º
= ⇒ = ⇒ c = 60 ⋅ ≈ 44m
senB senC sen75º sen45º sen75º