El documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones de tres variables (x, y, z) aplicando el método de sustitución. Se obtienen las expresiones de cada variable en términos de las otras. Finalmente, se deriva parcialmente la función objetivo f(t) = 2x' + z4" - 3y2' y se sustituye para hallar el valor final de f(t).

1. Realizado por: dimarys medina
Ejercicios optimizacion

2. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
Hallar:𝑓 𝑡 = 2𝑥´ + 𝑧4´´
− 3𝑦2
´ aplicando el
método de sustitución
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 = −1
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −3

3. Solución:
Paso 1: despejamos X de la primera ecuación
𝑥 = 4 − 3𝑦 − 𝑧
Paso 2: sustituimos X en la ecuación 2 y simplificamos la ecuación para obtener una
nueva ecuación.
2 4 − 3𝑦 − 𝑧 + 2𝑦 = −1
8 − 6𝑦 − 2𝑧 + 2𝑦 = −1
−4𝑦 − 2𝑧 = −1 − 8
−4𝑦 − 2𝑧 = −9

4. Paso 3: sustituimos X en la tercera ecuación y simplificamos para obtener otra nueva
ecuación
2 4 − 3𝑦 − 𝑧 + 3𝑦 − 𝑧 = −3
8 − 6𝑦 − 2𝑧 + 3𝑦 − 𝑧 = −3
−3𝑦 − 3𝑧 = −3 − 8
−3𝑦 − 3𝑧 = −11
Paso 4: Despejamos Y de la ecuación obtenida en el paso 2
−4𝑦 − 2𝑧 = −9 (−1)
4𝑦 + 2𝑧 = 9
𝑦 =
9 − 2𝑧
4

5. Paso 5: sustituimos en Y en la ecuación obtenida en el paso 3 y simplificamos la
ecuacion para obtener el valor de Z
−3𝑦 − 3𝑧 = −11
−3(9−2𝑧
4 ) −3𝑧 = −11
−27 + 6𝑧
4
− 3𝑧 = −11
−27 + 6𝑧 − 12𝑧
4
= −11
−27 − 6𝑧 = −44 −1
27 + 6𝑧 = 44
𝑧 =
44 − 27
6
=
17
6

6. Paso 6: sustituimos el valor de Z en la ecuacion obtenida en el paso 4 para hallar el
valor de Z
𝑦 =
9 − 2(17
6 )
4
𝑦 =
9 − 34
6
4
𝑦 =
54 − 34
24
=
20
24
=
5
6
Paso 7: sustituimos Y y Z en la ecuacion 1 para hallar el valor de X
𝑥 + 3 5
6
+ 17
6
= 4
𝑥 + 15
6
+ 17
6
= 4
𝑥 = 4 − 15
6
− 17
6
=
4
3

7. paso 8: hallamos el valor de f(t) en funcion de sus respectivas variables derivando
parcialmente y sustituyendo los valores de X,Y y Z
𝑓 𝑡 = 2𝑥´ + 𝑧4´´ − 3𝑦2´
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑥
= 2
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑦
= −6𝑦 = −6 5
6 = −5
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 4𝑧3
𝜕2 𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 12𝑧2
= 12(17
6
)2
=
289
3

8. Paso 9: sustituimos los valores en la ecuación original y sumamos:
𝑓 𝑡 = 2 +
289
3
− 5
𝑓 𝑡 =
280
3